Bai 6 AM GM don bien

BĐT AMGM bất đẳng thức bất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMbất đẳng thức AMGMAMGM

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 6: AM – GM Dồn biến I Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):  a  b  ab , a, b   Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:  Đẳng thức xảy a  b ab ab  ,  a , b        a  b  c  3 abc , a ,b ,c   Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:  Đẳng thức xảy a  b  c  abc  ,  a , b , c  abc        Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho n số không âm: a  a   a  nn a a a , a , a , a  n n n  n Đẳng thức xảy a1  a2   an   a  a   an  ,  a , a , a  a1a2 an    n n    II Các hệ bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):  a2  b2  2ab, a,b   a  b  2ab, a,b  Đẳng thức xảy a  b  ab ab    , a,b     a3  b3  c  3abc, a,b,c  Đẳng thức xảy a  b  c  abc abc    , a,b,c  Đẳng thức xảy a  b  c     ab  bc  ca    a  b  c   a2  b2  c , a , b, c  Đẳng thức xảy a  b  c  a3  b3  ab  a  b  , a, b  Đẳng thức xảy a  b  a2 b2   a  b, a , b  Đẳng thức xảy a  b b a Đẳng thức xảy a  b 2 Đẳng thức xảy a  b   IV Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa biến cần tìm:   Bài 1: Cho số thực x , y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ của: P  x3  y  x  y Bài 2: Cho số thực x , y dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Bài 3: Cho số thực dương x , y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   xy x2  y  8 x y  9x y x  y 3 3   xy Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn c  0, a  c , b  c Tìm giá trị lớn của: P  c  a  c   c  b  c   2a2b2 Bài 5: Cho số thực a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  ab bc ca   2 abc c a b Bài 6: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a2 b2 c  abc  1 a  b  c b  c  a c  a  b     Bài 7: Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x4 y  y z  z4 x  3 xy  yz  zx Bài 8: Cho số thực a, b, c dương Tìm giá trị nhỏ của: P  a2  bc b2  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 1 b  b 1 c  c 1 a  a  b  c Bài 10: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ của: P  a3 a  b2  b3 b2  c  c3 c  a2  abc Bài 11: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a1 b2   b1 c2   c 1 a2  a  b  c  54 Bài 12: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ của: P  a b  ab  b c  bc  c a  ca  3 3   a b c Bài 13: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức:  a  b  c a  b  c P    1 b 1 c 1 a ĐÁP ÁN   Bài 1: Cho số thực x , y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x3  y  x  y Phân tích  Biến cần đưa về: x  y  Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm: x3  y  f  x  y  Biến đổi biểu thức: x3  y   x  y   3xy  x  y  , muốn sử dụng đánh giá    x3  y   x  y , ta cần xy  x  y  x  y Đánh giá cần tìm: xy   Bài giải Ta có: x  y   x  y   3xy  x  y  3  x  y Ta có đánh giá: xy  x  y   x  y   3xy  x  y    x  y   3 3 3 x  y x y  Đẳng thức xảy khi: x  y Vậy: P  x  y  Xét hàm số f t  3 Do đó: x  y  3 x  y xy  3 xy 3t t  t , t  Ta có: P  f  x  y  Vì: f '  t      t2 t   t  2 t Do ta có bảng biến thiên: t  f t     Từ bảng biến thiên, ta thấy f t   x  y  5 , t   0;   Vậy P  f  x  y    Đẳng thức xảy 2 Kết luận: Giá trị nhỏ P  x  y  2 Bài 2: Cho số thực x , y dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Phân tích  Biến cần đưa về: