PHƯƠNG PHÁP GIẢI 35 DẠNG TOÁN hàm số

Đỗ Minh Tuấn 35 DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Cho hàm số y  f ( x, m) có tập xác định D Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu D Cách giải  Hàm số đồng biến D  y '  0, x  D  Hàm số nghịch biến D  y '  0, x  D Chú ý: a  a  y '  0,      Nếu y '  ax  bx  c thì: y '  0,          Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) đơn điệu khoảng (a; b) Cách giải  Hàm số đồng biến (a; b)  y '  0, x  (a; b)  Hàm số nghịch biến (a; b)  y '  0, x  (a; b)  Sử dụng kiến thức: m  f ( x ), x  (a; b)  m  max f ( x ) m  f ( x ), x  (a; b)  m  f ( x ) ( a;b ) ( a;b ) Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x , m )  ax  bx  cx  d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước Cách giải  Ta có: y '  3ax  2bx  c  a  Hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 )  PT: y '  có hai nghiệm phân biệt x1 x2   (1)    Biến đổi x1  x2  k thành ( x1  x2 )2  x1x2  k  Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa kết (2) Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) có cực trị Cách giải  Đối với hàm số: y  ax  bx  cx  d Khi đó, ta có: y '  3ax  2bx  c Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT: y '  3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt  Đối với hàm số: y  ax  bx  c amx  anx  (bn  cm) g ( x) Khi đó, ta có: y '   mx  n (mx  n) (mx  n)2 Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT: g ( x)  amx  2anx  (bn  cm)  có hai nghiệm phân biệt khác  Trang n m Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) đạt cực trị điểm x0 Cách giải  Hàm số đạt cực trị điểm x0 thì: y ' ( x0 )  GPT ta tìm giá trị m  Thử lại giá trị m vừa tìm xem có thỏa mãn hay khơng?  y '' ( x0 )   x0 điểm CĐ Nếu y  B3 y  B4 vận dụng kiến thức: y '' ( x0 )   x0 điểm CT  Nếu y  B2 kiểm tra cách lập bảng biến thiên B1 Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) có cực trị hai điểm x1 , x2 điểm cực trị thỏa mãn hệ thức (I) Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có cực trị  Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ x1 x2  Biến đổi hệ thức (I) cho vận dụng định lý Viet để tìm m  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết (1) Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y  f ( x) Cách giải   Đối với hàm số y  ax3  bx  cx  d :  Thực phép chia đa thức y cho y ' viết hàm số dạng: y  u ( x) y '  Mx  N  Gọi A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1  Mx1  N y2  Mx2  N  Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  Mx  N Đối với hàm số y  ax  bx  c : mx  n  Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số y   Áp dụng bổ đề: ' u' ( x ) u ( x)  y ( x0 )  có  y( x0 )  v( x ) v' ( x0 ) v( x0 )  Gọi A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1   2ax1  b 2ax2  b y2  m m Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  2a b x m m Dạng 8: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số  A B nằm hai phía trục Oy  x1x2  (sử dụng hệ thức (2))  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 9: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Các điểm cực trị nằm hai phía trục Oy  y1 y2  (sử dụng hệ thức (2))  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 10: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng d : Ax  By  C  cho trước Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )  A B nằm hai phía d  ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   kết Dạng 11: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ CT đối xứng với qua đường thẳng d : Ax  By  C  Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )   AB  d A B đối xứng với qua d    I  d I trung điểm AB  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết  giá trị m Dạng 12: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ CT cách đường thẳng d : Ax  By  C  Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )   AB  d A B cách đường thẳng   I  d I trung điểm AB  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Trang  giá trị m Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 13: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị A B thỏa mãn hệ thức (VD: AB  k , AB ngắn nhất, OA  2OB …) Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )  Từ hệ thức liên hệ điểm A, B ta tìm giá trị m Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : Ax  By  C  cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  f ( x) nhỏ Cách giải  Tìm điểm cực trị A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) ĐTHS y  f ( x)  Viết phương trình