Cơ sở toán học của dạy học nội dung phân số ở tiểu học

Về cấu trúc nội dung dạy học về phân số bao gồm: khái niệm ban đầu về phân số và một số nội dung liên quan như: phân số bằng nhau; rút gọn phân số; quy đồng mẫu số các phân số; so sánh

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài: Trong mọi nhà trường Tiểu học, việc nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên, học sinh bao giờ cũng là mối quan tâm hàng đầu, bao trùm chi phối mọi hoạt động khác Trong tất cả các môn học ở Tiểu học, môn Toán có số tiết tương đối lớn (5 tiết trong 1 tuần) Qua việc học Toán, học sinh bước đầu nắm được kiến thức Toán học cơ bản, có cơ sở để học tốt các môn khác

Trong chương trình môn Toán ở bậc Tiểu học, số học là nội dung trọng tâm, là hạt nhân của quá trình dạy học Toán Một trong những đặc điểm nổi bật của môn Toán lớp 4 là: “Bổ sung tổng kết quá trình dạy học số tự nhiên và chính thức dạy học phân số” Việc dạy học phân số chiếm một vị trí rất quan trọng trong nội dung của Toán Tiểu học, thể hiện: ở chương trình Toán 4, phân số được học bắt đầu từ học kỳ II, dạy học phân số chiếm 60% thời lượng dạy học Toán của kỳ II, chiếm 29,75% tổng thời lượng dạy học Toán 4 Về cấu trúc nội

dung dạy học về phân số bao gồm: khái niệm ban đầu về phân số và một số nội

dung liên quan như: phân số bằng nhau; rút gọn phân số; quy đồng mẫu số các phân số; so sánh các phân số …

Học tốt về phân số giúp học sinh học tốt các mạch kiến thức: đo lường, yếu tố hình học, giải toán có lời văn

Dạy học tốt nội dung phân số còn góp phần:

- Rèn luyện phẩm chất cần thiết cho người lao động trong xã hội hiện đại

- Hình thành nhân cách của người học sinh dưới mái trường Xã Hội Chủ Nghĩa

- Giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng, học sinh không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn có thể giải toán nâng cao, giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày

Khác với những năm trước đây, trong chương trình học mới, phân số trở thành một trong những mục tiêu dạy học số học, được dành thời lượng thích hợp hơn Tuy nhiên, việc dạy học phân số lại là một vấn đề khó vì nó mở rộng hệ thống

số tự nhiên và là một tiền đề để hình thành khái niệm số hữu tỉ ở Trung học cơ

sở Bên cạnh đó, học sinh cũng có nhiều khó khăn trong nắm bắt khái niệm phân số

Chương trình Toán ở Tiểu học bao gồm rất nhiều tuyến kiến thức từ số học đến hình học Nội dung dạy học được hình thành bởi 175 bài học trong đó có 19 bài

về dạy học phân số, chiếm khoảng 1/3 thời lượng của học kỳ II, lớp 4 Đây là nội dung mới đối với học sinh Ở lớp 2 và lớp 3 học sinh được làm quen với

“phân số” dạng 1

n (với n là các số từ 2 9 ) còn việc dạy học chính thức và có

hệ thống về phân số được thực hiện chủ yếu tập trung trong kỳ học của lớp 4 Đây là sự đổi mới trong cấu trúc và chương trình dạy học Toán lớp 45 so với chương trình cải cách Giáo dục (chương trình cũ phân số chỉ được dạy đơn giản, mẫu số thường là số có 2 chữ số và phân số lớn hơn hoặc bằng 0 )

Đầu học kỳ II lớp 4, học sinh còn được học về dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

để làm tiền đề cho việc rút gọn phân số, quy đồng mẫu số cho hai phân số Từ

đó ta có thể thấy việc dạy học phân số ở Tiểu học là cần thiết, đặc biệt là ở lớp

4 khi đã bước đầu dạy học chuyên sâu

Thực tế đòi hỏi giáo viên phải có cách truyền thụ phù hợp để học sinh hiểu và tiếp thu bài tốt, việc hình thành khái niệm phân số là công việc khó, vì vậy giáo

viên cần phải tổ chức hướng dẫn cho học sinh hoạt động học tập với sự trợ giúp đúng mức của sách giáo khoa, và đồ dùng học tập Giáo viên phải hướng dẫn học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức Có nhiều phương pháp để giúp học sinh hình thành khái niệm phân số, nhưng phải hướng đến tính tích cực hoạt động của học sinh

2 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu cơ sở Toán học của dạy học nội dung phân số ở Tiểu học nhằm góp phần nâng cao hiệu quả hoạt động dạy học môn Toán ở Tiểu học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: nghiên cứu cơ sở Toán học của dạy học nội dung phân số

- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu cơ sở Toán học của dạy học phân số ở Tiểu học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1 Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của dạy học nội dung phân số ở Tiểu học

4.2 Tìm hiểu cơ sở Toán học của dạy học nội dung phân số ở Tiểu học

5 Giả thuyết khoa học: Nếu xác định đúng cơ sở Toán học của dạy học nội dung phân số sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở Tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp điều tra, khảo sát, phỏng vấn, đàm thoại

