Một số bài tiếp tuyến đặc sắc

Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 Câu Cho hàm số y  x  3x  Tìm ( C ) điểm M cho tiếp tuyến (C ) M cắt trục tung điểm có tung độ LỜI GIẢI  Gọi M  xo ; yo  tiếp điểm tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu tốn  Ta có: yo  f ( xo )  xo3  xo2   Hệ số góc tiếp tuyến : k  f '( xo )  (6 xo2  xo )  Phương trình tiếp tuyến M  xo ; yo  : y   xo2  xo   x  xo   xo3  xo2   Vì tiếp tuyến cắt trục tung điểm có tung độ nên tiếp tuyến qua điểm P (0;8)  Suy Ra:   xo2  xo  (0  xo )  xo3  xo2   xo  1  M  1; 4  Câu Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị (C).Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB  LỜI GIẢI  Để tiếp tuyến A, B song song với k A  k B  y '( A)  y '( B)  x A2  xA  xB2  xB  3( x A  xb )( xA  xB )  2( x A  xB )   x A   xB  x A  xB  loai vi A  B    x A  xB    Ta có: AB  ( xA  xB )  ( y A  yB )  (2  xB )  ( xA3  xB3  6( xA  xB ))2   4( xB  1)  4( xB  1) ( xB  1)  3  xB   Đặt t  ( xB  1)   4t  4t (t  3)  t     xB  1  Vậy hai điểm cần tìm A  3;1 , B(1; 3) Câu Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  x  có đồ thị (C) Tìm tất giá trị k, để tồn tiếp tuyến với (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA  2001.OB LỜI GIẢI  Phương Trình Tiếp Tuyến (C) có dạng: y  kx  m Hoành độ tiếp điểm xo nghiệm phương trình: f '( xo )  k  xo2  12 xo   k  (1)  Để tồn tiếp tuyến phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt    3k   k  3 (2) Khi tọa độ tiếp điểm  xo ; yo  tiếp tuyến nghiệm hệ : 6k 2k   xo   yo  xo  xo  xo   yo     3 (Lấy y0 chia cho k) 3xo  12 xo   k 3 x  12 x   k  o o 6k 2k   Phương trình đường thẳng d qua tiếp điểm là: y  x 3  Do d cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho: OA  2011.OB nên xảy ra: Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019  Nếu A  O B  O Khi d qua O  k  OB 6k  2011   2011 OA  k  6039 (thoả (2)) k  6027 (không thoả (2))  Vậy: k  k  6039   Nếu A  O OAB vng O Ta có: tan OAB Câu Cho hàm số y  x3  (1  2m) x  (2  m) x  m  (1) (m tham số) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x  y   góc  , biết 26 cos  LỜI GIẢI   Gọi k hệ số góc tiếp tuyến  tiếp tuyến có VTPT n1  (k ; 1)   Đường thẳng d có VTPT n2  (1;1)   k  | n1 n2 | | k  1|  Ta có cos       12k  26k  12    | n1 | | n2 | 26 k 1 k    YCBT thoả mãn  hai phương trình sau có nghiệm:   y     y    3 x  2(1  2m) x   m   3 x  2(1  2m) x   m   2 3      2  1  m   ; m   8m  2m    m  1   m  m  3 ; m   4m  m    Câu Cho hàm số y  f ( x)  mx  (m  1) x  (4  3m) x  có đồ thị (Cm ) Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm ) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x  y   LỜI GIẢI  Để tiếp tuyến vng góc với d k1.k2  1 1  tiếp tuyến có hệ số góc k   Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì:  Ta thấy d có kd  f '( x)  k   mx  2(m  1) x   3m   mx  2(m  1) x   3m  (1)  YCBT  phương trình (1) có nghiệm âm  Nếu m  (1)  2 x  2  x  (loại) Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 x   Nếu m  dễ thấy phương trình (1) có nghiệm   x   3m m  m   3m  Do để (1) có nghiệm âm 0 m  m   Vậy m  m  Câu Cho hàm số y  mx  (m  1) x  (4m  3) x  có đồ thị (Cm ) Tìm giá trị m cho (Cm ) tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x  y   LỜI GIẢI  y '  mx  2(m  1) x   3m  Ta có:   d : y  1 x   2  YCBT  phương trình y '  có nghiệm dương phân biệt  y '  mx  2(m  1) x   3m có nghiệm dương phân biệt m   0m  '     1 1 2   