Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lí lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Tƣ ò ậ ế sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ê tốt ứu, cung cấp nhữ o ọ sƣ ƣ o q ả H N ệ chắn ý T o ả ƣờ ậ oá ỏ ú đỡ đị ận tốt nghiệp Vậ ý ý ợ ƣ ng ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện ê ệ ú đỡ o ế ƣờ ọ ậ ậ Cuố ù L ệ q ý ố xin s đ s ê ỏi s thiế s ến c a thầ â ầ đầ ê è để ê ú đỡ c đ ê ứu khoa họ ê ậy oá oá mong nhậ đƣợc nhữ ậ đƣợ o ệ è ận đ ảm ! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Cù v is ê ƣ ng dẫn c a TS Nguyễn Huy Thảo, Vậ ý ý vậ ý ƣợng tử” đƣợ ả phầ T trung th ế đề M t số sở oá â c T o ận ảo m t số ậ ọ ố ƣờ q ệ ù ê o ứ ệu c a m t số o ả ệu tham khảo đo ƣ ững kết đƣợ ê ứ o oá ố bấ ậ o o o ọ Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường o MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU 1 Lý o ọ đề Mụ đ ê ứu ối ƣợ ê Nhiệm vụ P ƣơ ứu ứu ê ú Cấ ê ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƢỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3 S o 1.1.4 Hệ tr c chuẩn Toá oá ửt ê ợp tuyế é oá ê oá 1 Toá Toá ê ợ Cá é oá ê H Lý ê ế oá ị ê ế ể 1 Lý ết ế Hermite) 10 10 oá ề Lý oá 12 ễ 14 14 ể ễ 17 CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 B oá ề B oá ề B oá ề H ê e 21 ị ê ểu diễ oá 23 28 PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vậ ý ọ đ o ê To ữ o ệ ê ứ ụ đạ ƣ Vậ ý ƣ: đị ê ứ ƣ ng thời vậ ý sắc c o ƣời t s ể áđ để ấ ệ đạ - ò đƣợ ọ ê ê ệ đạ ế V ứ o ọ đề đề ế ản c ê ậ ý ề ố ọc, ọ ố oá He e ả ọ ố mở ể ật ý ại m o sâ ƣờ N o ê đƣợ ứ ầ ế e o o ọ ậ ế ê ƣợng tử ế i hạn ề ƣờng giải ọc ho c triết học sở oá ọ ị ê oá ê ê đ ng thời mở ƣ oá ệ ứ ƣợng tử ện m i vậ ý ê ê ọ ứu m i t o oá ải o ƣợ ƣờ đ sâ ậ ý ƣợ ƣ: vậ ý s e ấp dẫ ác Vậ ý ọc giao v i nhiề ƣ H ệ đạ ọ Cá Vậ ý ậ t số hiệ o ậ c a vậ ý nhữ ế đị ữ ề đế ú đẩy s tiến b c ậ ý đị ê từ cấ đ c để ả ậ ể ệ đại nhằm giả ọ ậ ế đời c a vậ ý o q ậ ý ầ định luậ vậy, s Vậ ý ứ đ ể đe ƣợng t đƣợ ể luậ q đƣợc nhiều hiệ ê o đế s ố q ứ ọ ậ ý ƣợ ế ƣ: ữ ứ ê M t s c sở to n học thường d ng vật lý lư ng t ậ ố ệ Mục đích nghiên cứu N ê ứu ọ ậ số sở oá ê ọ sử ụ số sở oá ọ ứ Đ i tư ng phạm vi nghiên cứu K H Toá oá H ê Lý e Hermite ị ê oá ế ểu diễ ậ M t số ê q Nhiệm vụ nghiên cứu N ê ứ số sở oá ọ ƣờ Phư ng ph p nghiên cứu Sử ụ Sử ụ Sử ụ ƣơ oá đọ ọ ƣơ ệ o ậ ý ả oá ọ Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận ù o ậ ý ƣợ o PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e q t dạng t a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ậ ý ạn chiều M ƣ ng, hay đƣợc hiể e xuất m ƣờ o đ o ê ý é ê t ƣờ ê o ạn chiều Cá ứu thập kỷ đầ F David Hilbert, Erhard Schmidt ể thiế á gian Hilbert s m nhấ đƣợ họ ƣợng tử ƣơ đo đƣợc H ọ mở r ng c hữu hạn ho e oả e oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều H E a kỷ 20 es R esz C ú ết ế đ i Fourier ê ƣơ ý â ết ergodic ữ ụ ừng phầ ơ sở oá ọc c