Vành và môđun các thương

Để mở rộng khái niệm trường các thương của miền nguyên cho một vành giao hoán tùy ý, ta có khái niệm vành các thương.. Bởi vì các kết quả của nó được sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Thị Kiều Nga

Hà Nội - Năm 2018

Lời cảm ơn 1

1.1 Vành, vành con 5

1.2 Iđêan và vành thương 7

1.2.1 Iđêan 7

1.2.2 Vành thương 9

1.3 Đồng cấu vành 9

1.4 Môđun, môđun con, môđun thương 12

1.4.1 Môđun 12

1.4.2 Môđun con 14

1.4.3 Môđun thương 15

1.5 Đồng cấu môđun 15

1.6 Dãy khớp 17

2 Vành các thương 19 2.1 Tập con nhân đóng 19

2.2 Vành các thương 20

2.2.1 Xây dựng vành các thương 20

2.2.2 Một số tính chất vành các thương 25

2.2.3 Iđêan của vành các thương 30

2.2.4 Một số bài tập 38

3 Môđun các thương 40 3.1 Khái niệm môđun các thương 40

3.2 Một số tính chất của môđun các thương 42

3.3 Địa phương hóa và dãy khớp 47

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đến các Thầy

Cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và đặc biệt là cô

giáo T.S Nguyễn Thị Kiều Nga Dưới sự hướng dẫn tận tình của

cô và sự nỗ lực nghiên cứu của bản thân, em đã hoàn thành khóa luận

của mình Mặc dù em đã cố gắng song kiến thức của bản thân và thời

gian còn hạn chế nên khóa luận của em không thể tránh được những

thiếu sót Em kính mong nhận được sự góp ý của Thầy Cô và các bạn

để bài luận của em được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15/4/2018

Sinh viên

Hoàng Thị Loan

Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của em

trong quá trình học tập và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các

Thầy Cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô

giáo Nguyễn Thị Kiều Nga Trong quá trình làm khóa luận em có

tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục

tài liệu tham khảo Khóa luận "Vành và môđun các thương" không

có trùng lặp với các khóa luận khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu

trách nhiệm

Hà Nội, ngày 15/4/2018

Sinh viên

Hoàng Thị Loan

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Như ta đã biết, trong miền nguyên X, chưa chắc mọi phần tử khác

không đều có phần tử khả nghịch Chẳng hạn miền nguyên Z chỉ cóhai phần tử khả nghịch là 1, −1 Việc xây dựng trường các thương

của miền nguyên X chính là việc mở rộng miền nguyên X thành một

trường, để mọi phần tử khác không đều có phần tử khả nghịch

Để mở rộng khái niệm trường các thương của miền nguyên cho một

vành giao hoán tùy ý, ta có khái niệm vành các thương Tương tự như

xây dựng vành các thương, ta xây dựng môđun các thương trên vành

các thương

Việc nghiên cứu vành các thương và môđun các thương rất quan

trọng Bởi vì các kết quả của nó được sử dụng nhiều trong việc nghiên

cứu đại số giao hoán, hình học đại số,

Vì lý do đó, cùng với việc mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề

địa phương hóa của vành và môđun trong Đại số, em mạnh dạn chọn

đề tài "Vành và môđun các thương" làm đề tài nghiên cứu khóa luận

của mình

Nội dung khóa luận gồm ba chương:

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị"

Chương này trình bày các kiến thức cần thiết được sử dụng ở 2

chương sau

Chương 2 "Vành các thương".

Chương này giúp cho người đọc hiểu được cách xây dựng vành các

thương, và một số tính chất của vành các thương

Chương 3 "Môđun các thương"

Chương này sẽ trình bày cách xây dựng môđun các thương và tính

chất của nó

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách xây dựng vành các thương và môđun các thương;

một số tính chất của vành các thương, môđun các thương

3 Đối tượng nghiên cứu

Vành giao hoán và môđun

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 Ta gọi là một vành là tập hợp R 6= ∅ cùng với hai

phép toán hai ngôi, gồm phép cộng và phép nhân thỏa mãn ba điều

kiện sau:

i) R là một nhóm Aben đối với phép cộng,

ii) Phép nhân có tính chất kết hợp,

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là:

(x + y).z = x.z + y.z, z.(x + y) = z.x + z.y, ∀x, y, z ∈ R

Định nghĩa 1.2 Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của

nó có tính giao hoán Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của

nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ R

Ví dụ 1.1 a) Các tập hợp số Z, Q , R, C cùng với phép cộng vànhân các số thông thường là vành giao hoán có đơn vị 1

b) Tập hợp Z/nZ = {0, 1, , n − 1} các số nguyên mod n cùng vớiphép cộng và phép nhân các số nguyên mod n như sau:

