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❧➔ R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❘✲✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à 1✱ Rn = {(a1; ; an)|ai ∈ R tr➯♥ Rn ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿ ❱➼ ❞ư ✶✳✸✳ ∀i = 1, n} • P❤➨♣ ❝ë♥❣✿ (a1, , an) + (b1, , bn) = (a1 + b1, , an + bn) P ổ ữợ (a1, , an) = (αa1, , αan)✱ ∀α ∈ R t❤➻ Rn ❧➔ R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✹✳ ▼é✐ ✐✤➯❛♥ tr→✐ ❝õ❛ R ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♠é✐ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R ❧➔ ♠ët R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✺✳ ▼é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K ❧➔ ♠ët ❑✲♠ỉ✤✉♥✳ ❈❤♦ ❘✲✈➔♥❤✱ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ ❳ ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❜➜t ❦➻✳ ✣➦t A = {f : X −→ M }✱ tr➯♥ ❆ ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿ ❱➼ ❞ư ✶✳✻✳ ✻ ◆❣ỉ ❚❤à ◆❤✉♥❣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❤➻♥ tø ❦❤➼❛ ❝↕♥❤ ♣❤↕♠ trò✱ ❦❤✐ ✤➣ ❝â ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠ỉ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕ t❤➻ ❝ơ♥❣ s➩ ❝â ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ t❤➳ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ trò ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ♣❤↕♠ trò MR ❝→❝ R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ♠➣✐ ✤➳♥ ♥➠♠ ✶✾✺✻ ♥❣÷í✐ t ợ ữ r ố õ ♥â ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ✷✳✺✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ư ❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ỉ✤✉♥ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ổ ợ Rỗ g : P −→ N ✈➔ ♠å✐ R✲t♦➔♥ ❝➜✉ f : M N Rổ s tỗ t ỗ ❝➜✉ h : P −→ M s❛♦ ❝❤♦ g = f.h tự ỗ s R õ ỗ ữủ ❝õ❛ ❣ t❤❡♦ ❢✳ ❜✮ ❱➼ ❞ư ▼é✐ ♠ỉ✤✉♥ tü ❞♦ ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ ①û P ❧➔ ♠æ✤✉♥ tü ❞♦✳ ❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ✈➔ g : P −→ N ỗ ự tỗ t ỗ ❝➜✉ h : P −→ N s❛♦ ❝❤♦ g = f.h✳ ●å✐ A ⊂ P ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ ♠ỉ✤✉♥ tü ❞♦ P ✳ ❱➻ f ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ♥➯♥ ợ a A tỗ t h(a) f −1 (g(a)) = ∅✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝â →♥❤ ①↕ h : A → M ✱ ✺✹ ◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ →♥❤ ①↕ ♥➔② ❝â t rở tợ ỗ tr P t❤✉➟♥ t✐➺♥ t❛ ❝ô♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ h : P → B ✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ g = f.h t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❦✐➸♠ tr❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ tr➯♥ ❤➺ s✐♥❤ A ❝õ❛ P ✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ a ∈ A✱ ❞♦ h(a) ∈ f −1(g(a)) ♥➯♥ (f.h)(a) = g(a)✳ ❱➟② P ❧➔ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ✷✳✺✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳✷✹✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✮ ❈❤♦ R✲♠ỉ✤✉♥ P ✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ (i) P (ii) ❧➔ R✲♠ỉ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ▼å✐ ❞➣② ❦❤ỵ♣ ♥❣➢♥ −→ N −→ M −→ P −→ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ ✤➲✉ ❝❤➫ r❛✳ (iii) R✲♠ỉ✤✉♥ P tü ❞♦✳ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈ỵ✐ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) =⇒ (ii)✮ ❈❤♦ P ❞➣② ❦❤ỵ♣ ♥❣➢♥ ❝→❝ R✲♠ỉ✤✉♥✳ f ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â g −→ N → − M→ − P −→ ❳➨t ỗ ổ õ tốt ✣↕✐ ❤å❝ ✈ỵ✐ i = idP ✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ổ tỗ t ởt Rỗ ổ h : P −→ M s❛♦ ❝❤♦ i 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tr♦♥❣ ✤â E ❧➔ R✲♠ỉ✤✉♥ tü ❞♦ ✈ỵ✐ ❝ì sð (ei )i∈I ✳ ❚❛ ❝â ❞➣② ❦❤ỵ♣ ♥❣➢♥✿ g −→ Kerg −→ E → − P −→ ❧➔ ❝❤➫ r r tỗ t Rỗ f : P −→ E t❤ä❛ ♠➣♥ g.f = idP ✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ a ∈ P t❤➻ f (a) ∈ E ❧✉æ♥ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❤ú✉ ❤↕♥✿ f (a) = fi(a) ei , i∈I tù❝ ❧➔ ❝❤➾ ❝â ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû i ∈ I ✤➸ fi(a) = 0✳ ❑❤✐ ✤â rã r➔♥❣ ♣❤➨♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ fi : P −→ R, fi(a) = fi(a), a P Rỗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭i✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I ✳ ✺✽ ◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➦t = g(ei), ∀i ∈ I t❤➻ a = (g.f )(a) = g( fi(a) ei ) = i∈I fi(a) g(ei ) = i∈I fi (a)ai i∈I ❑❤✐ ✤â ❤å (ai)i∈I , ∈ P t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ii ) sỷ tỗ t ỳ (ai )i∈I , ∈ P ✈➔ (fi )i∈I tr♦♥❣ HomR (P, R) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤❦ ✭i✮ ✈➔ ✭ii✮✳ ❳➨t t➟♣ U = (ei)i∈I ✈➔ →♥❤ ①↕ h : U −→ P, h(ei ) = , ∀i ∈ I ✳ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ tü ❞♦ tr➯♥ t➟♣ U ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ t➼♥❤ ♣❤ê ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♠ỉ✤✉♥ tỹ tỗ t Rỗ g : E P ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ h✱ tù❝ ❧➔ s❛♦ ❝❤♦ g(ei) = ai, ∀i ∈ I ✳ ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ →♥❤ ①↕ f : P −→ E, f (a) = i∈I fi(a)ei✱ ✈➻ tê♥❣ ♥➔② ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➯♥ f ❤♦➔♥ t♦➔♥ ởt ỗ r (g.f )(a) = g( fi (a)ei ) = i∈I fi (a).ai = a, ∀a ∈ P fi (a).g(ei ) = i∈I i∈I tù❝ ❧➔ g.f = idP ✳ ❉♦ ✤â ❞➣② ❦❤ỵ♣ ♥❣➢♥ g −→ kerg −→ F → − P ←→ ❝❤➫ r❛✳ ◆❤÷ ✈➟② P ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈ỵ✐ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ R✲♠ỉ✤✉♥ tü ❞♦ E ✳ ❙✉② r❛ P ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ❈❤♦ R ởt ợ M trữớ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ R ✈➔ = A ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R✳ ❈→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳✷✼✳ (i) A ❧➔ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤ ✺✾ ◆❣æ õ tốt (ii) ỗ t↕✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû a1, , an ∈ A ✈➔ m1, , mn ∈ M s❛♦ ❝❤♦ miA ⊆ R, ∀i = 1, , n ✈➔ ni=1 aimi = 1✳ ■✤➯❛♥ A t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (ii) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ⇒ (ii)✮ ●✐↔ sû A ❧➔ R✲ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ❙✉② r❛ tỗ t ỳ (fi)iI tr HomR(A, R) s ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ a ∈ A, fi (a) = ❤➛✉ ❤➳t ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I ✈➔ a = i∈I fi (a)ai ✳ ❈❤å♥ = b ∈ A✳ õ tỗ t số i1, , in ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣ A ✤➸ b = nk=1 fk (b)aik ✳ ✣➦t ak = aik , mk = fk (b)/b, k = 1, , n ❙✉② r❛ = nk=1 ak mk tũ ỵ x J t (ai )i∈I , ∈ A, i ∈ I xmk = x(fk (b)/b) = (xfk (b))/b = (bfk (x))/b = fk (x) ∈ R; ∀k = 1, , n ❙✉② r❛ mk A ∈ R, ∀k = 1, , n✱ tù❝ ❧➔ A ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ (ii) ⇒ (i)✮ ●✐↔ sû A