x  y  Chiều đánh giá cần có: P     Chiều cần đánh giá cần tìm: xy x2  y  f  x  y   xy x2  y  8 x y   x  y    2xy    x  từ x  y Biến đổi biểu thức: Nếu muốn tạo x  y xy , ta có biến đổi:   y2  Đánh giá cần tìm: xy x y 2   xy  x2  y      Bài giải  Ta có:  xy  x2  y 2   xy  x  2  y2    xy x  y Đẳng thức xảy khi: x  y Vậy: P  2  x  y  8x  y 8 xy  P  x  y 8 xy  Xét hàm số f t   Vì: f ' t    t , t  Ta có: P  f  x  y  t4 4    t  Lập bảng biến thiên hàm số ta được: t5 t t  f t        Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  , t  0;  Vậy P  f x  y  Đẳng thức xảy xy 1 Kết luận: Giá trị nhỏ P x  y  2 Bài 3: Cho số thực dương x , y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   9x y x  y 3 3   xy Phân tích  Biến cần đưa về: x  y  Chiều đánh giá cần có: P     Chiều cần đánh giá cần tìm: x3 y x3  y  f  x  y   Biến đổi biểu thức: Ta có: x3  y   x  y  x2  xy  y Như muốn đưa biến x  y ta xét     tích: x3 y x2  xy  y Cũng toán trên, ta thấy để tạo x  y ta cần có đẳng   thức sau:  x  y   x2  xy  y  xy  xy  xy    xy  xy  xy  x  xy  y 2 Đánh giá cần tìm:  xy  xy  xy  x  xy  y     Bài giải            Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho bốn số ta có: x3 y x3  y   xy  xy  xy  x2  xy  y2  x  y  x y 3 x y   xy  xy  xy  x  xy  y    khi: x  y Vậy: P   256 x  y   Ta có: P  f x  y Vì: f ' t   t f t        x  y  x 3 y x y  x  y  256 Đẳng thức xảy 256 1 Xét hàm số f  t    , t  xy t 9t 256    t  Lập bảng biến thiên hàm số ta được: t10 t    Từ bảng biến thiên, ta thấy f t   4 , t   0;   Vậy P  f  x  y    Đẳng thức xảy 9 x  y  Kết luận: Giá trị nhỏ P  x  y  Bài 4: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn c  0, a  c , b  c Tìm giá trị lớn biểu thức: P  c  a  c   c  b  c   2a b Phân tích    Biến cần đưa về: ab Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm: c  a  c   c  b  c   f  ab  Biến đổi biểu thức: Nhìn thoáng qua, đánh giá toán dạng bất đẳng thức AM – cac cbc ab   GM sau: c a  c  c b  c  2 ab  f  ab  vô khó khăn Chính để có đánh giá Tuy nhiên đánh giá c  a  c   c  b  c   f  ab  , ta tư theo hướng khác là: c  a  c   c b  c  f  ab   Như ta cần tạo đánh sau sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta triệt tiêu toàn biến a, b, c Do ta biến đổi:  c c c c c  a  c   c  b  c   ab  1   1      b a a b   Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta có: c c c c 1c  c   c  c  1    1      1      1    b a a b 2b  a   a  b  Vậy đánh giá cần tìm Do ta có: c  a  c   c  b  c   ab Bài giải Ta có:  c c c c c  a  c   c  b  c   ab         b  a a b   Theo bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có: Vậy: c c c c 1c  c   c  c  1    1      1      1    b a a b 2b  a   a  b  c  a  c   c  b  c   ab Đẳng thức xảy khi:  c  c c  c 1  1   ,  1      b  a a  b a b c   Vậy: P  ab  2a2 b2 Xét hàm số f t  t  2t , t  Ta có: P  f ab  Vì: f ' t  t  4t   t  t Lập bảng biến thiên hàm số ta được: 4 f t     Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  ab  3 , t   0;   Vậy P  f  ab   Đẳng thức xảy 8 1 1 ab 1 t ,   đó:  c  a  t,b  ,c  , t  t ab c a  b a b c 4t    Kết luận: Giá trị lớn P  t a  t , b  , c  t số thực dương 4t 4t  Bài 5: Cho số thực a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  ab bc ca   2 abc c a b Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm:  Chú ý rằng:  Đánh giá cần tìm: ab bc ca    f a  b  c c a b ab