NỘI DUNGCHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1.1 Cơ sở tâm lí

Những biểu hiện tư duy của học sinh Tiểu học trong học Toán

1.1.1.1 Sự phát triển tư duy của học sinh Tiểu học

Nhìn chung, ở học sinh Tiểu học hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế hơn so với hệ thống tín hiệu thứ hai Do đó, các em rất nhạy cảm với các tác động bên ngoài qua hình ảnh trực giác, thường gặp khó khăn trong khi diễn đạt, điều này phản ánh trong nhiều hoạt động nhận thức của trẻ từ 6 đến 9 tuổi

Ở giai đoạn này, do thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý không chủ định ở trẻ còn chiếm ưu thế, sự chú ý này chưa bền vững, nhất là đối với các đối tượng ít thay đổi Mặt khác, do thiếu khả năng phân tích, các em dễ bị lôi cuốn vào cái trực quan, gợi cảm Sự chú ý của các em thường hướng ra bên ngoài, hướng vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy Để giúp học sinh mau chóng tập trung vào đối tượng ta cần sử dụng lợi thế màu sắc để

hỗ trợ cho hình thức bề ngoài; để rèn luyện sự chú ý cho học sinh ta cần tạo ra những đối tượng tương tự về hình thức để học sinh khi nhận dạng và phân biệt cần hướng vào những đặc điểm bên trong – tư duy bản chất

Trí nhớ trực quan hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ lôgic, hiện tượng, hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ trừu tượng, khô khan Trí tưởng tượng tuy có phát triển nhưng còn tản mạn, ít có tổ chức, chịu tác động nhiều của hứng thú, kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết

1.1.1.2 Một số giai đoạn phát triển tư duy của học sinh Tiểu học

Giai đoạn 4  tuổi (trước tuổi đến tường): Ở trẻ đã hình thành thao tác logic 5của tư duy Trẻ dần hình thành công cụ nhận thức mới: Từ tư duy với hành động trực tiếp ở bên ngoài chuyển thành tư duy bên trong (trong óc) Các hành động lúc đầu còn rời rạc dần dần được kết hợp thành hệ thống, được thực hiện theo hai chiều thuận nghịch Đó chính là các thao tác logic tổng quát của tư duy

Giai đoạn 6 - 11 tuổi: Đây là giai đoạn phát triển mới của tư duy Ở lứa tuổi

này, nhận thức đã có nhiều tiến bộ so với lứa tuổi trước nhưng vẫn còn những hạn chế Các thao tác tư duy còn dựa trực tiếp vào các đồ vật, chưa tác động tốt đến lời nói và các giả thiết bằng lời Sự tiến bộ thể hiện là các thao tác tư duy

đã liên kết với nhau thành tổng thể nhưng sự liên kết đó chưa hoàn toàn tổng quát, mặc dù vậy, bước đầu chúng đã gắn bó với nhau bằng tính thuận nghịch Tuy nhiên, hạn chế của tư duy ở giai đoạn này là việc tổ hợp các thao tác mới được thực hiện dần dần, với từng bộ phận, trẻ chưa hình dung được cùng một lúc toàn bộ các tổ hợp có thể có, vì vậy, yếu tố mò mẫm vẫn có vai trò quan trọng trong nhận thức

Về cuối giai đoạn này (khoảng 10 11 tuổi), các em đã đạt được những tiến bộ nhất định về lĩnh vực nhận thức không gian Nói cách khác, ngoài việc nhận thức được các mối quan hệ trong nội bộ các đối tượng (như giai đoạn đầu), lúc này các em còn có thể nhận thức được các quan hệ giữa các đối tượng với nhau

1.1.2 Cơ sở Giáo dục

Hệ thống nguyên tắc dạy học ở Tiểu học:

1.1.2.1 Nguyên tắc đảm bảo tính khoa học: Thể hiện trong phương pháp dạy

học mang tính khoa học, nghệ thuật và nghề nghiệp dựa vào mục đích, nội

dung và qui luật phát triển tâm lí lứa tuổi, tác động tích cực đến nhận thức và việc hình thành, phát triển nhân cách của học sinh

1.1.2.2 Nguyên tắc đảm bảo tính Giáo dục

- Thuộc tính bản chất của quá trình dạy học

- Giáo dục nhân cách toàn diện cho học sinh

1.1.2.3 Nguyên tắc đảm bảo tính tương quan

- Nắm vững kiến thức qua quan sát thực tế khách quan, sinh động

- Hình thành kĩ năng trực quan, làm cho học sinh trở thành người nắm vững lí thuyết và thực tiễn cuộc sống

1.1.2.4 Nguyên tắc đảm bảo tính vừa sức

- Tập thể học sinh được sử dụng như một phương tiện để tổ chức chương trình học tập tích cực nhất cho từng cá nhân

- Chú ý đến xuất hiện hướng

- Chú ý đến hứng thú và năng lực của học sinh

1.1.2.5 Nguyên tắc đảm bảo tính hệ thống

- Hệ thống hóa nội dung dạy học với hệ thống các biện pháp Sư phạm

- Phát triển nội dung dạy học dựa vào khả năng tiếp thu của học sinh

1.1.2.6 Nguyên tắc phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh

Chủ thể tích cực, chủ động, sáng tạo

1.1.2.7 Nguyên tắc chủ đạo của giáo viên

Giáo viên là chủ thể của tổ chức, điều khiển quá trình dạy học

1.1.2.8 Nguyên tắc thống nhất giữa dạy học lí thuyết và kĩ năng

Để học sinh vận dụng được lí thuyết vào cuộc sống

1.1.2.9 Nguyên tắc thống nhất giữa lối dạy học tập thể và cá biệt hóa hoạt động học tập của từng học sinh

1.1.3 Cơ sở Toán học

(Vai trò của phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học)

