PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph BÀI 19 PH ng Ph NG PHÁP ÁP ÁN BÀI T P T Giáo viên: LÊ Các t p tài li u đ ng pháp đ o hàm O HÀM LUY N C VI T c biên so n kèm theo gi ng Bài 19 Ph ng pháp đ o hàm thu c khóa h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn c n h c tr c gi ng sau làm đ y đ t p tài li u s d ng hi u qu , b n Bài Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a y  x6  1  x   1;1 Gi i t u  x 0;1 Cách Ta có y  u  1  u   3u  12u  12u  y  9u  24u  12   u1    0;1 ; u   x y Nhìn b ng bi n thiên ta có:   y max y  4; y  t x  sin u  y  sin u  4cos u Cách   sin u  cos u   3cos u  sin u  cos u    V i x  max y  S d ng b t đ ng th c Cơsi ta có:  sin u     sin u    sin u  27 27 27 27   4 cos u     cos u    cos u  27 27 27 27  y  sin u  cos u    sin u  cos u    y  3 V i x   y  Bài a) L p b ng bi n thiên tìm GTLN c a hàm s y  x  x2  b) Ch ng minh a   b   c   10 ( a  b  c  1) Gi i a) TX : D  Hocmai.vn – Ngôi tr ; y   3x  x  1 x     x   y  10 3 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng Ph  x  3 / x  x  3 / x  lim  lim x x x x x x 1  12 x x lim y  lim x x  1/3  +  y 10 Suy lim y  1; lim y  1 Nhìn BBT x ng pháp đ o hàm y x 1 ta có y  x   10  max y  10 x2  b) Theo ph n a) y  10 , x  x   10 x  1,  x c bi t hóa b t đ ng th c t i giá tr x  a , x  b, x  c ta có:  x  a : a   10 a    x  b : b   10 b   a  b  c   10  a   b   c     x  c : c   10 c   10  a   b   c  y Cách Trên m t ph ng t a đ Oxy đ t OA   a ;1 ; AB   b;1 ; BC   c;1 Khi OC  OA  AB  BC   a  b  c ; 3 O C B A a a+ b a+ b+ c x Do OA  AB  BC  OA  AB  BC  OC T suy a   b   c   10 Bài Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: A  xy2 x  x  4y 2  ( x, y  ) Gi i t x  t  hay x  ty ta có A  y Ta có f '  t   t   3t t  t  t   L p b ng bi n thiên ta đ t  t t  4 f '  t    t   3t  t  c Max f  t   t     t 0   32 Bài Cho x, y 3;2 th a mãn u ki n x3  y3  Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c S  x2  y2 Gi i T x3  y3  suy x   y3 thay vào S ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng Ph ng pháp đ o hàm x    y3    y3     t   t  f  t  v i t  y3 2 Do x  3;2  x3 27;8  27   y3   6  y3  29 (1) M t khác y 3; 2 nên y3  27;8 (2) T (1) (2)  t  y3  6;8 Xét f  t  D   6;8 Ta có: f '  t    t  f '  t   23  3 t  t L p b ng bi n thiên ta có Min S  Minf  t   f    f    đ t t i  x; y   0;  ho c hoán v D Max S  Max f  t   f  6    36 đ t t i  x; y    3;2  ho c hoán v a , b  Bài Tìm GTNN c a S  3a  3b  ab  a  b2 ,  b 1 a 1 a b ab  a  b  Gi i   T ab  a  b     a  b   ab  a  b  a  b  Ta có S 3a  a  1  3b  b  1  ab   a  b   2ab  b  1  a  1 a b 3  a  b 2  2ab   a  b   ab   a  b   2ab ab  a  b  a b 2   a  b    a  b    a  b   6   a  b   a  b a b     a  b    a  b   12  2  t  t  12   g  t  , t  a  b    a b t Xét hàm s g  t   t  t  12  2, t  g '  t   2t   122  0, t  t t  Max g  t   g     V y Max S   a  b  t 2 2 Bài Cho x  y  Tìm Max, Min c a A  x  y  