đường thẳng AB  Kiểm tra xem A va B nằm phía hay nằm hai phía đường thẳng d + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm hai phía d Khi đó: MA  MB  AB Do đó: MA  MB nhỏ  M giao điểm AB với đường thẳng d + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm phía d - Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Khi đó: MA  MB  MA'  MB  A' B Do đó: MA  MB nhỏ  M giao điểm A’B B với đường thẳng d d d A* *M A *M0 M H *B A’ A, B nằm hai phía A, B nằm phía Dạng 15: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ, CT đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : Ax  By  C  góc α Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị  Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực trị (1)      d  k   kd  Khi đó:    d  k kd  1  giá trị m   k k  taïo với d góc α   d  tan α  k k d   Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 16: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c có điểm CĐ, CT tạo thành tam giác vuông cân Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị (1)  Tìm tọa độ điểm cực trị A, B, C ĐTHS   Xác định xem ABC cân điểm nào, giả sử cân A   Khi đó: ABC vng cân  OA.OB   giá trị m  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng trục Oy ĐTHS có điểm CĐ, CT  ĐTHS có ba điểm cực trị Dạng 17: Tìm giá trị m để tiệm cận xiên ĐTHS y  ax  bx  c chắn hai trục tọa độ tam mx  n giác có diện tích k Cách giải  Tìm đường tiệm cận xiên ĐTHS  Tìm tọa độ giao điểm A( x A ;0) B(0; yB ) TCX với trục tọa độ   Khi đó: OA  x A OB  yB  SOAB y B 1  OA.OB  x A yB 2 A O Từ đó, suy kết m Dạng 18: Tìm điểm M đồ thị (C): y  ax  b cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm cx  d hai đường tiệm cận nhỏ Cách giải  Tìm đường tiệm cận ĐTHS  Giao điểm A B hai đường tiệm cận  Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số cho dạng: y  p   q   Gọi M  m; p    (C ) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận cm  d    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm  kết q (với p, q   ) cx  d Chú ý: - Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : Ax  By  C  là: d ( M ; )  Ax0  By0  C A2  B - Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A B: A  B  AB Dấu “=” xảy  A  B - Đối với hàm số dạng y  ax  bx  c cách làm hoàn toàn tương tự mx  n Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) Cách giải  x Xác định x0 y0 Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số  Tính y ' Từ suy ra: y ' ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0 Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Cách giải  Xác định k  Tính f ' ( x) giải phương trình f ' ( x)  k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Từ suy ra: y0  f ( x0 )  PT tiếp tuyến cần tìm: y  k ( x  x0 )  y0 Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) Cách giải  Gọi  đường thẳng qua điểm A( x A ; y A ) có hệ số góc k  PT  : y  k ( x  x A )  y A   f ( x)  k ( x  x A )  y A  tiếp tuyến (C)  HPT:  '  k  f ( x) (1)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f ' ( x)( x  x A )  y A (3)  Giải phương trình (3) ta x  k (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*)) (*) có nghiệm (2) Dạng 22: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x) Cách giải  Giả sử: M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0   f ( x)  k ( x  x0 )  y0  tiếp tuyến (C)  HPT:  '  k  f ( x) (1)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f ' ( x )( x  x0 )  y0 (3)  Khi đó, từ M kẻ n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có n nghiệm phân biệt  kết có nghiệm (2) Dạng 23: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x) hai tiếp tuyến vng góc với Cách giải  Giả sử: M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0   f ( x)  k ( x  x0 )  y0  tiếp tuyến (C)  HPT:  '  k  f ( x) (1)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f ' ( x )( x  x0 )  y0 (3)  Khi đó, qua M kẻ tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có nghiệm phân biệt x1 x2  Hai tiếp tuyến vng góc với  f ' ( x1 ) f ' ( x2 )  1  kết có nghiệm (2) Chú ý: Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh (3) có nghiệm phân biệt   f ( x1 ) f ( x2 )  Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 24: Tìm giá trị m để đồ thị (C1 ) : y  f ( x, m) cắt đồ thị (C2 ) : y  g ( x) n điểm phân biệt Cách giải  (C1 ) cắt (C2 ) n điểm phân biệt  PT: f ( x, m)  g ( x) có n nghiệm phân biệt  Tìm m số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa vào đồ thị …  kết Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: F ( x, m)  Cách giải  Biến