Vậy m   0;    ;   2 2 3 1  m  S   P   Câu Cho hàm số y  x  mx  m  có đồ thị (Cm ) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (Cm ) điểm M có hồnh độ x  1 cắt đường tròn (C ) có phương trình ( x  2)  ( y  3)2  theo dây cung có độ dài nhỏ LỜI GIẢI  y '(1)   m  I (2;3)  Ta có: y '  x  m   ; Đường tròn (C ) có tâm   y ( 1)  2m  R   PTTT d M ( 1; 2m  2) : y  (3  m) x  m   (3  m) x  y  m    Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B   d (I ; d )  | 4m| (3  m)   (3  m)  (3  m)  AB  d ( I ; d )  R  ABmin  d ( I ; d )   R Dấu "=" xảy  m   Dó d ( I ; d ) đạt lớn m  Khi đó: PTTT d : y  x  Câu Cho hàm số y  3x  x3 có đồ thị (C) Tìm đường thẳng d : y   x điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019  Gọi M ( m;  m)  D PT đường thẳng qua M có dạng: y  y '( xo )( x  m)  m 3 x  x3  k ( x  m)  m   tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm:  3  x  k     Suy Ra: x  3mx  4m  (1) Từ M kẻ tiếp tuyến với (C)  phương trình (1) có nghiệm phân biệt Ta Sẽ làm cách: Cách 1: Cô Lập m x3  Từ (1)  m  (2) 3x   Xét hàm số f ( x)  x3 3x   3   Tập xác định D  R \  ;    x  x  24 x  Ta có: f '( x)     x  2 (3x  4)   Lập BBT hàm số f ( x ) :  Từ BBT Để Phương trình (2) có nghiệm phân biệt m  2  Vậy: M ( 2; 2) M (2; 2)  Cách 2: Tính chất cực trị hàm bậc  Xét Phương Trình: x  3mx  4m  (1)  Đặt f ( x)  x  3mx  4m  Ta có: f '( x)  x  6mx  x  x  m   x1   y1  4m m0  Suy f '( x)     x2  m  y2  4m  m  Để (1) có nghiệm hàm số f ( x) có cực trị thỏa mãn y1 y2   4m  4m  m3     m   m  2 (Vì m  )  Trong trường hợp tổng quát f ( x) để tìm y1 , y2 ta viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Siêu công thức Casio  Phương pháp Siêu Công Thức:  Xét hàm số y  f ( x)  ax3  bx  cx  d Khi Nếu hàm số có điểm cực trị ( b  3ac  ) phương trình đường thẳng qua điểm cực trị: bc  (d): y    b  3ac  x  d  9a 9a  Áp dụng vào trên: a  2; b  3m; c  0; d  4m  (d ) : y  m x  4m  Giả Sử hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  Với x1 , x2 nghiệm Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 x  x  m f '( x)     x1.x2   x  x1  y1  m x1  4m  Với   x  x2  y2  m x2  4m  Suy ra: ycbt  y1 y2     m x1  4m   m x2  4m   (*)  Vì m  nên (*)   mx1    mx2     m x1 x2  4m  x1  x2   16   4m  16   m  2  Phương pháp Casio:  Xét hàm số y  f ( x)  ax3  bx  cx  d Khi Nếu hàm số có điểm cực trị ( b  3ac  ) phương trình đường thẳng qua điểm cực trị: yd  y  y ' y " 18a  Xét f ( x)  x3  3mx  4m  Suy ra: f '( x)  x  6mx; f "( x)  12 x  6m ;  Để hàm số có điểm cực trị f '( x)  có nghiệm phân biệt Suy m   Viết Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị yd  y   Nhập: X  AX 6 X  4A  y ' y " 18a  AX  12 X  A  18.2 X  i  Calc   KQ  400  10000i  4.100  100  i  4m  m x  A  m  100  Suy pt đường thẳng qua điểm cực trị: (d ) : y   m x  4m  Giả Sử hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  Với x1 , x2 nghiệm x  x  m f '( x)     x1.x2   x  x1  y1  m x1  4m  Với   x  x2  y2  m x2  4m  Suy ra: ycbt  y1 y2     m x1  4m   m x2  4m   (*)  Vì m  nên (*)   mx1    mx2     m x1 x2  4m  x1  x2   16   4m  16   m  2 Câu Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị (C) Tìm đường thẳng d : y  điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI  Gọi M ( m; 4)  d PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k ( x  m)   x3  x   k ( x  m)  (1)   tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm:  (*) 3 x   k (2)  Thay (2) vào (1) ta được: