Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
18
Dung lượng
324,7 KB
Nội dung
Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 Câu Cho hàm số y x 3x Tìm ( C ) điểm M cho tiếptuyến (C ) M cắt trục tung điểm có tung độ LỜI GIẢI Gọi M xo ; yo tiếp điểm tiếptuyến thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có: yo f ( xo ) xo3 xo2 Hệ số góc tiếptuyến : k f '( xo ) (6 xo2 xo ) Phương trình tiếptuyến M xo ; yo : y xo2 xo x xo xo3 xo2 Vì tiếptuyến cắt trục tung điểm có tung độ nên tiếptuyến qua điểm P (0;8) Suy Ra: xo2 xo (0 xo ) xo3 xo2 xo 1 M 1; 4 Câu Cho hàm số y x3 3x có đồ thị (C).Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếptuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB LỜI GIẢI Để tiếptuyến A, B song song với k A k B y '( A) y '( B) x A2 xA xB2 xB 3( x A xb )( xA xB ) 2( x A xB ) x A xB x A xB loai vi A B x A xB Ta có: AB ( xA xB ) ( y A yB ) (2 xB ) ( xA3 xB3 6( xA xB ))2 4( xB 1) 4( xB 1) ( xB 1) 3 xB Đặt t ( xB 1) 4t 4t (t 3) t xB 1 Vậy hai điểm cần tìm A 3;1 , B(1; 3) Câu Cho hàm số y f ( x) x3 x x có đồ thị (C) Tìm tất giá trị k, để tồn tiếptuyến với (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếptuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA 2001.OB LỜI GIẢI Phương Trình TiếpTuyến (C) có dạng: y kx m Hoành độ tiếp điểm xo nghiệm phương trình: f '( xo ) k xo2 12 xo k (1) Để tồn tiếptuyến phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt 3k k 3 (2) Khi tọa độ tiếp điểm xo ; yo tiếptuyến nghiệm hệ : 6k 2k xo yo xo xo xo yo 3 (Lấy y0 chia cho k) 3xo 12 xo k 3 x 12 x k o o 6k 2k Phương trình đường thẳng d qua tiếp điểm là: y x 3 Do d cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho: OA 2011.OB nên xảy ra: Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 Nếu A O B O Khi d qua O k OB 6k 2011 2011 OA k 6039 (thoả (2)) k 6027 (không thoả (2)) Vậy: k k 6039 Nếu A O OAB vng O Ta có: tan OAB Câu Cho hàm số y x3 (1 2m) x (2 m) x m (1) (m tham số) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếptuyến tạo với đường thẳng d : x y góc , biết 26 cos LỜI GIẢI Gọi k hệ số góc tiếptuyến tiếptuyến có VTPT n1 (k ; 1) Đường thẳng d có VTPT n2 (1;1) k | n1 n2 | | k 1| Ta có cos 12k 26k 12 | n1 | | n2 | 26 k 1 k YCBT thoả mãn hai phương trình sau có nghiệm: y y 3 x 2(1 2m) x m 3 x 2(1 2m) x m 2 3 2 1 m ; m 8m 2m m 1 m m 3 ; m 4m m Câu Cho hàm số y f ( x) mx (m 1) x (4 3m) x có đồ thị (Cm ) Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm ) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếptuyến vng góc với đường thẳng d : x y LỜI GIẢI Để tiếptuyến vng góc với d k1.k2 1 1 tiếptuyến có hệ số góc k Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì: Ta thấy d có kd f '( x) k mx 2(m 1) x 3m mx 2(m 1) x 3m (1) YCBT phương trình (1) có nghiệm âm Nếu m (1) 2 x 2 x (loại) Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 x Nếu m dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x 3m m m 3m Do để (1) có nghiệm âm 0 m m Vậy m m Câu Cho hàm số y mx (m 1) x (4m 3) x có đồ thị (Cm ) Tìm giá trị m cho (Cm ) tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếptuyến