GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP hàm đặc TRƯNG

TT LTĐH CAO THẮNG – HUẾ PHƯƠNG PHÁP ThS Nguyeãn Văn Rin – HBT HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG SĐT: 089.8228222 Họ tên: …………………………………… .….……; Trường:…………………… ………; Lớp: ……………………… Phương pháp hàm số đặc trưng thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc Gia câu phân loại đề: - Câu 47 mã đề 101 – THPT QG năm 2017 - Câu 35 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2018 - Câu 46 mã đề 101 – THPT QG năm 2018 - Câu 47 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2020 Sau đây, tơi xin trình bày sở lý thuyết giới thiệu số ví dụ áp dụng đề thi thử THPT Quốc Gia đề thức BGD&ĐT qua năm I Cơ sở lý thuyết: Cho hàm số y  f  x  liên tục tập D  Nếu hàm số f  x  đơn điệu (đồng biến nghịch biến) D u, v  D, f  u   f  v   u  v  Nếu hàm số f  x  đồng biến D u, v  D, f  u   f  v   u  v  Nếu hàm số f  x  nghịch biến D u, v  D, f  u   f  v   u  v II Áp dụng Giải phương trình, bất phương trình mũ logarit Câu (Chun Thái Bình 18) Tính tổng tất nghiệm phương trình x3  3x  3x  log   x  1  x  x  x 1 A 2  B 2 C D 2  Lời giải Chọn C x3  3x  3x  Điều kiện   x3  3x  x   x 1 x3  3x  3x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương log   x  1  x  x  x 1 3 2  log  x  x  3x    log  x  1  x  x    x  1  log  x  x  x    x  x  x   log  x  1  x  * Xét hàm số y  f  t   log t  t khoảng  0;      0, t  t ln10 Suy hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;    Ta có: f   t    *  f  x  x  x    f  x  1  x  x  x   x  fa w w w ce  x  2   x3  x  3x     x   x   Đối chiếu điều kiện, ta x   thỏa mãn bo   Vậy S     ok ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db /b om c Câu 2 2x    (SGD Bắc Ninh 18) Cho phương trình log  x    x   log  1    x  , gọi S x  x tổng tất nghiệm Khi đó, giá trị S  13  13 A S  2 B S  C S  D S  2 Trang 1/43 Lời giải Chọn D  2  x    Điều kiện  x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương log x      1   x    log         1 x   x    2 * Xét hàm số y  f  t   log t   t  1 khoảng  0;    ln 2.t  ln 2.t  1  , t    t  1  t ln t.ln Suy hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;   Ta có f   t   1  x   f 2   x  2 x x    x  1   13  x  x  x     x    x   13   x  1 Kết hợp với điều kiện ta   x   13  Do  *  f Vậy S  Câu    13 (Nguyễn Trãi - Đà Nẵng 18) Gọi x0  ab nghiệm lớn phương trình c 1 x   1 x x      1  x  Giá trị P  a  b  c 3   A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn D Với x  ta có 1 x 1   1 1 x 1 x 2x 2x 3   3x 1  x  1 x      1  x      x  2x 2x 3       w w w Xét hàm số f  t   3t  t khoảng  0;    Ta có f   t   3t.ln   , t  fa 1    a  , b  1, c   x 1  x  f    f  x  1  2x  2x  Vậy P   x2  x   (THTT 18) Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log    x   x x   om c Câu ok bo ce 1  a  b với a , b hai số nguyên dương Tính a  b A a  b  16 B a  b  11 C a  b  14 Lời giải   ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db /b x  x2  D a  b  13 Trang 2/43 Chọn C x   Điều kiện   x    x  12   4x2  4x   Ta có log    x2  x   x   x   x  log   x x     2  log  x  1   x  1  log x  x 1 Xét hàm số f  t   log t  t  f   t     với t  t ln Vậy hàm số đồng biến Câu  3 x   f  x    x  1  x    3 x   Phương trình 1 trở thành f  x  1  9   Vậy x1  x2   9     a  9; b   a  b    14 l   tm  (Lương Thế Vinh 19) Phương trình log b   * A a 2x 1 (với a ,  x  x  có hai nghiệm a b ( x  1) a phân số tối giản) Giá trị b b B C Lời giải D Chọn D  2 x    x   Điều kiện  x 1   x  2x 1 2x 1  3x  x   log   3x  x  Ta có: log3 2  x  1  x  1 2x 1  log3  x  1  2    x  1   x  1  log  x  1   x  1  log 3  x  1   x  1 1 Xét hàm số f  t   log  t   t khoảng  0;      , t  t.ln Suy hàm số f  t  đồng biến  0;   Ta có f   t   w fa w w 1  f  2x 1  f   x 1  x   x    x  1  x  x   hay  x   Vậy hai nghiệm phương trình suy b  (Lê Xoay - Vĩnh phúc 18) Số nghiệm phương trình sin x  cos x   log  sin x  khoảng Câu ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db    0;   2 /b om c ok bo ce Trang 3/43 B A C Lời giải D Chọn D   Vì sin x  cos x  , x   0;  nên phương trình cho tương đương  2 sin x  cos x  log  cos x    log  sin x   log  cos x   log  cos x   cos x  log  sin x   sin x  * Xét hàm số f  