Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lí lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Tư ò ậ ế sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ê ứu, cung cấp nhữ tốt o ọ sư o ả H N chắn ý T o ả ườ ậ oá ỏ ú đỡ đị ận tốt nghiệp Vậ ý ý ợ ng ng dẫn, tạo đ ều kiện ê ệ ú đỡ o ế ườ ọ ậ ậ Cuố ù L q ệ ệ q ý ố xin s đ s ê ỏi s thiế s ến c a thầ â ầ đầ ê è để ê ú đỡ c đ ê ứu khoa họ ê ậy oá oá mong nhậ nhữ ậ đượ o ệ è ận đ ảm ! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Cù v is ê ng dẫn c a TS Nguyễn Huy Thảo, Vậ ý ý vậ ý ượng tử” đượ ả phầ T trung th ế đề M t số sở oá â c T o ận ảo m t số ậ ọ ố ườ q ệ ù ê o ứ ệu c a m t số o ả ệu tham khảo đo ững kết đượ ê ứ o oá ố bấ ậ o o o ọ Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường o MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU 1 Lý o ọ đề Mụ đ ê ối ượ ứu Nhiệm vụ P ươ ê ê ứu Cấ ê ú ứu ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3 S o 1.1.4 Hệ tr c chuẩn Toá oá ửt ê 1 Toá Toá ê ợ Cá é oá ê H Lý Lý ế oá ị ê ế Lý é oá ê oá ê ợp tuyế ể ết Hermite) 10 10 oá ề ế oá 12 ễ 14 14 ể ễ 17 CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 B oá ề B oá ề B oá ề H ê e 21 ị ê ểu diễ oá 23 28 PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vậ ý ọ đ o ê To o ệ ứ ụ đạ Vậ ý ư: đị luậ q ê nhiều hiệ ứ ượng t ng thời vậ ý đượ sắc c o ười t s ể áđ để ấ ệ đạ - ò đượ ọ ê ê H ế V ứ o ọ đề đề ọ ề ấp dẫ ậ ế ản c o ượ ại m o ọ ố oá He e ả ọ ố mở ể ật ý sâ ườ N ườ đ sâ ậ ý o đượ ố ọc, ê ứ ầ ế e o ê ậ ế ượng tử oá ê ế ọ ề ê i hạn ường giải đ ng thời mở ọc ho c triết học sở oá ọ ị ê oá ậ ý ượ ê ứ ượng tử ện m i vậ ý o ệ ê ọ ứu m i t o oá ải đế ậ ý ượ ư: vậ ý s ê e ậ t số hiệ o Cá Vậ ý ế c a vậ ý nhữ ề ác Vậ ý ọc giao v i nhiề ậ đị ệ đạ ệ đạ đị ữ ậ ý ầ ú đẩy s tiến b c ậ ý ể ê từ cấ đ ả ậ ể c để ọ q ế ệ đại nhằm giả o ứ định luậ đời c a vậ ý Vậ ý ê đ ể đe vậy, s ọ o đế s ố q ứ ê ữ ế ứ ư: ữ ê M t s c sở to n học thường d ng vật lý lư ng t ậ ố ệ Mục đích nghiên cứu N ê ứu ọ ậ số sở oá ê ọ sử ụ số sở oá ọ ậ ý ượ ứ Đ i tư ng phạm vi nghiên cứu K H Toá oá H ê Lý e Hermite ị ê oá ế ểu diễ M t số ậ ê q Nhiệm vụ nghiên cứu N ê ứ số sở oá ọ ườ Phư ng ph p nghiên cứu Sử ụ Sử ụ Sử ụ ươ oá đọ ọ ươ o ậ ý Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận ệ ả oá ọ ù o o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e t dạng t q a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ườ o đ é ê ườ ê o ạn chiều Cá ê ứu thập kỷ đầ David Hilbert, Erhard Schmidt o t gian Hilbert s m nhấ đượ họ ượng tử ạn chiều M ng, hay hiể e xuất m ậ ý ể thiế ươ đo H ọ mở r ng c hữu hạn ho e oả e oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều H E ý F a kỷ 20 es R esz C ú ết ế đ i Fourier ê ươ ý â ết ergodic ữ ụ ừng phầ ơ sở oá ọc c a nhiệ đ ng l c học Cá dụ H o e é t số q á số tr c giao â ọc ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ K ứ oá ể đượ ấp m t khung é biế đ i Fourier a giả việ tr ạn chiều C ú để hệ thố c o H e đ ữ m t ệm òq ọng é c a ọc ọ ượng tử 1.1.1 Khơng gian tuyến tính M ế ầ é â ậ é o â ấ đ ầ ường c đị số é e é ọc é â e ọc v i m t