Vành và môđun các thương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Hồng Thị Loan VÀNH VÀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Hồng Thị Loan VÀNH VÀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG Chun ngành: Đại số Mã số: ??????? KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Kiều Nga Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, vành 1.2 Iđêan vành thương 1.2.1 Iđêan 1.2.2 Vành thương 1.3 Đồng cấu vành 1.4 Môđun, môđun con, môđun thương 12 1.4.1 Môđun 12 1.4.2 Môđun 14 1.4.3 Môđun thương 15 1.5 Đồng cấu môđun 15 1.6 Dãy khớp 17 Vành thương 2.1 19 Tập nhân đóng i 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 HOÀNG THỊ LOAN Vành thương 20 2.2.1 Xây dựng vành thương 20 2.2.2 Một số tính chất vành thương 25 2.2.3 Iđêan vành thương 30 2.2.4 Một số tập 38 Môđun thương 40 3.1 Khái niệm môđun thương 40 3.2 Một số tính chất mơđun thương 42 3.3 Địa phương hóa dãy khớp 47 Kết luận 52 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc đến Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội đặc biệt cô giáo T.S Nguyễn Thị Kiều Nga Dưới hướng dẫn tận tình nỗ lực nghiên cứu thân, em hoàn thành khóa luận Mặc dù em cố gắng song kiến thức thân thời gian hạn chế nên khóa luận em khơng thể tránh thiếu sót Em kính mong nhận góp ý Thầy Cơ bạn để luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15/4/2018 Sinh viên Hoàng Thị Loan Khóa luận tốt nghiệp Đại học HỒNG THỊ LOAN Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu em trình học tập nghiên cứu với giúp đỡ Thầy Cơ khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Kiều Nga Trong q trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khóa luận "Vành mơđun thương" khơng có trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 15/4/2018 Sinh viên Hồng Thị Loan Khóa luận tốt nghiệp Đại học HỒNG THỊ LOAN Lời mở đầu Lí chọn đề tài Như ta biết, miền nguyên X, chưa phần tử khác khơng có phần tử khả nghịch Chẳng hạn miền nguyên Z có hai phần tử khả nghịch 1, −1 Việc xây dựng trường thương miền nguyên X việc mở rộng miền nguyên X thành trường, để phần tử khác khơng có phần tử khả nghịch Để mở rộng khái niệm trường thương miền nguyên cho vành giao hoán tùy ý, ta có khái niệm vành thương Tương tự xây dựng vành thương, ta xây dựng môđun thương vành thương Việc nghiên cứu vành thương mơđun thương quan trọng Bởi kết sử dụng nhiều việc nghiên cứu đại số giao hốn, hình học đại số, Vì lý đó, với việc mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề địa phương hóa vành mơđun Đại số, em mạnh dạn chọn đề tài "Vành môđun thương" làm đề tài nghiên cứu khóa luận Nội dung khóa luận gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" Chương trình bày kiến thức cần thiết sử dụng chương sau Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Chương "Vành thương" Chương giúp cho người đọc hiểu