Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph BÀI 27 PH ng PP d n bi n NG PHÁP D N BI N (PH N 4) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ C VI T Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Bài 27 Ph ng pháp d n bi n (Ph n 4) thu c khóa s d ng hi u h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn qu , b n c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Cho x, y, z : x y y z z x 2 1 Tìm max P x y z ln x4 y4 z4 x y z GI I * T (1) x2 y2 z2 xy yz zx x, y, z 0;1 x4 y4 z4 x2 y2 z2 ln x4 y4 z4 ln x2 y2 z2 2 2 * Ta có x y y z z x x y y z z x 3 x y z x y z * ý: x, y 0;1 nên 4x 3x Ta ch ng minh: x 0;1 f x x x f ' x x ln 4; f ' x log 0;1 ln BBT f x f f 1 dpcm * V y: P 3x 1 y 1 3z 1 ln x2 y2 z2 x y z t t x y z, x y z x y z t 0 Xét: g t 3t t 4 g ' t 3t 3t 3t 1 t t g ' t t Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n BBT: t g ' t + - 21 g t g t g 1 Max P 21 21 x 1; y z a b c P Cho a , b, c : a b c Tìm max 2 2 2ab 2 a b 1 c a b a b2 GI I Ta có: a b c 2ab a b2 c 2c a b 2c a b a b2 2 a b2 a b a b4 T đó: 2 a b 1 c 2c a b 2 2 P a b a b2 2c a b 2c a b 2c a b a b 1 c a b a b 1 c 22 a b a b 1 c 1 6 c a b a b a b2 2 a b a b 6 a b a b a b Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph t t a b, ng PP d n bi n 0t 2 t t t f t 2 P f ' t t2 t2 2 t2 t t f ' t t t 15 loai t BBT: t f ' t + f t - 62 3 a b Max P t c [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a , b, c, d s th c d ng th a mãn a b c d , Ch ng minh r ng 1 1 16 3a 3b 3c 3d 2 Ch ng minh Ta c n xác đ nh h s đ b t đ ng th c sau 3a m(2a 1) D dàng tìm b t đ ng th c ph sau 3a T 52 48a 3(2a 1)2 (12a 1) 0 49 49(3a 1) ng t v i bi n l i Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph Xét hai tr + Tr ng h p 1 12a 12b 12c 12d 12 ng h p d Xét t PP d n bi n ng h p sau min{a , b, c, d } + Tr ng 49 48 3d 12 48 3d 49 ng t v i bi n l i ta tìm u ph i ch ng minh ng th c x y ch a b c d Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b2 c2 Ch ng minh r ng a5 a2 b5 b c5 c 0 a b c b5 a c c b a Ch ng minh B t đ ng th c t ng đ ng v i 1 2 2 2 a b c b a c c b a a b2 c T suy ta ch c n ch ng minh tr ng h p a b2 c2 đ Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có 2a 2a a5 a 1 a t a x, b2 y, c2 z lúc ta có x y z ta ph i ch ng minh 1 2x 2y 2z x3 y3 z3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 2 2x x 2x y y y 2z z 2z x 1 3 x 0 2x x 2x cyc ( x 1) (2 x2 x 0 cyc 6(2 x x x 3) Không m t tính t ng quát gi s + Tr x y z x z Xét hai tr ng h p ng h p y z x ta có Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n 2 x2 3x 0, 2 y2 y 0, 2 z2 3z D n đ n toán hi n nhiên + Tr ng h p y z x ta có 2 (2 x3 x2 x 3) 5( x 1) x3 x2 3x x3 x x x 3 2 x x3 0 2 T suy x 1 nh v y ta c n ch ng minh 2x x 2x z 1 y 1 2 2z z 2z y y y i u ln ln v i k 0,1 ta có k 1 4k3 (k 1)(2k 1) 2k k 2k N u k tốn đ N u k ta có c gi i quy t 4k3 (k 1)(2k 1) 4k3 2(2k 1) 2(2k3 2k 1) 2(k 2k 1) 2(k 1)2 T y z y, z 0,1 V y toán đ c gi i quy t hoàn toàn ng th c x y ch a b c Tìm h ng s k tơt nhât đê bât đ ng th c sau đung v i moi a , b, c a3 b3 c3 3(a b c) 2 2 2 ka (b c) kb (c a ) kc (a b) k4 Ch ng minh Cho a b 1, c ta đ c k Ta se ch ng minh r ng giá tr c n tì m, t c la qui vê ch ng minh a3 b3 c3 (a b c ) 2 2 2 5a (b c) 5b (c a ) 5c (a b) S dung bât đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta co Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph a3 2 cyc 5a (b c) PP d n bi n a2 ( a b c) 2 cyc 5a (b c) a2 2 cyc 5a (b c) Ta cân ch ng minh: Không mât tinh tông quat ta chuân hoa cân ch ng minh t ng ng đ a b c a b c suy a c Bât đ ng th c ng v i a2 b2 c2 2 6a 2a 6b 2b 6c 2c Ta phai xet hai tr ng h p + Tr ng h p c ta có 9 cyc + Tr ng h p c 27a 27a (3a 1)2 (8a 1) 12 a 0 6a 2a cyc cyc 6a 2a 1 ta có 6a 6b 6c 2a 2b 6c 2 6a 2a 6b 2b 6c 2c 6a 2a 6b 2b 6c 2c 6c a bc bca 6a 2a 6b 2b 6c 2c 2(a b) (3c 2) 6c 1 c 2 (6a 2a 1)(6b 2b 1) 6c 2c 6a 2a 6b 2b 6c 1 6c 2c 6a 2a 6b 2b Ta c n ch ng minh: Vì c 6c vây nên ta se ch ng minh bât đ ng th c sau nên 6c 2c 1 Nêu b 1 6a 2a 6b 2b 1 đo: 6b 2b 3 Nêu b , áp dung bât đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta chi cân ch ng minh 6(a b2 ) 2(a b) iêu t ng đ T gia thiêt b ng v i : 2(a b) c (a b c) 3(a b2 ) 3b a đo Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n 2(a b) c (a b c) 2(a b)2 3(a b2 ) 4ab a b2 3(a b2 ) a (3b a ) 3(a b ) Nh vây bai toan đa đ c ch ng minh ng th c x y ch a b c ho c a b, c hoán v H ng sô k tôt nhât cân tim la Giáo viên : Lê Ngu n Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : c Vi t Hocmai.vn - Trang | - ... 6b 2b 6c 2c Ta phai xet hai tr ng h p + Tr ng h p c ta có 9 cyc + Tr ng h p c 27a 27a (3a 1)2 (8a 1) 12 a 0 6a 2a cyc cyc 6a 2a 1 ta có 6a 6b... B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng PP d n bi n 2(a b) c (a b c) 2(a b)2 3(a b2 ) 4ab a b2 3(a b2 ) a (3b a ) 3(a b ) Nh vây bai toan đa đ c ch ng minh ng th... c – Th y Tr n Ph Xét hai tr + Tr ng h p 1 12a 12b 12c 12d 12 ng h p d Xét t PP d n bi n ng h p sau min{a , b, c, d } + Tr ng 49 48 3d 12 48 3d 49 ng t v i bi