ca có đặc điểm có giá trị a tử số biểu thức lại hai phân c b b c ab ca số đảo ngược: , Do xét trung bình nhân hai biểu thức ta có:  a giống c b c b với biến biểu thức a  b  c cần đưa ca ab ca ab  2  2a b c b c Bài giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ab bc ab bc bc ca bc ca ca ab ca ab  2  2b ,    2c ,    2a c a c a a b a b b c b c Cộng hai vế đánh giá ta được:  ab bc   bc ca   ca ab              2a  b  c a   a b  b c   c Do đó: ab bc ca    a  b  c Đẳng thức xảy a  b  c c a b   Vậy: P  a  b  c  a  b  c    a  b  c   Vì Đẳng thức xảy a  b  c    a  b  c    1 đó: P  1 1 Kết luận: Giá trị nhỏ P 1 a  b  c  3 Bài 6: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a2 b2 c  abc  1  a  b  c  b  c  a  c  a  b  Phân tích    Biến cần đưa về: abc Chiều đánh giá cần có: P  Chiều cần đánh giá cần tìm:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   f  abc   Chú ý rằng:  a  b  c   b  c  a  có trung bình cộng:  a  b  c   b  c  a  b Như muốn tạo đánh giá cần tìm, ta cần tạo trung bình cộng cặp số với Nhắc đến bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta nhớ đến đánh giá: xy xy        a  b  c   b  c  a    b2 Đánh giá cần tìm:  a  b  c  b  c  a        Bài giải      a  b  c b  c  a    a  b  c    b  c  a    b2           b  c  a  c  a  b     c2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có:  b  c  a  c  a  b           c  a  b   a  b  c      a2  c  a  b  a  b  c          Nhân vế với vế ta có:  a  b  c   b  c  a   c  a  b    abc  2 2 Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác, Do ta có: a  b  c  0, b  c  a  0, c  a  b    a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc Đẳng thức xảy abc Vậy: P  a2 b2 c  abc  1 Xét hàm số abc 1 f  t    t  t , t  Ta có: P  f  abc  Vì: f '  t   3t  2t  t t  f ' t    t  1  3t t    t  Lập bảng biến thiên hàm số ta được:  t2  t  t f t          Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  , t  0;  Vậy P  f abc  Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Giá trị nhỏ P a  b  c  Bài 7: Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x4 y  y z  z4 x  3 xy  yz  zx Phân tích  Biến cần đưa về: xy  yz  zx  Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm: x4 y  y z  z4 x  f  xy  yz  zx  Ta tận dụng điều kiện xyz  cách chứng minh: x4 y  y z  z4 x  xyz  xy  yz  zx   x4 y  y4 z  z4 x  x2 y z  xy z  x2 yz Ta tìm đại lượng m, n, p cho: m.x4 y  n.y z  p.z x  x4 y   x4 y  y z   y z  z x   z x m p n Đồng thời áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho  m  n  p  số ta được:   y z  z x x4 y   x4 y  y z   y z  z x   z x  mn p x y m    y z z x Hay: m.x4 y  n.y z  p.z x   m  n  p  mn p x4 y mn p  m.x y  n.y z  p.z x   m  n  p  x 4 4 n p p n  m.x4 y  n.y z  p.z4 x   m  n  p  m m n p x4m p y 4nm z pn m p mn p y p n 4n m mn p mn p z Và tìm hệ số m, n, p cho:  m.x4 y  n.y z  p.z4 x   m  n  p  x2 y z1  4m  p 2  m  n  p  m  2n  p   4n  m  m  p    2n  p  m    Hay:  Do chọn m  6, n  5, p  5 p  2n m  n  p 3 p  m   4p  n 1   m  n  p 4 2  6 y z  5z x  x y  13 y z x Khi đó: 6x y  5y z  2z x  13x y z Đồng thời tương tự ta có:  4 2  6 z x  5x y  y z  13z x y 4 2 Bài giải 6 x y  y z  z x  13x y z  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 13 số ta được: 6 y z  5z x  x y  13 y z x  4 2 6 z x  5x y  y z  13z x y   Cộng vế với vế ta được: 13 x4 y  y z  z4 x  13xyz  xy  yz  zx  Vì xyz  