cách xây dựng vành thương, số tính chất vành thương Chương "Môđun thương" Chương trình bày cách xây dựng mơđun thương tính chất Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách xây dựng vành thương mơđun thương; số tính chất vành thương, môđun thương Đối tượng nghiên cứu Vành giao hốn mơđun Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, vành Định nghĩa 1.1 Ta gọi vành tập hợp R = ∅ với hai phép tốn hai ngơi, gồm phép cộng phép nhân thỏa mãn ba điều kiện sau: i) R nhóm Aben phép cộng, ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức là: (x + y).z = x.z + y.z, z.(x + y) = z.x + z.y, ∀x, y, z ∈ R Định nghĩa 1.2 Vành R gọi giao hốn phép nhân có tính giao hốn Vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử ∈ R cho 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ R Ví dụ 1.1 a) Các tập hợp số Z, Q , R, C với phép cộng nhân số thông thường vành giao hốn có đơn vị Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN b) Tập hợp Z/nZ = {0, 1, , n − 1} số nguyên mod n với phép cộng phép nhân số nguyên mod n sau: a + b = a + b, ab = ab vành giao hốn có đơn vị 1, gọi vành số nguyên mod n c) Tập hợp ma trận vuông cấp n, n > với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị, vành nói chung khơng giao hốn Tính chất 1.1 R vành Khi đó: +) 0.x = x.0 = 0, ∀x ∈ R, +) (−x).y = x.(−y) = −(x.y) ∀x, y ∈ R, +) (−x).(−y) = x.y, ∀x, y ∈ R, +) x.(y − z) = xy − xz, (x − y)z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ R, m n xi yj , ∀xi , yj ∈ R, +) (x1 + + xn ).(y1 + + yn ) = i=1 j=1 +) (n.x).y = x.(n.y) = n.(xy), ∀x, y ∈ R, n ∈ Z, n Cnk xk y n−k , ∀x, y ∈ R, n ∈ N +) (x + y)n = k=0 Định nghĩa 1.3 Giả sử R vành, A phận R ổn định hai phép toán cộng nhân R nghĩa x + y ∈ A, x.y ∈ A với x, y ∈ A A vành vành R A với hai phép tốn cảm sinh A vành Định lí 1.1 Giả sử A phận khác rỗng vành R Các điều kiện sau tương đương: Khóa luận tốt nghiệp Đại học HỒNG THỊ LOAN a r ar = = Tức ta có t ∈ S cho t(ar − s) = R Vì R s s miền nguyên t = (do t ∈ S) nên ar − s = suy s = ar ∈ I (do I iđêan) Điều vơ lí s ∈ S = R\I Do suy điều phải chứng minh Bài tập 2.3 Cho S tập nhân đóng R f : R → S −1 R đồng cấu tự nhiên Chứng minh Spec(S −1 R) = {S −1 P |P ∈ Spec(R), P ∩ S = ∅} Chứng minh Ta có S −1 P iđêan S −1 R + Nếu P ∩ S = ∅ S −1 P iđêan thực S −1 R Giả sử tồn a a ∈ / S −1 P mà xy ∈ S −1 P suy a, a ∈ / P ; s.s ∈ S x = , y = s s aa b = Suy tồn t ∈ S suy ut ∈ P (vì aa ∈ / P ) suy ss u ut ∈ P ∩ S suy P ∩ S = ∅ (mâu thuẫn) Vậy S −1 P iđêan nguyên tố S −1 R + Nếu P iđêan nguyên tố S −1 R P có dạng P = S −1 P với P iđêan R, P ∩ R = ∅ Ta cần chứng minh P ∈ SpecR Rõ ràng P = P c = f −1 (P ) suy P ∈ SpecR 39 Chương Môđun thương 3.1 Khái niệm môđun thương Định nghĩa 3.1 Cho M R− mơđun S tập nhân đóng R Trên tập tích Đề-các M × S ta xác định quan hệ ∼ sau: Với (x, s), (y, t) ta nói (x, s) ∼ (y, t) tồn