vng góc với đường thẳng d : x y LỜI GIẢI y ' mx 2(m 1) x 3m Ta có: d : y 1 x 2 YCBT phương trình y ' có nghiệm dương phân biệt y ' mx 2(m 1) x 3m có nghiệm dương phân biệt m 0m ' 1 1 2 Vậy m 0; ; 2 2 3 1 m S P Câu Cho hàm số y x mx m có đồ thị (Cm ) Tìm m để tiếptuyến đồ thị (Cm ) điểm M có hồnh độ x 1 cắt đường tròn (C ) có phương trình ( x 2) ( y 3)2 theo dây cung có độ dài nhỏ LỜI GIẢI y '(1) m I (2;3) Ta có: y ' x m ; Đường tròn (C ) có tâm y ( 1) 2m R PTTT d M ( 1; 2m 2) : y (3 m) x m (3 m) x y m Tiếptuyến d cắt (C) điểm A, B d (I ; d ) | 4m| (3 m) (3 m) (3 m) AB d ( I ; d ) R ABmin d ( I ; d ) R Dấu "=" xảy m Dó d ( I ; d ) đạt lớn m Khi đó: PTTT d : y x Câu Cho hàm số y 3x x3 có đồ thị (C) Tìm đường thẳng d : y x điểm M mà từ kẻ tiếptuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 Gọi M ( m; m) D PT đường thẳng qua M có dạng: y y '( xo )( x m) m 3 x x3 k ( x m) m tiếptuyến (C) hệ PT sau có nghiệm: 3 x k Suy Ra: x 3mx 4m (1) Từ M kẻ tiếptuyến với (C) phương trình (1) có nghiệm phân biệt Ta Sẽ làm cách: Cách 1: Cô Lập m x3 Từ (1) m (2) 3x Xét hàm số f ( x) x3 3x 3 Tập xác định D R \ ; x x 24 x Ta có: f '( x) x 2 (3x 4) Lập BBT hàm số f ( x ) : Từ BBT Để Phương trình (2) có nghiệm phân biệt m 2 Vậy: M ( 2; 2) M (2; 2) Cách 2: Tính chất cực trị hàm bậc Xét Phương Trình: x 3mx 4m (1) Đặt f ( x) x 3mx 4m Ta có: f '( x) x 6mx x x m x1 y1 4m m0 Suy f '( x) x2 m y2 4m m Để (1) có nghiệm hàm số f ( x) có cực trị thỏa mãn y1 y2 4m 4m m3 m m 2 (Vì m ) Trong trường hợp tổng quát f ( x) để tìm y1 , y2 ta viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Siêu công thức Casio Phương pháp Siêu Công Thức: Xét hàm số y f ( x) ax3 bx cx d Khi Nếu hàm số có điểm cực trị ( b 3ac ) phương trình đường thẳng qua điểm cực trị: bc (d): y b 3ac x d 9a 9a Áp dụng vào trên: a 2; b 3m; c 0; d 4m (d ) : y m x 4m Giả Sử hai điểm cực trị A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 Với x1 , x2 nghiệm Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 x x m f '( x) x1.x2 x x1 y1 m x1 4m Với x x2 y2 m x2 4m Suy ra: ycbt y1 y2 m x1 4m m x2 4m (*) Vì m nên (*) mx1 mx2 m x1 x2 4m x1 x2 16 4m 16 m 2 Phương pháp Casio: Xét hàm số y f ( x) ax3 bx cx d Khi Nếu hàm số có điểm cực trị ( b 3ac ) phương trình đường thẳng qua điểm cực trị: yd y y ' y " 18a Xét f ( x) x3 3mx 4m Suy ra: f '( x) x 6mx; f "( x) 12 x 6m ; Để hàm số có điểm cực trị f '( x) có nghiệm phân biệt Suy m Viết Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị yd y Nhập: X AX 6 X 4A y ' y " 18a AX 12 X A 18.2 X i Calc KQ 400 10000i 4.100 100 i 4m m x A m 100 Suy pt đường thẳng qua điểm cực trị: (d ) : y m x 4m Giả Sử hai điểm cực trị A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 Với x1 , x2 nghiệm x x m f '( x) x1.x2 x x1 y1 m x1 4m Với x x2 y2 m x2 4m Suy ra: ycbt y1 y2 m x1 4m m x2 4m (*) Vì m nên (*) mx1 mx2 m x1 x2 4m x1 x2 16 4m 16 m 2 Câu Cho hàm số y x3 3x có đồ thị (C) Tìm đường thẳng d : y điểm M mà từ kẻ tiếptuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI Gọi M ( m; 4) d PT đường thẳng qua M có dạng: y k ( x m) x3 x