Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph BÀI 24 PH ng PP d n bi n NG PHÁP D N BI N (PH N 1) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ C VI T Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Bài 24 Ph ng pháp d n bi n (Ph n 1) thu c khóa s d ng hi u h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn qu , b n c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u 1 1 Bài [Walther Janous) Gi s : a, b, c > CMR: a b c a b c abc 1 Ch ng minh VT 1 1 a 1 a b 1 b c 1 c 1 a 1 b b 1 c c 1 a 1 a 1 c b 1 a c 1 b t: T1 1 a 1 a b 1 b c 1 c T2 1 a 1 b b 1 c c 1 a T3 1 a 1 c b 1 a c 1 b a1 b1 c1 B đ (hoán v Abel) a1a b1b2 c1c2 a1b2 b1c2 c1a 2 a b2 c2 CM: Th t v y 2 a1 a b2 b1 b2 c2 c1 c2 a a1 b1 a b b1 c1 a c2 Gi s c b a ta có dãy 1 1 T1 T2 a b c T1 T3 1 a b c V y đ ch ng minh (1) ta c n ch ng minh T2 Ta ch ng minh: T2 Hocmai.vn – Ngôi tr , abc tr 3 , T3 abc abc ng h p T3 ng chung c a h c trò Vi t làm t abc ng t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n y z x t: a k , b k , c k x y z T2 x y z k y kz k z kx k x ky x2 y2 z2 k xy kxz k yz kxy k xz kyz xy yz zx x y z k k 1 x y yz zx k k 1 xy yz zx k k 1 Ta c n ch ng mình: 3 k k 1 k k k 1 k k 1 k 1 Bài [RMO – 2000] a , b, c : a b c Ch ng minh: a b c ab bc ca 1 Ch ng minh 1 a b c ab bc ca a b2 c2 a b c a b c ab bc ca a b2 c2 a b c a b c Ta có: a a a 3 a a a 3a b b b 3b c c c 3c VT 2 a b c (đpcm) Bài Cho x, y, z :2 x y z xyz Tìm S x y z Ch ng minh * T gi thi t: x y z xyz z xy x y z x y xy * S 2x y xy x y xy Hocmai.vn – Ngôi tr f y f ' y ng chung c a h c trò Vi t 29 x2 xy T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph f ' y xy x2 ng PP d n bi n xy xy x2 x2 7 y 1 x x x 7 BBT f y f x x Ta có: 7 4 x 1 x x 7 7 f x x x x x 2x 1 x 2x 7 1 x x 1 x2 11 1 x x 2x 11 g x x x 11 x2 x2 x 28 x3 x2 1 x 1 x 2x g ' x 14 x2 2 11 28 2 x x x2 g ' x x2 x2 11 x2 28 t t x2 t x2 1 t 0 1 t t 11t 28 2t 25t 28 t 2t 8t t x 0 x BBT g x g 3 15 S 15 Min S 15 y z x y 1 Bài Cho x, y :3 x y y x x y x4 y4 1 1 Tìm P 3xy x y y x Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n x4 y4 1 Ta có: P 3xy x x xy y y x4 y4 x3 y3 x2 y2 x y 3 x y x y x y x y x y y x t t t 2 Khi đó: x2 y2 t2 2 y x x3 y3 t 3t y3 x3 2 x4 y4 x2 y2 t 4t t 2 4 2 y x y x P t 4t t 3t t 3t t 2t 3t 3t f t Ta có: x y 3 x y y x x y 1 3 3 x y x y x y 3 y x 3t 3t 3t 3t 3t 3t (do t 2) 9t 24t 20 t 10 2 10 Ta xét hàm f(t) ; 3 f ' t 4t 6t 6t 3t t t t t 10 10 f t đ ng bi n ; 3 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n 10 2596 f t f 81 3 V y Min P 2596 x 1, y 81 *Nh n xét: D n bi n khéo léo đ phát hi n t Bài Cho a , b, c s th c d x y y x ng Ch ng minh r ng a b c 2 (b c) (c a ) (a b) 4(a b c) Ch ng minh Khơng m t tính t ng qt, gi s a b c Bài toán c n ch ng minh qui v d ng sau a b c 2 (3 a ) (3 b) (3 c) D dàng d đoán b t đ ng th c ph sau a 2a (a 1)2 (9 2a ) 0 (3 a )2 4(3 a ) i u hi n nhiên a [0,3) S d ng b t đ ng th c cho b, c r i c ng l i, ta có đpcm Giáo viên : Lê Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : c Vi t Hocmai.vn - Trang | - ...Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n y z x t: a k , b k , c k x y z T2 x y z k y kz k z kx k x... Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph f ' y xy x2 ng PP d n bi n xy xy x2 x2 7 y 1 x x x 7 BBT f y f x... ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n x4 y4 1 Ta có: P 3xy x x xy y y x4 y4 x3 y3