t   log t  t , với t   0;1 ta có f   t     0, t   0;1 t ln Do hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;1 *  f  cos x   f  sin x   cos x  sin x Câu  sin x   hay x   f  x   ln (Cổ Loa - Hà Nội 19) Cho hàm số  x   x  e x  e  x Hỏi phương trình f  3x   f  x  1  có nghiệm thực? A B C Lời giải D Chọn D x   x  x  x  x  x   x  x  0, x   Ta có   x x x   x  e  x  e x  ln    e  e   ln  x 1  x  Suy f  x  hàm số lẻ f   x   ln   2x   x   x  e x  e x   f  x  x  x2  1 Mà f   x   x   e x  e x  x 1  x Suy f  x  đồng biến    x   e x  e x  x2   x    e x  e  x  , x  x 1   Do f 3x  f  x  1   f 3x   f  x  1  f 3x  f 1  x   3x   x x   x    * Xét hàm số g  x   3x  x   g   x   3x ln   0, x   Suy g  x  đồng biến  nên (*) có nghiệm có nghiệm Mà x  nghiệm phương trình (*) Vậy tập nghiệm phương trình (*) S  0 Câu (TƯ NGHĨA 19) Cho hàm số y  f  x  liên tục R có đồ thị hình vẽ fa w w w om c ok bo ce B ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao A db /b Số nghiệm phương trình f  x  f  x  f  x  f  x 1 C Lời giải  f  x   D Trang 4/43 Chọn B nên f  x    0, x   t  3t  4t   3t    t  1   t  1  Đặt t  f  x  ta 3t  Xét hàm đặc trưng g  u   u  u  Vì f  x      3t   3t  * Ta có g   u   3u   0, u   Do *  g  t  1  g Câu  t  1 t   f  x   1 3t   t   3t       f  x     t  2t   3t  t   Dựa vào đồ thị phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt (khơng trùng nhau) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt (Nguyễn Du - DakLak 19) Cho hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d (với a, b, c, d  , a  ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị A  0;1 B  2; 3 Hỏi tập nghiệm phương trình f  x   f  x   f  x   có phần tử? A 2019 B 2018 C Lời giải D Chọn D Ta có f  x   ax  bx  cx  d  f   x   3ax  2bx  c  f   0  c  a    b  3  f  0  d   Theo giả thiết ta có hệ     f  x   x3  3x   f   2  12a  4b  c   f  3 8a  4b   3 d     + Xét phương trình: f  x   f  x   f  x    f  x   f  x     f  x   f  x   * Xét hàm số đặc trưng h  t   t  2t  h  t   3t   0, t    *  f  x    x3  3x    f  x    f  x   f  x   f  x    f  x     x3  3x   f x  1   x  x      1  2  3 nhiêu giá trị nguyên m   25; 25  để phương trình cho có nghiệm ? fa w w w Bấm máy, phương trình (1) có nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm phân biệt, phương trình (3) có nghiệm phân biệt (khơng trùng nhau) Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm x Câu 10 (Đề Chính Thức 18 - Mã 103) Cho phương trình  m  log  x  m  với m tham số Có bao A B 25 ce C 24 Hướng dẫn giải D 26 ok bo Chọn C ĐK: x  m  (a) om c x 7  m  t  x  x  7t  t 1 Đặt t  log  x  m  ta có hệ  t 7  m  x db /b u Do hàm số f  u    u đồng biến  , nên ta có 1  t  x ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao Khi đó: x  m  x  m  x  x (thỏa điều kiện a) Trang 5/43 x x Xét hàm số g  x   x   g   x    ln   x   log  ln  Bảng biến thiên: Từ phương trình cho có nghiệm m  g   log  ln    0,856 Do m nguyên thuộc khoảng  25; 25  , nên m  24; 16; ; 1 Câu 11 (Đề tham khảo BGD 18) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m  3 m  3sin x  sin x có nghiệm thực? A B C Lời giải D Chọn A Ta có m  3 m  3sin x  sin x  3 m  3sin x  sin x  m u  sin x  1  u  1 Đặt  v  m  3sin x  v  m  3sin x  m  3u 3v  u  m Ta có hệ   u  3u  v3  3v  * v  m  3u Xét hàm số y  f  t   t  3t  f   t   3t   0, t   nên hàm số f  t  đồng biến  *  f  u   f  v   u  v Suy u  m  3u  m  u  3u 1 Xét hàm số g  u   u  3u đoạn  1;1 Ta có g   u   3u    u  1 g  1  2; g 1  2 Suy max g  u   2; g  u   2 1;1 1;1 Do phương trình (1) có nghiệm 2  m  Vì m   nên m  0; 1; 2 Câu 12 Có giá trị nguyên dương nhỏ 2018 tham số m để phương trình   w w w log m  m  x  x có nghiệm thực? A 2017 B 2016 fa C 1005 Lời giải D 1004 ce Chọn A   om c ok bo m  x  a Điều kiện:  x m  m    b  2 Ta có log m  m  x  x  m  m  x   x   m  x  m  x   x   x  * /b db Xét hàm số f  t   t  t khoảng  0;    ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao Vì f   t   2t   0, t  nên hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;    Trang 6/43 Do *  f   m  2x  f  2x   m  2x  2x  m  4x  2x Xét hàm số g  x   x  x  g   x   x ln  x ln    x   x   x   x  1 Bảng biến thiên – YCBT  m   Vậy m  1; 2; ; 2017 Câu 13 (KHTN Hà Nội 19) Có giá trị