Về phương diện lịch sử, phân số đã được sử dụng lần đầu tiên cho những số lượng bé hơn đơn vị nguyên vẹn Phân số ngày nay là sự phát triển mở rộng khái niệm phân số ban đầu và bao gồm cả các phân số lớn hơn hay bằng 1

Phân số thông thường là phân số được biểu diễn dưới dạng a

b ; a gọi là tử số,

b là mẫu số; trong đó mẫu số là cái toàn thể được chia ra, tử số là số phần bằng

nhau của toàn thể đang được quan tâm Do đó a và b là số tự nhiên; b không thể bằng 0, vì điều đó có nghĩa là không có đơn vị cơ sở để so sánh với các phần chia khác

Phân số thực sự là phân số được biểu diễn dưới dạng a

4 không phải là phân số thực sự

Phân số không thực sự là phân số biểu thị một tỉ số a

Trong phạm vi môn Toán, nếu trước đây, nội dung phân số hầu như bị cắt bỏ cho phù hợp với chương trình phổ cập Trung học cơ sở thì hiện nay, phân số là một trong các mục tiêu cần đạt được trong các nội dung ở Tiểu học và “dành thời gian chủ yếu của Toán 4 để dạy học phân số” Điều này được lí giải là do phân số và số thập phân thuộc hệ thống số thông dụng, có giá trị thực tiễn cao, nhất là mặt thực hành Chẳng hạn, để biểu diễn số đo các đại lượng trong đời sống hàng ngày, phân số và số thập phân là những công cụ rất quan trọng Chúng ta muốn đảm bảo tính độc lập về nội dung dạy học của một bậc học, muốn giúp cho học sinh Tiểu học có được kiến thức, kĩ năng cơ bản trên tập số thập phân thì việc trang bị những kiến thức về phân số là hết sức cần thiết Phân số là một trong ba nội dung trọng tâm của số học trong chương trình Toán Tiểu học Đưa nội dung phân số vào chương trình Tiểu học là nhu cầu của thực tiễn

- Về mặt Toán học: Tập hợp các phân số và số thập phân là một loại số

mới được xây dựng trên cơ sở mở rộng các số tự nhiên, nhằm đáp ứng yêu cầu của bản thân Toán học: viết thương (đúng) của phép tính chia hai số tự nhiên (số chia khác 0)

- Về mặt thực tiễn: Các phân số (và nhất là các số thập phân) được sử

dụng hàng ngày trong hầu hết các hoạt động thực tiễn, nên có thể coi các khái niệm này là những khái niệm chìa khóa về mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn Vì vậy, trong dạy học phần này cần coi trọng và sử dụng “vốn sống” của học sinh trong việc hình thành khái niệm; coi trọng việc thực hành, áp dụng vào thực tiễn và trong lĩnh vực thực tế

- Về mặt Sư phạm: Có mối quan hệ khăng khít giữa việc đo đại lượng và

sử dụng phân số, nhất là số thập phân Trong dạy học phần này việc đo đại lượng có thể cho là chỗ dựa để xây dựng khái niệm trên

Muốn dạy học phân số để chuẩn bị cho việc hình thành khái niệm số thập phân thì khái niệm phân số, phân số thập phân phải được ưu tiên nhấn mạnh là một trong những mục tiêu chính của việc dạy học phân số ở Tiểu học

Xét theo một số nội dung khác trong khi dạy học số thập phân như: số thập phân bằng nhau; so sánh và sắp thứ tự số thập phân; các phép tính cộng và nhân số thập phân, không nhất thiết phải thông qua đổi xuôi, đổi ngược các đơn vị đo (vừa dài dòng, vừa làm học sinh dễ hiểu lầm về số thập phân là một dạng của số tự nhiên do đổi đơn vị đo mà có) Chẳng hạn:

 Nội dung thứ nhất: tính chất bằng nhau của số thập phân trong bài “Số

thập phân bằng nhau”, sách giáo khoa Toán 5, trang 61 có đưa ra hai nhận xét:

(1) “Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của một số thập phân thì được một số thập phân bằng nó”

(2) “Nếu số thập phân có chữ số 0 tận cùng bên phải phần thập phân thì khi

bỏ chữ số 0 đó đi ta được một số thập phân bằng nó”

Để lí giải hai nhận xét trên, chúng ta có thể tận dụng triệt để mối liên hệ với phân số và giải quyết trực tiếp như sau:

- Thông qua mối liên hệ với phân số:

Ví dụ: cho hai số thập phân 0, 8 và 0, 80

Ta nhận thấy 0, 8 = 0, 80

Thật vậy, theo sự liên hệ với phân số, ta có:

 Nội dung thứ hai: so sánh sắp thứ tự số thập phân

Vấn đề so sánh và sắp thứ tự số thập phân, tác giả đã phân tích và đưa ra 2 qui tắc so sánh các số thập phân có tính chất thực hành như sau:

(1) Qui tắc 1:

- Bước 1: So sánh các phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn hơn là số lớn hơn

- Bước 2: Nếu các phần nguyên bằng nhau thì so sánh các hàng phần mười (chữ số thứ nhất bên phải dấu phẩy), số nào có chữ số thứ nhất bên phải dấu phảy lớn hơn là số lớn hơn

