Đỗ Minh Tuấn 35 DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Cho hàm số y f ( x, m) có tập xác định D Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu D Cách giải Hàm số đồng biến D y ' 0, x D Hàm số nghịch biến D y ' 0, x D Chú ý: a a y ' 0, Nếu y ' ax bx c thì: y ' 0, Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y f ( x, m) đơn điệu khoảng (a; b) Cách giải Hàm số đồng biến (a; b) y ' 0, x (a; b) Hàm số nghịch biến (a; b) y ' 0, x (a; b) Sử dụng kiến thức: m f ( x ), x (a; b) m max f ( x ) m f ( x ), x (a; b) m f ( x ) ( a;b ) ( a;b ) Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y f ( x , m ) ax bx cx d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước Cách giải Ta có: y ' 3ax 2bx c a Hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 ) PT: y ' có hai nghiệm phân biệt x1 x2 (1) Biến đổi x1 x2 k thành ( x1 x2 )2 x1x2 k Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa kết (2) Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y f ( x, m) có cực trị Cách giải Đối với hàm số: y ax bx cx d Khi đó, ta có: y ' 3ax 2bx c Hàm số có cực trị Hàm số có CĐ CT PT: y ' 3ax 2bx c có hai nghiệm phân biệt Đối với hàm số: y ax bx c amx anx (bn cm) g ( x) Khi đó, ta có: y ' mx n (mx n) (mx n)2 Hàm số có cực trị Hàm số có CĐ CT PT: g ( x) amx 2anx (bn cm) có hai nghiệm phân biệt khác Trang n m Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y f ( x, m) đạt cực trị điểm x0 Cách giải Hàm số đạt cực trị điểm x0 thì: y ' ( x0 ) GPT ta tìm giá trị m Thử lại giá trị m vừa tìm xem có thỏa mãn hay khơng? y '' ( x0 ) x0 điểm CĐ Nếu y B3 y B4 vận dụng kiến thức: y '' ( x0 ) x0 điểm CT Nếu y B2 kiểm tra cách lập bảng biến thiên B1 Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y f ( x, m) có cực trị hai điểm x1 , x2 điểm cực trị thỏa mãn hệ thức (I) Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có cực trị Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ x1 x2 Biến đổi hệ thức (I) cho vận dụng định lý Viet để tìm m Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết (1) Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y f ( x) Cách giải Đối với hàm số y ax3 bx cx d : Thực phép chia đa thức y cho y ' viết hàm số dạng: y u ( x) y ' Mx N Gọi A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1 Mx1 N y2 Mx2 N Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y Mx N Đối với hàm số y ax bx c : mx n Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số y Áp dụng bổ đề: ' u' ( x ) u ( x) y ( x0 ) có y( x0 ) v( x ) v' ( x0 ) v( x0 ) Gọi A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1 2ax1 b 2ax2 b y2 m m Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y 2a b x m m Dạng 8: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1) Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số A B nằm hai phía trục Oy x1x2 (sử dụng hệ thức (2)) Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 9: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1) Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7) Các điểm cực trị nằm hai phía trục Oy y1 y2 (sử dụng hệ thức (2)) Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 10: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng d : Ax By C cho trước Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1) Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7) Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) A B nằm hai phía d ( Ax1 By1 C )( Ax2 By2 C ) kết Dạng 11: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y f ( x, m) có điểm CĐ CT đối xứng với qua đường thẳng d : Ax By C Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1) Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7) Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) AB d A B đối xứng với qua d I d I trung điểm AB Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết giá trị m Dạng 12: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y f ( x, m) có điểm CĐ CT cách đường thẳng d : Ax By C Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1) Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7) Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) AB d A B cách đường thẳng I d I trung điểm AB Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Trang giá trị m Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 13: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y f ( x, m) có điểm cực trị A B thỏa mãn hệ thức (VD: AB k , AB ngắn nhất, OA 2OB …) Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1) Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7) Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) Từ hệ thức liên hệ điểm A, B ta tìm giá trị m Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : Ax By C cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị đồ thị hàm số y f ( x) nhỏ Cách giải Tìm điểm cực trị A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) ĐTHS y f ( x) Viết phương trình đường thẳng AB Kiểm tra xem A va B nằm phía hay nằm hai phía đường thẳng d + Nếu: ( Ax1 By1 C )( Ax2 By2 C ) A B nằm hai phía d Khi đó: MA MB AB Do đó: MA MB nhỏ M giao điểm AB với đường thẳng d + Nếu: ( Ax1 By1 C )( Ax2 By2 C ) A B nằm phía d - Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Khi đó: MA MB MA' MB A' B Do đó: MA MB nhỏ M giao điểm A’B B với đường thẳng d d d A* *M A *M0 M H *B A’ A, B nằm hai phía A, B nằm phía Dạng 15: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y f ( x, m) có điểm CĐ, CT đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : Ax By C góc α Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị (1) d k kd Khi đó: d k kd 1 giá trị m k k taïo với d góc α d tan α k k d Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 16: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c có điểm CĐ, CT tạo thành tam giác vuông cân Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị (1) Tìm tọa độ điểm cực trị A, B, C ĐTHS Xác định xem ABC cân điểm nào, giả sử cân A Khi đó: ABC vng cân OA.OB giá trị m Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng trục Oy ĐTHS có điểm CĐ, CT ĐTHS có ba điểm cực trị Dạng 17: Tìm giá trị m để tiệm cận xiên ĐTHS y ax bx c chắn hai trục tọa độ tam mx n giác có diện tích k Cách giải Tìm đường tiệm cận xiên ĐTHS Tìm tọa độ giao điểm A( x A ;0) B(0; yB ) TCX với trục tọa độ Khi đó: OA x A OB yB SOAB y B 1 OA.OB x A yB 2 A O Từ đó, suy kết m Dạng 18: Tìm điểm M đồ thị (C): y ax b cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm cx d hai đường tiệm cận nhỏ Cách giải Tìm đường tiệm cận ĐTHS Giao điểm A B hai đường tiệm cận Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số cho dạng: y p q Gọi M m; p (C ) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận cm d Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm kết q (với p, q ) cx d Chú ý: - Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng : Ax By C là: d ( M ; ) Ax0 By0 C A2 B - Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A B: A B AB Dấu “=” xảy A B - Đối với hàm số dạng y ax bx c cách làm hoàn toàn tương tự mx n Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) Cách giải x Xác định x0 y0 Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Tính y ' Từ suy ra: y ' ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y y ' ( x0 )( x x0 ) y0 Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Cách giải Xác định k Tính f ' ( x) giải phương trình f ' ( x) k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Từ suy ra: y0 f ( x0 ) PT tiếp tuyến cần tìm: y k ( x x0 ) y0 Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y f ( x) biết tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) Cách giải Gọi đường thẳng qua điểm A( x A ; y A ) có hệ số góc k PT : y k ( x x A ) y A f ( x) k ( x x A ) y A tiếp tuyến (C) HPT: ' k f ( x) (1) Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x) f ' ( x)( x x A ) y A (3) Giải phương trình (3) ta x k (thay vào (2)) PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*)) (*) có nghiệm (2) Dạng 22: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y f ( x) Cách giải Giả sử: M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng: y k ( x x0 ) y0 f ( x) k ( x x0 ) y0 tiếp tuyến (C) HPT: ' k f ( x) (1) Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x) f ' ( x )( x x0 ) y0 (3) Khi đó, từ M kẻ n tiếp tuyến đến (C) PT (3) có n nghiệm phân biệt kết có nghiệm (2) Dạng 23: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y f ( x) hai tiếp tuyến vng góc với Cách giải Giả sử: M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng: y k ( x x0 ) y0 f ( x) k ( x x0 ) y0 tiếp tuyến (C) HPT: ' k f ( x) (1) Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x) f ' ( x )( x x0 ) y0 (3) Khi đó, qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) PT (3) có nghiệm phân biệt x1 x2 Hai tiếp tuyến vng góc với f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) 1 kết có nghiệm (2) Chú ý: Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh (3) có nghiệm phân biệt f ( x1 ) f ( x2 ) Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 24: Tìm giá trị m để đồ thị (C1 ) : y f ( x, m) cắt đồ thị (C2 ) : y g ( x) n điểm phân biệt Cách giải (C1 ) cắt (C2 ) n điểm phân biệt PT: f ( x, m) g ( x) có n nghiệm phân biệt Tìm m số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa vào đồ thị … kết Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: F ( x, m) Cách giải Biến đổi phương trình F ( x, m) dạng: f ( x) g (m) , đồ thị y f ( x) vẽ đồ thị Số nghiệm PT cho số giao điểm đồ thị (C ) : y f ( x) với đường thẳng d : y g (m) Dựa vào số giao điểm d với (C) kết Dạng 26: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị (C ) : y ax b hai điểm phân biệt cx d M, N cho độ dài đoạn MN nhỏ Cách giải d cắt (C ) hai điểm phân biệt PT: ax b px q có hai nghiệm phân biệt cx d PT: Ax Bx C (1) có hai nghiệm phân biệt khác điều kiện m d c (*) Khi đó, d cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) N ( x2 ; y2 ) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ x1 x2 ( x1 x2 hai nghiệm pt (1)) Tính: MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 kết m để MN nhỏ Chú ý: - Khi tính y1 y2 ta thay x1 x2 vào phương trình đường thẳng d - OMN vuông OM ON x1x2 y1 y2 - Đối với đồ thị hàm số (C ) : y ax bx c cách làm hoàn toàn tương tự mx n Dạng 27: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị (C ) : y ax b hai điểm phân biệt cx d thuộc nhánh (C) Cách giải Xác định tiệm cận đứng (C) d cắt (C ) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C) PT: ax b px q có hai nghiệm phân biệt nằm phía TCĐ cx d PT: Ax Bx C (1) có hai nghiệm phân biệt khác d nằm phía với TCĐ c kết m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm phía đường thẳng) Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 28: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y ax3 bx cx d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Cách giải Điều kiện cần: Hoành độ giao điểm x1, x2 , x3 nghiệm PT: ax3 bx cx d Theo định lý Viet, ta có: x1 x2 x3 Do x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên: x1 x3 x2 Thay vào (2) ta được: x2 Thay vào (1), ta giá trị m b a (1) (2) Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng Kết luận: Đưa giá trị m b 3a Dạng 29: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y ax3 bx cx d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân Cách giải Điều kiện cần: Hoành độ giao điểm x1 , x2 , x3 nghiệm PT: ax3 bx cx d Theo định lý Viet, ta có: x1x2 x3 Do x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân, nên: x1x3 x22 Thay vào (2) ta được: x2 Thay vào (1), ta giá trị m d a (1) (2) Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng Kết luận: Đưa giá trị m d a Dạng 30: Cho họ đường cong (Cm ) : y f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong qua với giá trị m Cách giải Gọi A( x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm ) Khi ta có: y0 f ( x0 , m), m Am B 0, m A x0 yo điểm cố định A B Kết luận điểm cố định mà họ (Cm ) qua Dạng 31: Cho họ đường cong (Cm ) : y f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm mà họ đường cong không qua với giá trị m Cách giải Gọi A( x0 ; y0 ) điểm mà họ (Cm ) không qua m Khi phương trình ẩn m: y0 f ( x0 , m) vô nghiệm điều kiện x0 y0 Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 32: Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y f x Cách giải Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) f ( x) x Ta có: y f x f ( x) x Do đó, đồ thị hàm số y f x hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 33: Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y f ( x) Cách giải Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) f ( x) f ( x) Ta có: y f ( x) f ( x) f ( x) Do đó, đồ thị hàm số y f ( x ) hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C) bên trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C) bên trục Ox qua trục Ox Dạng 34: Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y f ( x) Cách giải Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) f (x) Ta có: y f ( x ) y f ( x ) y f ( x ) Do đó, đồ thị hàm số y f ( x ) hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 35: Cho đồ thị (C ) : y f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y f ( x ) u( x ) v( x ) Cách giải Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) u( x ).v( x ) u( x ) Ta có: y u( x ).v( x ) u( x ) Do đó, đồ thị hàm số y f ( x ) u( x ) v( x ) hợp hai phần: Phần 1: phần đồ (C) miền u( x ) Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C) miền u( x ) qua trục Ox Trang ...Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y f ( x, m) đạt cực trị điểm x0 Cách giải Hàm số đạt cực trị điểm x0 thì: y... Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 16: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c có điểm CĐ, CT tạo thành tam giác vng cân Cách giải Tìm điều kiện m để hàm số có... kết (1) Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y f ( x) Cách giải Đối với hàm số y ax3 bx cx d : Thực phép chia đa thức y cho y ' viết hàm số dạng: y