r ∈ S cho r(tx − sy) = Khi ∼ quan hệ tương đương (chứng minh tương tự chương 2) Tập lớp tương đương M × S theo quan hệ kí hiệu S −1 M Lớp tương đương có đại diện phần tử (x, s) kí hiêu x x Tập S −1 M = { |x ∈ M, s ∈ S} Ta định nghĩa phép toán s s x y z −1 S M sau: Với , ∈ S −1 M ∈ S −1 R s t u x y xt + ys +) Phép cộng: + = , s t st +) Phép nhân với vô hướng: u x ux = zs zs Định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn đại diện Thật vậy, phép cộng ta chứng minh tương tự chương Đối với 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN y x = tức tồn r ∈ S cho s t r(tx − sy) = Suy zur(tx − sy) = Do (ux, zs) ∼ (uy, zt) tức ux uy = zs zt phép nhân vô hướng, giả sử Mệnh đề 3.1 Với hai phép toán cộng nhân vơ hướng S −1 M lập thành S −1 R− môđun Chứng minh - Rõ ràng S −1 M với phép cộng nhóm giao hốn (tương tự chương 2) m m r1 r2 ∈ S −1 M , ta có: - Với , ∈ S −1 R với , s1 s2 s s r1 m m r1 ms + m s ( + )= ( ) s1 s s s1 ss r1 (ms + m s) r1 ms + r1 m s = = s1 ss s1 ss r1 ms1 s + r1 m s1 s r1 m r1 m = = + s1 ss s1 s1 s s1 s r1 m r1 m + = s1 s s1 s - Tương tự ta có ( r1 r2 m r1 m r2 m + ) = + s1 s2 s s1 s s2 s Lại có: r1 r2 m r1 r2 m r1 r2 m r1 r2 m r1 r2 m ) = = = = ( ) s1 s2 s s1 s2 s s1 s2 s s1 s2 s s1 s2 s m 1m m +) = = 1s 1s s +) ( Vậy S −1 M môđun vành S −1 R Định nghĩa 3.2 Cho R vành giao hốn Giả sử M R− mơđun S tập nhân đóng R Khi S −1 M gọi mơđun địa phương hóa mơđun M S 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Chú ý: Ta biết f : R → R đồng cấu vành M R − mơđun M có cấu trúc R− mơđun với phép nhân vô hướng xác định sau: rm := f (r)m, ∀r ∈ R, m ∈ M r Ta có ánh xạ g : R → S −1 R xác định g(r) = , ∀r ∈ R với S tập nhân đóng vành R đồng cấu vành Vì S −1 M có cấu trúc R− mơđun với phép nhân vô hướng xác định sau: r m r m rm m = = , ∀r ∈ R, ∀ ∈ S −1 M s 1s s s Ví dụ 3.1 Giả sử P iđêan nguyên tố vành R Khi S = R\P tập nhân đóng R, trường hợp ta m viết S −1 M MP Vậy MP = { |m ∈ M, s ∈ / P } Khi MP s m m rm với ∈ MP r ∈ R R−môđun với phép nhân vô hướng r = s s s 3.2 Một số tính chất mơđun thương Định nghĩa 3.3 Một tính chất ω R− môđun M hay ánh xạ R− tuyến tính ϕ (chẳng hạn tính hữu hạn sinh M ϕ, đơn cấu, ) gọi tính chất địa phương M (hay ϕ) có tính chất ω MP (hay ϕP ) có tính chất ω với P ∈ SpecR Mệnh đề 3.2 Cho M R− mơđun Khi khẳng định sau tương đương: i) M = 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN ii) MP = với iđêan nguyên tố P R iii) Mµ = với iđêan cực đại µ R Chứng minh i)⇒ ii)⇒iii) hiển nhiên iii)⇒i) Giả sử tồn x ∈ M, x = Đặt I = Ann(x) = {a ∈ R|ax = 0} Khi I iđêan R Hơn I = R ∈ / I có iđêan cực đại µ R cho I ⊆ µ x x x Mặt khác ∈ Mµ , Mµ = nên = 0Mµ hay = Suy tồn 1 1 a ∈ / µ cho ax = Tức a ∈ Ann(x) = I (mâu thuẫn) Suy điều phải chứng minh Bổ đề 3.1 Giả sử f : M → N R− đồng cấu môđun S tập nhân đóng R Khi f cảm sinh đồng cấu S −1 R a f (a) môđun S −1 