- Bước 3: Nếu phần nguyên và chữ số thứ nhất bên phải dấu phẩy như nhau thì so sánh các hàng phần trăm (chữ số thứ hai bên phải dấu phảy); số nào

có chữ số này lớn hơn là số lớn hơn … cứ tiếp tục với các hàng sau

(2) Qui tắc 2:

- Bước 1: Làm cho số chữ số trong phần thập phân (của hai số cần so sánh) bằng nhau

- Bước 2: Bỏ dấy phẩy trong hai số đó để có hai số tự nhiên tương ứng

- Bước 3: So sánh hai số tự nhiên mới tạo thành Số tự nhiên lớn hơn ứng với số thập phân lớn hơn

Ở qui tắc 1 (qui tắc đang được sách giáo khoa Toán 5 sử dụng): so sánh hai số thập phân dựa vào sự phân tích hai số thập phân thành các phần nguyên và các hàng phần mười, các hàng phần trăm, hàng phần nghìn … để so sánh các số nguyên hoặc các số thập phân có cùng mẫu số

Ở qui tắc 2: bước 1 áp dụng tính chất bằng nhau của hai số thập phân; bước 2 thực chất là đưa hai số thập phân về hai phân số thập phân có cùng mẫu số; bước 3 là so sánh hai tử số (là hai số tự nhiên) mà rút ra kết luận

Từ đó rút ra kết luận thứ hai: để chuẩn bị cơ sở cho việc học tính chất bằng nhau của hai số thập phân, sự sắp thứ tự các số thập phân thì tính chất cơ sở của phân số, so sánh các phân số cùng mẫu là một trong các mục tiêu chính khi dạy học phân số cho học sinh Tiểu học

 Nội dung thứ 3: các phép tính trên số thập phân

Nghiên cứu cơ sở thực hiện các phép tính cộng (trừ), hay phép tính nhân (chia) các số thập phân thuần túy (không gắn với việc đổi đơn vị đo đại lượng cụ thể nào), chúng ta một lần nữa thấy các thủ thuật đều dựa trên cơ sở các phép tính

về phân số hoặc dựa vào tính chất cơ bản của phân số Chẳng hạn, đối với phép tính chia hai số thập phân dựa vào việc phân tích số thập phân rồi đưa về phép tính cộng các phân số:

Phép tính nhân hai số thập phân cũng tương tự

Từ đó rút ra kết luận thứ ba: Để chuẩn bị cho việc học các phép tính đối với số thập phân thì phép tính cộng (trừ) các phân số cùng mẫu và phép tính nhân hai phân số là một trong các mục tiêu chính khi dạy học phân số cho học sinh Tiểu học

Tóm lại: trên cơ sở phân tích các vấn đề về dạy học số thập phân ở cả bốn nội

dung (hình thành khái niệm số thập phân, tính chất bằng nhau của hai số thập

phân, sắp thứ tự các số thập phân và các phép tính trên số thập phân) chúng ta

đều thấy mối quan hệ khăng khít có bản chất toán học giữa phân số và số thập phân Việc dạy học phân số cho học sinh Tiểu học khá hoàn chỉnh tạo được

những tiền đề quan trọng và cần được tận dụng triệt để trong việc dạy học số thập phân ở lớp 5, điều đó rất có ý nghĩa trong việc thực hiện mục đích chung

là trang bị những kiến thức cơ sở ban đầu về số học cho học sinh Tiểu học

Từ lớp 1 đến lớp 4 (hết học kì I), học sinh được học về số tự nhiên Việc đưa phân số vào dạy học ở học kỳ II, lớp 4 sẽ giúp cho học sinh mở rộng kiến thức

về số hữu tỉ

Việc dạy học nội dung phân số ở Tiểu học là cần thiết, nó giúp các em phát triển tư duy, ứng dụng vào bài toán hình học, giải toán có lời văn được dễ dàng hơn, từ đó làm phong phú hơn về nội dung dạy học Toán ở Tiểu học

 Hình thành khái niệm phân số;

 Mối liên hệ với số tự nhiên và với số thập phân;

 Tính chất cơ bản của phân số;

 Rút gọn phân số;

 So sánh phân số;

 Cộng, trừ, nhân, chia phân số;

 Giải toán ứng dụng phân số

Theo nhận định chung của các nhà nghiên cứu dạy học phân số là một vấn đề khó bởi một số lí do cơ bản sau:

- Học sinh trong nhà trường Tiểu học từ 6 – 11 tuổi, hoạt động nhận thức

triển Trong khi đó khái niệm số nói chung và khái niệm phân số nói riêng rất trừu tượng, khó nhận thức vì tính khái quát cao Phân số là loại số mới, mở rộng hơn ý nghĩa của khái niệm số (tự nhiên) Phân số cho phép ghi lại cả những lượng nhỏ hơn đơn vị và thấy được mối tương quan với đơn vị (cái toàn thể) Như vậy, với phân số tính chất khái quát và trừu tượng tăng thêm Cấu tạo của phân số mới mẻ so với cấu tạo “thập phân” của số tự nhiên

- Trong quá trình học số tự nhiên, học sinh làm quen với cách ghi số theo

vị trí và cấu tạo thập phân (hàng, lớp) Nhưng phân số lại gồm hai phần: tử số

và mẫu số Do đó một số học sinh sẽ cho rằng phân số là hai số và chưa hiểu được ý nghĩa biểu thị số lượng của phân số