số C m t ế é c ầ X m ệ số a ( a T , T X ệ ax T ấ ậ X gọi ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X đị é phần ỏ ã o oá : v ể x+y é â ập số th c ho c phức, ê đề s : ầ ất kỳ x, y  X ta x  y  y  x T ất kết hợp: v i x, y, z  X (x  y)  z  x  (y  z) 0 X cho x    x  x T e ầ T x phần tử a(bx)   ab  x ị 1.x  x.1  v i x  X x  X a,bT a  x  y   ax  ay a T x, y  X  a  b  x  ax  bx a,bT x  X T ầ ọ x  đố (x) X x  X cho ầ x   x   1  1  x  0.x  Ở ê số ố q ệ a,bT Nế a ữ ầ đị aX ế ế số c Nếu a ức [1,3] Cho hệ n e x1 , x2 , , xn  x   n e ơ: X, ược gọ Nếu y  a1 x1  a2 x2   an xn  y  X ,ai T  hợp tuyế e x1 , x2 , , xn số phứ  i  a  a       i 0 b b      ib    a    ia  b i  a  ib  X  b   1 Sử dụ đ ều kiện chuẩ N ậ ê s b   ứng v i trị ê i X 1 ,   c a Sˆ z cầ z  1 2.3 Bài to n nhóm bi u di n nhóm Bài 1: Trong tậ Q a *b  a  b  ab, a) Hỏ Q * đị é a,b  Q ậ oá *: ? Tại sao? b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Lời giải a) Dễ ấ ần tử ị c a  Q,* Giả sử  Q,* lậ ần tử nghị Xé đảo b K ý ần tử 1  Q,* ần tử đ   1 *b  (1)  b  (1)b  1 Vậy  Q,* ậ b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) Gọi a,b,c Q \ 1 , lậ : (a *b) *c   a  b  ab  *c  a  b  ab  c  ac  bc  abc a *(b *c)  a *  b  c  bc   a  b  c  bc  ab  ac  abc Suy  a *b  * c  a *  b *c  Vậ é V i a Q \ 1 đảo c ọi phần tử nghị oá ết hợp a b 1a  a   a   a  a * b  a * a    a  1a 1a  1a a 1  a   a a2   1a 1a 2 aa aa  1a  , b  a  Tươ N ậy,  Q \ lậ 1,* Bài 2: Xâ ng bả â G Lời giải N T ường G g m bốn phần tử 1,1,i,i : 1.1 1 1.i  i.1  i  1. 1 1  1. i    i . 1  i i. i    i  i  i 1 1. 1   1.1  1 1. i    i .1  i  1.i  i. 1  i i.i  i  1  i . i  1,i  i  1 v é â T bả â -1 i -i 1 -1 i -i -1 -1 -i i i i -i -1 -i -i i -1 Bài 3: Cho X aX a  Lời giải e T M a G: i phần tử A e X ị e Chứng minh ọi a,b  X ,  ab 2  ea  eb  e Do đ  ab  2 ab Vậy X  ab  2  a b  e ab = ba A e Bài 4: Giả sử A o aX t b phậ ng c 1 A.A  A X Chứng minh A Lời giải 1 A  T a 1 | a  A Khi A o a A1  A X V A1  A ê A.A1  A M ọi a  A 1 1 1 a  a.e  A.A ê A  A.A Vậy A.A1  A Do đ ọi a,b A, 1 1 a.b  A.A  A Suy A Bài 5: Chứng tỏ tập hợp v é â ận ậ â ấ ả  Tính kín ể định thứ o oá Lời giải T eo đị o ấ s : a X ? Giả sử:  a b   b1    a1 M  ,N  c d    d          c1 V i M , N  A, : M  .Na1 a b b1    c d c1 d1   aa1  bc1 ab1  bd1   A    a c c d b c dd 1 1  Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã  Tính chất kết hợp  a b   b1   b2   Gọi , P   a2  a1 M ,N  c d    d d            c1 c2 V i M , N, P  A :   a b  b1    b2  a2 a  M N .P    c dc  d    d    c1    2    a2 (aa1 +c1b)+c2 (ab1 +bd1 ) b2 (aa1 +bc1 )+(ab1 +bd1 )d   a (a1c+c1d )+c2 (b1c+d1d )  )d b2 (a1c+c1d )+(b1c+dd  b1   b2   a b  a2    a1      d  c d    c1 d1   c2 2  M  N.P  Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ợ  Tồn phần tử đơn vị V i M  A : 1 M  Nê   a b    a b    c d   c d  M 0       ấ ế 1  ị: e     A t n phần tử  Tồn phần tử đối V i M  A : det  M   b a  ad  bc  cd ọi ma trận M  A đề C o ê ận nghị đảo  b  1 M  d A   ad  bc c a N ậy tập hợp A v V i M , N  A M  .Na1 é â ậ : a b b1   aa1  ab1  bd1  bc1  d1   a1c c1d b1c  dd1   c c  d   a1 b1   a b    c d  c d 1    N.M Ta kết luậ A o oá Bài 6: Chứng tỏ tập hợ é â ậ  0      x 0  , x, y  ận A  R  0 0      0 y 1   â ả o oá Lời giải T eo đị  Tính kín ể ất sau: ?  