x  x   (3 x  3)( x  m)   ( x  1)  x  (3m  2) x  3m    (3) Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019  x  1   x  (3m  2) x  3m   0(4)  YCBT  (3) có nghiệm phân biệt  TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1  m  1 2  TH2: (4) có nghiệm kép khác –1  m  vm2 Vậy điểm cần tìm là: (1; 4);( 2 ; 4);(2; 4) Câu 10 Cho hàm số y  x  x  (m  1) x  2m có đồ thị (Cm ) Tìm m để từ điểm M (1; 2) kẻ hai tiếp tuyến đến (Cm ) LỜI GIẢI  Gọi xo hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến qua điểm M (1; 2)  Ta có pttt điểm có hồnh độ xo là: y  y '( xo )( x  xo )  y ( xo )  y  (3 xo2  xo  m  1)( x  xo )  xo3  xo2  ( m  1) xo  2m  Vì tiếp tuyến qua điểm M (1; 2) nên ta có:  (3xo2  xo  m  1)(1  xo )  xo3  xo2  (m  1) xo  2m  2 xo3  x  x  3m    Để qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt  Ta có f '( x)  x  10 x   f '( x)   x  1; x  109   Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;  3m), B ( ;  3m) 27  m   A  Ox  Do (*) có nghiệm phân biệt     B  Ox  m  109  81 Câu 11 Cho hàm số y   x  3x  có đồ thị hàm số (C ) Tìm đường thẳng d : y  điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI  Gọi M ( m; 2)  d PT đường thẳng  qua điểm M có dạng : y  k ( x  m)   x  x   k ( x  m)  (1)   tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm  (*) 3 x  x  k (2) 2  Thay (2) (1) ta được: x  3( m  1) x  6mx    ( x  2)  x  (3m  1) x    x    f ( x)  x  (3m  1) x   (3)  Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)  hệ (*) có nghiệm x phân biệt Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019     m  1 v m    (3) có hai nghiệm phân biệt khác     f (2)  m    m  1 v m   Vậy từ điểm M(m; 2)  (d) với  kẻ tiếp tuyến với (C) m  Câu 12 Cho hàm số y  f ( x)  x  x Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với LỜI GIẢI  Ta có: f '( x)  x3  x  Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B : k A  f '(a )  4a  4a, k B  f '(b)  4b3  4b  Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y  f '( a )( x  a )  f ( a )  y  f '( a ) x  f ( a )  af '( a ) y  f '(b)( x  b)  f (b)  y  f '(b) x  f (b)  bf '(b)  Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: k A  k B  4a  4a  4b3  4b  (a  b)(a  ab  b  1)  (1)  Vì A B phân biệt nên a  b , (1)  a  ab  b   (2)  Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi: 2 a  ab  b    a  ab  b     4  f (a )  af '(a )  f (b)  bf '(b)  3a  2a  3b  2b  Giải hệ ta nghiệm ( a; b)  ( 1;1) ( a; b)  (1; 1) , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị ( 1;1) (1; 1)  Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với là: a  ab  b    a  1, a  b Câu 13 Cho hàm số y  x  2mx  m (1) , m tham số Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm 3  số (1) có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm B  ;1 đến tiếp tuyến đồ 4  thị hàm số (1) A lớn LỜI GIẢI  A   Cm  nên A 1;1  m  , y '  x3  4mx  y '(1)   4m  Phương trình tiếp tuyến (Cm) A: y  (1  m)  y '(1)( x  1)    4m  x  y  3(1  m)  Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng  Khi d ( B;  )  Tư Duy Mở 2019 | 1| 16(1  m)   , Dấu ‘=’ xảy  m   Do d ( B; ) lớn m  2 Câu 14 Cho hàm số y  | x | 1 | x | 1 Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI  Ta có y  x  x  PT đường thẳng d qua A(a;0) có hệ số góc k : y  k ( x  a )  x  x   k ( x  a )  d tiếp tuyến (C)  hệ phương trình sau có nghiệm:  (I ) 4 x  x  k k  4 x( x  1)  k ( A)   Ta có: ( I )   ( B) x 1   f ( x)  x  4ax   0(1)  