- Ngoài ra, một số tính chất của phân số khác hẳn số tự nhiên Ví dụ: học

sinh sẽ thấy khó hiểu khi những phân số viết rất khác nhau như 1

2 và

6

12 lại được coi là bằng nhau Hơn nữa, khi nhân hai số tự nhiên khác 0 thì tích tìm được bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng một trong hai thừa số Trong khi đó tích của hai phân số thực sự luôn nhỏ hơn một trong hai phân số

Việc dạy học các nội dung Toán học nói chung và phân số nói riêng đòi hỏi sự chính xác, nhưng ở Tiểu học lại phải tuân theo qui luật nhận thức của trẻ Tất

cả điều đó cho thấy, tính chất và mức độ khó khăn của việc dạy và học phân số

ở Tiểu học

Dạy học phân số có ưu điểm là: phù hợp với sự phát triển tự nhiên của hệ thống số, giúp học sinh thấy rõ hơn phân số và số thập phân là loại số mới; mở rộng tác dụng, vai trò so với số tự nhiên; khái niệm số thập phân, các tính chất

và các phép tính trên số thập phân có thể được lí giải thông qua phân số không

bị lệ thuộc vào đơn vị đo của một đại lượng cụ thể nào

Dạy học phân số trước rõ ràng có nhiều lợi ích:

 Một là: có sự chuẩn bị tốt về cơ sở cho việc học số thập phân

 Hai là: trong quá trình học số thập phân, kiến thức cơ sở về phân số sẽ

được ôn tập củng cố và nhắc lại nhiều lần Kí hiệu m

n (n ¹ 0) vừa được hiểu

là một cặp sắp thứ tự (tức là một trong các kí hiệu hình thức để biểu diễn một

số hữu tỉ không âm khi dạy học cách đọc, cách viết, tính chất cơ bản, rút gọn phân số…); mặt khác vừa được hiểu là một số hữu tỉ nên có thể so sánh, tính

toán

Nội dung và phương pháp dạy học phân số trong nước từ năm 1992 đến nay: Quan điểm chỉ đạo trong giai đoạn này là trên cơ sở mục tiêu mới của Giáo dục Tiểu học, mọi hoạt động dạy học đều hướng tới việc góp phần đào tạo những người “lao động tự chủ, sáng tạo” (Nghị quyết Trung ương 4) Hoạt động dạy học phải coi mỗi học sinh như một cá nhân, đồng thời mỗi cá nhân lại có sự khác nhau về mức độ phát triển riêng và có một sở trường nào đó Sở trường của mỗi cá nhân chỉ có thể bộc lộ và phát huy đúng mức nếu cá nhân có môi trường học tập phù hợp Dạy học cá thể hóa và tạo điều kiện cho học sinh được hoạt động học tập trong môi trường thuận lợi là con người thích hợp để phát triển cá nhân học sinh Hiệu quả cao của việc giảng dạy là giúp người học hoạt động tích cực để tự mình phát hiện ra tư tưởng khái quát nhất của bài học, chuyển hóa kiến thức đã học thành năng lực của mình

Với những yêu cầu của phổ cập Giáo dục Tiểu học hướng tới năm 2000, việc thiếu tính hoàn chỉnh về nội dung số học của một bậc học (cụ thể là thiếu kiến thức về phân số và thiếu thời gian rèn luyện kĩ năng trên phân số và số thập phân) đã làm cho việc dạy học các nội dung khác ở Tiểu học cũng có ảnh

hưởng nhất định Chẳng hạn, nó ảnh hưởng đến việc đọc, viết các số đo đại lượng, hạn chế các kĩ năng về phân số và số thập phân Học sinh sẽ vấp phải những khó khăn trong các đơn giản đặt ra trong cuộc sống cộng đồng Vì vậy, phân số chính thức được đưa vào dạy học ở lớp 4 và hoàn chỉnh bốn phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) ở lớp 5

1.2.2 Mức độ trình bày phân số ở Tiểu học

 Hình thành khái niệm: khái niệm phân số được đưa vào chương trình Tiểu học từ những ví dụ đơn giản, gần gũi, quen thuộc và phù hợp với nhận

thức của các em

 Các phép tính: các phép tính cộng, trừ ban đầu được thực hiện với các phân số cùng mẫu sau đó mới thực hiện các phép tính cộng, trừ với các phân số khác mẫu Phép tính nhân, chia phân số chỉ thực hiện với các phân số có tử số

và mẫu số là những số tự nhiên, có mẫu số khác 0 và tử số khác 0 đối với phép

- Giai đoạn 1: (học kì II, lớp 2 và lớp 3)

 Làm quen yếu tố phân số 1

- Giai đoạn 2: (ở học kì II, lớp 4)

 Hình thành khái niệm phân số;

 Tính chất bằng nhau của phân số;

 Rút gọn phân số và qui đồng mẫu số các phân số;

 Bốn phép tính về phân số và tính chất cơ bản của các phép tính (cộng,

trừ, nhân và chia phân số);

 Ứng dụng vào giải toán về tỉ lệ bản đồ

- Giai đoạn 3: (ở đầu học kì I, lớp 5)

 Chuyển đổi hỗn số ra phân số và ngược lại để tính, giải toán ứng dụng;

 Ôn tập các kiến thức về phân số;

1.2.4 Thực trạng dạy học phân số theo sách giáo khoa

Sách giáo khoa Toán 4 và Toán 5 theo chương trình mới chỉ là một giải pháp tình thế nhằm tiến tới sự hoàn chỉnh tương đối về nội dung số học của một bậc học Đó là sự đổi mới từng phần trong chủ trương chung: đổi mới đồng bộ nội dung và phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học Để việc dạy học phân số trong bậc Tiểu học phổ cập và tương đối hoàn chỉnh cần đặt ra và làm sáng tỏ nhiều câu hỏi: Học sinh hiểu khái niệm phân số đến mức độ nào? Học sinh có được

kĩ năng thực hiện 4 phép tính về phân số hay chưa? Giáo viên có nhận thức như thế nào về tầm quan trọng của nội dung dạy học phân số? Giáo viên đã sử dụng các cách tiếp cận khái niệm phân số nào trong quá trình giảng dạy học? Giáo viên đã hiểu sâu sắc cơ sở nào để vận dụng các cách tiếp cận cũng như phương pháp dạy học nội dung phân số chưa?