y  x Gi Tìm MaxA: S d ng b t đ ng th c BunhiaCơpski ta có A  x2  y  1  y  1  x  2 x y    x  y    V i x  y  Max A   2 Tìm MinA: Xét tr Hocmai.vn – Ngôi tr ng h p sau ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph • Tr ng Ph ng pháp đ o hàm ng h p 1: N u xy  , xét kh n ng sau: +) N u x  0, y  A>0  Min A ( x2  y2 ) (1  x)  (1  y)  +) N u x  0, y  A  2 x y =  x  y    x2  y   T kh n ng xét suy v i xy  Min A = 1 • Tr ng h p 2: Xét xy  : t x  y  t  xy  t    t   1,1 A2  x 1  y  xy 1  x 1  y  y 1  x   xy  x  y  xy  x  y  xy 2 2   t  t    t  1  t  t   t  1   t    2 2  A2  f  t   1   t  t  1   t    f  t   1   1 1   t  t1   t  2t ;t  t2  1 2 Th t1 , t vào ph n d c a f  t  chia cho f   t  t 1   19    f  t1   ; f t   27 Nhìn b ng bi n thiên suy ra:  t1 f  t1  A  f  t1   A   f  t1  suy  f t  Min A   f  t1     t2 19    1 27 x y  x  y  t1 ; xy  t12   x, y nghi m c a u   1    15  2 1 2 3 u   x, y  K t lu n: Max A   ; Min A   19   27 Bài Cho x, y, z0,1 tho mãn u ki n: x  y  z  Tìm Max, Min c a bi u th c: S  cos  x  y  z  Gi i Do x, y, z0,1 nên  x  y  z  x  y  z    Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng Ph ng pháp đ o hàm  2 Vì hàm s y  cos  ngh ch bi n 0,  nên toán tr thành Tìm MaxS hay tìm Min  x  y  z  x  y  z  12  12  12   x  y  z    x  y  z   V i x  y  z  MaxS = cos 2 Tìm MinS hay tìm Max  x  y  z  Cách 1: Ph ng pháp tam th c b c hai: Không m t tính t ng quát gi s z  Max x, y, z  z   ;1 2  Bi n đ i đánh giá đ a v tam th c b c hai bi n z   x  y  z  z   x  y  xy  z   z 2  z  3z   f  z  Do đ th hàm y = f(z) m t parabol quay b lõm lên nên ta có:    Max f  z   Max f ; f 1  f  f 1  2 V i z  1; x  ; y  MinS = cos Cách 2: Ph ng pháp hình h c Xét h t a vng góc Oxyz T p h p m M  x, y, z tho mãn u ki n x, y, z0,1 n m hình l p ph ng ABCDABCO c nh v i A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0) M t khác x  y  z  nên M  x, y, z n m m t ph ng (P): x y z V y t p h p m M  x, y, z tho mãn u ki n gi thi t n m thi t di n EIJKLN v i m E, I, J, K, L, N trung m c nh hình l p ph ng G i O hình chi u c a O lên EIJKLN O tâm c a hình l p ph ng c ng tâm c a l c giác đ u EIJKLN Ta có OM hình chi u c a OM lên EIJKLN Do OM2 = x  y  z nên OM l n nh t  OM l n nh t  M trùng v i đ nh E, I, J, K, L, N z T suy ra: 3/   z   cos   x  y  z  OK    4  cos  x  y 2 O L V i z  1; x  ; y  MinS = cos J K O 3/ M I E 3/ x N y Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph Bài Cho a,b,c  th a mãn u ki n a  b  c  Tìm giá tr nh nh t c a S  a  ng Ph ng pháp đ o hàm 1  b2   c2  2 b c a Gi i Sai l m th ng g p: S  3.3 1 1      b2   c   3.6  a    b2    c   b c a b  c  a   a2      a  b      b  c      c  a   Nguyên nhân: Min S   a  b  c       Min S   1   1 a  b  c   a b c mâu thu n v i gi thi t  Phân tích tìm tòi l i gi i: Do S m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c nên d đoán Min S đ t t i a bc  S đ m r i:  a  b2  c2   4 a  b  c           4  