Bai 22 DABTTL PP tiep tuyen

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph BÀI 22 PH ng B t đ ng th c Jensen NG PHÁP TI P TUY N ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ C VI T Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Bài 22 Ph ng pháp ti p n thu c khóa h c B i s d ng hi u qu , b n d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u 1 Cho a, b, c, d s th c không âm a + b + c + d = Ch ng minh r ng: 6 a   a  Ch ng minh B T đ    6a  a   Vì a, b, c, d > a + b + c + d =  a, b, c, d  (0; 1) Ta có: 6a  a  5a    48a  8a  5a  1 8   4a  1  3a  1  a   0;1 Hay 6a  a  5a  a   0;1 T ng t ta đ c: 6b3  b2  5b  ;6c3  c2  5c  ;6d3  d  5d  8 C ng v theo v b t đ ng th c ta đ Gi s a, b, c s th c d c:   6a  a   a  b  c  d  (đpcm) 8 ng có t ng b ng Ch ng minh r ng:  aa  10 Ch ng minh Do a, b, c > a + b + c =  a, b, c  (0; 1)     3  a  (0; 1) Ta có: a  36a    3a  4a 50 1 a 50 1  a   a  36a  a   0;1 50 1 a2 T ng t ta có: V y b  36b  ; c  36c  50 50  c2  b2  aa  36  a  b  c   3.3  (đpcm) 50 10 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Jensen ng x, y cho x + y = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P   Cho s th c d x  y2 Ch ng minh Ta có P   x x x   2   1 y x 2x   1 1 x Vì x, y > x + y = nên x, y  (0; 1) 12 5x  x  x   0;1 25 x  2x  Ta ch ng minh B T sau: Th t v y B T t ng đ ng 720x  120x  x2  625 x  2x   72x  156x3  105x  25x     x1 P  18x 2  21x  1  y  (0; 1) 12  x  y   5  25 D u b ng có x  y  V y MinP  Cho a, b, c s th c d ng Ch ng minh r ng:  a  b  c  a2   b  c Ch ng minh Khơng m t tính t ng quát ta gi s a + b + c =  a, b, c  (0; 3) Khi ta c n ch ng minh Ta có: a 6  2a3a  6a  2 3a  a  9a   18a  27a     a  1 18a    a   0;3 25 2a  6a  25  2a  6a   25  2a  6a    3a  a  9a  a   0;3 25 2a  6a  T ng t ta có: V y:  3b  b2  9b  ; 3c  c2  9c  25 2c2  6c  25 2b2  6b  a  b  c    a  b  c    (đpcm) 25 a   b  c Cho a, b, c s th c không âm thõa mãn a + b + c = Ch ng minh r ng:  a  b  c   2abc Ch ng minh Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Jensen Vì a, b, c > a + b + c =  a, b, c  (0; 3) B T c n ch ng minh đ Ta có: c   b2bc c vi t l i: 2 V y ta ph i ch ng minh:   bc 3a  u tiên ta ch ng minh: T 3 2 3a  a    a  12  a  5  a  (0; 3) 3a  b  3;  c  3 b 3c ng t ta có:  b  c  2bc   a  b  c  3.3  (đpcm) 3 b Cho a, b, c đ dài c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng:   1114   abc a b c a b bc ca Ch ng minh Khơng m t tính t ng qt gi s a + b + c = Khi ta c n ch ng minh:   4 a  1a    a5aa12   3a  1  2a  1 Xét hi u: 5a  12  18a  3  a 1  a  a a Ta có: = a + b + c > 2a (do b + c > 1)  a < T ng t c ng có b; c <  a, b, c  (0; )      3a  12  2a  1  a  0; hay 5a  12  18a  3 a  0; Do 2 a 1  a  a a T ng t v i b, c r i c ng B T v theo v V y:  a5aa12  18  a  b  c   33  (đpcm) Cho a, b, c s th c không âm th a mãn a4 + b4 + c4 = Ch ng minh r ng:  1ab  Ch ng minh Ta có:  1ab   Hocmai.vn – Ngôi tr   2 2 2  2  a b a b    2a 2b    4 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph Mà  8  2a  4 8  2b2    Tóm l i ta có:  12a  ng B t đ ng th c Jensen    2b 4a  1ab   1a Ta ph i ch ng minh  1a  i bi n (a4; b4; c4) thành (x, y, z) Bài toán tr thành: Cho x, y, z > x + y + z = Ch ng minh r ng:  1 x  L i gi i cho toán nh : Do x, y, z > x + y + z =  x, y, z  (0; 3)  x, y, z   0;  Ta c n ch ng minh f(x) + f(y) + f(z)  Trong hàm đ c tr ng f  t   Ph t  (0; 3) 4 t ng trình ti p n c a hàm f  t   t i m M(1; ) y  t  18 4 t Gi s f(t)  y t  (0; 3)   t  1   t    t   0;  x  y  z  3.5  f  t   t   f  x   f  y  f z   (đpcm) 18 18 ( H 2003) Cho s d ng x, y z tho mãn x + y + z  Ch ng minh r ng x2  1 2  y   z   82 x2 y2 z2 Ch ng minh Xét hàm s f ( x)  x2  th c a hàm s 1 , x  (0;1) Vì r ng đ ng th c x y x  y  z  nên xét đ x x4  1 80  f '( )   f ( x) ti p n c a t i m x  Ta có f '( x)  82 3 x x  x  82  80 162 x ng trình ti p n c a đ th hàm s t i m  ;  y   3 82 82    x2 x6  0, x  suy đ th hàm s lõm kho ng (0; ) f ''( x)    x   x  x  x  Ph 1 Do t i m  ; 3 Hocmai.vn – Ngôi tr 82   ti p n n m phía d i đ th , b i v y ta có  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng B t đ ng th c Jensen x2  80 162  x , x  T x 82 82 x2  1 80 162  y2   z2    ( x  y  z)   82 (do x  y  z  1) x y z 82 82 ch x  y  z  ng t đ i v i y, z c ng l i ta đ c ng th c x y Nh n xét Cái hay c a k thu t ch : - Th nh t, ta có th đánh giá m t bi u th c thông qua bi u th c b c nh t - Th hai, ta có th ch n v trí c a ti p n cho b t đ ng th c x y d u b ng Giáo viên : Lê Ngu n Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : c Vi t Hocmai.vn - Trang | -