a nhiệ đ ng l c học Cá H o dụ e é tr q á số tr c giao â ọc ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ K ứ oá ể đƣợ ấp m t khung é biế đ i Fourier a giả việ ạn chiều C ú t số để hệ thố c o H e đ ữ m t ệm òq ọng é c a ọc ọ ƣợng tử 1.1.1 Khơng gian tuyến tính M ế ầ é â ậ é o â ấ đ ầ ƣờng c đị số é e é ọc é â e ọc v i m t số C ế m t é ệ ỏ T ấ ầ ậ X đƣợc gọi m ệ X số a ( a  T , T X ax ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X đị é phần c ã é x+y ể â ập số th c ho c phức, ê đề s : o oá : v ất kỳ x, y  X ta ầ x  y  y  x T ( x  y)  z  x  ( y  z ) ất kết hợp: v i x, y, z  X T ọ x  X cho x    x  x ầ e T ị 1.x  x.1  x v i x  X phần tử a(bx)   ab  x a  x  y   ax  ay  a  b  x  ax  bx T ầ x X a, b T x, y  X a T x X a, b T đố ( x)  X x  X cho ầ x    x   1   1  x  0.x  Ở ê ố q số ệ ữ ầ đị aX ế ế số a, b T Nế a c Nếu a số phứ ức [1,3] Cho hệ n e x1 , x2 , , xn  xn   X , e ơ: y  a1 x1  a2 x2   an xn  y  X , T  ƣợc gọ hợp tuyế Nếu a1 x1  a2 x2   an xn  a1 , a2 , , an ƣợc lại ai  e x1 , x2 , , xn ất m t n tạ ệ  xn  đƣợc gọ ụ thu c tuyế ệ e ê đƣợc gọ o đ c lập tuyế ệ số T ƣờng hợp T ƣờng hợp: T ƣờng hợp 1: n   k    x   khoảng  x  d , tứ s ấ đề hạt mọ đ ểm giếng bằ oá o ạt giếng S â ẫn v i ƣờng hợp n  ỏa ã T ƣờng hợp 2: n  , s  n x   ù  d    x    A sin  ê Vậ  n x    d    x   A sin  ả m t trạ ị ê ầ a hạt : n  n x  , n  1,2,3  , En  2md  d   n  x   A sin  2 Bài 2: Trong Sˆ x - biểu diễn, đ t Sˆx  ˆ x , Sˆ y  ˆ y , Sˆz  ˆ z T 2 tử Sˆx , Sˆ y , Sˆz ê a  z ứng v i trị ê -1 a ma trận  x  1 ƣơ ứng v chuẩ oá Lời giải Trong Sˆ x - biểu diễ trị ê  ị ê c a Sˆx Muốn vậy,  x phả 1 ạng: 0 x     1 T ệ thứ o oá a Sˆx , Sˆ y , Sˆz :  Sˆx Sˆ y  Sˆ y Sˆx  i   Sˆ y Sˆz  Sˆz Sˆ y  i ˆ ˆ ˆ ˆ  S z S x  S x S z  i Từ hệ thứ o oá ận thấy: 25 Sˆz Sˆ x Sˆ y ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  2iˆ z  ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  2iˆ x ˆ ˆ  ˆ ˆ  2iˆ x z y  z x V oá á ị ê  i  1 ả ạng:  i2 o ê ị ê a  i2  V 1 0 1 0 1 0 2   ,   ,  y 0 1 z 0 1   0 1    x2   Xé hợp 2i ˆ xˆ y  ˆ yˆ x    2iˆ x ˆ y  ˆ y  2iˆ x   ˆ yˆ z  ˆ zˆ y ˆ y  ˆ y ˆ yˆ z  ˆ zˆ y   ˆ yˆ zˆ y  ˆ zˆ y2  ˆ y2ˆ z  ˆ yˆ zˆ y  Suy ˆ xˆ y  ˆ yˆ x Tƣơ : ˆ yˆ z  ˆ zˆ y  ˆ zˆ x  ˆ xˆ z t a b a  b   y   11 12  ,  z   11 12   b21 b22   a21 a22  D o ệ thức ˆ xˆ y  ˆ yˆ x  a11 a  21 : a12       a11 a12     1  a a  a22   1    21 22  a   11  a21 Suy a11  a22  t a12   a11    a a22   21 :  y   a21 26 a12   a12  a22  ế He Sử dụ a  y   y : e  a12   a  *  21   a12 * a12  a21 Ta phả :  y  *  a12 t a12  e v i  i Tƣơ số th c bấ a12      y    i e ei   0 , suy ra:  ˆ z    i e ei   v i  l số th c bấ 0 e i     đƣợc:     Chọn     o oá : ˆ yˆ z  iˆ x , Sử dụng hệ thức phản Ta *  a21     e  i    đ :  i   0 1 ˆ y    , ˆ z   i    Vậy dạng c a oá Sˆx , Sˆ y , Sˆz Sx - biểu diễ : 1  ˆ 0 1 ˆ  i  Sˆx   , Sy   , Sz       1 1 0 2 i  Nếu gọi e ê ƣơ ị ê a Sˆ z Sx - biểu diễ a Sˆ z