Từ hệ (A), chı̉ cho ta mộ t tiep tuyen nhat là d1 : y   Vậ y đe từ A kẻ được tiep tuyen phâ n biệ t với (C) thı̀ đieu kiệ n can và đủ là hệ (B) phả i có nghiệ m phân biệt ( x; k ) với x  1 , tức là phương trı̀nh (1) phả i có nghiệ m phâ n biệt khác 1   '  4a    3  1  a   Suy   a  2  f (1)  2x  có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x 1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d : x  y   Câu 15 Cho hàm số y  LỜI GIẢI  Giả sử M ( xo ; yo )   C   yo   Ta có: d ( M ; d )   xo  xo  3xo  yo  32  42   xo  yo  12  3xo  yo    M (0;3)  xo     Với xo  yo  12   xo   1 11   12   x    xo   M ( ; )  xo   3   7  xo  5  M  5;    2x   4   Với 3xo  yo    3xo   o 8     4    xo    M   ; 1  xo      PTTT M (0;3) y   x  ; 47  11  PTTT M  ;   y   x  16 16 3   7 1 23   PTTT M  5;   y  x 4 16 16  Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019  4   PTTT M  ; 1  y  9 x  13   Câu 16 Cho hà m so y  2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm x 1 I (1; 2) đến tiếp tuyến LỜI GIẢI M ( xo ; f ( xo ))   C  có phương trình:  Tiếp tuyến (C) điểm y  f '( xo )( x  xo )  f ( xo )   x  ( xo  1) y  xo2  xo   (*)  Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) 2  xo   2  ( xo  1)4  xo  |  xo |  Các tiếp tuyến cần tìm : x  y   x  y   2x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng x2 cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn LỜI GIẢI Câu 17 Cho hàm số y   Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a  2 thuộc (C) có phương trình: y 2a ( x  a)   x  (a  2) y  2a  (a  2) a2  Tâm đối xứng (C) I ( 2; 2) Ta có: d (I ; d )  8|a2| 16  (a  2)  8| a  2| 2.4.( a  2)  8| a 2| 2 2 |a2| a   d ( I ; d ) lớn (a  2)     a  4  Từ suy có hai tiếp tuyến y  x y  x  2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến x 1 cách hai điểm A(2; 4), B ( 4; 2) Câu 18 Cho hàm số y  LỜI GIẢI  Gọi xo hoành độ tiếp điểm ( xo  1)  PTTT (d) y  2x 1 ( x  xo )  o  x  ( xo  1)2 y  xo2  xo   ( xo  2) xo   Ta Có: d ( A; d )  d ( B; d ) |  4( xo  1)  xo2  xo  1|| 4  2( xo  1)  xo2  xo  1|  Suy ra: xo  v xo  v xo  2  Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y  x  1; y  x  4 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 2x 1 Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) x 1 cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI LỜI GIẢI Câu 19 Cho hàm số y   Giao điểm hai tiệm cận I (1; 2) Gọi M (a; b)   C   b   PTTT (C) M: y  1 2a  ( x  a)  (a  1) a 1  PT đường thẳng MI: y  ( x  1)  (a  1)  Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có: 2a  ( a  1) a 1  a  0(b  1) 1  1   2 (a  1) (a  1)  a  2(b  3)  Vậy có điểm cần tìm M (0;1), M (2;3) Câu 20 Cho hàm số y  (2m  1) x  m Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng x 1 yx LỜI GIẢI  +TXĐ: D  R \ 1  (2m  1) x  m  x(1)  x 1   Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y  x thì:   (m  1)  1(2)  ( x  1)2 x  m  Từ (2) ta có (m  1)2  ( x  1)   x   m  Với x  m , thay vào (*) ta được: 0m  (thoả với m ) Vì x  nên m   Với x   m , thay vào (*) ta được: (2m  1)(2  m)  m  (2  m)(2  m  1)  Suy ra:  4(m  1)   m   x  1(l )  Vậy với m  đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x x2 (C) Cho điểm A(0; a ) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới x 1 đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh LỜI GIẢI Câu 21 Cho hàm số: y   Phương trình đường thẳng d qua A(0; a ) có hệ số góc k : y  kx  a x2  x   kx  a  d tiếp