a b c    16  Cách 1: Bi n đ i s d ng b t đ ng th c Cơsi ta có S  a2  1 1 1    b2     c2    2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a 16  17 17 16 16 a2 b2 c2 17 17  17   17  1616 b32 1616 c32 1616 a 32  a b c   17 17 16  17 16  17 16  16 c 16 a   16 b  a b c   17 3  17 16  17 16  17 16   17 16 b 16 c 16 a   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 17 16 a b5 c T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph  17  17 (2a 2b 2c) V i a bc  17   17 2a  2b  2c  15  ng Ph ng pháp đ o hàm 17 17 Min S  2  Cách 2: Bi n đ i s d ng b t đ ng th c BunhiaCơpski ta có  1   a   b 17    1   b2    c 17      c  a2  17   S  4   2 a    a   1    b b  17    4   2  b    b   1    c c  17    4   2 c    c   1    a a  17   4 4   a  b  c     a b c 17    1 15  1    a  b  c       4a 4b 4c  a b c   17    1 15  1    45  3    3     3 6  abc    4a 4b 4c  a b c  17  17  abc   1  45   45  17 3   2  3   a  b  c    17  17     V i a bc 17 Min S  2  Cách 3: t u  a , ; v  b, ; w  c,  b  c Do u  v  w  u  v  w S  a2   a nên suy : 1 1 1  b2   c2    a  b  c       b c a a b c   a  b  c        15     16  a b c  16  a b c   15   a  b  c           a b c a b c 16   135   abc        a b c 16  abc  2  Hocmai.vn – Ngôi tr  ng chung c a h c trò Vi t 135   16 a  b  c   T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph  I Ph ng pháp đ o hàm 135 18 135 153 17  4     16 4 V i a bc B CÁC ng 17 Min S  2 NG D NG GTLN, GTNN C A HÀM S NG D NG TRONG PH Bài Gi i ph ng trình: NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH x2  4 x 2 Gi i t f  x  x   4  x v i  x  1 f   x    44   x  x  2 x      0 x3   Nhìn BBT suy ra: f  x  f  3  x  2, 4  Ph ng trình f  x  x   4  x  có nghi m nh t x  Bài Gi i ph ng trình: x  x  x  Gi i PT  f  x  x  x  x   Ta có: f   x  x ln  x ln   f   x  x  ln 3  x  ln 5  x  2  (x) đ ng bi n x  f  M t khác (x) liên t c f   0  ln  ln   , f f  1  3ln  5ln    Ph x0   (x0) ng trình (x)  có nghi m x0 Nhìn b ng bi n thiên suy ra: Ph ng trình f  x  x  x  x   có khơng q nghi m Mà f  0  f 1  nên ph ng trình (1) có nghi m x  , x  Bài Tìm m đ BPT: m x   x  m có nghi m x  Gi i m x   x  m  m  x   1  x  m  f  x  Hocmai.vn – Ngôi tr x 2x   ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph  2x2  Ta có: f   x  x   x   1 lim f  x  lim x 0 x    x  6 x  6 f  + x    1  1 2  92  x x lim f  x  lim ng pháp đ o hàm Ph  ; 2  92  x x x x ng 1 2 3 Nhìn BBT ta có f  x  m , x   Min f  x  f  6     m  m  3 x 4 Bài Tìm m đ  2sin x  m1  cos x (1) có nghi m x     ,    2  Gi i Do x     ,    x    ,   nên đ t t  tg x   1,1 2  4  2  cos x   t ; sin x  2t 1 t 1 t 2 Khi (1)   sin x  cos x  m1  cos x 2 2   2t  2 t   m 1   t   f  t    2t   t   2m (2)  1 t   1 t  Ta có: f   t    2t   t    2t    t  1; t   t 1 (t)  B ng bi n thiên Nhìn b ng bi n thiên suy ra: (t) (2) có nghi m t   1,1 1   4 Min f  t   2m  Max f  t    2m    m  t 1,1 t 1,1 V y đ (1) có nghi m x     ,   m 