Định nghĩa 1.3 Giả sử R là một vành, A là một bộ phận của R ổn

định đối với hai phép toán cộng và nhân trong R nghĩa là x + y ∈

A, x.y ∈ A với mọi x, y ∈ A A là một vành con của vành R nếu A

cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành

Định lí 1.1 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R Các

điều kiện sau đây là tương đương:

i) A là một vành con của R.

ii) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, −x ∈ A

iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A

Ví dụ 1.2 a) Bộ phận {0} chỉ gồm phần tử không và R là hai vành

con của R

b) Tập mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước

là một vành con của vành các số nguyên Z

Tính chất 1.2 Giao của họ bất kì những vành con của một vành R

là một vành con của R

1.2.1 Iđêan

Định nghĩa 1.4 Cho R là một vành, I là vành con của R Khi đó:

i) I được gọi là iđêan trái của R nếu x.a ∈ I, ∀x ∈ R, ∀a ∈ I

ii) I được gọi là iđêan phải của R nếu a.x ∈ I, ∀x ∈ R, ∀a ∈ I

iii) I được gọi là iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan

i) I là iđêan của R.

ii) Với mọi a, b ∈ I, a − b ∈ I, x.a ∈ I, ∀a ∈ I, ∀x ∈ R

Ví dụ 1.3 a) Vành A luôn có các iđêan tầm thường là iđêan {0} và

A

b) Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là

một iđêan của vành các số nguyên

Định nghĩa 1.5 Iđêan (trái, phải, hai phía) sinh bởi một phần tử{a} được gọi là iđêan (trái, phải, hai phía) chính sinh bởi a Cụ thể,iđêan trái chính của R sinh bởi a là

Định nghĩa 1.6 Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị Ta gọi

i) Iđêan I của R được gọi là nguyên tố nếu I 6= R và với mọi

x, y ∈ R, xy ∈ A suy ra hoặc x ∈ A hoặc y ∈ A

ii) Iđêan I của R được gọi là cực đại nếu I 6= R và không tồn tại

iđêan J ⊃ I sao cho J 6= I và J 6= R; nói cách khác I là cực đại

theo quan hệ bao hàm trong tập các iđêan thực sự của R

Nhận xét 1.1 Cho R là một vành có đơn vị, I là một iđêan của R.

Khi đó I = R khi và chỉ khi 1 ∈ I

Ta kí hiệu SpecR, SpecmR tương ứng là tập hợp các iđêan nguyên

tố và tập các iđêan cực đại của R

1.2.2 Vành thương

Định nghĩa 1.7 Giả sử I là iđêan của R Khi đó R/I = {x+I, x ∈ R}

cùng với hai phép toán :

(x + I) + (y + I) = x + y + I

(x + I)(y + I) = xy + I

là một vành gọi là vành thương của R trên I và kí hiệu là R/I

Nhận xét 1.2 Nếu R là vành giao hoán thì R/I giao hoán Nếu R

là vành có đơn vị thì R/I có đơn vị là 1 + I

Định nghĩa 1.9 i) Một đồng cấu vành đồng thời là một đơn ánh

được gọi là một đơn cấu vành (hay một phép nhúng vành)

ii) Một đồng cấu vành đồng thời là một toàn ánh được gọi là một toàn

cấu vành

iii) Một đồng cấu vành đồng thời là một song ánh được gọi là một

đẳng cấu vành Nếu có một đẳng cấu vành f : R → R0 thì ta nói vành

R đẳng cấu với vành R0, và viết R ∼= R0

Ví dụ 1.4 a) Giả sử A là một vành con của vành X Đơn ánh chính

tắc:

a 7−→ a

là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc

b) Ánh xạ đồng nhất của một vành X là một đồng cấu gọi là tự đẳng

i) f (A) là một vành con của Y ;

ii) f−1(B) là một iđêan của X

Hệ quả 1.1 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến

một vành Y Khi đó Im f là một vành con của Y và Ker f là một iđêan

của X

Định lí 1.6 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến

một vành Y khi đó

i) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im f = Y

ii) f là một đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker f = {0}

Định lí 1.7 (Định lí về đồng cấu vành )

Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y ,

p : X → X/Kerf là toàn cấu chính tắc từ vành X đến vành thương

của X trên Kerf Khi đó

i) Tồn tại một đồng cấu duy nhất ¯f : X/Kerf → Y sao cho tam

giác sau giao hoán

ii) Đồng cấu ¯f là một đơn cấu và Im ¯f = f (X)