Sx - biểu diễ 27 : a X   b  i  a  a         i  b  2b  ib  a        ia  2b i a  ib  X  b    1 Sử dụ đ ều kiện chuẩ N ƣ ậ ê đƣợc b  s c a Sˆ z cầ X i   , ứng v i trị ê  1  z  1 2.3 Bài to n nhóm bi u di n nhóm Bài 1: Trong tậ Q đị é oá *: a * b  a  b  ab, a, b Q a) Hỏ Q * ậ ? Tại sao? b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Lời giải ấ a) Dễ ần tử ị c a  Q,* Giả sử  Q,* lậ Xé ần tử nghị đảo b K ần tử 1  Q,* đ   1 * b  (1)  b  (1)b  1 ý Vậy  Q,* ậ b) Chứng minh (Q\ 1 ,*) lậ Gọi a, b, c  Q \ 1 , ần tử : (a * b) * c   a  b  ab  * c  a  b  ab  c  ac  bc  abc a *(b * c)  a *  b  c  bc   a  b  c  bc  ab  ac  abc 28 Suy  a * b  * c  a *  b * c  Vậ V i a  Q \ 1 é ọi phần tử nghị oá đảo c ết hợp b a 1 a  a   a   a  a *b  a * a   a  1 a  1 a  1 a  a 1  a   a a2   1 a 1 a 2 aa aa  1 a  , b  a  Tƣơ N ƣ ậy,  Q \ 1,* lậ Bài 2: Xâ ng bả â G  1, i v Lời giải N T G g m bốn phần tử 1, 1, i, i : 1.1  1.i  i.1  i  1. 1   1. i    i . 1  i i. i    i .i  i  1. 1   1.1  1 1. i    i .1  i  1.i  i. 1  i i.i  i  1  i . i   i  1 29 é â ƣờng T đƣợc bả â a G: -1 i -i 1 -1 i -i -1 -1 -i i i i -i -1 -i -i i -1 Bài 3: Cho X a X i phần tử a2  e ị e Chứng minh A e X Lời giải ọi a, b  X ,  ab   ea  eb2  e Do đ M  ab  T  ab   a 2b 2  a 2b2  e ab = ba A e Vậy X Bài 4: Giả sử A o t b phậ ng c X Chứng minh A A A1  A aX Lời giải A1  a 1 | a  A Khi A T o A1  A aX V A1  A ê A A1  A ọi a  A M a  a.e1  A A1 ê A  A A1 Vậy A A1  A ọi a, b  A, Do đ a.b1  A A1  A Suy A Bài 5: Chứng tỏ tập hợp v é â ận ậ â ấ ả ể  Tính kín 30 ấ s : a X định thứ o oá Lời giải T eo đị o ?  a1 b1    a b   Giả sử: M    , N      c d    c1 d1   V i M , N  A, :  a b   a1 b1  M N      c d  c1 d1   aa  bc1 ab1  bd1    A  a1c  c1d b1c  dd1  Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã  Tính chất kết hợp  a1 b1    a2  a b   Gọi M   , N  , P           c d    c1 d1    c2 V i M , N , P  A  a  M N .P     c b2    d   : b   a1  d   c1 b1    a2  d1    c2 b2  d   a (aa +c b)+c2 (ab1 +bd1 ) b2 (aa1 +bc1 )+(ab1 +bd1 )d   1   a2 (a1c +c1d )+c2 (b1c +d1d ) b2 (a1c +c1d )+(b1c +dd1 )d   a b    a1 b1   a2       c d    c1 d1   c2  M  N P  Do đ ậ ợ ậ A b2    d   é â ậ ỏ ợ  Tồn phần tử đơn vị V i M  A :    a b    a b  M     c d     c d   M        Nê 31 ã ấ ế 1 0 ị: e    0 1 A t n phần tử  Tồn phần tử đối V i M  A : a b  ad  bc  c d det  M   ọi ma trận M  A đề C o ê ận nghị M 1  N ƣ ậy tập hợp A v V i M , N  A é  d b    A ad  bc  c a  â â b1   aa1  bc1 ab1  bd1   d1   a1c  c1d b1c  dd1  b d  o oá Bài 6: Chứng tỏ tập hợ é ậ :  a b   a1 M N     c d  c1  a b  a   1   c1 d1   c  N M Ta kết luậ A ậ    x ận A     â ả ể ất sau:  Tính kín 32 0 0   0   , x, y  R  0    y 1 o oá Lời giải T eo đị đảo ?  