f : S −1 M → S −1 N, với (S −1 f )( ) = với s s a ∈ M, s ∈ S a b = S −1 M s t Khi tồn u ∈ S cho u(ta−sb) = suy f (u(ta−sb)) = f (0) Chứng minh Giả sử a, b ∈ M s, t ∈ S cho suy u(tf (a) − sf (b)) = (vì f R− đồng cấu mơđun)do f (a) f (b) = S −1 N nên S −1 f ánh xạ s t r Ta chứng minh S −1 f đống cấu S −1 R môđun, với ∈ s b S −1 R, ∈ S −1 M, ta có: t a b at + bs f (at + bs) f (at) + f (bs) (S −1 f )( + ) =(S −1 f ) = = s t st st st f (at) f (bs) at bs a b = + = f( ) + f( ) = f( ) + f( ) st st st st s t 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học với HỒNG THỊ LOAN b r ∈ S −1 R, ∈ S −1 M, ta có: s t r b f (rb) rf (b) r f (b) rb (S −1 f )( ) =(S −1 f ) = = = s t st st st s t r b = (S −1 f )( ) s t Vậy S −1 f đồng cấu S −1 R mơđun Định lí 3.1 Cho L môđun môđun M vành giao hốn R, S tập nhân đóng R Khi a S −1 L = { |a ∈ L s ∈ S} s môđun môđun S −1 M Chứng minh i) Ta có L mơđun M nên L = ∅ suy tồn a a ∈ L Do tồn ∈ S −1 L Suy S −1 L = ∅ s a −1 Với ∈ S L suy a ∈ L s ∈ S suy a ∈ M (vì L mơđun s a M ) Do ∈ S −1 M Vậy S −1 L ⊆ S −1 M s a b ii) Với , ∈ S −1 L ta có: s t a b as + bt + = ∈ S −1 L s t st (vì a, b ∈ L s, t ∈ S nên as ∈ L, bt ∈ L suy as + bt ∈ L) r ar a iii) Với ∈ S −1 L ∈ S −1 R, ta có = ∈ S −1 L (vì s s s s ss ar ∈ L) Vậy S −1 L môđun môđun S −1 M Đặc biệt, iđêan I R môđun R R 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN r ,r ∈ s xem R− mơđun Khi S −1 I = {λ ∈ S −1 R : λ = I s ∈ S} môđun S −1 R f g Định lí 3.2 Cho S tập nhân đóng R M → − N→ − P dãy khớp R− mơđun Khi dãy S −1 R− môđun: −1 S −1 f −1 S −1 g S M −−−→ S N −−→ S −1 P khớp Chứng minh Ta cần Im(S −1 f ) = Ker(S −1 g) Ta có g ◦ f = 0, S −1 g ◦ S −1 f = S −1 (f ◦ g) nên Im(S −1 f ) ⊂ Ker(S −1 g) n n g(n) Giả sử tồn ∈ Ker(S −1 g) Suy (S −1 g)( ) = = Suy s s s tồn t ∈ S cho tg(n) = Vậy g(tn) = 0, tn ∈ Kerg Từ tính khớp dãy ban đầu ta có Kerg = Imf Như tn = g(m) với m ∈ M Do ta có m n tn g(m) = = = (S −1 f )( ) ∈ Im(S −1 f ) s ts ts ts suy Ker(S −1 g) ⊂ Im(S −1 f ) Vậy Im(S −1 f ) = Ker(S −1 g) Suy điều phải chứng minh Nhận xét 3.1 Từ Định lí 3.1 ta suy M mơđun N ánh xạ tự nhiên S −1 M → S −1 N đơn ánh S −1 M môđun S −1 N Định nghĩa 3.4 Cho M, N R− mơđun Khi tồn R− môđun L0 ánh xạ song tuyến tính g : M × N → L0 thỏa mãn tính chất sau: 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HỒNG THỊ LOAN Với ánh xạ song tuyến tính ϕ : M × N → L tồn đồng cấu R− môđun ψ : L0 → L cho ϕ = ψ ◦ g Môđun L0 xác định sai khác đẳng cấu gọi tích Tenxơ mơđun M N Kí hiệu M ⊗ N Ảnh phần tử (m, n) M ⊗ N kí hiệu m ⊗ n Mệnh đề 3.3 Giả sử M R− mơđun Khi tồn đẳng a cấu R− môđun f : S −1 R ⊗ M → S −1 M xác định bởi: f ( ⊗ m) = s am , ∀a ∈ R, s ∈ S, m ∈ M s Chứng minh Ánh xạ g : S −1 R × M → S −1 M xác định a am g(( , m)) = , ∀a ∈ R, s ∈ S, m ∈ M s s a a ánh xạ song tuyến tính Thật vậy, với ( , m), ( , m ), ∈ S −1 R× s s M , ta có: a a