t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭ii✮✳ ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❤å →♥❤ ①↕ fk : A −→ R, k = 1, , n, fk (x) = mk x, x ∈ A ❱➻ x ∈ A ♥➯♥ mk x ∈ R✱ tø ✤â ❝→❝ fk ❤♦➔♥ t♦➔♥ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ú ỏ Rỗ õ ợ tỷ tũ ỵ x J t õ x = nk=1 ak mk x = nk=1 ak fk (x) ❙✉② r❛ A ❧➔ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ✷✳✻ ❇➔✐ t➟♣ ❇➔✐ ✶✳✿ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ M1 ✈➔ M2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M s❛♦ ❝❤♦ M/M1, M/M2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ✻✵ ◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❆rt✐♥✭◆♦❡t❤❡r✮ t❤➻ M/(M1 M2) ụ ổ rttr t ỗ ❝➜✉ f :M → M/M1 × M/M2 x → (x + M1 , x + M2 ) ❑❤✐ ✤â f (M ) ∼ = M/Kerf ✳ ✰✮ ●✐↔ sû M/M1✱M/M2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ❚❛ ❝â f ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉✱ s✉② r❛ M/M1 × M/M2 ∼ = M/Kerf ✳ ❱➻ M/M1 ✱M/M2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ M/Kerf ❧➔ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ▲↕✐ ❝â x∈M = x∈M Kerf = : : x + M1 = M1 , x + M2 = M2 x ∈ M1 , x ∈ M2 = M1 ∩ M2 s✉② r❛ M/(M1 ∩ M2) ❧➔ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ✰✮ ●✐↔ sû M/M1✱M/M2❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑❤✐ ✤â f (M ) ∼ = M/Kerg ✳ ▼➔ M/M1✱M/M2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ s✉② r❛ M/Kerf ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â Kerf = M1 ∩ M2✳ ❙✉② r❛ M/(M1 ∩ M2) ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ 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❧➔ ♠ët Zmn✲♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ✰ ❱➻ m.a = ma = 0, ∀a ∈ Zm ♥➯♥ ♠å✐ ♣❤➛♥ t❤û ❝õ❛ Zm ✤➲✉ ♣❤ö t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❉♦ ✤â Zm ❧➔ ♠ët Zmn✲♠ỉ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♠æ✤✉♥ tü ❞♦✳ ❇➔✐ ✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠ët ♥❤â♠ ❆❜❡❧ B ❧➔ ❝❤✐❛ ✤÷đ❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ B ❧➔ ♠ët Z✲♠æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕✳ ●✐↔✐ ⇒✮ ❈❤♦ B ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❆❜❡❧ ❝❤✐❛ ✤÷đ❝✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❇❡❛r t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ B ❧➔ ♠ët Z✲♠æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕✳ ❚❤➟t ✈➟t✱ ❣å✐ J ❧➔ ♠ët ✐❞❡❛❧ ❝õ❛ Z t❤➻ J = nZ, n ∈ Z✳ ●✐↔ sû õ ỗ g : nZ B ỹ ỗ f : Z B ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ g✳ ◆➳✉ n = t❤➻ t õ g ỗ ổ õ f ỗ ổ t ró r f ỗ rở g sỷ n = 0✳ ❱➻ g(n) ∈ B ✈➔ B ❝❤✐❛ ✤÷đ❝ ♥➯♥ tỗ t c B : g(n) = nc ✤➦t f (a) = ac, a ∈ Z t❤➻ f : Z B ỗ ổ ◆❤✉♥❣ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❉♦ f (na) = (na)c = a(nc) = ag(n) = g(na), ∀a ∈ Z ♥➯♥ f ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ g✱ tù❝ ❧➔ ỗ s B ởt Zổ ♥ë✐ ①↕✳ ⇐✮ ●✐↔ sû B ❧➔ ♠ët Z✲♠æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕ ✈➔ b ∈ B ✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ = n ∈ Z✱ ①➨t ✤ì♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ i : nZ Z ỗ g : nZ −→ B ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ g(n) = b ✭tù❝ ❧➔ g(nm) = mb, m ∈ Z✮✳ ❉♦ B ♥ë✐ ①↕ tỗ t ỗ f : Z B ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ g ✳ ❚❛ ❝â b = g(n) = f (n) = nf (1)✳ ✣➦t d = f 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