ta có đánh giá: x4 y  y4 z  z4 x  xy  yz  zx Đẳng thức xảy khi: x  y  z  Do đó: P  xy  yz  zx  3 xy  yz  zx Đặt f  t   t  3 t Ta có: P  f  xy  yz  zx  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: xy  yz  zx  3 x2 y z  xy  yz  zx  Vậy xét hàm số f  t   t  3 t với t  ta có: f '  t    t  t 1 t Vì t   t     f '  t   0, t  Vậy f  t  hàm số đồng biến liên tục t  Vậy f t   f     3 Do đó: P  f  xy  yz  zx   f  3   3 Đẳng thức xảy khi: x  y  z  Kết luận: Giá trị nhỏ P  3 x  y  z  Bài 8: Cho số thực a, b, c dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a2  bc b2  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm: a2  bc b2  ca c  ab    f a  b  c bc ca ab  a  b  a  c  , ta biến đổi tương tự: a2  bc Chú ý rằng: a bc bc  b  c  b  a  , c2  ab  c   c  a  c  b  b  ca b ca ca ab ab Tới ta ý toán số 5, ta chứng minh: ab bc ca   abc c a b   Do áp dụng đánh giá này, ta có:  a  b  a  c    b  c  b  a    c  a c  b   bc ca ab a  b  c Do vậy, ta hoàn toàn tạo đánh giá cần tìm Bài giải Ta có:  a  b  a  c  , b2  ca  b   b  c  b  a  a2  bc a bc bc ca ca Và tương tự ta có Vậy:  c  a  c  b  c  ab c  ab ab a2  bc b2  ca c  ab  a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b       abc bc ca ab bc ca ab Vì ta có đánh giá: xy yz zx    x  y  z , x, y , z  Do đó: z x y  a  b a  c    b  c  b  a    c  a  c  b   bc Hay: ca ab  a  b  a  c    b  c  b  a    c  a c  b   bc ca ab  a  b  b  c   c  a  a  b  c  Vậy: a2  bc b2  ca c  ab   abc bc ca ab Đẳng thức xảy a  b  c Do đó: P  a  b  c  4 a  b  c Đặt f  t   t  4 t  P  f  a  b  c  Xét hàm số f  t   t  4 t với t   0;   ta có: f '  t      t  t Lập bảng biến thiên hàm số ta được: t  f t   3      Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  3 , t  0;  Vậy P  f a  b  c  3 Đẳng thức xảy a  b  c  1 Kết luận: Giá trị nhỏ P 3 a  b  c  3 Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 1 b b  1 c  c  a  b  c 1 a Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm: Chú ý để có đánh giá a 1 b a 1 b  b 1 c  c  a2  f a  b  c  , ta cần  b2  , nhiên điều khó để thực Vì ta cần thiết phải theo hướng  b2 , ta cần làm đảo chiều đánh giá nghĩa  1 b Khi đó: Ta có: a 1 b a 1 b a  a  ab2  ab2 1 b a ab2 1 b Vì  b2  2b  ab2 1 b ab b bc c ca b , c , tương tự ta có: 2 2 1 a 1 c  ab 1  b2 phải thành Người ta gọi cách đánh giá Kỹ thuật Cauchy ngược dấu Khi cộng vế với vế ta có: a  b2 b   c2 Cuối ta cần đánh giá theo chiều:   c  a2 abc bc  ca  ab bc  ca  ab     a  b  c  bc  ca  ab  a  b  c Và ta bất đẳng thức Hệ bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):  ab  bc  ca    a  b  c  Bài giải Ta có: a 1 b Khi đó:  a 1 b a  ab2  ab2 1 b a a ab2 1 b Vì  b2  2b  ab2 1 b  ab ab b bc c ca b , c , tương tự ta có: 2 2 1 a 1 c Khi cộng vế với vế ta có: a  b2  b  c2  c  a2 abc bc  ca  ab Từ Hệ bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh phần II), ta có:  ab  bc  ca    a  b  c  a  b  c bc  ca  ab   abc  abc Do đó: 2 2 1 b 1 c 1 a a b c a  b  c Đẳng thức xảy a  b  c  Vậy P  a  b  c  Xét hàm số f  t   t  Ta có: f '  t   3t  f t   f  3   a  b  c t2  t với t  , ta có P  f  a  b  c  t  9t  1 t 1   0, t  Vậy f  t  hàm số đồng biến liên tục t  Do 3 57 Do đó: P  f  a  b  c   f    57 Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Giá trị nhỏ P 57 a  b  c  Bài 10: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a3 a  b2  b3 b2  c  c3 c  