Để giải đáp những câu hỏi trên chúng tôi đã tìm hiểu việc dạy học phân số thuộc hai trường: Trường Tiểu học Liên Minh – Thành phố Vĩnh Yên; Trường Tiểu học Thế giới Trẻ em – Thành phố Hà Nội

Dự kiến tìm hiểu như sau:

- Trên cơ sở các bài kiểm tra về nội dung phân số mà học sinh đã thực hiện đưa ra nhận xét về mức độ đạt được các kĩ năng thực hiện 4 phép tính liên quan tới phân số của học sinh

- Tìm hiểu các cách dạy học khái niệm phân số của giáo viên

- Tìm hiểu mối quan tâm của giáo viên về dạy học nội dung phân số

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA DẠY HỌC NỘI DUNG PHÂN

SỐ Ở TIỂU HỌC 2.1 Các khái niệm

2.1.1 Tập hợp:

Tập hợp là một trong các khái niệm của Toán học Khái niệm tập hợp không được định nghĩa mà được mô tả qua các ví dụ như: Tập hợp các học sinh của một lớp học, tập hợp các cuốn vở trên giá, tập hợp số tự nhiên … Các đối tượng cấu thành một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó Người ta thường kí hiệu các tập hợp bởi các chữ A B C X Y Z , , , , , và các phần tử của các tập hợp là các chữ a b c x y z , , , , ,

Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a Î A (đọc là a thuộc tập hợp A )

Nếu a không phải là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a Ï A (đọc là a

không thuộc tập hợpA )

Một trong các cách xác định một tập hợp là: nêu lên một số tính chất chung của các phần tử tập hợp, nhờ đó có thể nhận biết được các phần tử của tập hợp và các đối tượng không phải phần tử của nó

Ví dụ: Cho tập hợp B là các ước của 12 Khi đó 1, 2, 3, 4, 6,12 là các phần tử của B còn các số 5, 7, 9, 10, 11 không phải phần tử của B Người ta thường viết: B = { ;x x là ước của 12}

Đọc: B là tập hợp các phần tử x sao cho x là ước của 12; x biểu thị mỗi phần

tử của tập hợp B

Tập con của một tập hợp: tập hợp A được gọi là một tập hợp con của tập hợp

X nếu mọi phần tử của A đều là những phần tử của X

Cái bộ phận: Chỉ số đối tượng được quan tâm trong tập hợp

Cái toàn thể: Chỉ số đối tượng của cả tập hợp

2.1.3.1 Ước chung lớn nhất của nhiều số

* Giả sử a a1, 2, a là n n (n ³ 2) số nguyên khác nhau

Số nguyên d đồng thời là ước của các số này thì d được gọi là một ước chung của chúng

* Cũng như đối với trường hợp hai số, ta thấy tập hợp các ước chung của m số nguyên khác 0 là một tập rỗng và bị chặn trên, do đó có số lớn nhất

* Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a a1, 2, a được gọi là ước n

chung lớn nhất của các số này và kí hiệu là ƯCLN (a a1, 2, a ) n

2.1.3.2 Số nguyên tố cùng nhau: Các số nguyên a a1, 2, a được gọi là các n

số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1

2.1.4 Số hữu tỉ

2.1.4.1 Số hữu tỉ

Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn như một thương (hay phân số) của phép tính

chia một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0 Thường m

n là diễn tả việc

chia một khối lượng nào đó thành n phần bằng nhau và chọn lấy m phần Hai

phân số khác nhau có thể biểu diễn cho cùng một số, chẳng hạn 1

2 và

2

4 là như nhau Nếu giá trị tuyệt đối của m lớn hơn n thì giá trị tuyệt đối của phân số lớn hơn 1 Phân số có thể dương, âm hoặc bằng 0

Trong Toán học, số hữu tỉ là các số thực x có thể biểu diễn dưới dạng phân số

(thương) a

b, trong đó a và b là các số nguyên, với b ¹ 0

Khi biểu diễn số hữu tỉ theo hệ ghi cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể

là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phần vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt qua giá trị tuyệt đối của b Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được

2.1.4.2 Số hữu tỉ không âm

* Xây dựng số hữu tỉ không âm

¤ Mỗi phần tử của ¤ + ta gọi là một số hữu tỉ không âm Tập ¤ + gọi là các

số hữu tỉ không âm

Chú ý:

1 Khái niệm phân số hình thành trên trên đây đồng nhất với khái niệm phân

số hình thành trong trường phổ thông

2 Rõ ràng là quan hệ tương đương “~” đồng nhất với quan hệ bằng nhau giữa các phân số (được xây dựng ở phổ thông) nhưng không đồng nhất với quan hệ bằng nhau giữa các cặp thứ tự

Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỉ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các