0; 2  2  x  3x   Bài Tìm m đ h BPT:  (1) có nghi m   x  x x   m  4m  Gi i 0  x  (2) (1)    f  x  x  x x   m  4m Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t x f    21 f CT T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng ng pháp đ o hàm Ph 3x  x  x   0;   ; Ta có: f   x        x x x 2;3    (x)   x  Nhìn BBTsuy ra: Max f  x  f  3  21 x0;3 (2) có nghi m Max f  x  m2  4m  m2  4m  21  3  m  x0;3 sin x cos y  m3  m  6m  35  Bài Tìm m  đ h :  (1) có nghi m cos x sin y  m  6m  33  Gi i sin x cos y  cos x sin y  m3  12m  17 sin  x  y  m3  12m  17  1     Xét f  m  m3  12m  17  3 sin x cos y  cos x sin y  m  2m  sin  x  y  m  2m    Ta có: f   m  3m2  12   m   m  Nhìn BBT suy ra: (m)  (2)  1,m   k t h p v i sin  x  y  suy đ h (2)     17 có nghi m m  2, h (2) tr thành: sin  x  y    có nghi m x   ; y   V y (1) có nghi m  m   sin  x  y    Bài ( TS H kh i A, 2007) Tìm m đ ph ng trình x   m x   x  có nghi m th c Gi i K: x  , bi n đ i ph ng trình  3 x   x   m x 1 x 1 t u  x     0,1 x 1 x 1 Khi g  t   3t  2t  m Ta có g   t   6t    t  t g  t  g t  13 + – 13 –1 Do yêu c u  1  m  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng Ph Bài ( TS H kh i B, 2007): Ch ng minh r ng: V i m i m  , ph ln có hai nghi m phân bi t ng pháp đ o hàm ng trình x  x   m x  2 Gi i i u ki n: x  Bi n đ i ph x g   x g  x ng trình ta có:   x  2 x  6  m  x  2  +  2   x  2  x  6  m x  2   x  2  x3  x  32  m   x  V g  x   x3  x  32  m ycbt  g  x  m có nghi m thu c  2;   Th t v y ta có: g   x  3x  x  4  0, x  Do g  x đ ng bi n mà g  x liên t c g    0; lim g  x   nên g  x  m có m t nghi m   2;   x V y m  , ph Bài ( ng trình x  x   m x  2 có hai nghi m phân bi t TS H kh i A, 2008) Tìm m đ ph ng trình sau có hai nghi m th c phân bi t: 2x  2x   x   x  m Gi i t f  x  x  x   x   x ; x 0;6  Ta có: f   x     3   x  2x t u  x   x      , x   0;     x 6x  ; v  x   , x   0,  2x 6x   x   f ( x)  0, x   0,  u  x , v  x  0, x   0,      f ( x)  0, x   2,   u    v     f (2)        u x , v x  0, x   2,  x f   x + – 6 f(x)  24 12  Nhìn BBT ta có PT có nghi m phân bi t    m   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph Bài 10 ( ng Ph ng pháp đ o hàm TS H kh i D, 2007): x   y    x y ng trình có nghi m   x  13  y  13  15m  10 x y  Tìm m đ h ph Gi i  t u  x  ; v  y  ta có x3  13  x  x y x x     3x  x   u  3u x x u  x   x   x  ; v  y   y  x x x y y u  v  u  v    3  u  v   u  v  15m  10 uv   m Khi h tr thành  ng trình b c hai f  t   t  5t   m  u, v nghi m c a ph H có nghi m  f  t   m có nghi m t1 , t th a mãn t1  2; t  L p B ng bi n thiên c a hàm s f  t  v i t   t – – f t  +   /2 – f  t  + + +  /4 Nhìn b ng bi n thiên ta có h có nghi m   m   m  22 Bài 11 ( 1I.2 B đ TS H 1987-2001): Tìm x đ b t ph ng trình x  x  sin y  cos y   v i y  Gi i t u  sin y  cos y   2,  , BPT  g  u    x u   x  1  0, u   2,   Min u  2,  g u   Do đ th y  g  u  m t đo n th ng v i u   2,  nên Min u  