0 0  0  Gọi xM    x1  ; x, y    0        0 y M,NA  R ,N         0 0  y    ; x ,  R   1 0 0 y1    :  0     0  M N   x x1 x1  0   0 y 1   ậ  V i Do đ     ợ ậ A é 0 0 0  x   0 0 â ậ  0 x  N     0    0 y    A 0 ã  0 y  y1   ỏ 0    x2 P  y  0 y2   : y1    0  Tính chất kết hợp  0 0  x  0   ; x, y  Gọi: M R ,  0     0  y   V i M , N, P  A  ; x ,  R , y 1  0   0   0 ; x ,  R  2 0  1         0   0 0   0 0   0   0   0         Mx N .P   x x    0   0   0 0   0 y  y1 1  0 0 y2   0   xx   x2   0 0 0 0 0  0 y  y1  y2   0   0   0   x 0   0  0        x1 x2  0   0   0  0 y 1  0 y1 1  0 y2 1      M  N.P  Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ấ ế ợ  Tồn phần tử đơn vị V i M  A :  0   0  0     0 1 0 x x   M M  0   0  0     0 y 0 0     Nê A n phần tử  Tồn phần tử đối V i M  A : 0 0 1 0   0 0   0 0 0 1 0 0  1 0  ị: e    0 0   0    y  det  M  C o ê ọi ma trận M  A đề 0 x  0 0 y 0   0 ận nghị đảo  M N ậy tập hợp A v V i M , N  A 1 é â 0   A ậ :  0 x 1   x 0  0 y1 Bài 7: Xâ  x  0   0  y  1 0 0    0    M N   x x1 x1 0 0 0   0 y 1 0   Ta kết luậ A  0 0 0  x   0 1 y1 1  0 0 0 0  0 y  y1 1  01 0 0 0  0     N.M 0 0 0    0 y 1 o oá ng bảng â S3 : a (12)(23)(321) 11 b (123)(23)(12) Lời giải S3 đị oá ị phần tử Bả â đượ ưs :  12 123 (12) 213   123 Do đ : 1212 Tiế ươ ta thu bảng :  e T e (12) (23) (31) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) 12  23 321 12 23321 4  123 321 321 321  e 123 2312 b T (123) (321) 11 (123)  2312   12 .e.12   e 11 Bài 8: T ận D((12)) biểu diễ q S3 Lời giải N S3 ả â : e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) i phần tử ươ Trong biểu diễ q e ơ sở tr c chuẩn e  e , 12   T : g2 , 13  g3 o ứng v i m t e , 31  g4 , 123  g5 , 132   g6 D  g1  g  g1 g D g  Từ đ ij  ei D  g  e j được: D  12   0 0 0    0 0  0 0 0    0 0   0 0 0  0 0  PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ đạ mụ ú oá oá ứu, ả ê đề T o đạ đượ C ú ê ậ đượ q c hiệ o ận, ết sau: i i thiệu, t ng kết m t số ý ết He oá e ê ị ê H ử, ý e ết ểu diễ C ú ê Do ý ị ê ế oá m t số phứ ý ng hợ oá ọ oá ế đư s ất m t số dạng ý ê q V ắc chắ ý, ch dẫn c a thầ ận đượ đến vậ ý b s o ê ứ ỏi thiế s e ểu diễ ậy, k đề thiệ ết H ậy, ạn để oá o ệ ý ết ê ê mong nhận ậ đượ o TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trầ T Ho [2] Nguyễ Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ươ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tư T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sư ạm H N i Tiếng Anh [5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, NXB World Scientific [6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific [7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World Scientific ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng... o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e t dạng t q a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ườ o đ é ê ườ ê... ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3