9 … cùng biểu diễn một số hữu tỉ

3 Vì ¤ + = P/ : cho nên mỗi số hữu tỉ không âm là một lớp những phân

số tương đương với nhau Vì vậy, theo chú ý 2, mỗi số hữu tỉ không âm là một lớp những phân số bằng nhau Mỗi phân số thuộc lớp các phân số bằng nhau

đó gọi là một đại diện của số hữu tỉ không âm ấy

Chẳng hạn, số hữu tỉ không âm 3

4

r = C æ öç ÷ ç ÷ç ÷çè ø÷ là lớp các phân số: 34; 129 ; 1216 …

Như vậy, mỗi phân số:3

q , ở đâyp q , nguyên tố cùng nhau Vì vậy, nói đến đại diện của số hữu tỉ r , ta

thường hiểu là phân số tối giản p

q đó

5 Giữa tập hợp hữu tỉ không âm ¤ + với tập các phân số tối giản tồn tại phép tương ứng một – một Hay nói cách khác, mỗi số hữu tỉ không âm một mặt có thể hiểu là một lớp các phân số bằng nhau, mặt khác có thể là một phân số tối giản

6 Mỗi số tự nhiên n có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1 Vì vậy:

Ì

¥ ¤

2.1.5 So sánh các khái niệm: tỉ lệ, tỉ số (của hai số tự nhiên) và phân số Đặc điểm chung của tỉ lệ và tỉ số (của hai số tự nhiên): hai chỉ số này đều là phân số (tức là mỗi chỉ số đều có tử số và mẫu số)

Khác biệt về ý nghĩa giữa các chỉ số này chính là phần mẫu số: Tỉ số là một phân số mà tử số có thể không liên quan gì đến mẫu số Tỉ số có giá trị từ 0đến vô hạn

Tỉ lệ là một dạng tỉ số, nhưng cấu trúc của tỉ lệ khác với tỉ số ở phần tử số Trong tỉ số, tử số có thể khác đơn vị đo nhưng tử số của một tỉ lệ là một phần của phân số Tỉ lệ có thể nhân 100 để thành tỉ số phần trăm Chính vì thế, giá

trị của tỉ lệ chỉ dao động từ 0 đến 1 (nếu diễn tả bằng phần trăm thì dao động

từ 0 đến 100)

2.1.6 Phép chia hai số tự nhiên

2.1.6.1 Phép chia hết

Cho hai số tự nhiên a b , ; b ¹ 0 Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b q ´ thì

ta nói a chia hết cho b Số q gọi là thương của a và b, và kí hiệu là:

q = a ¸ b hay a

q b

=

Qui tắc tìm thương của hai số gọi là phép chia

2.1.6.2 Định nghĩa phép chia có dư

Số q và r thỏa mãn đẳng thức: a = b q´ + r, 0( £ r < b) được gọi tương ứng

là thương và số dư trong phép chia của a cho b Việc tìm q và r gọi là thực hiện phép chia có dư của a cho b

Khi r = 0 thì phép chia có dư trở thành phép chia hết Như vậy, phép chia hết

là một trường hợp đặc biệt của phép chia có dư

2.2 Cở sở toán học của dạy học khái niệm phân

2.2.1 Sự xuất hiện của phân số

2.2.1.1 Phân số xuất hiện từ quan hệ giữa cái bộ phận với cái toàn thể

Khi so sánh một bộ phận của một tập hợp với toàn bộ tập hợp đó người ta dùng khái niệm phân số Như vậy, khái niệm phân số được đưa ra như là một phần của một nhóm các đối tượng Các đối tượng có thể giống nhau hoặc không giống nhau

Phân số a

b có mẫu số b chỉ số đối tượng của cả tập hợp, tử số a chỉ số đối

tượng được quan tâm trong tập hợp đó

Mối quan hệ này cũng có thể được xây dựng như sau: số biểu thị một cặp số tự

nhiên ( )a b; , trong đó b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị và a chỉ số phần

bằng nhau lấy ra (nếu a = 1 sẽ xuất hiện phân số đơn vị 1

b.; nếu a lớn hơn 1

và bé hơn b thì xuất hiện phân số a

b), được gọi là phân số Số đó được biểu thị

dưới dạng a

b

2.2.1.2 Phân số xuất hiện từ phép chia hai số tự nhiên

Trong tập hợp số tự nhiên, phép chia không phải lúc nào cũng thực hiện được

Để phép chia luôn thực hiện được, cần dạng số mới - Đó là phân số Phân số biểu diễn thương đúng của các số tự nhiên (với số chia khác 0)

Cho hai số tự nhiên a và b khác 0 Phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b

được viết dưới dạng a

b (trong đó a là số bị chia, b là số chia),

Trong phép chia có dư a¸ b

 a có thể lớn hơn b , thương tìm được là một số lớn hơn 1 Lúc đó phân

số a

b sẽ lớn hơn 1

 a có thể bé hơn b, thương tìm được là một số bé hơn 1 Lúc đó phân số

a

b sẽ bé hơn 1

Như vậy, căn cứ vào so sánh giữa số bị chia và số chia trong phép chia hai số

tự nhiên, chúng ta còn biết được phân số lớn hơn hay bé hơn 1

Sự xuất hiện của phân số đã đáp ứng nhu cầu giải quyết vấn đề: mọi phép chia

số tự nhiên đều tìm ra được kết quả hoặc là số tự nhiên hoặc là phân số

Phân số là một loại số, các số tự nhiên được coi là phân số có tử số bằng số tự nhiên đó, mẫu số bằng 1 Như vậy, tập hợp phân số rộng hơn tập hợp số tự nhiên vì ngoài các số tự nhiên nó còn có các số không thể viết dưới dạng số tự

nhiên Phân số a

b có tử số a và mẫu số b đều là số tự nhiên nên ta coi mỗi phân

số được xây dựng từ hai số tự nhiên Nhưng chỉ liên kết cả số a và b bằng phép

chia (được kí hiệu bằng vạch ngang trong kí hiệu a

b) mới thành phân số

Xuất phát từ nhu cầu bản thân, Toán học cung cấp một công cụ để biểu diễn thương (đúng) của phép chia hai số tự nhiên bất kì (số chia khác 0) và coi số hữu tỉ là thương nói trên