2,   x  1 g     x  2x     g u     2  x  2x      x   g    Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph II ng NG D NG GTLN, GTNN CH NG MINH B T Ph ng pháp đ o hàm NG TH C Bài Ch ng minh r ng:  x ln  x   x2    x2 , x  Gi i x  f B T  f  x   x ln  x   x2    x2  x   f Ta có: f   x  ln  x   x2    x  0    B ng bi n thiên Nhìn b ng bi n thiên suy ra: f  x  f  0   (đpcm)  x, y  Bài Cho  Ch ng minh r ng:  x3  y3  x  y  1    5 Ch ng minh Ta có x3 + y3 =  y   x3 Xét ƒ(x) = x  y  x   x3 v i x[0,1]  f ( x)  x2  x f ( x)   x0  (1  x3 ) 1  x f  B ng bi n thiên T b ng bi n thiên suy ra: f x0 +  M ƒ(x)  ƒ(x0) = M =   1 x[0, 1]  a , b, c  Bài Cho  CMR: T  a  b  c  3 2 2 b c c a a b  a  b  c  Gi i Ta có: T  a  b  c  a2 b2 c2    a  b  c a 1  a  b 1  b  c 1  c  x Xét hàm s f  x  x 1  x  v i x > f Ta có f   x   3x   x   f     3 Nhìn b ng bi n thiên  f  x  x  3 2 Khi : T  a  b  c  3  a  b  c   3 2 f  a  f  b f c ng th c x y  a  b  c  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng Ph ng pháp đ o hàm 2 y  x Bài Cho  Ch ng minh r ng: x2 + y2  2    y x x  Gi i y  y     2 y  x y      1    2   5 x  x  0  x   x  2 x  3x  y  2 x  3x  x f f + 6/5  Ta có x + y  x + (2x + 3x) = ƒ(x) Ta s ch ng minh ƒ(x)  2 2 2 Bi n đ i ƒ(x) = 4x4  12x3 + 10x2  f   x = 4x(x  1)(x  5) T BBT ta có Max ƒ(x) = ƒ(1) =  x2 + y2  ƒ(x)  Bài Cho  n l Ch ng minh r ng: x  ta có: 1  x  x2!   xn! 1  x  x2!  x3!   xn!   n n Gi i n n 2 t u  x   x  x   x ; v  x   x  x  x   x n! 2! 2! n! 3! Ta c n ch ng minh f  x  u  x v  x < u   x   x  x   x n 1  u  x  x n   n  1 ! 2! n!  Ta có:  v  x  1  x  x   x n 1  v  x  x n  n  1 ! 2! n!  n n  f   x  u   x v  x  u  x v  x  u  x  x  v  x  u  x v  x  x  n!  n!    n n n 1   f   x   x u  x  v  x  2 x 1  x  x   x  n  1 ! n! 2! 4! n!  Do  n l nên (x) d u v i (2x) Nhìn b ng bi n thiên suy ra: f  x  f  0  x   (đpcm) Bài Ch ng minh r ng: x  f    f a  b3 a  b  2 0 a, b > Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph a b 4 a  b3   ba  1  a  b 1  ng Ph  1 t4 1 t3  t f  Xét f(t) =  1 t3 1  t  3 1  t  3 a v i t 0 b + 2 1  t  t 1  t   1  t  t 1  t  f(t) =  f 1 t4 + 1 ng pháp đ o hàm 1  t  t 1  t  2 3 1  t   t  1 1  t  f(t) =  t =  B ng bi n thiên c a f(t) T BBT    f(t) < t >   a  b4 a  b3 a  b3 a  b D u b ng x y  a = b >  2 Giáo viên : Lê Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : c Vi t Hocmai.vn - Trang | 15 - ... f   t  t 1   19    f  t1   ; f t   27 Nhìn b ng bi n thiên suy ra:  t1 f  t1  A  f  t1   A   f  t1  suy  f t  Min A   f  t1     t2 19    1 27 x y ...   2 Tìm MinA: Xét tr Hocmai.vn – Ngơi tr ng h p sau ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 190 0 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph • Tr ng Ph ng pháp...  suy x   y3 thay vào S ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c T ng đài t v n: 190 0 58-58-12 - Trang | - Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng Ph ng pháp đ o