a2  abc Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm:  a3 b3 c3  f a  b  c a  b2 b2  c c  a Biến đổi cần tìm (Sử dụng Kỹ thuật Cauchy ngược dấu): a3   a  b2  a3  ab2  ab2 a  b2 a ab2 a a  b2 ab2 b a 2ab Bài giải Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu: Vì a2  b2  2ab đó: a3 a  b2 Tương tự ta có: Do đó: a3 a b b3 c3 abc  abc  2  2 a2  b2 a3  ab2  ab2 a3  ab2  ab2 a2  b2 a a  b2 ab2 a  b2 a a ab2 a2  b2 ab2 b a 2ab c c3 a b , c 2 2 2 b c c a c a b c   b3 2 Vậy P    a3  abc Đẳng thức xảy khi: a  b  c  a bc 1 Kết luận: Giá trị nhỏ P   1   Đẳng thức xảy khi: a  b  c  2 1 a  b  c  Bài 11: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a1 b2   b1 c2   c 1 a2  a  b  c  54 Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm:  a1 b1 c 1  f a  b  c b2  c  a  Biến đổi cần tìm (Sử dụng Kỹ thuật Cauchy ngược dấu): a1 b 1   a 1  b2  a  1 b 1  a 1 b2  a  1 2b  a  1 ab  b Bài giải Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: a1 b2   a  ab   1  b   ab  2 b2   b2  a 1 b2  a  1 b2  Chú ý rằng: b2   2b , đó: Tương tự ta có: Khi đó: a1 b 1  b1 c 1 b1 c 1  b 1  c 1 a 1 a1 b2   a 1 b2  a  1 b2  b2  a  1  a 1 2b  a  1 ab  b bc  c c  ca  a ,  c 1 2 a 1  abc ab  bc  ca 3 2 Từ Hệ bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh phần I), ta có:  ab  bc  ca    a  b  c   a  b  c  Đẳng thức xảy a  b  c  abc    3 Do đó: b2  c  a2  a1 b1 c 1  a  b  c    a  b  c  Xét hàm số f t  t  t  t  Ta có: P  f a  b  c abc Vậy: P  3     54 2 54 Vì a  b  c  3 abc  ta xét f  t   t3 t2 t    với t  54 2 t2 t 1     t    Do f  t  hàm số đồng biến liên tục t  Vì 18 18 7 f  t   f    Vậy: P  f  a  b  c   Đẳng thức xảy a  b  c  2 Ta có: f '  t   Kết luận: Giá trị nhỏ P a  b  c  Bài 12: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b3  ab  b c  bc  c a3  ca  3 3   a b c Phân tích    1   a b c Chiều đánh giá cần có: P  Chiều cần đánh giá cần tìm: Biến cần đưa về: a b  ab   b c  bc   1 1  f    a  ca a b c c Biến đổi cần tìm (Sử dụng Kỹ thuật Cauchy ngược dấu): a b b 1       b 2b a b a b  ab b a  b Bài giải Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: a b  ab  a  b2  b2 b  ab  b  b a  b2 Chú ý rằng: a  b2  2b a đó: a Tương tự ta có: b  ab  b c  bc  a b3  ab c a  ca  b b 1      b a  b b 2b a b a  1 1 1       a b c 2 a b c    Sử dụng bất đẳng thức Hệ bất đẳng thức AM – GM:  x  y  z Ta có: a  b      x2  y  z  x  y  z  x2  y  z   1 1  1 1  1 1 a b c      cho nên:       3    3 c b  ab c  bc a  ca  a b c   a b c  a b c  1 1  1 1 Đẳng thức xảy khi: a  b  c  Do đó: P           a b c a b c  1 1 Xét hàm số: f  t   t  3t với t  Ta có: P  f     a b c Vì f '  t    t   t  Do ta có bảng biến thiên: t  f t   3    1 a Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  3 , t  0;  Vậy P  f   1    3 Đẳng thức xảy b c a  b  c  Kết luận: Giá trị nhỏ P 3 a  b  c  Bài 13: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn biểu thức:  a  b  c a  b  c P    1 b 1 c 1 a Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm: 1 a 1 b 1 c    f a  b  c 1 b 1 c 1 a Bài giải Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: Do đó: b 1  a   b c 1  b   c a 1  c  1 a  1 a  ,  1 b  ,  1 c  1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a  b 1  a  c 1  b  a 1  c   1 a 1 b 1 c     3abc    1 b  1 b 1 c 1 a  c  a   Theo bất đẳng thức AM – GM cho số ta có:   b 1  a  1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a b 1  a   3 abc  Vậy: 1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a  33 b 1  a  c 1  b  a 1  c  1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c   3abc3 1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c    a  b  c Đẳng thức xảy a  b  c  1 b 1 c 1 a a  b  c Vậy P  a  b  c   3 a  b  c     Đẳng thức xảy a  b  c   2 Kết luận: Giá trị lớn P a  b  c  [...]