Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 69 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Tư ò ậ ế sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ê ứu, cung cấp nhữ tốt o ọ sư o ả H N chắn ý T o ả ườ ậ oá ỏ ú đỡ đị ận tốt nghiệp Vậ ý ý ợ ng ng dẫn, tạo đ ều kiện ê ệ ú đỡ o ế ườ ọ ậ ậ Cuố ù L q ệ ệ q ý ố xin s đ s ê ỏi s thiế s ến c a thầ â ầ đầ ê è để ê ú đỡ c đ ê ứu khoa họ ê ậy oá oá mong nhậ nhữ ậ đượ o ệ è ận đ ảm ! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Cù v is ê ng dẫn c a TS Nguyễn Huy Thảo, Vậ ý ý vậ ý ượng tử” đượ ả phầ T trung th ế đề M t số sở oá â c T o ận ảo m t số ậ ọ ố ườ q ệ ù ê o ứ ệu c a m t số o ả ệu tham khảo đo ững kết đượ ê ứ o oá ố bấ ậ o o o ọ Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường o MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU 1 Lý o ọ đề Mụ đ ê ối ượ ứu Nhiệm vụ P ươ ê ê ứu Cấ ê ú ứu ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3 S o 1.1.4 Hệ tr c chuẩn Toá oá ửt ê 1 Toá Toá ê ợ Cá é oá ê H Lý Lý ế oá ị ê ế Lý é oá ê oá ê ợp tuyế ể ết Hermite) 10 10 oá ề ế oá 12 ễ 14 14 ể ễ 17 CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 B oá ề B oá ề B oá ề H ê e 21 ị ê ểu diễ oá 23 28 PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vậ ý ọ đ o ê To o ệ ứ ụ đạ Vậ ý ư: đị luậ q ê nhiều hiệ ứ ượng t ng thời vậ ý đượ sắc c o ười t s ể áđ để ấ ệ đạ - ò đượ ọ ê ê H ế V ứ o ọ đề đề ọ ề ấp dẫ ậ ế ản c o ượ ại m o ọ ố oá He e ả ọ ố mở ể ật ý sâ ườ N ườ đ sâ ậ ý o đượ ố ọc, ê ứ ầ ế e o ê ậ ế ượng tử oá ê ế ọ ề ê i hạn ường giải đ ng thời mở ọc ho c triết học sở oá ọ ị ê oá ậ ý ượ ê ứ ượng tử ện m i vậ ý o ệ ê ọ ứu m i t o oá ải đế ậ ý ượ ư: vậ ý s ê e ậ t số hiệ o Cá Vậ ý ế c a vậ ý nhữ ề ác Vậ ý ọc giao v i nhiề ậ đị ệ đạ ệ đạ đị ữ ậ ý ầ ú đẩy s tiến b c ậ ý ể ê từ cấ đ ả ậ ể c để ọ q ế ệ đại nhằm giả o ứ định luậ đời c a vậ ý Vậ ý ê đ ể đe vậy, s ọ o đế s ố q ứ ê ữ ế ứ ư: ữ ê M t s c sở to n học thường d ng vật lý lư ng t ậ ố ệ Mục đích nghiên cứu N ê ứu ọ ậ số sở oá ê ọ sử ụ số sở oá ọ ậ ý ượ ứ Đ i tư ng phạm vi nghiên cứu K H Toá oá H ê Lý e Hermite ị ê oá ế ểu diễ M t số ậ ê q Nhiệm vụ nghiên cứu N ê ứ số sở oá ọ ườ Phư ng ph p nghiên cứu Sử ụ Sử ụ Sử ụ ươ oá đọ ọ ươ o ậ ý Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận ệ ả oá ọ ù o o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e t dạng t q a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ườ o đ é ê ườ ê o ạn chiều Cá ê ứu thập kỷ đầ David Hilbert, Erhard Schmidt o t gian Hilbert s m nhấ đượ họ ượng tử ạn chiều M ng, hay hiể e xuất m ậ ý ể thiế ươ đo H ọ mở r ng c hữu hạn ho e oả e oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều H E ý F a kỷ 20 es R esz C ú ết ế đ i Fourier ê ươ ý â ết ergodic ữ ụ ừng phầ ơ sở oá ọc c a nhiệ đ ng l c học Cá dụ H o e é t số q á số tr c giao â ọc ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ K ứ oá ể đượ ấp m t khung é biế đ i Fourier a giả việ tr ạn chiều C ú để hệ thố c o H e đ ữ m t ệm òq ọng é c a ọc ọ ượng tử 1.1.1 Khơng gian tuyến tính M ế ầ é â ậ é o â ấ đ ầ ường c đị số é e é ọc é â e ọc v i m t số C m t ế é c ầ X m ệ số a ( a T , T X ệ ax T ấ ậ X gọi ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X đị é phần ỏ ã o oá : v ể x+y é â ập số th c ho c phức, ê đề s : ầ ất kỳ x, y X ta x y y x T ất kết hợp: v i x, y, z X (x y) z x (y z) 0 X cho x x x T e ầ T x phần tử a(bx) ab x ị 1.x x.1 v i x X x X a,bT a x y ax ay a T x, y X a b x ax bx a,bT x X T ầ ọ x đố (x) X x X cho ầ x x 1 1 x 0.x Ở ê số ố q ệ a,bT Nế a ữ ầ đị aX ế ế số c Nếu a ức [1,3] Cho hệ n e x1 , x2 , , xn x n e ơ: X, ược gọ Nếu y a1 x1 a2 x2 an xn y X ,ai T hợp tuyế e x1 , x2 , , xn số phứ i a a i 0 b b ib a ia b i a ib X b 1 Sử dụ đ ều kiện chuẩ N ậ ê s b ứng v i trị ê i X 1 , c a Sˆ z cầ z 1 2.3 Bài to n nhóm bi u di n nhóm Bài 1: Trong tậ Q a *b a b ab, a) Hỏ Q * đị é a,b Q ậ oá *: ? Tại sao? b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Lời giải a) Dễ ấ ần tử ị c a Q,* Giả sử Q,* lậ ần tử nghị Xé đảo b K ý ần tử 1 Q,* ần tử đ 1 *b (1) b (1)b 1 Vậy Q,* ậ b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) Gọi a,b,c Q \ 1 , lậ : (a *b) *c a b ab *c a b ab c ac bc abc a *(b *c) a * b c bc a b c bc ab ac abc Suy a *b * c a * b *c Vậ é V i a Q \ 1 đảo c ọi phần tử nghị oá ết hợp a b 1a a a a a * b a * a a 1a 1a 1a a 1 a a a2 1a 1a 2 aa aa 1a , b a Tươ N ậy, Q \ lậ 1,* Bài 2: Xâ ng bả â G Lời giải N T ường G g m bốn phần tử 1,1,i,i : 1.1 1 1.i i.1 i 1. 1 1 1. i i . 1 i i. i i i i 1 1. 1 1.1 1 1. i i .1 i 1.i i. 1 i i.i i 1 i . i 1,i i 1 v é â T bả â -1 i -i 1 -1 i -i -1 -1 -i i i i -i -1 -i -i i -1 Bài 3: Cho X aX a Lời giải e T M a G: i phần tử A e X ị e Chứng minh ọi a,b X , ab 2 ea eb e Do đ ab 2 ab Vậy X ab 2 a b e ab = ba A e Bài 4: Giả sử A o aX t b phậ ng c 1 A.A A X Chứng minh A Lời giải 1 A T a 1 | a A Khi A o a A1 A X V A1 A ê A.A1 A M ọi a A 1 1 1 a a.e A.A ê A A.A Vậy A.A1 A Do đ ọi a,b A, 1 1 a.b A.A A Suy A Bài 5: Chứng tỏ tập hợp v é â ận ậ â ấ ả Tính kín ể định thứ o oá Lời giải T eo đị o ấ s : a X ? Giả sử: a b b1 a1 M ,N c d d c1 V i M , N A, : M .Na1 a b b1 c d c1 d1 aa1 bc1 ab1 bd1 A a c c d b c dd 1 1 Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã Tính chất kết hợp a b b1 b2 Gọi , P a2 a1 M ,N c d d d c1 c2 V i M , N, P A : a b b1 b2 a2 a M N .P c dc d d c1 2 a2 (aa1 +c1b)+c2 (ab1 +bd1 ) b2 (aa1 +bc1 )+(ab1 +bd1 )d a (a1c+c1d )+c2 (b1c+d1d ) )d b2 (a1c+c1d )+(b1c+dd b1 b2 a b a2 a1 d c d c1 d1 c2 2 M N.P Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ợ Tồn phần tử đơn vị V i M A : 1 M Nê a b a b c d c d M 0 ấ ế 1 ị: e A t n phần tử Tồn phần tử đối V i M A : det M b a ad bc cd ọi ma trận M A đề C o ê ận nghị đảo b 1 M d A ad bc c a N ậy tập hợp A v V i M , N A M .Na1 é â ậ : a b b1 aa1 ab1 bd1 bc1 d1 a1c c1d b1c dd1 c c d a1 b1 a b c d c d 1 N.M Ta kết luậ A o oá Bài 6: Chứng tỏ tập hợ é â ậ 0 x 0 , x, y ận A R 0 0 0 y 1 â ả o oá Lời giải T eo đị Tính kín ể ất sau: ? 