k ( x m) (1) tiếptuyến (C) hệ PT sau có nghiệm: (*) 3 x k (2) Thay (2) vào (1) ta được: x x (3 x 3)( x m) ( x 1) x (3m 2) x 3m (3) Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 x 1 x (3m 2) x 3m 0(4) YCBT (3) có nghiệm phân biệt TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1 m 1 2 TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 m vm2 Vậy điểm cần tìm là: (1; 4);( 2 ; 4);(2; 4) Câu 10 Cho hàm số y x x (m 1) x 2m có đồ thị (Cm ) Tìm m để từ điểm M (1; 2) kẻ hai tiếptuyến đến (Cm ) LỜI GIẢI Gọi xo hoành độ tiếp điểm tiếptuyến qua điểm M (1; 2) Ta có pttt điểm có hồnh độ xo là: y y '( xo )( x xo ) y ( xo ) y (3 xo2 xo m 1)( x xo ) xo3 xo2 ( m 1) xo 2m Vì tiếptuyến qua điểm M (1; 2) nên ta có: (3xo2 xo m 1)(1 xo ) xo3 xo2 (m 1) xo 2m 2 xo3 x x 3m Để qua M kẻ hai tiếptuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt Ta có f '( x) x 10 x f '( x) x 1; x 109 Các điểm cực trị (Cm) là: A(1; 3m), B ( ; 3m) 27 m A Ox Do (*) có nghiệm phân biệt B Ox m 109 81 Câu 11 Cho hàm số y x 3x có đồ thị hàm số (C ) Tìm đường thẳng d : y điểm mà từ kẻ tiếptuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI Gọi M ( m; 2) d PT đường thẳng qua điểm M có dạng : y k ( x m) x x k ( x m) (1) tiếptuyến (C) hệ PT sau có nghiệm (*) 3 x x k (2) 2 Thay (2) (1) ta được: x 3( m 1) x 6mx ( x 2) x (3m 1) x x f ( x) x (3m 1) x (3) Từ M kẻ tiếptuyến đến đồ thị (C) hệ (*) có nghiệm x phân biệt Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 m 1 v m (3) có hai nghiệm phân biệt khác f (2) m m 1 v m Vậy từ điểm M(m; 2) (d) với kẻ tiếptuyến với (C) m Câu 12 Cho hàm số y f ( x) x x Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếptuyến (C) A B song song với LỜI GIẢI Ta có: f '( x) x3 x Hệ số góc tiếptuyến (C) A B : k A f '(a ) 4a 4a, k B f '(b) 4b3 4b Tiếptuyến A, B có phương trình là: y f '( a )( x a ) f ( a ) y f '( a ) x f ( a ) af '( a ) y f '(b)( x b) f (b) y f '(b) x f (b) bf '(b) Hai tiếptuyến (C) A B song song trùng khi: k A k B 4a 4a 4b3 4b (a b)(a ab b 1) (1) Vì A B phân biệt nên a b , (1) a ab b (2) Mặt khác hai tiếptuyến (C) A B trùng khi: 2 a ab b a ab b 4 f (a ) af '(a ) f (b) bf '(b) 3a 2a 3b 2b Giải hệ ta nghiệm ( a; b) ( 1;1) ( a; b) (1; 1) , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị ( 1;1) (1; 1) Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếptuyến (C) A B song song với là: a ab b a 1, a b Câu 13 Cho hàm số y x 2mx m (1) , m tham số Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm 3 số (1) có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm B ;1 đến tiếptuyến đồ 4 thị hàm số (1) A lớn LỜI GIẢI A Cm nên A 1;1 m , y ' x3 4mx y '(1) 4m Phương trình tiếptuyến (Cm) A: y (1 m) y '(1)( x 1) 4m x y 3(1 m) Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Khi d ( B; ) TưDuyMở2019 | 1| 16(1 m) , Dấu ‘=’ xảy m Do d ( B; ) lớn m 2 Câu 14 Cho hàm số y | x | 1 | x | 1 Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếptuyến phân biệt với đồ thị (C) LỜI GIẢI Ta có y x x PT đường thẳng d qua A(a;0) có hệ số góc k : y k ( x a ) x x k ( x a ) d tiếptuyến (C) hệ phương trình sau có nghiệm: (I ) 4 x x k k 4 x( x 1) k ( A) Ta có: ( I ) ( B) x 1 f ( x) x 4ax 0(1) Từ hệ (A), chı̉ cho ta mộ t tieptuyen nhat là d1 : y Vậ y đe từ A kẻ được tieptuyen phâ n biệ t với (C) thı̀ đieu kiệ n can và đủ là hệ (B) phả i có nghiệ m phân biệt ( x; k ) với x 1 , tức là phương trı̀nh (1) phả i có nghiệ m phâ n biệt khác 1 ' 4a 3 1 a Suy a 2 f (1) 2x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếptuyến đồ thị (C) x 1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d : x y Câu 15 Cho hàm số y LỜI GIẢI Giả sử M ( xo ; yo ) C yo Ta có: d ( M ; d ) xo xo 3xo yo 32 42 xo yo 12 3xo yo M (0;3) xo Với xo yo 12 xo 1 11 12 x xo M ( ; ) xo 3 7 xo 5 M 5; 2x 4 Với 3xo yo 3xo o 8 4 xo M ; 1 xo PTTT M (0;3) y x ; 47 11 PTTT M ; y x 16 16 3 7 1 23 PTTT M 5; y x 4 16 16 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 4 PTTT M ; 1 y 9 x 13 Câu 16 Cho hà m so y 2x 1 Viết phương trình tiếptuyến (C), biết khoảng cách từ điểm x 1 I (1; 2) đến tiếptuyến LỜI GIẢI M ( xo ; f ( xo )) C có phương trình: Tiếptuyến (C) điểm y f '( xo )( x xo ) f ( xo ) x ( xo 1) y xo2 xo (*) Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếptuyến (*) 2 xo 2 ( xo 1)4 xo | xo | Các tiếptuyến cần tìm : x y x y 2x (C) Viết phương trình tiếptuyến đồ thị (C), biết khoảng x2 cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếptuyến lớn LỜI GIẢI Câu 17 Cho hàm số y Tiếptuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a 2 thuộc (C) có phương trình: y 2a ( x a) x (a 2) y 2a (a 2) a2 Tâm đối xứng (C) I ( 2; 2) Ta có: d (I ; d ) 8|a2| 16 (a 2) 8| a 2| 2.4.( a 2) 8| a 2| 2 2 |a2| a d ( I ; d ) lớn (a 2) a 4 Từ suy có hai tiếptuyến y x y x 2x 1 Viết phương trình tiếptuyến đồ thị (C), biết tiếptuyến x 1 cách hai điểm A(2; 4), B ( 4; 2) Câu 18 Cho hàm số y LỜI GIẢI Gọi xo hoành độ tiếp điểm ( xo 1) PTTT (d) y 2x 1 ( x xo ) o x ( xo 1)2 y xo2 xo ( xo 2) xo Ta Có: d ( A; d ) d ( B; d ) | 4( xo 1) xo2 xo 1|| 4 2( xo 1) xo2 xo 1| Suy ra: xo v xo v xo 2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y x ; y x 1; y x 4 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 2x 1 Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) x 1 cho tiếptuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI LỜI GIẢI Câu 19 Cho hàm số y Giao điểm hai tiệm cận I (1; 2) Gọi M (a; b) C b PTTT (C) M: y 1 2a ( x a) (a 1) a 1 PT đường thẳng MI: y ( x 1) (a 1) Tiếptuyến M vng góc với MI nên ta có: 2a ( a 1) a 1 a 0(b 1) 1 1 2 (a 1) (a 1) a 2(b 3) Vậy có điểm cần tìm M (0;1), M (2;3) Câu 20 Cho hàm số y (2m 1) x m Tìm m để đồ thị hàm sốtiếp xúc với đường thẳng x 1 yx LỜI GIẢI +TXĐ: D R \ 1 (2m 1) x m x(1) x 1 Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y x thì: (m 1) 1(2) ( x 1)2 x m Từ (2) ta có (m 1)2 ( x 1) x m Với x m , thay vào (*) ta được: 0m (thoả với m ) Vì x nên m Với x m , thay vào (*) ta được: (2m 1)(2 m) m (2 m)(2 m 1) Suy ra: 4(m 1) m x 1(l ) Vậy với m đồ thị hàm sốtiếp xúc với đường thẳng y x x2 (C) Cho điểm A(0; a ) Tìm a để từ A kẻ tiếptuyến tới x 1 đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh LỜI GIẢI Câu 21 Cho hàm số: y Phương trình đường