Hệ quả 1.2 a) Với mọi đồng cấu f : X → Y từ một vành X đến

một vành Y , ta có X/Kerf ∼= f (X)

b) Nếu f : X → Y là toàn cấu vành thì X/Kerf ∼= Imf

gọi là phép nhân vô hướng thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi α, β ∈

thỏa mãn các điều kiện ở trên với phần tử của A viết ở bên phải thì

M được gọi là một môđun phải Ta thấy ngay, nếu A là một vành

giao hoán thì các khái niệm môđun trái, môđun phải trên A là trùng

nhau

Sau đây ta chỉ xét các A− môđun trái và gọi tắt chúng là các

A− môđun và để thuận tiện, ta sẽ dùng từ "môđun" thay cho " A−

môđun" khi vành A đã rõ

Ví dụ 1.5 Mỗi iđêan trái của A là một A− môđun Đặc biệt, mỗi

iđêan của A là một A - môđun và bản thân A cũng là một A - môđun

Ví dụ 1.6 K là một trường thì các K - môđun chính là các không

gian vectơ trên K

Ví dụ 1.7 Mỗi nhóm Abel cộng M là một Z- môđun với phép nhân

vô hướng xác định: nx = x + · · · + x

n

∈ M với mọi n ∈ Z, x ∈ M

Nhận xét 1.3 Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ rằng khái niệm môđun là

một khái niệm tổng quát của các khái niệm: Vành, không gian vectơ,

nhóm Aben

1.4.2 Môđun con

Định nghĩa 1.11 Một tập con khác rỗng N của một A− môđun M

được gọi là một A− môđun con của M nếu bản thân N cùng với hai

phép toán trong M thu hẹp vào N là một A− môđun Khi N là một

môđun con của M thì ta nói rằng M là một môđun mở rộng của N

Ví dụ 1.8 Mỗi A− môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường

là: môđun con không {0} và bản thân M

Ví dụ 1.9 Cho A− môđun M và x là một phần tử của M Khi đó

tập hợp Ax = {ax|a ∈ A} là một môđun con của M, gọi là môđun

con xyclic sinh bởi x

Ví dụ 1.10 Mọi iđêan của một vành A có đơn vị 1 6= 0 đều là một

môđun con của A, khi xem A là một môđun trên chính nó

Điều kiện tương đương Một tập con khác rỗng N của một A−

môđun M là một A− môđun con của M nếu và chỉ nếu các điều kiện

sau thỏa mãn:

i) x + y ∈ N, với mọi x, y ∈ N ,

ii) αx ∈ N với mọi α ∈ A, x ∈ N

1.4.3 Môđun thương

Định nghĩa 1.12 Giả sử N là một môđun con của một A− môđun

M Khi đó, N là một nhóm con của nhóm Aben cộng M Khi đó ta

có nhóm thương M/N là nhóm cộng Aben với phép cộng (x + N ) +

Khi đó M/N cùng với phép cộng ở trên và phép nhân vô hướng

α(x + N ) = αx + N là một A− môđun thương của M theo N Phần

tử x + N của M/N thường được kí hiệu là x và được gọi là ảnh của

x trong M/N

Định nghĩa 1.13 Một ánh xạ f từ A− môđun M vào A− môđun

M0 được gọi là đồng cấu A− môđun hay ánh xạ tuyến tính nếu f thỏamãn 2 tính chất sau:

i) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ M

ii) f (αx) = αf (x), ∀α ∈ A, ∀x ∈ M

Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó

tương ứng là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Nếu f (M ) = {0M0}

thì f được gọi là đồng cấu không.

Ta kí hiệu Ker f = f−1(0) được gọi là hạt nhân hay hạch của f ;

Im f = f (M ) được gọi là ảnh của f ; Cokerf = M0/ Im f được gọi làđối hạch của f ; Coimf = M/ Ker f được gọi là đối ảnh của f

Nhận xét 1.4 Cho A− đồng cấu môđun f : M → M0 Khi đó f làđồng cấu không khi và chỉ khi Ker f = M và f là một toàn cấu khi

và chỉ khi Im f = M0

Mệnh đề 1.1 Ánh xạ f : M → M0 là một đồng cấu các A− môđunkhi và chỉ khi f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), ∀α, β ∈ A và ∀x, y ∈ M

Mệnh đề 1.2 Nếu các ánh xạ f : M → M0 và g : M0 → M ” là haiđồng cấu các A− môđun thì ánh xạ tích g ◦ f cũng là một đồng cấu

A− môđun từ M vào M ”

Định lí 1.8 Cho f : M → M0 là một đồng cấu các A− môđun Khi

đó ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu N0 là một môđun con của M0 thì f−1(N0) là một môđun concủa M, trường hợp riêng Ker f là một môđun con của M

(ii) Nếu N là một môđun con của M thì f (N ) là một môđun con

của M0, trường hợp riêng Im f là một môđun con của M0

(iii) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}

(iv) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = M0

Định lí 1.9 (Định lí đồng cấu môđun)