as + a s m(as + sa ) ma ma g( + , m) =g( , m) = = + s s ss ss s s a a =g( , m) + g( , m) s s g( ram am a , m) = =r = rg( , m) s s s s a (m + m )a ma m a a a g( , m + m ) = = + = g( , m) + g( , m ) s s s s s s a arm am a g( , rm) = =r = rg( , m) s s s s Theo định nghĩa tích Tenxơ tồn đồng cấu f : S −1 R ⊗ M → S −1 M cho g = f ◦ h, h ánh xạ Tenxơ: S −1 R → 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN S −1 R ⊗ M f S −1 R / ' −1 h S7 −1 M f S R⊗M a a a am Do đó, (f ◦ h)( ⊗ m) = f (h( , m)) = (f ◦ h)( , m) = Mặt khác: s s s s m suy g toàn cấu Mà g = f ◦ h suy f toàn cấu g( , m) = s s k ri Giả sử z = ⊗mi ∈ S −1 R⊗M Khi ta đưa z dạng s i=0 i ⊗ m r ∈ S, m ∈ M Theo tính chất tích Tenxơ, nếu: s m f (z) = ⇒ f ( ⊗m) = ⇒ = , s ∈ S suy tồn t ∈ S cho s s s t 1 tm = M Khi z = ⊗m = ⊗m = ⊗(tm) = ⊗0 = s ts ts ts −1 S R ⊗ M suy Kerf = suy f đơn cấu Vậy f đẳng cấu 3.3 Địa phương hóa dãy khớp Định lí 3.3 Cho S tập nhân đóng R Nếu f g −→ M → − M→ − M ” −→ dãy khớp ngắn R− mơđun fS gS −→ S −1 M −→ S −1 M − → S −1 M ” −→ dãy khớp ngắn R− mơđun 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Chứng minh + fS đơn ánh Thật ta có m m ∈ S −1 M : fs ( ) = 0} s s f (m) m m ) = } = { ∈ S −1 M : f (m) = 0} ={ ∈ S −1 M : ( s s s Ker fS ={ Vì f đơn ánh nên f (m) = suy m = nên 0 Ker fS = { } = { } s Vậy fS đơn ánh m” ∈ S −1 M ” Vì g tồn s ánh nên tồn m ∈ M cho g(m) = m” tức tồn + Ta có gS tồn ánh Thật với m ∈ M cho m” g(m) m = = gS ( ) s s s m m” Vì m ∈ M, s ∈ S nên ∈ S −1 M suy với ∈ S −1 M ” s s m m m” −1 tồn ∈ S M cho gS ( ) = Vậy gS toàn ánh s s s + Chứng minh ImfS = KergS Ta có m m f (m ) m )| ∈ S −1 M } = { | ∈ S −1 M } s s s s m m ={ |m ∈ Im f, s ∈ S} = { |m ∈ Ker g, s ∈ S} (Vì Im f = Ker g) s s Im fS ={fS ( m m m g(m) ∈ S −1 M |gS ( ) = } = { ∈ S −1 M | = } s s s s m m ={ |g(m) = 0, s ∈ S} = { |m ∈ Kerg, s ∈ S} s s Ker gS ={ Do ImfS = KergS 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HỒNG THỊ LOAN f g − S −1 M → − S −1 M ” −→ dãy khớp ngắn Vậy dãy −→ S −1 M → R− môđun Mệnh đề 3.4 Cho N, P môđun M, S tập nhân đóng R Khi khẳng định sau i, S −1 (N + P ) = S −1 N + S −1 P ii, S −1 (N ∩ P ) = (S −1 N ) ∩ (S −1 P ) iii, S −1 (M/N ) ∼ = (S −1 M )/(S −1 N ) Chứng minh i) S −1 (N + P ) = S −1 N + S −1 P Thật vậy: n+p ∈ S −1 (N + P ) với n ∈ N, p ∈ P suy Lấy s n p + ∈ S −1 N + S −1 P ⇒ S −1 (N + P ) ⊆ S −1 N + S −1 P s s n p nt + ps + ∈ S −1 N + S −1 P ⇒ ∈ S −1 (N + P ) s t st −1 −1 −1 suy S N + S P ⊆ S (N + P ) Ngược lại giả sử Vậy S −1 (N + P ) = S −1 N + S −1 P ii) Hiển nhiên S −1 (N ∩ P ) = S −1 N ∩ S −1 P y z y z Giả sử = với y ∈ N, z ∈ P, st ∈ S Khi = ∈ s t s t S −1 N ∩ S −1 P suy tồn u ∈ S cho u(yt − zs) = Suy uyt = uzs Đặt W = uty = usz, W = N ∩ P suy y uty W = = ∈ S −1 (N ∩P ) Suy S −1 N ∩S −1 P ⊆ S −1 (N ∩P ) s uts uts Vậy S −1 (N ∩ P ) = S −1 N ∩ S −1 P 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN iii) Giả sử i: N → M phép nhúng tắc p: M → M/N phép chiếu tắc Khi ϕ p i γ 0→ − N→ − M→ − M/N → − dãy khớp ngắn nên theo định lí nói ta có dãy S −1 p S −1 i → S −1 N −−→ S −1 M −−→ S −1 (M/N ) → dãy khớp ngắn suy S −1 i đơn cấu, S −1 p tồn cấu Do S −1 (M/N ) ∼ = S −1 M/S −1 N Mệnh đề 3.5 Cho f : M → N đồng cấu R− mơđun, S tập nhân đóng R S −1 f : S −1 M → S −1 N đồng cấu S −1 R-mơđun Thế thì: i) Ker(S −1 f ) = S −1 (Kerf ) ii) Im(S −1 f ) = S −1 (Imf ) Chứng minh Đồng cấu môđun f : M → N cảm sinh dãy khớp → Kerf → M → N → Cokerf → Do S −1 bảo tồn tính khớp nên ta suy dãy S −1 f → S −1 (Kerf ) → S −1 M −−−→ S −1 N → S −1 (Cokerf ) → khớp 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Như KerS −1 f = S −1 (Kerf ) Cokerf (S −1 f ) = S −1 (Cokerf ) Suy Im(S −1 f ) = S −1 (Imf ) Mệnh đề 3.6 Cho φ : M → N ánh xạ tuyến tính chứng minh khẳng định sau tương đương i) φ đơn cấu ii) φP : MP → NP đơn cấu với iđêan nguyên tố P iii) φI : MI → NI đơn cấu với iđêan cực đại I Chứng minh i)⇒ ii) ta có r r Ker(φP ) ={ ∈ MP |φP ( ) = 0} s s r φ(r) ={ ∈ MP | = 0NP } s s r ={ ∈ MP |φ(r) = 0M } s ={0MP } suy φP đơn cấu ii)⇒ iii) hiển nhiên iđêan cực đại iđêan nguyên tố iii)⇒ i) Đặt M = Kerφ Ta có 0→M →M →N dãy khớp → MI → MI → NI dãy khớp MI ∼ = KerφI = (do φI đơn cấu) suy M = Do φ đơn cấu 51 Kết luận Nội dung khóa luận trình bày cách xây dựng vành thương, môđun địa phương hóa sở vành giao hốn có đơn vị R, tập nhân đóng S R− mơđun M Khóa luận đưa số tính chất vành môđun thương chứng minh tính chất Do thời gian có hạn nên nhiều tính chất vành thương mơđun thương chưa đề cập đến Chẳng hạn: - Nghiên cứu tính chất vành thương qua dãy khớp - Nghiên cứu tập iđêan nghuên tố liên kết vành thương - Nghiên cứu sâu mơđun thương Vì thời gian kiến thức hạn chế nên q khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong q thầy bạn góp ý để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 52 Tài liệu tham khảo [1] M.F.Aiyuh and I.G.Macdonald, Introduction to Communitative Algebra, Addsion - Wesley, Reading Publishing Company [2] R.Y.Sharp, Steps in commutative Algebra, Cambridge [3] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXBGD, 1994 [4] Dương Quốc Việt, Cơ sở lí thuyết môđun, NXB Đại học Sư phạm, 2008 53 ... cho vành giao hốn tùy ý, ta có khái niệm vành thương Tương tự xây dựng vành thương, ta xây dựng môđun thương vành thương Việc nghiên cứu vành thương môđun thương quan trọng Bởi kết sử dụng nhiều... cấu vành (hay phép nhúng vành) ii) Một đồng cấu vành đồng thời toàn ánh gọi toàn cấu vành iii) Một đồng cấu vành đồng thời song ánh gọi đẳng cấu vành Nếu có đẳng cấu vành f : R → R ta nói vành. .. + I vành gọi vành thương R I kí hiệu R/I Nhận xét 1.2 Nếu R vành giao hốn R/I giao hốn Nếu R vành có đơn vị R/I có đơn vị + I 1.3 Đồng cấu vành Định nghĩa 1.8 Một đồng cấu vành ánh xạ từ vành