nguyên tham số m x 1  log  x  2m   m có nghiệm ? A B 10 C Lời giải  m  10  để phương trình D Chọn A ĐK: x  2m  x 1 x Ta có  log  x  2m   m   log  x  2m   2m  x  t  2m t  log x  m  x  x  2t  t 1 Đặt  ta có  t 2   x  2m u Do hàm số f  u    u đồng biến  , nên ta có 1  t  x Khi đó: x  x  2m  m  x  x x x Xét hàm số g  x    x  g   x   ln    x   log  ln  Bảng biến thiên: Từ phương trình cho có nghiệm 2m  g   log  ln    m  g   log  ln   w x fa w w  0, 457 (các nghiệm thỏa mãn điều kiện x  2m   ) Do m nguyên m  10 , nên m  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 ce Câu 14 Cho hàm số f  x   1  m3  x  x    m  x  với m tham số Có số nguyên db /b om c ok bo m   2018; 2018 cho f  x   với giá trị x   2; 4 A 4037 B 2021 C 2019 D 2020 Lời giải Chọn D 3 Ta có f  x    1  m3  x  x    m  x     x  1   x  1   mx   mx (1) ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao Xét hàm số g  t   t  t  , có g   t   3t   , t   Trang 7/43 Do hàm số g  t  đồng biến   1  g  x  1  g  mx   x   mx  m  x 1 , x   2; 4 x x 1 nghịch biến đoạn  2; 4 nên h  x   h    2;4   x YCBT  m  h  x   m   2;4 Vì m nguyên thuộc đoạn  2018; 2018 nên có 2020 giá trị m thỏa mãn Vì hàm số h  x   Câu 15 (Chuyên Vĩnh Phúc 18) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình ln  m  ln  m  x    x có nhiều nghiệm A m  B m  C m  e D m  1 Lời giải Chọn B m  x  a Điều kiện  m  ln  m  x    b  Phương trình cho tương đương với m  ln  m  x   e x (thỏa điều kiện b) y Đặt ln  m  x   y  m  x  e y (thỏa điều kiện a)  e  m  x x e  m  y  e x  e y  y  x  e x  x  e y  y  * Ta có hệ  y e  m  x t Vì hàm số f  t   e  t đồng biến  nên *  f  x   f  y   x  y  m  x  ex  m  ex  x x x Xét hàm số g  x   e  x ; g   x   e  ; g   x    x  BBT Suy phương trình có nhiều hai nghiệm  m  Câu 16 (SỞ CÀ MAU 19) Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m   2019; 2019 để bất phương trình 1  m3  x    m3  x  13  m  3m3  x  10  m  m3  với x  1;3 Số phần tử tập S A 4038 B 2021 C 2022 Lời giải D 2020 w w w Chọn B 1  m3  x3    m3  x  13  m  3m3  x  10  m  m3  0, x  1;3 3 fa   x    x    m  x  1   m  x  1 , x  1;3 * ce Xét: f  t   t  t , t   , ta có f   t   3t   0, t   ok bo Hàm số f  t  đồng biến  om c *  f  x    f  m  x  1   x   m  x  1  m  x2 x 1 x2 m 1;3 x  Vì m   nên m  2019;  2018; ;1 ao db /b YCBT  m  ThS Nguyeãn Văn Rin – HBT / ng lo Vậy có 2021 giá trị cần tìm Trang 8/43 m để Câu 17 (ĐỀ 17 VTED 19) Có số nguyên 2 x  x  mx  15  3m  x  6mx  10  nghiệm với số thực x B A C Vô số Lời giải bất phương trình D Chọn B Ta có: x  x  mx  15  3m2  x  6mx  10   x  x  15 x  10  m3 x  3m x  6mx 3   x     x     mx  1   mx  1  f  x    f  mx  1 Trong f  x   t  3t đồng biến  f  x    f  mx  1  x   mx   x  mx   0, x    m    2  m  Câu 18 (SỞ QUẢNG BÌNH 19) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình sau x6  3x  m3 x3  x  mx   nghiệm với x  1;3 Tổng tất phần tử S A B C Lời giải D Chọn A Ta có: x6  3x  m3 x3  x  mx    x6  3x  x   m3 x3  mx 3   x  1   x  1   mx   mx 1 Xét hàm đặc trưng f  t   t  t  f '  t   3t   1  f  x  1  f  mx   x   mx Bài tốn trở thành tìm m để bất phương trình x2   mx nghiệm với x  1;3 x   mx  m  x2 1  g  x  , x  1;3 x  x  1;3  Min g  x   g 1  x1;3 x2 YCBT  m  Vì m    nên m  1; 2  S    Câu 19 (Chun Thái Bình 19) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f f ( x )  m  x  m có nghiệm x  1;2 biết f ( x )  x  3x  4m g ' x  1   A 16 B 15 C 17 Lời giải D 18 Chọn A Đặt t  f ( x )  m  t  f ( x )  m Ta hệ phương trình sau: fa w w w ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db /b om c ok bo ce 3  f (t )  x  m  f (t )  x  m  f (t )  t  f ( x )  x (*)     t3  m  t  f ( x)  m  f ( x )  t  m  f ( x ) Vì f ( x )  x  x  4m, f '( x )  x  x  0, x   nên hàm số h ( x )  f ( x )  x đồng biến  Do đó: (*)  x  t Khi ta được: f ( x )  x  m  x  3x  4m  x  x  3m  g ( x )  x  x  m(**) 3 Dễ thấy g ( x )  x  x đồng biến 1;2 nên phương trình (**) có nghiệm đoạn 1;2 3 khi: g (1)  m  g (2)   m  16 Vì m thuộc số nguyên nên có 16 số thỏa mãn tốn Trang 9/43 Câu 20 (Tập huấn Bắc Ninh 19) Cho phương trình x x  4m  x  2m  1  x  20 x  10 x  Biết a a  tối giản) tập tất giá trị tham số  ;    (với a , b số nguyên dương phân số b b  m để phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt Tính S  a  b A 17 B C 25 D 10 Lời giải Chọn C Với x  phương trình cho tương đương với 10 x  4m  x  4m    x  20 x   x x 1 1    x  m  x  m   x     x    * x x   Xét hàm số f  t   t  2t    Ta có f   t   3t   0, t   nên hàm số đồng biến  Do *  f 1 1   x  m  f  x    x  m  x   4m   x    x x x x     1  Xét hàm số g  x    x    x khoảng  0;    x  x  1   x2  x2   g  x   2x           x   3x3   x  x  x x   x  0,57  Bảng biến thiên –  S  32  42  25 NHÂN TÔNG YCBT  m  Câu 21 (TRẦN x   m 3 x   x  6x  9x  m T  b2  a A T  36 x 2 2 x 1 B T  48 QUẢNG NINH 18) Phương trình  có nghiệm phân biệt m  ( a; b) Tính C T  64 Hướng dẫn giải D T  72 Chọn B 3 Ta có x 2 m 3 x   x  x  x  m  x 2  x 1   m 3 x   x     m  x  23  22  x 2 m 3 x  m  x  22 x    x  w t  * fa w w Xét hàm số g  t    t  g   t   2t.ln  3t  0, t   nên hàm số g  t  đồng biến    m  3x  g   x   m  x   x  m  3x    x   m   x  x  x3 bo ce Do *  g Xét hàm số f  x    x3  x  x   ok ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db /b om c x  có f   x   3x  12 x  ; f   x     x  Bảng biến thiên Trang 10/43 1 x 1  g  x   x  1 x 1 x Bảng biến thiên g  x  : Ta có: g   x    Từ bảng biến thiên hàm số g  x  suy giá trị lớn P là: max g  x     ;1 Câu 52 (TRẦN NHÂN TÔNG  - QUẢNG NINH 18) Cho hai số thực x, y thỏa mãn:  x3   y 3xy  x  3xy   Tìm giá trị nhỏ P  x  y  xy   x  1  x  y   A 296 15  18 36  296 15 B 36  Hướng dẫn giải C D 4  18 Chọn B Ta có x3   y 3xy  x  xy      27 x3  x   3xy  5 3xy   3xy  Xét hàm f  t   t  2t với t   0;   có f '  t   3t   0t   0;   nên hàm số liên tục đồng biến  0;   Khi ta có 3x  3xy   x  x  xy  Với x   5  l  với x  P  x  y  xy   x  1  x  y    x  y  xy   x  3  x  y    x3  y  xy   3xy   x  y    x3  y  x y  3xy   x  y     x  y  2 x  y  Mà x  y  x  x2  5 5  4x   x  Đặt t  x  y t  3x 3x 3x 3 Xét f  t   t  2t  với t  5 Khi f   t   3t   với t  3 fa w w w   36  296 15 Do f  t   f      36  296 15 36  296 15 Suy P  Vậy GTNN P 9 Câu 53 (Đô Lương - Nghệ An 18) Xét số thực dương x, y thỏa x y 3x  y  log  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị lớn P  x  y  xy  x y6 A B C D Lời giải Chọn B x y Ta có log  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db /b om c ok bo ce mãn Trang 29/43  x  y    x  y    log  x  y  xy     x  y  xy    log  x  y    x  y   log 3  log  x  y  xy     x  y  xy    log 3  x  y     x  y   log  x  y  xy     x  y  xy   * Xét hàm số f  t   log t  t , với t   log   , t  t.ln Vậy hàm số f  t  liên tục đồng biến khoảng  0;   có f   t   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y    x  y 1  Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   Đẳng thức xảy x  y  Do từ 1 , suy ra:  x  y  1 x 2   x  y   3 x  y   Đặt t  x  y , t  Suy ra: P   x  y 1 x x y6 Ta có: f   t    t  1 2t   t  6  t  3t  3t  22t    f t  t 6 t  6  3t  36t  135 2   t  (nhận) Bảng biến thiên t f  t     f t  x  y 1 x  Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3    0;    x  y   y  Câu 54 (SỞ HÀ TĨNH 19) Cho số thực thỏa x, y , z mãn fa w w w db /b om c ok bo ce   x yz log16    x  x    y  y    z  z   Tổng giá trị lớn nhỏ biểu 2  2x  y  2z   x yz thức F  x y z 2 1 A B  C D  3 3 Lời giải Chọn C   x yz • Ta có: log16    x  x  2  y  y  2  z  z  2 2  2x  y  2z   1  log  x  y  z   log  x  y  z  1   x  y  z    x  y  z  2  log  x  y  z   log  x  y  z  1  log 4   x  y  z  1   x  y  z  ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao   x  y  z  1  log  x  y  z  1   x  y  z   log 4  x  y  z * Trang 30/43 • Xét hàm số f  t   t  log t  0;     f '  t     0, t   0;    t.ln  f  t  đồng biến  0;    Khi đó: (*)  x  y  z    x  y  z   S  10   S  mặt cầu tâm I 1;1;1 bán kính R  x yz • Ta có: F  x y z  1  F  x  1  F  y  1  F  z   P   x2  y  z  2x  y  z  • Điều kiện tương giao mặt phẳng  P  măt cầu  S  : d  I ;  P   R   3F 2 1  F   1  F   1  F   10   F  10  3F  F  3  F  F  26   10  10  F 3  10  10  Fmax  , Fmin  3  10  10  Fmax  Fmin    3 Câu 55 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 18) Cho x , y số thực dương thỏa mãn xy  x 1   3 x  y  y ( x  2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  x  y xy A Tmin   B Tmin   C Tmin   D Tmin   Lời giải Chọn B Theo đề ta có 5xy 5x  y  xy  x    3 x  y  y ( x  2) 1  5x  y  