Cho f : M → N là một đồng cấu các A− môđun và p : M →

M/Kerf là toàn cấu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu

Hệ quả 1.3 Cho f : M → N là một đồng cấu các A− môđun Khi

đó ta có M/ Ker f ∼= Im f và nếu f là toàn cấu thì M/ Ker f ∼= N

Mệnh đề 1.3 Dãy các đồng cấu

0 −→ N −→ Mf −→ P −→ 0g

là một dãy khớp khi và chỉ khi f là một đơn cấu, g là một toàn cấu

và Im f = Ker g

Ví dụ 1.11 Giả sử N là một môđun con của M Khi đó phép nhúng

chính tắc i và phép chiếu chính tắc p cho ta một dãy khớp ngắn

0 → N −→ Mi −→ M/N → 0.p

Vành các thương

Người ta thường nghiên cứu vành các thương trong Đại số giao

hoán vì các kết quả của nó được ứng dụng nhiều trong Hình học đại

số Trong chương này, ta sẽ xây dựng vành các thương và một số tính

chất của vành các thương S−1R, vành R được nhắc tới trong toàn bộchương này là một vành giao hoán, S là một tập nhân đóng của R

Định nghĩa 2.1 Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị Một tập

con S của R được gọi là một tập nhân đóng của R nếu 1 ∈ S và với

mọi a, b ∈ S thì ab ∈ S

Ví dụ 2.1 Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và a ∈ A Tập

các lũy thừa không âm của a là {1, a, a2, } là tập nhân đóng của A

Ví dụ 2.2 P là một iđêan nguyên tố của R thì S = R\P là một tập

nhân đóng của R

Ví dụ 2.3 A là một miền nguyên thì A∗ = A\{0} là một tập nhânđóng của A

Ví dụ 2.4 Tập tất cả các phần tử không là ước của không trong vành

A là một tập nhân đóng của A

2.2.1 Xây dựng vành các thương

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1, S là một tập con nhân

đóng của R Ta xây dựng vành các thương của R theo S, kí hiệu S−1Rnhư sau:

Trên R × S = {(r, s)|r ∈ R, s ∈ S} xác định quan hệ ∼ như sau:

Với mọi (a, s), (b, t) ∈ R × S, (a, s) ∼ (b, t) khi và chỉ khi tồn tại u ∈ S

sao cho u(ta − sb) = 0 Khi đó ∼ là một quan hệ tương đương trên

tập R × S Thật vậy,

+ ∀(a, s) ∈ R×S, do S 6= ∅ nên tồn tại t ∈ S ta có t(sa−sa) = t0 = 0

suy ra (a, s) ∼ (a, s) Do đó ∼ có tính phản xạ

+ Giả sử ta có (a, s), (b, t) ∈ R × S sao cho (a, s) ∼ (b, t) Suy ra tồn

tại u ∈ S : u(ta − sb) = 0 suy ra u(sb − ta) = 0 suy ra (b, t) ∼ (a, s)

wub = wtc

Nhân cả hai vế của phương trình vta = vsb với wu ta được

Vậy ∼ là một quan hệ tương đương trên R × S Với mọi (a, s) ∈

R × S, kí hiệu lớp tương đương của phần tử (a, s) là a

s và kí hiệutập tất cả các lớp tương đương của ∼ là S−1R

Mệnh đề 2.1 Tập S−1R cùng với hai phép toán

là một vành giao hoán có đơn vị 1

1.Chứng minh Phép cộng, phép nhân trên S−1R là các phép toán haingôi trên S−1R

Thật vậy: Với mọi a

t =

b0

t0

s + (

b

t +c

u)

a

s và

as

1

1 =

11

a

s =

1a1s =

asVậy S−1R là một nửa nhóm giao hoán và có đơn vị 1

1 với phépnhân

Trên S−1R phép nhân có tính phân phối với phép cộng Thật vậy, vớia

cu

= atc + bsc

(ac)(tu) + (bc)(su)(su)(tu)

c

u +

btcu

t +

as

Định nghĩa 2.2 Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó vành

S−1R được gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S

Ví dụ 2.5 Giả sử P là một iđêan nguyên tố trong vành R Khi đó

thương của miền nguyên A Đặc biệt, trường các thương của vành số

nguyên Z chính là trường số hữu tỷ: (Z\{0})−1Z ∼= Q

Trong Toán sơ cấp ta thường dùng hệ đếm cơ số 10 và làm toán

với các số thập phân Bằng cách địa phương hóa, các số này được xây

dựng như sau:

Ta có tập S10 = {10n : n ∈ Z} là một tập nhân đóng của Z Khi

đó vành S10−1Z được gọi là vành các số thập phân Mỗi phần tử của nóđược gọi là một số thập phân có dạng m

10n trong đó m, n ∈ Z

Giả sử R = K[X] là vành đa thức một ẩn X với hệ số trong trường