đổi phương trình F ( x, m)  dạng: f ( x)  g (m) , đồ thị y  f ( x) vẽ đồ thị  Số nghiệm PT cho số giao điểm đồ thị (C ) : y  f ( x) với đường thẳng d : y  g (m)  Dựa vào số giao điểm d với (C)  kết Dạng 26: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm phân biệt cx  d M, N cho độ dài đoạn MN nhỏ Cách giải  d cắt (C ) hai điểm phân biệt  PT: ax  b  px  q có hai nghiệm phân biệt cx  d  PT: Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác   điều kiện m d c (*)  Khi đó, d cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) N ( x2 ; y2 ) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ x1 x2 ( x1 x2 hai nghiệm pt (1))  Tính: MN  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  kết m để MN nhỏ Chú ý: - Khi tính y1 y2 ta thay x1 x2 vào phương trình đường thẳng d   - OMN vuông  OM ON   x1x2  y1 y2  - Đối với đồ thị hàm số (C ) : y  ax  bx  c cách làm hoàn toàn tương tự mx  n Dạng 27: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm phân biệt cx  d thuộc nhánh (C) Cách giải  Xác định tiệm cận đứng (C)  d cắt (C ) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C)  PT: ax  b  px  q có hai nghiệm phân biệt nằm phía TCĐ cx  d  PT: Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác  d nằm phía với TCĐ c  kết m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm phía đường thẳng) Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 28: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax3  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Cách giải  Điều kiện cần:  Hoành độ giao điểm x1, x2 , x3 nghiệm PT: ax3  bx  cx  d   Theo định lý Viet, ta có: x1  x2  x3    Do x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên: x1  x3  x2 Thay vào (2) ta được: x2    Thay vào (1), ta giá trị m b a (1) (2)  Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng  Kết luận: Đưa giá trị m b 3a Dạng 29: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax3  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân Cách giải  Điều kiện cần:  Hoành độ giao điểm x1 , x2 , x3 nghiệm PT: ax3  bx  cx  d   Theo định lý Viet, ta có: x1x2 x3    Do x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân, nên: x1x3  x22 Thay vào (2) ta được: x2    Thay vào (1), ta giá trị m d a (1) (2)  Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng  Kết luận: Đưa giá trị m d a Dạng 30: Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong qua với giá trị m Cách giải  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm ) Khi ta có: y0  f ( x0 , m), m  Am  B  0, m A    x0 yo  điểm cố định A B   Kết luận điểm cố định mà họ (Cm ) qua Dạng 31: Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm mà họ đường cong không qua với giá trị m Cách giải  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm mà họ (Cm ) không qua m  Khi phương trình ẩn m: y0  f ( x0 , m) vô nghiệm  điều kiện x0 y0 Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 32: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f ( x) x  Ta có: y  f  x     f ( x) x   Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 33: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f ( x) f ( x)  Ta có: y  f ( x)    f ( x) f ( x)   Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x ) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C) bên trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C) bên trục Ox qua trục Ox Dạng 34: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f (x)   Ta có: y  f ( x )    y  f ( x )   y   f ( x )  Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x ) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 35: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x )  u( x ) v( x ) Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) u( x ).v( x ) u( x )  Ta có: y    u( x ).v( x ) u( x )   Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x )  u( x ) v( x ) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ (C) miền u( x )   Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C) miền u( x )  qua trục Ox Trang ...Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) đạt cực trị điểm x0 Cách giải  Hàm số đạt cực trị điểm x0 thì: y... Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Dạng 16: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c có điểm CĐ, CT tạo thành tam giác vng cân Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có... kết (1) Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y  f ( x) Cách giải   Đối với hàm số y  ax3  bx  cx  d :  Thực phép chia đa thức y cho y ' viết hàm số dạng: y