x  y  x  y  5xy 1  xy 1  xy  3 Xét f  t   5t  t  t  f   t   5t ln  3t ln   x 1  x  y  xy   y  x2 Vì y  nên x  5x  y  fa w w w ce x  x2  x   x2 x2  x     2;   x  4x 1 T  0   x     2;    x  2 Lập bảng biến thiên ta Tmin   x   Ta có: T  x  y  x  / ng lo ao db /b om c ok bo ThS Nguyễn Văn Rin – HBT Trang 31/43 Câu 56 (THTT 18) Xét số thực dương x, y thỏa mãn log x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2 3x  y  x y6 C Lời giải Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P  A B D Chọn C Ta có: log x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2  log 3  x  y    x  y   log x  y  xy    x  y  xy  Xét hàm số f  t   log t  t , t  có f   t     0, t  Vậy hàm số f  t  đồng t ln biến liên tục khoảng  0;   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y    x  y 1  Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   Đẳng thức xảy x  y  Do từ 1 , suy ra: x   x  y  1   x  y   3 x  y   Đặt t  x  y , t  Suy ra: P  2t    x  y 1 x  x y6 Ta có: f   t   3t  36t  135 t  6  t  1 2  t  3t  t 6  3t  22t   f t  t  6   t  (nhận) Bảng biến thiên t f  t     f t  w w w x  y 1 x  Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3     0;  x  y   y  Câu 57 (Trần Hưng Đạo - TP HCM 18) Xét số thực dương x , y thỏa mãn 2018 fa c ok bo ce giá trị nhỏ Pmin P  y  x A Pmin  B Pmin  C Pmin  Lời giải   x  y 1 D Pmin   2x  y  x  1 Tìm om Chọn B   x  y 1 /b Ta có 2018  2x  y   x  y  1  log 2018 2x  y ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db  x  1  x  1 2   x  1   x  y   log 2018  x  y   log 2018  x  1 Trang 32/43 2   x  1  log 2018  x  1   x  y   log 2018  x  y  Có dạng f  x  1   f  x  y  với f  t   2t  log 2018 t ,  t     Xét hàm số f  t   2t  log 2018 t ,  t   , ta có f   t      t   nên hàm số f  t  t.ln 2018 2 đồng biến khoảng  0;    Khi f  x  1   f  x  y    x  1  x  y  y  x    Ta có P  y  x   x  1  x  x  x  Bảng biến thiên x     P x  Câu 58 (Mộ Đức - Quãng Ngãi 18) Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức Vậy Pmin   xy  1 22 xy 1   x  y  x  y Tìm giá trị nhỏ A ymin  B ymin  ymin y C ymin  Lời giải D ymin  Chọn B 2 Ta có  xy  1 22 xy 1   x  y  x  y   xy   1 22 xy 1   x  y  x  y 1 1 Xét hàm f  t    t  1 2t với t  Khi f   t   2t   t  1 2t.ln  với t  x2  Từ 1  xy   x  y   y  2x 1 x  2x  2x  y    2x2  2x      x  1  x  1 Loại x  1 điều kiện t nên f    Câu 59 (Chuyên Thái log  x  1 y  1  A Pmin  Bình y 1 18) Cho số thực dương x, y thỏa mãn    x  1 y  1 Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y 11 B Pmin  27 C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D fa w w w y 1 Ta có log  x  1 y  1     x  1 y  1   y  1  log  x  1  log  y  1    x  1 y  1  ce   y  1  log  x  1  log  y  1  x  1  bo  log  y  1 y 1 9  log3  x  1  x      log3 (*) y 1 y 1 /b om c ok  log  x  1  x     với t  nên hàm số f  t  t ln ao db Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t   đồng biến liên tục  0;   / ng lo ThS Nguyễn Văn Rin – HBT Trang 33/43 9 8 y x 1  , x  nên y   0;8  y 1 y 1 y 1 8 y 9 Vậy P  x  y   y  y 1    y  1    3  y 1 y 1 y 1 Vậy Pmin  3   y  1  y 1 y 1  4a  2b   Câu 60 (Thăng Long - Hà Nội 18) Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn log    a  3b   ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  b A B C D 2 Lời giải Chọn B  4a  2b   log    a  3b   log  4a  2b    log 5  a  b    a  b    4a  2b    ab   log5  4a  2b  5   4a  2b  5  log 5  a  b    a  b  (*) Từ (*) suy x   1  t ln f  t  đồng biến nên (*)  f  4a  2b    f   a  b    4a  2b    a  b  Hàm số f  t   log5 t  t  t   có f '  t   4a  2b    a  b   a   3b 3 5  T  a  b  T    3b   b  10b  30b  25  10  b     2 2  Vậy GTNN T  2x  y 1 Câu 61 (Chuyên Bắc Ninh 18) Cho x , y số thực dương thỏa mãn log  x  y Tìm giá trị x y nhỏ biểu thức T   x y 2 A  2 B C  Lời giải D Chọn D 2x  y 1  x  y  log3  x  y  1  log3  x  y   x  y x y  log  x  y  1  log  3x  y   x  y  Ta có log  log  x  y  1  x  y   log  3x  y   3x  y (*) fa w w w Xét hàm số f  t   log3 t  t với t    0, t  , suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  0;   t ln Do *  x  y   3x  y  x  y   x   y Khi f   t   ce bo 2 1      Xét T   x y 1 y y 1 y y y /b om c ok Vì x, y    y  ThS Nguyeãn Vaên Rin – HBT / ng lo ao db Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có T  3  3  3  y 1  y  y 1  y  Trang 34/43  x  1 y x    Dấu "  " xảy  1  y  y   2 y   y y    Câu 62  x  y 1  (Chuyên Nguyễn Du - Đăk Lăk 19) Cho số dương x , y thỏa mãn log    3x  y   2x  y  Giá trị nhỏ biểu thức A  x  y   x y A 31 B 11 27 Lời giải D 19 C Chọn D  x  y 1 0  Điều kiện:  x  y  x  y   x, y    x  y 1  Ta có: log    3x  y   2x  3y    log  x  y  1  1   x  y  1  log  x  y   x  y  log 5  x  y  1    x  y  1  log  x  y   x  y  * Xét hàm số f (t )  log5  t   t  0;   ta có   0, t   0;    t ln  Hàm số f (t )  log5  t   t đồng biến  0;    f (t )  *   x  y  1  x  y  3x  y  fa w w w Mặt khác, ta có:  4  9 A  x  y     x     y     x  y   2.6  2.6   19 x y  x  y  9 x  x   x     Vậy GTNN A  19 , dấu “ = ” xảy  4 y  N  y  y   3x  y    2 x2  y 1 2x  y  Câu 63 (Ba Đình 19) Xét số thực dương x, y thỏa mãn 2019 Giá trị nhỏ Pmin ( x  1)2 biểu thức P  y  x 1 15 A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  8 Lời giải Chọn D 2 x 1 2 x  y 1 2x  y  x  2019   x  y  20192 y Ta có: 2019    ( x  1) c ok bo ce om   x  1 2019 2 x 1  x   x  y  2019 y   x  1 2019 2 x 1   x  y  2019 2 x  y  (1) /b db Đặt u   x  1 , v  x  y,  u  0, v   , (1) trở thành u.20192u  v.20192v (2) ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao Xét hàm đặc trưng f  t   t.20192t ,  t   , ta có Trang 35/43 f '  t   20192t  2t.20192t.ln 2019  0, t   :    Hàm f  t  đồng biến (0; ) Phương trình    f  u   f  v   u  v   x  1  x  y  y  x  Suy P  y  x  x  x  1 15  b  1 Do P hàm bậc hai có hệ số a   nên P  P     P       16  2a  4 x y Câu 64 (Lý Nhân Tông 19) Cho hai số thực x , y thỏa mãn log  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  x  2y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x y6 A 43  249 94 B 37  249 94 69  249 94 Lời giải C D 69  249 94 Chọn D x y   x  y  x  y  xy  x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  Điều kiện log  log  x  y   log  x  y  xy    x  y  xy  x  y  log  x  y    log  x  y  xy    x  y  xy   x  y  log  x  y    x  y   log  x  y  xy    x  y  xy  Xét hàm đặc trưng f  t   log t  t , t   0;   , ta có f   t     0, t   0;   t.ln Suy hàm f  t  đồng biến khoảng  0;   Phương trình  f  x  y   f  x  y  xy    x  y  xy   x  y x y  a , 3a  b  x  a  b  Đặt  Khi P    là:  a  1  b   2a  y  a b b  x  y    a  1  cos t , Đặt   t  0; 2  , b  sin t ,  3cos t  sin t  P   P  3 cos t  sin t   3P cos t  Do phương trình ln có nghiệm t nên ta có 69  249 69  249 P  P  3    3P  47 P  69 P  24   94 94 69  249 Vậy giá trị lớn P 94 1 y  3xy  x  y  Tìm Câu 65 (Chuyên Thái Nguyên 19) Xét số thực dương x, y thỏa mãn log3 x  3xy giá trị nhỏ Pmin P  x  y   fa w w w 34 c ok bo ce B Pmin  om A Pmin  C Pmin  34 D Pmin  34 Lời giải ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db /b Chọn A 34 Trang 36/43 1 y  mà từ giả thiết x, y  suy  y   y  x  3xy Vậy ĐKXĐ: x  0;0  y  Để 1  y  xy  x 3 y 3 1 y 1 y 3  3xy  x  y    33 xy  x 3 y   x  3xy x  3xy x  3xy Ta có : log3 1  y  33 xy  x     y  333 y   xy  x  33 xy  x (*) x  3xy 333 y Xét f  t   t.3t với t  Ta có f   t   3t  t.3t.ln  với t  , suy f  t  đồng biến khoảng   0;   Từ (*)  y  3xy  x  y  Ta có P  x  y  x  P   x  1  ta có f   y   f  xy  x  với  y  0,3xy  x  nên 3 x 3( x  1)  3 x 3 x 1   x  1       x  1  3  x  1   4  2  x  1  x  1 4 34    x  1 3   x    x  1  3  x   34 3 x  Vậy Pmin   y  3  x  1   y  1  x  0;  y     Câu 66 (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG - QUẢNG NAM 19) Cho hai số dương log  x  y  xy   y2 x ; y thỏa    x   y   Giá trị nhỏ P  x  y số có dạng M  a b  c với a, b  , a  Tính S  a  b  c A S  17 B S  C S  19 D S  Lời giải Chọn D y2 Với hai số dương x ; y thỏa log  x  y  xy      x   y   Ta có  y   log  x  y  xy      x   y     y   log  x  1 y      x  1 y     y     x  1  y2    log  x  1   x  1  log    y2 y2  log  x  1  log  y    w fa w w Xét hàm đặc trưng f  t   log t  t  0;   có f   t     0, t  nên hàm số f  t  đồng t ln ce biến  0;   /b om c ok bo   8 f  x  1  f   y    2x 1  y2 2x   y2 AM GM   P  2x  y  2x     x  1   3  3 2x 1  2x 1  db Dấu xảy x   1  2   x  1   x  2x 1 ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao Vậy S  a  b  c  Trang 37/43  x  3y  Câu 67 (Gia Lộc - Hải Dương 19) Cho x, y  thỏa