0 0     0   x1 ; x, y  R  , N   0      0 y 1    x Gọi M     V i M , N  A 1 x M N   0  0 Do đ ậ ợ 0 0 y1  0   0  ; x , y  R 0 1    1 : 0   0   x1   y  ậ A 0 0 y1 é 0    x  x1  0    1  â ậ ỏ 0 0 y  y1 0  A 0  1 ã  Tính chất kết hợp    x Gọi: M      0 0     0   x ; x, y  R  , N   1 0      0 y 1    x P     V i M , N , P  A 1  x  M N .P      0 0 0 0 y1  0   0  ; x1 , y1  R  , 0    1  0  0   ; x2 , y2  R  0    y2  : 0 0   0   x1 0   y 1  33 0 0 y1 0      x2 0       0 0 0 y2 0  0  1  x x  x     0 0 y  y1  y2 0    0    x1     y     M  N P  1 x  0  0 Do đ ậ ợ ậ A é 0 0 y1 â 0  0  1 0    x2 0   1  ậ ỏ 0 0 y2 ã 0    0    ấ ế ợ  Tồn phần tử đơn vị V i M  A 1 0 M  0  0 Nê A : 0 0  1 0   x  0    0 1 0 0  1 0   0   y  1 0 ị: e   0  0 n phần tử 0 0 1 0   x  0    0 1 0 0 0 0  0  0 1  Tồn phần tử đối V i M  A : det  M   C o ê 0 x 0 0 0 y ọi ma trận M  A đề   ận nghị 34 đảo 0 0 0  M 0  y 1 N ƣ ậy tập hợp A v V i M , N  A 1 x M N   0  0 1 x  0  0 0   A 0  y 1 é ậ â 0 : 0 0   0   x1 0   y 1  0 0 y1 Ta kết luậ A Bài 7: Xâ   x 1 M     0 1   x 0   1 0 0 0 y1 0    x  x1  0    1  0 0 y  y1 0  0  1 0 0 0   N M 0  y 1 o oá ng bảng â S3 : a (12)(23)(321)4 b (123)(23)(12)11 Lời giải oá S3 đị ị phần tử Bả â ƣs : 12 (12) 123  213  123 Do đ : 1212  e Tiế ƣơ ta thu đƣợc bảng : 35 đƣợ e (12) (23) (31) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) 12 23 321 T (123) (321) 12 23321  123321321 321  e 123 2312 11 b T (123)  2312   12 .e.12   e 11 Bài 8: T ận D((12)) biểu diễ q S3 Lời giải N S3 ả â : e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) i phần tử ƣơ Trong biểu diễ q o e ơ sở tr c chuẩn ứng v i m t e e  e , 12   g2 , 13  g3 ,  31  g4 , 123  g5 , 132   g6 T : 36 D  g1  g  g1 g  D  g   ij  ei D  g  e j Từ đ đƣợc: 0 1  0 D  12     0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 1  0 0 0 0  0 0 37 PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ đạ đƣợc mụ ú oá oá ứu, ả ê đề T o đạ đƣợ C ú ê q ậ đƣợ o c hiệ ận, ết sau: i i thiệu, t ng kết m t số ý ết He oá e ê ị ê H ử, ý e ết ểu diễ C ú ê Do ý ị ê ế oá phứ ý oá ọ oá m t số ế đƣ ng hợ s ất đƣợc m t số dạng ý ê q V ận đƣợ đến vậ ý đƣợc b s o ắc chắ đƣợc ý, ch dẫn c a thầ ê ứ ỏi thiế s 38 e ểu diễ ậy, k đề thiệ ết H ậy, ạn để oá o ệ ƣ ý ết ê ê mong nhận ậ đƣợ o TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trầ T Ho [2] Nguyễ Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i P ƣơ Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ [3] Ho [4] Phạ K ậ H N i Tụy, Hàm thực Giải tích hàm NXB HQG Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sƣ ạm H N i Tiếng Anh [5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, NXB World Scientific [6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific [7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World Scientific 39 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng... PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert K H e q t dạng t a ị gi i hạn vấ đề hữu hạn chiều N đại số e e K oá ậ ý ạn chiều M ƣ ng,... Cấ ê ứu ận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƢỢNG TỬ 11 K H e 111K ế 11 K H e 1.1.3