0 0 0 Gọi xM x1 ; x, y 0 0 y M,NA R ,N 0 0 y ; x , R 1 0 0 y1 : 0 0 M N x x1 x1 0 0 y 1 ậ V i Do đ ợ ậ A é 0 0 0 x 0 0 â ậ 0 x N 0 0 y A 0 ã 0 y y1 ỏ 0 x2 P y 0 y2 : y1 0 Tính chất kết hợp 0 0 x 0 ; x, y Gọi: M R , 0 0 y V i M , N, P A ; x , R , y 1 0 0 0 ; x , R 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Mx N .P x x 0 0 0 0 0 y y1 1 0 0 y2 0 xx x2 0 0 0 0 0 0 y y1 y2 0 0 0 x 0 0 0 x1 x2 0 0 0 0 y 1 0 y1 1 0 y2 1 M N.P Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ấ ế ợ Tồn phần tử đơn vị V i M A : 0 0 0 0 1 0 x x M M 0 0 0 0 y 0 0 Nê A n phần tử Tồn phần tử đối V i M A : 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ị: e 0 0 0 y det M C o ê ọi ma trận M A đề 0 x 0 0 y 0 0 ận nghị đảo M N ậy tập hợp A v V i M , N A 1 é â 0 A ậ : 0 x 1 x 0 0 y1 Bài 7: Xâ x 0 0 y 1 0 0 0 M N x x1 x1 0 0 0 0 y 1 0 Ta kết luậ A 0 0 0 x 0 1 y1 1 0 0 0 0 0 y y1 1 01 0 0 0 0 N.M 0 0 0 0 y 1 o oá ng bảng â S3 : a (12)(23)(321) 11 b (123)(23)(12) Lời giải S3 đị oá ị phần tử Bả â đượ ưs : 12 123 (12) 213 123 Do đ : 1212 Tiế ươ ta thu bảng : e T e (12) (23) (31) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) 12 23 321 12 23321 4 123 321 321 321 e 123 2312 b T (123) (321) 11 (123) 2312 12 .e.12 e 11 Bài 8: T ận D((12)) biểu diễ q S3 Lời giải N S3 ả â : e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) i phần tử ươ Trong biểu diễ q e ơ sở tr c chuẩn e e , 12 T : g2 , 13 g3 o ứng v i m t e , 31 g4 , 123 g5 , 132 g6 D g1 g g1 g D g Từ đ ij ei D g e j được: D 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ đạ mụ ú oá oá ứu, ả ê đề T o đạ đượ C ú ê ậ đượ q c hiệ o ận, ết sau: i i thiệu, t ng kết m t số ý ết He oá e ê ị ê H ử, ý e ết ểu diễ C ú ê Do ý ị ê ế oá m t số phứ ý ng hợ oá ọ oá ế đư s ất m t số dạng ý ê q V ắc chắ ý, ch dẫn c a thầ ận đượ đến vậ ý b s o ê ứ ỏi thiế s e ểu diễ ậy, k đề thiệ ết H ậy, ạn để oá o ệ ý ết ê ê mong nhận ậ đượ o TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trầ T Ho [2] Nguyễ Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ươ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tư T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sư ạm H N i Tiếng Anh [5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, NXB World Scientific [6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific [7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World Scientific ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng... o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e t dạng t q a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ườ o đ é ê ườ ê... ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3