mãn log    xy  x  y Tìm giá trị nhỏ  xy  x2 y2  biểu thức P  1 3y 1 x 71 72 73 A 10 B C D 7 Lời giải Chọn C  x  3y  Ta có log    xy  x  y  log  x  y   log  xy   xy   x  y   xy   log  x  3y    x  y   log  xy   xy 1 Xét hàm số f  t   log t  t khoảng  0;    ; f   t     0, t  t.ln10 Suy hàm số f  t  đồng biến  0;   Phương trình 1 tương đương f  x  y   f  xy   x  y  xy Theo bất đẳng thức Schwarz ta có 2 3y    x  y  x2 y2 x2 P     2 1 3y 1 x 1 3y 1 x   x  3y Theo bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có xy  x  y  x.3 y   xy   12 xy   xy  xy  12   Vì xy  nên xy  12  x  y  12 Đặt u  x  y  u  12 u2 Từ   ta có P  f  u   , u  12 u2 u  u  4u f  u    f  u     (không thỏa mãn) u  2  u  4 72 72 72 Vậy P   Min P  7  x  y  12 x    x  3 y  12 u  12   x  3y    2 y   3 y  12   y  12  y  y 1  y   x    Min f  u   f 12   fa w w w Câu 68 (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN 19) Cho a, b, c số thực thỏa mãn  abc  log  2   a (a  2)  b(b  2)  c(c  2) Tìm giá trị lớn biểu thức  a  b  c 1 3a  2b  c P abc 62 82 62 42 A B C D 3 3 Lời giải Chọn C Ta có: abc log 2 2  a  a  2  b  b  2  c  c  2 a  b  c 1 / ng lo ao db /b om c ok bo ce ThS Nguyễn Văn Rin – HBT Trang 38/43  log  a  b  c    a  b  c    log  a  b  c  1  a  b  c   log  2a  2b  2c   2a  2b  2c  log  a  b  c  1  a  b  c  (*) Xét hàm f  t   log t  t với t  ,   0, t   0;   nên hàm số f  t  đồng biến  0;  t ln Khi đó, *  f  2a  2b  2c   f  a  b  c  1 Ta có, f '  t   2  2a  2b  2c  a  b  c    a  1   b  1   c  1  3a  2b  c   P  3 a  1   P   b  1   P  1 c  1   3P (**) abc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 2   3P     P  3 a  1   P   b  1   P  1 c  1    P  3   P     P  1  62 62  3P  12 P    P 3 62 3 1 1 ,b  ,c  Vậy, Pmax  a  3 3 Câu 69 (Hội trường chuyên 19) Cho x, y   0;  thỏa mãn  x  3 x    ey  ey  11 Giá trị lớn Ta lại có, P  P  ln x   ln y A  ln  ln B ln  ln C  ln  ln Lời giải D  ln Chọn B e Ta có :  x  3 x    ey  ey  11  x  x  24  e y  11ey Điều kiện: x  1, y   e y  11ey   x  x  24   (*), có    x    , x   11   x   x8  y  ey  ey  x   e   Do (*)   11   x  5  ey   x y  3 x ey   e  x8 x8 +) Do y    nên loại y  e e e 3 x +) Với y  , 1 x  2: e Khi đó, ta được: P  ln x  ln   x  1;  fa w w w Ta có P  P   1  x ln x   x  ln   x  ce 1  0 x ln x   x  ln   x  ok bo    x  ln   x   x ln x     x  ln   x   x ln x (**) om c Xét hàm f  t   t ln t 1;   , có f   t   ln t  db /b Khi (**)  f   x   f  x    x  x  x   0, t  1;   ln t Bảng biến thiên: / ng lo ao ThS Nguyễn Văn Rin – HBT Trang 39/43 3 , y 2e Câu 70 (THTT 19) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ Từ Pmax  ln  ln x  biểu thức P  x  y  A 59  x y 53 Lời giải B 19 C D  Chọn B x  Điều kiện:  0  y  Từ giả thiết ta có: log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log  x   y    x   y  (*) Xét hàm số f  t   log t  t với t  , Ta có f '  t     0, t  nên hàm số f  t   log t  t t ln đồng biến khoảng  0;   Do *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  x  y  ** ( x  ) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp số dương bất đẳng thức ** , ta có: 3x y  3x   y  P  3x  y     x  y              19 x y 2 x y  x  y  x  y   x   3x Đẳng thức xảy    Vậy giá trị nhỏ P 19 y  2 x y 2  y  Câu 71 (Sở Quảng Nam 19) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn y  y  x  log  x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  fa w w w A e  ln x y e  ln B e ln Lời giải C D e ln bo ce Chọn C Có y  y  x  log  x  y 1   y  y  x  log  x  y   1 ok Đặt t  log  x  y   x  y  2t  x  2t  y trở thành : y  y  2t  y  t   y 1  y   t  t   om c 1 Xét hàm số f  x   x  x , x    f   x   x ln   0, x   nên hàm số f  x   x  x /b  2 ta có: t  y   log  x  y   y   x  y  y 1 ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao  x  y 1 db đồng biến  Kết hợp với Trang 40/43 y 1 y ln  y 1 x y 1   P  y y2 y Cho P   y ln    y  ln Bảng biến thiên: Khi P  Vậy Pmin  e ln e x  y  2 ln Câu 72 (Chuyên Lam Sơn 19) Cho x , y thỏa mãn log x y  x ( x  9)  y ( y  9)  xy Tìm giá trị x  y  xy  2 3x  y  x , y thay đổi x  y  10 B C Lời giải lớn biểu thức P  A D Chọn C x y   ( x  y)  x  y  xy  y Vì x  y  xy   ( x  )  y   với x, y   x y Ta có log  x ( x  9)  y ( y  9)  xy x  y  xy   log ( x  y )  log ( x  y  xy  2)  x  y  xy  9( x  y ) Điều kiện xác định;   log ( x  y )  9( x  y )  log ( x  y  xy  2)  x  y  xy   log 9( x  y )  9( x  y )  log ( x  y  xy  2)  x  y  xy  (1) w w w Đặt f (t )  log t  t (t  0) Có f '(t )    với (t  0)  f hàm đồng biến với (t  0) Khi đó: t.ln f (9( x  y ))  f ( x  y  xy  2)  9( x  y )  x  y  xy   x  y  xy   x  y   x  y  xy   36 x  36 y   (2 x  y )  18(2 x  y )  3( y  3)2  19  Mà  3( y  3)   (2 x  y )  18(2 x  y )  19   1  x  y  19  x  y  19 x  x  y  19 Mặt khác P      P  Dấu xảy  x  y  10 y 3  y  fa Câu 73 (Hải Hậu 19) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ce ok bo S  x  y 89 A 12 B om c 11 x3  x  y  Giá trị lớn biểu thức y 1 17 12 Lời giải C D 82 ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db /b Chọn B Theo giả thiết y  nên ta có: Trang 41/43 x3  x  y   x3  x  y   y  1   3x   3x       y 1  f 3x   f  3 y  2  3y     y  với f  t   t  t Ta có f   t   3t   0, t  nên hàm số f  t  đồng biến  , suy 3x  y  2 Do y  3x  y  nên x  3 2 11 11 Khi S  x  y  x  3x   3x  x   3  x  1   3 3 11 Do max S  x  Tìm nghiệm nguyên phương trình Câu 74 (ĐỀ THAM KHẢO – BGD&ĐT 20) Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 hay y  x  log3  3x  3  x  y  y ? A 2019 B D C 2020 Lời giải Chọn D Đặt t  log  3x  3  3x   3t  x  3t 1  Phương trình trở thành  t  1  3t 1  y  32 y * Xét hàm số y  f  u   u  3u  Ta có f   u    3u ln  0, u   nên hàm số f  u  đồng biến  Do *  f  t  1  f  y   t   y  x  32 y   y  Vì  x  2020 nên  y   2020   y  log 2021 y    y  0;1; 2;3 Vậy có cặp số nguyên  x; y  thỏa YCBT Câu 75 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 19) Cho  x  2020 log (2 x  2)  x  y  y Có cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa mãn điều kiện trên? A 2019 B 2018 C D Lời giải Chọn D Do  x  2020 nên log (2 x  2) ln có nghĩa Ta có log (2 x  2)  x  y  y  log ( x  1)  x   y  23 y  log ( x  1)  2log ( x 1)  y  23 y (1) fa w w w bo ce Xét hàm số f (t )  t  2t Tập xác định D   f (t )   2t ln  f (t )  t   Suy hàm số f (t ) đồng biến  Do (1)  log ( x  1)  y  x   23 y  y  log ( x  1) Ta có  x  2020 nên  x   2021 suy  log8 ( x  1)  log8 2021 ok Lại có log8 2021  3, 66 nên y   y  0;1; 2;3 om c Vậy có cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa yêu cầu toán cặp (0;0) , (7 ;1) , (63; 2) , (511;3) Câu 76 Có cặp số nguyên  x; y  thỏa  y  2017 log B 22 ThS Nguyễn Văn Rin – HBT / ng lo ao db Chọn C /b A 44 C 42 Lời giải x2  3x  y  x2  8x   y 5x  x  D 21 Trang 42/43 a  x  x  y Đặt   a , b    x  x   y  b  2a  b  x  x  Phương trình cho trở thành log a  log b  b  2a   2a  log  2a   b  log b * Xét hàm số y  f  t   t  log t khoảng  0;     0, t  nên hàm số đồng biến khoảng  0;    t ln  *  f  a   f  b   2a  b   x  x  y   x  x   y  x  x  Ta có f   t    2  49  x  8 y  x 82 x 3  x  x   0  y  x  x   2034     42 GTN  x  x  1014  0  x  41 Tính tích phân Câu 77 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  0;    thỏa mãn f 1  3 3  f   x     f   x       , x   0;    Tính I   f  x  dx x x x  3ln  2ln 15 C I   2ln  3ln B I   3ln3  2ln 13 D I   2ln3  3ln Lời giải A I  Chọn B 3 3 Ta có  f   x     f   x         xf   x     xf   x     x  1   x  1* x x x Xét hàm số g  t   t  3t  Vì g   t   3t   0, t   nên hàm số đồng biến  *  g  xf   x    g  x  1  xf   x   x   f   x    x  1  f  x    1   dx  x  ln x  C  x Do f 1  nên  C   C  3 fa w w w  x2  Vậy I    x   ln x  dx    x  x  ln x  1   3ln  ln   2 - HẾT Facebook: Nguyễn Văn Rin … Đừng để đến ngày mai việc bạn làm ngày hôm nay! Benjamin Franklin CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT! / ng lo ao db /b om c ok bo ce ThS Nguyễn Văn Rin – HBT Trang 43/43 ...  để phương trình cho có nghiệm ? fa w w w Bấm máy, phương trình (1) có nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm phân biệt, phương trình (3) có nghiệm phân biệt (khơng trùng nhau) Vậy phương. .. 1   x  1   mx   mx 1 Xét hàm đặc trưng f  t   t  t  f '  t   3t   1  f  x  1  f  mx   x   mx Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình x2   mx nghiệm với x... ;    (với a , b số nguyên dương phân số b b  m để phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt Tính S  a  b A 17 B C 25 D 10 Lời giải Chọn C Với x  phương trình cho tương đương