thẳng d qua A(0; a ) có hệ số góc k : y kx a x2 x kx a d tiếptuyến (C) Hệ PT k 3 ( x 1) có nghiệm Suy PT: (1 a) x 2(a 2) x (a 2) (1) có nghiệm x Để qua A có tiếptuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x1 , x2 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 a a Suy * ' 3a a 2 Khi ta có: x1 x2 2( a 2) a2 3 y1 ; x1 x2 ; y2 a 1 a2 x1 x2 Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 1 3a a 0 x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 2 a Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a x2 Gọi I giao điểm đường tiệm cận, tiếptuyến bất x 1 kỳ đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến Tìm giá trị lớn d LỜI GIẢI Câu 22 Cho hàm số y Ta có: y ' 1 ( x 1) Giao điểm hai đường tiệm cận I ( 1;1) x 2 Giả sử M xo ; o C xo Phương trình tiếptuyến với đồ thi hàm số M là: y x 2 1 ( x xo ) o x ( xo 1) y xo ( xo 1)( xo 2) ( xo 1) xo Khoảng cách từ I đến d | xo 1| ( xo 1) Vậy GTLN d ( xo 1) ( xo 1)2 2 xo xo 2 x 1 Chứng minh với m, đường thẳng d : y x m cắt 2x 1 (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k hệ số góc tiếptuyến với (C) A Câu 23 Cho hàm số y B Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn LỜI GIẢI x 1 x PT hoành độ giao điểm d (C ) : xm 2x 1 g ( x) x 2mx m 0(*) g m2 2m 0m Vì nên (*) ln có nghiệp phân biệt x1 , x2 g 2 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 m Giả sử: A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) 1 1 Tiếptuyến A B có hệ số góc là: k1 ; k2 (2 x1 1) (2 x2 1) Theo định lí Viet ta có: x1 x2 mx1 x2 Suy ra: k1 k 4(m 1) 2 Dấu "=" xảy m 1 Vậy: k1 k2 đạt GTLN 2 m 1 x2 (1) Viết phương trình tiếptuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp 2x tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O LỜI GIẢI Câu 24 Cho hàm số y Gọi ( xo ; yo ) toạ độ tiếp điểm y '( xo ) 1 0 (2 xo 2)2 OAB cân O nên tiếptuyến song song với đường thẳng y x (vì tiếptuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là: y '( xo ) xo 1 yo 1 1 (2 xo 3) xo 2 yo Với xo 1; yo : y ( x 1) y x(l ) Với xo 2; yo : y ( x 2) y x (nhận) Vậy phương trình tiếptuyến cần tìm là: y x 2x 1 Lập phương trình tiếptuyến đồ thị (C) cho tiếptuyến x 1 cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA 4OB LỜI GIẢI Câu 25 Cho hàm số y Giả sử tiếptuyến d (C) M ( xo ; yo ) C cắt Ox A, Oy B cho OA 4OB kd OB Do OAB vuông O nên Tan A OA k d xo 1( yo ) 1 1 1 0 Hệ số góc d y '( xo ) 2 ( xo 1) ( xo 1) x 3 y o o 2 y Khi có tiếptuyến thoả mãn là: y Câu 26 Cho hàm số y 1 ( x 1) y 1 y ( x 3) 1 x 4 1 13 x 4 2x Viết phương trình tiếptuyến (C), biết tiếptuyến cắt x2 trục Ox, Oy A B cho AB OA Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 LỜI GIẢI Gọi M ( xo ; yo ) C , xo PTTT M: y xo 4 ( x xo ) ( xo 2) xo Tam giác vng OAB có AB OA nên OAB vng cân O Do d vng góc với hai đường phân giác d1 : y x, d : y x không qua O Nếu d d1 4 1 xo d : y x ( xo 2) Nếu d d 4 vô nghiệm ( xo 2) Vậy PTTT cần tìm là: y x x 1 Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M 2x 1 (C) mà tiếptuyến (C) M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : y 2m Câu 27 Cho hàm số y LỜI