tuyến (C)  Hệ PT  k  3 ( x  1)  có nghiệm  Suy PT: (1  a) x  2(a  2) x  (a  2)  (1) có nghiệm x   Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x1 , x2 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 a  a   Suy     * '  3a   a  2  Khi ta có: x1  x2  2( a  2) a2 3 y1   ; x1 x2  ; y2   a 1 a2 x1  x2   Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1 y2  x1 x2   x1  x2      2  1    3a    a    0 x1 x2  ( x1  x2 )   x1   x2   2  a   Kết hợp với điều kiện (*) ta được:  a  x2 Gọi I giao điểm đường tiệm cận,  tiếp tuyến bất x 1 kỳ đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến  Tìm giá trị lớn d LỜI GIẢI Câu 22 Cho hàm số y   Ta có: y '  1 ( x  1)  Giao điểm hai đường tiệm cận I ( 1;1)  x 2  Giả sử M  xo ; o   C  xo     Phương trình tiếp tuyến  với đồ thi hàm số M là: y x 2 1 ( x  xo )  o  x  ( xo  1) y  xo  ( xo  1)( xo  2)  ( xo  1) xo   Khoảng cách từ I đến  d  | xo  1|  ( xo  1)  Vậy GTLN d   ( xo  1) ( xo  1)2  2 xo  xo  2 x 1 Chứng minh với m, đường thẳng d : y  x  m cắt 2x 1 (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến với (C) A Câu 23 Cho hàm số y  B Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn LỜI GIẢI  x 1 x   PT hoành độ giao điểm d (C ) :  xm   2x 1  g ( x)  x  2mx  m   0(*)  g  m2  2m   0m   Vì    nên (*) ln có nghiệp phân biệt x1 , x2 g     2 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 m  Giả sử: A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) 1 1  Tiếp tuyến A B có hệ số góc là: k1  ; k2  (2 x1  1) (2 x2  1)  Theo định lí Viet ta có: x1  x2   mx1 x2   Suy ra: k1  k  4(m  1)   2 Dấu "=" xảy  m  1  Vậy: k1  k2 đạt GTLN 2 m  1 x2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp 2x  tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O LỜI GIẢI Câu 24 Cho hàm số y   Gọi ( xo ; yo ) toạ độ tiếp điểm  y '( xo )  1 0 (2 xo  2)2  OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm)  Nghĩa là: y '( xo )   xo  1  yo  1  1   (2 xo  3)  xo  2  yo   Với xo  1; yo    : y   ( x  1)  y   x(l )  Với xo  2; yo    : y   ( x  2)  y   x  (nhận)  Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  2x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến x 1 cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA  4OB LỜI GIẢI Câu 25 Cho hàm số y   Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( xo ; yo )   C  cắt Ox A, Oy B cho OA  4OB  kd   OB  Do OAB vuông O nên Tan A    OA k    d  xo  1( yo  )  1 1 1 0    Hệ số góc d y '( xo )  2 ( xo  1) ( xo  1)  x  3 y    o   o 2   y   Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:  y   Câu 26 Cho hàm số y  1  ( x  1)  y   1 y  ( x  3)   1 x 4 1 13 x 4 2x Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt x2 trục Ox, Oy A B cho AB  OA Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 LỜI GIẢI  Gọi M ( xo ; yo )   C  , xo   PTTT M: y  xo 4 ( x  xo )  ( xo  2) xo   Tam giác vng OAB có AB  OA nên OAB vng cân O Do d vng góc với hai đường phân giác d1 : y  x, d : y   x không qua O  Nếu d  d1 4  1  xo   d : y   x  ( xo  2)  Nếu d  d 4   vô nghiệm ( xo  2)  Vậy PTTT cần tìm là: y   x  x 1 Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M  2x 1 (C) mà tiếp tuyến (C) M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : y  2m  Câu 27 Cho hàm số y  LỜI GIẢI  Gọi M  xo ; yo    C  PTTT M: y  3 ( x  xo )  yo (2 xo  1)  Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hoành trục tung  yB   Từ trọng tâm G OAB có: yG   Vì G  d nên  Mặt khác: xo2  xo  (2 xo  1) 2 xo2  xo  3(2 xo  1)2 xo2  xo   2m  3(2 xo  1) 2 xo2  xo  xo2  (2 xo  1) xo2     1 (2 xo  1) (2 xo  1) (2 xo  1)2  Do để tồn điểm M thoả YCBT 2m    Vậy GTNN m 1 m 3 2x  (C).Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp x2 ABI tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho cơsin góc  Câu 28 Cho hàm số y  , với I giao tiệm cận 17 LỜI GIẢI  2x    I (2; 2) Gọi M  xo ; o    C  , xo  x  o   Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng  Phương trình tiếp tuyến  M: y   Tư Duy Mở 2019 2x  ( x  xo )  o ( xo  2) xo   2x    Giao điểm  với tiệm cận: A  2; o  , B  xo  2;   xo    Do cos  ABI   xo  IA 4 ABI    IB  16 IA2   xo    16   nên tan  IB 17  xo  1  3  Kết luận: Tại M  0;  phương trình tiếp tuyến: y  x  2 1  5  Tại M  4;  phương trình tiếp tuyến: y  x  3 2x  có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến x2 M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn LỜI GIẢI Câu 29 Cho hàm số y  1    Lấy điểm M  m;     C  Ta có: y '(m)  (m  2) m2  1  Tiếp tuyến d M có phương trình: y  ( x  m)   (m  2) m2    Giao điểm d với tiệm cận đứng là: A  2;   m2   Giao điểm d với tiệm cận ngang là: B (2m  2; 2)  m    Ta có: AB   (m  2)   Dấu “=” xảy   2 (m  2)   m   Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M (3;3) M (1;1) 2x  Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt x2 đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ LỜI GIẢI Câu 30 Cho hàm số y   2x   1  Giả sử M  xo ; o    C  , xo  2, y '( xo )  xo   ( xo  2)  2x  1  Phương trình tiếp tuyến () với ( C) M: y  ( x  xo )  o ( xo  2) xo   2x    Toạ độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: A  2; o  ; B  xo  2;  x  o   x x  xo  y  yB xo   Ta thấy A B   xo  xM , A   yM  M trung điểm AB 2 xo   Mặt khác I (2; 2) IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019   2x   S   IM    xo  2   o  2   xo          xo     2 2 ( xo  2)     xo  1  ( xo  2)  xo   Do điểm M cần tìm M (1;1) M (3;3)  Dấu “=” xảy ( xo  2)2  2mx  Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp xm tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho IAB có diện tích S  64 LỜI GIẢI Câu 31 Cho hàm số y   (C) có tiệm cận đứng x  m , tiệm cận ngang y  2m Giao điểm tiệm cận I ( m; 2m)  2mxo    Gọi M  xo ;   C  xo  m    PTTT  (C) M: y  2mxo  2m  ( x  xo )  ( xo  m) xo  m  2mxo  2m     cắt TCĐ A  m;  , cắt TCN B  xo  m;2m)  xo  m    Ta có: IA  4m  58 ; IB  | xo  m | S IAB  IA.IB  4m   64  m   xo  m 2 Câu 32 Cho hàm số y  x Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với x 1 đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P  2(2  2) LỜI GIẢI  (C) có tiệm cận đứng x  , tiệm cận ngang y  Giao điểm tiệm cận I (1;1)  x  x  Gọi M  xo ; o    C  xo  1 PTTT  (C) M: y   ( x  xo )  o xo   ( xo  1) xo    x 1    cắt TCĐ A 1; o  , cắt TCN B  xo  1;1  xo    Ta có: PIAB  IA  IB  AB   | xo  1| 2 ( xo  1)   42 | xo  1| ( xo  1)2  xo   Dấu "=" xảy | xo  1|    xo   Với xo   PTTT : y   x ;  Với xo   PTTT  : y   x  Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019 2x 1 có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M x 1 thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ LỜI GIẢI Câu 33 Cho hàm số y     Giao điểm tiệm cận I (1; 2) Gọi M  xo ;    C  xo    3  PTTT M có dạng: y  ( x  xo )   ( xo  1) xo     Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A 1;   , B  xo  1;  A, B xo    1  Ta có: S IAB  IAIB  | xo  1| 2.3  (đvdt) 2 | xo  1|  IAB vng có diện tích khơng đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB   xo    | xo  1|  | xo  1|  xo       Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M 1  3;  , M  3;    Khi chu vi AIB    Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a  b  a2  b2 nhỏ a = b  Thật vậy: P = a  b  a2  b2  ab  2ab  (2  2) ab  (2  2) S  Dấu "=" xảy  a = b Câu 34 Cho hàm số y  x3 Cho điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị  C  Tiếp tuyến  C  x 1 M cắt tiệm cận  C  điểm A B Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB LỜI GIẢI  M  x0 ; y0    C   y0   4 PTTT  d  M : y  y0   x  x0   x0   x0  1  Giao điểm  d  với tiệm cận A  x0  1;1 , B 1; y0  1   x A  xB y  yB  x0 ; A  y0  M trung điểm AB 2 x2  C  Chứng minh tiếp tuyến đồ thị  C  lập với x 1 hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi LỜI GIẢI Câu 35 Cho hàm số y  Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Tư Duy Mở 2019  a2  Giả sử M  a;   C   a 1   PTTT  d   C  M : y  y '  a   x  a   a2 3 a  4a   y x  2 a 1  a  1  a  1  a5  Các giao điểm  d  với tiệm cận A 1;  , B  2a  1;1  a 1       IA   0;  IA  ; IB   2a  2;   IB  a    a 1  a 1    Diện tích IAB : S IAB  IA.IB  (đvdt)  ĐPCM Câu 36 Cho hàm số y  2x 1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  Tìm đồ x 1 thị  C  , điểm M có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị  C  cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn IA2  IB  40 LỜI GIẢI   C  có TCĐ  2x 1  x  1; TCX y   I  1;  Giả sử M  x0 ;   C  x0     PTTT với  C  M : y   x0  1  x  x0    x0    x0  2x    A  1;  , B  x0  1;  x0  x0     36   x0  1  40   IA2  IB  40    x0  1  x0   y0  1  M  2;1 x   Câu 37 Cho hàm số y  x 1  C  Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp x 1 tuyến tới  C  LỜI GIẢI  Gọi M  0; y0  điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng y  kx  y0  d   x 1  y0  1 x   y0  1 x  y0   1  x   kx  y0     d  tiếp tuyến  C    (*)  2 2 x  1;  k   k  x  1    x  1  YCBT  hệ (*) có nghiệm  (1) có nghiệm khác 1  y0   y   x  ; y0   k  8         x   '   y0  1   y0  1 y0  1   x  0; y0  1  k  2  Vậy có điểm cần tìm M  0;1 M  0; 1 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Câu 38 Cho hàm số y  Tư Duy Mở 2019 x3  C  Tìm đường thẳng d : y  x  điểm từ kẻ x 1 tiếp tuyến tới  C  LỜI GIẢI  Gọi M  m; 2m  1  d PT đường thẳng  qua M có dạng y  k  x  m   2m   PT hoành độ giao điểm   C  : k  x  m   2m     kx   m  1 k  2m  x   mk   2m     (*)   tiếp xúc với  C   (*) có nghiệm kép x3 x 1 k      m  1 k  2m   4k  mk   2m       k   2 2  g  k    m  1 k   m  m   k  4m  Qua M  m; 2m  1  d kẻ tiếp tuyến  C     '  32  m  m    0; g    4m    g  k   có nghiệm k     m    16k    k     m   M  0;1   m  1  M  1; 1   m   M 1;3  m   M  2;5  Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận ... trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  2x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến x 1 cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA  4OB LỜI GIẢI Câu 25 Cho hàm số y   Giả sử tiếp tuyến. .. có hai tiếp tuyến y  x y  x  2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến x 1 cách hai điểm A(2; 4), B ( 4; 2) Câu 18 Cho hàm số y  LỜI GIẢI  Gọi xo hoành độ tiếp điểm... trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp 2x  tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O LỜI GIẢI Câu 24 Cho hàm số y   Gọi ( xo ; yo ) toạ độ tiếp