... 3 2 2 Từ Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh ở phần I), ta có: 3  ab  bc  ca    a  b  c  2  a  b  c  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 abc    3 Do đó: 2 6 b2  1 c 2  1 a2  1 a1 b1 2 c 1  a  b  c    a  b  c  Xét hàm số f t  t 3  t 2  t  3 Ta có: P  f a  b  c abc Vậy: P  3     54 6 2 2 6 54 2 3 Vì a  b  c  3 3 abc  3... quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) : 3  ab  bc  ca    a  b  c  2 Bài giải Ta có: a 1 b Khi đó: 2  a 1 b 2 a  ab2  ab2 1 b a 2 a ab2 1 b 2 Vì 1  b2  2b  ab2 1 b  2 ab 2 ab b bc c ca b , c , tương tự ta có: 2 2 2 2 1 a 2 1 c Khi đó cộng vế với vế ta có: a 1  b2  b 1  c2  c 1  a2 abc bc  ca  ab 2 Từ Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh ở phần II),... ca    a  b  c  2 a  b  c bc  ca  ab   abc  abc Do đó: 2 2 2 2 6 1 b 1 c 1 a a b 2 c a  b  c Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Vậy P  a  b  c  6 Xét hàm số f  t   t 3  Ta có: f '  t   3t 2  f t   f  3  2  a  b  c 3 t2  t với t  3 , ta có P  f  a  b  c  6 t  9t  1 t 1  1  0, t  3 Vậy f  t  là hàm số đồng biến và liên tục khi... bất đẳng thức AM – GM cho 3 số ta có:   b 1  a  1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a b 1  a   3 3 abc  3 Vậy: 1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a  33 b 1  a  c 1  b  a 1  c  1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c   3abc3 1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c    a  b  c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 1 b 1 c 1 a a  b  c Vậy P  a  b  c  6 2  2 1 3... tự ta có: b  ab 3  b c  bc 3  a b3  ab c a  ca 3  1 b 1 b 1 1      b a  b 2 b 2b a b 2 a  1 1 1 1 1 1 1       a b c 2 a b c    Sử dụng bất đẳng thức Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM:  x  y  z Ta có: 1 a  1 b  2     3 x2  y 2  z 2  x  y  z  3 x2  y 2  z 2   1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 a b c  3     cho nên:       3    3 3 3 c b  ab c  bc a... luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 3 tại a  b  c  1 Bài 13: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1  a 1  b 1  c a  b  c P    1 b 1 c 1 a 6 Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c Chiều đánh giá cần có: P   Chiều cần đánh giá cần tìm: 1 a 1 b 1 c    f a  b  c 1 b 1 c 1 a Bài giải 2 Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có:...  a  b  c  Xét hàm số f t  t 3  t 2  t  3 Ta có: P  f a  b  c abc Vậy: P  3     54 6 2 2 6 54 2 3 Vì a  b  c  3 3 abc  3 do đó ta xét f  t   t3 t2 t    3 với t  3 54 6 2 2 t2 t 1 1     t  3   0 Do đó f  t  là hàm số đồng biến và liên tục khi t  3 Vì vậy 18 3 2 18 7 7 f  t   f  3   Vậy: P  f  a  b  c   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b... 1 c    a  b  c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 1 b 1 c 1 a a  b  c Vậy P  a  b  c  6 2  2 1 3 3 a  b  c  3    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1  6 2 2 Kết luận: Giá trị lớn nhất của P là 3 tại a  b  c  1 2