GIẢI Gọi M xo ; yo C PTTT M: y 3 ( x xo ) yo (2 xo 1) Gọi A, B giao điểm tiếptuyến với trục hoành trục tung yB Từ trọng tâm G OAB có: yG Vì G d nên Mặt khác: xo2 xo (2 xo 1) 2 xo2 xo 3(2 xo 1)2 xo2 xo 2m 3(2 xo 1) 2 xo2 xo xo2 (2 xo 1) xo2 1 (2 xo 1) (2 xo 1) (2 xo 1)2 Do để tồn điểm M thoả YCBT 2m Vậy GTNN m 1 m 3 2x (C).Viết phương trình tiếptuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp x2 ABI tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho cơsin góc Câu 28 Cho hàm số y , với I giao tiệm cận 17 LỜI GIẢI 2x I (2; 2) Gọi M xo ; o C , xo x o Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Phương trình tiếptuyến M: y TưDuyMở2019 2x ( x xo ) o ( xo 2) xo 2x Giao điểm với tiệm cận: A 2; o , B xo 2; xo Do cos ABI xo IA 4 ABI IB 16 IA2 xo 16 nên tan IB 17 xo 1 3 Kết luận: Tại M 0; phương trình tiếp tuyến: y x 2 1 5 Tại M 4; phương trình tiếp tuyến: y x 3 2x có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếptuyến x2 M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn LỜI GIẢI Câu 29 Cho hàm số y 1 Lấy điểm M m; C Ta có: y '(m) (m 2) m2 1 Tiếptuyến d M có phương trình: y ( x m) (m 2) m2 Giao điểm d với tiệm cận đứng là: A 2; m2 Giao điểm d với tiệm cận ngang là: B (2m 2; 2) m Ta có: AB (m 2) Dấu “=” xảy 2 (m 2) m Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M (3;3) M (1;1) 2x Gọi M điểm (C) Tiếptuyến (C) M cắt x2 đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ LỜI GIẢI Câu 30 Cho hàm số y 2x 1 Giả sử M xo ; o C , xo 2, y '( xo ) xo ( xo 2) 2x 1 Phương trình tiếptuyến () với ( C) M: y ( x xo ) o ( xo 2) xo 2x Toạ độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: A 2; o ; B xo 2; x o x x xo y yB xo Ta thấy A B xo xM , A yM M trung điểm AB 2 xo Mặt khác I (2; 2) IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 2x S IM xo 2 o 2 xo xo 2 2 ( xo 2) xo 1 ( xo 2) xo Do điểm M cần tìm M (1;1) M (3;3) Dấu “=” xảy ( xo 2)2 2mx Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp xm tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho IAB có diện tích S 64 LỜI GIẢI Câu 31 Cho hàm số y (C) có tiệm cận đứng x m , tiệm cận ngang y 2m Giao điểm tiệm cận I ( m; 2m) 2mxo Gọi M xo ; C xo m PTTT (C) M: y 2mxo 2m ( x xo ) ( xo m) xo m 2mxo 2m cắt TCĐ A m; , cắt TCN B xo m;2m) xo m Ta có: IA 4m 58 ; IB | xo m | S IAB IA.IB 4m 64 m xo m 2 Câu 32 Cho hàm số y x Viết phương trình tiếptuyến (C), biết tiếptuyến tạo với x 1 đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P 2(2 2) LỜI GIẢI (C) có tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang y Giao điểm tiệm cận I (1;1) x x Gọi M xo ; o C xo 1 PTTT (C) M: y ( x xo ) o xo ( xo 1) xo x 1 cắt TCĐ A 1; o , cắt TCN B xo 1;1 xo Ta có: PIAB IA IB AB | xo 1| 2 ( xo 1) 42 | xo 1| ( xo 1)2 xo Dấu "=" xảy | xo 1| xo Với xo PTTT : y x ; Với xo PTTT : y x Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 2x 1 có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M x 1 thuộc (C) cho tiếptuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ LỜI GIẢI Câu 33 Cho hàm số y Giao điểm tiệm cận I (1; 2) Gọi M xo ; C xo 3 PTTT M có dạng: y ( x xo ) ( xo 1) xo Toạ độ giao điểm tiếptuyến với tiệm cận: A 1; , B xo 1; A, B xo 1 Ta có: S IAB IAIB | xo 1| 2.3 (đvdt) 2 | xo 1| IAB vng có diện tích khơng đổi chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB xo | xo 1| | xo 1| xo Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M 1 3; , M 3; Khi chu vi AIB Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a b a2 b2 nhỏ a = b Thật vậy: P = a b a2 b2 ab 2ab (2 2) ab (2 2) S Dấu "=" xảy a = b Câu 34 Cho hàm số y x3 Cho điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị C Tiếptuyến C x 1 M cắt tiệm cận C điểm A B Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB LỜI GIẢI M x0 ; y0 C y0 4 PTTT d M : y y0 x x0 x0 x0 1 Giao điểm d với tiệm cận A x0 1;1 , B 1; y0 1 x A xB y yB x0 ; A y0 M trung điểm AB 2 x2 C Chứng minh tiếptuyến đồ thị C lập với x 1 hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi LỜI GIẢI Câu 35 Cho hàm số y Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng TưDuyMở2019 a2 Giả sử M a; C a 1 PTTT d C M : y y ' a x a a2 3 a 4a y x 2 a 1 a 1 a 1 a5 Các giao điểm d với tiệm cận A 1; , B 2a 1;1 a 1 IA 0; IA ; IB 2a 2; IB a a 1 a 1 Diện tích IAB : S IAB IA.IB (đvdt) ĐPCM Câu 36 Cho hàm số y 2x 1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận C Tìm đồ x 1 thị C , điểm M có hồnh độ dương cho tiếptuyến M với đồ thị C cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn IA2 IB 40 LỜI GIẢI C có TCĐ 2x 1 x 1; TCX y I 1; Giả sử M x0 ; C x0 PTTT với C M : y x0 1 x x0 x0 x0 2x A 1; , B x0 1; x0 x0 36 x0 1 40 IA2 IB 40 x0 1 x0 y0 1 M 2;1 x Câu 37 Cho hàm số y x 1 C Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp x 1 tuyến tới C LỜI GIẢI Gọi M 0; y0 điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng y kx y0 d x 1 y0 1 x y0 1 x y0 1 x kx y0 d tiếptuyến C (*) 2 2 x 1; k k x 1 x 1 YCBT hệ (*) có nghiệm (1) có nghiệm khác 1 y0 y x ; y0 k 8 x ' y0 1 y0 1 y0 1 x 0; y0 1 k 2 Vậy có điểm cần tìm M 0;1 M 0; 1 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận Biên Soạn: Thầy Dũng Câu 38 Cho hàm số y TưDuyMở2019 x3 C Tìm đường thẳng d : y x điểm từ kẻ x 1 tiếptuyến tới C LỜI GIẢI Gọi M m; 2m 1 d PT đường thẳng qua M có dạng y k x m 2m PT hoành độ giao điểm C : k x m 2m kx m 1 k 2m x mk 2m (*) tiếp xúc với C (*) có nghiệm kép x3 x 1 k m 1 k 2m 4k mk 2m k 2 2 g k m 1 k m m k 4m Qua M m; 2m 1 d kẻ tiếptuyến C ' 32 m m 0; g 4m g k có nghiệm k m 16k k m M 0;1 m 1 M 1; 1 m M 1;3 m M 2;5 Giáo Viên Chuyên Luyện Thi ĐH Tại Tân Phú Và Phú Nhuận ... trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 2x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến x 1 cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA 4OB LỜI GIẢI Câu 25 Cho hàm số y Giả sử tiếp tuyến. .. Các tiếp tuyến cần tìm : x y x y 2x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng x2 cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn LỜI GIẢI Câu 17 Cho hàm số y Tiếp. .. có hai tiếp tuyến y x y x 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến x 1 cách hai điểm A(2; 4), B ( 4; 2) Câu 18 Cho hàm số y LỜI GIẢI Gọi xo hoành độ tiếp điểm