2.2.1.3 Phân số xuất hiện từ phép đo đại lượng

Trong thực tế, tập hợp số tự nhiên không đủ để biểu diễn số đo đại lượng trong đời sống thực tiễn, người ta phải dùng một loại số mới – đó là phân số

Đây có thể coi là bước một trong hình thành khái niệm phân số cho học sinh Tiểu học (tương ứng với việc hình thành khái niệm phân số theo thời kì đầu trong lịch sử phát triển khái niệm phân số)

2.2.1.4 Phân số xuất hiện qua so sánh tỉ số của các đại lượng

Khi so sánh hai đại lượng (cùng loại hay khác loại), gấp hoặc kém nhau bao nhiêu lần, người ta dùng đến khái niệm phân số Phân số được coi như một cặp

số - kí hiệu để biểu diễn các số hữu tỉ Mỗi số hữu tỉ không âm là một lớp các phân số bằng nhau

Như vậy, tỉ số của hai đại lượng có thể là một số tự nhiên hay một phân số Trong chương trình Toán phổ thông còn gặp những tỉ số không phải là số tự nhiên hay phân số Ví dụ: Tỉ số giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó Khái niệm tỉ số diễn đạt quan hệ so sánh giữa hai đại lượng cùng loại khi chúng được đo bằng cùng một đơn vị Các đại lượng thường gặp trong thực tiễn thường là những đại lượng đo được Các tập hợp số dùng trong việc đo các đại lượng đó phải có cùng cấu trúc với đại lượng được đo Các tập số trong chương trình Tiểu học (phân số, số tự nhiên) đều có cấu trúc cộng (một số có thể phân tích được thành tổng của nhiều số hạng) và cấu trúc nhân (một số có thể phân tích được thành tổng của nhiều số hạng bằng nhau hay tích của một số với số tự nhiên) Do đó, có thể so sánh hai số về mặt cấu trúc cộng (hơn kém nhau bao nhiêu đơn vị) hay về mặt cấu trúc nhân (hơn kém nhau bao nhiêu lần)

Trong môn Toán ở Tiểu học, học sinh mới được học đến tập các phân số (không âm) Số đo các đại lượng được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc số tự nhiên Giả sử hai đại lượng cần được so sánh kí hiệu là a và b Tỷ

số của a và b được kí hiệu là a ¸ b Khi đó sẽ xảy ra hai trường hợp:

- Nếu a chứa đúng n lần b, do phép so sánh này không phụ thuộc vào đơn vị nên ta chọn b làm đơn vị và ta nói: a gấp n lần b

- Nếu a không chứa đúng n lần b thì ta chọn một đơn vị đo chung là u sao

tỉ số của a và b , nhưng người ta còn có thể nói cụ thể hơn: tỉ số của a với b

hay tỉ số của a so với b

2.2.2 Đưa khái niệm phân số vào dạy học ở Tiểu học (cách mô tả khái niệm phân số ở Tiểu học)

Ví dụ a (sách giáo khoa, Toán 4, trang 108 ): Có 8 quả cam, chia đều cho 4

em Hỏi mỗi em được bao nhiêu quả?

Mỗi em được: 8 ¸ 4 = 2 (quả cam)

Ta thực hiện phép chia: lấy tổng số cam chia cho tổng số người

Trong ví dụ này, 8 và 4 là hai số tự nhiên Kết quả của phép chia 8 cho 4 là

2 Nghĩa là phép chia số tự nhiên 8 cho số tự nhiên 4 luôn thực hiện được Thương tìm được cũng là một số tự nhiên, nên chưa cần một loại số mới để biểu diễn

Ví dụ b (sách giáo khoa, Toán 4, trang 108): Có 3 cái bánh, chia đều cho 4

em Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái bánh?

Chia đều bánh cho 4 em

Tương tự như ví dụ a, ta cũng thực hiện phép chia: lấy tổng số bánh chia cho

Đối với ví dụ b, các em gặp phải tình huống có vấn đề là số bị chia không chia

hết cho số chia (phép chia có dư)

Vậy, phải làm thế nào để chia 3 cho 4 (3 cái bánh chia đều cho 4 người)? Hay nói cách khác, làm thế nào để tìm được thương đúng của phép chia 3 cho

4?

Sách giáo khoa Toán 4 đã mô tả rất cụ thể các thao tác để giải bài toán trên:

 Chia mỗi cái bánh thành 4 phần bằng nhau, rồi chia cho mỗi em một phần

tức là 1

4 cái bánh (một phần mấy của một số các em đã được học ở lớp 3)

 Sau 3 lần chia bánh như thế (ứng với 3 cái bánh) mỗi em được 3 phần và

nói: mỗi em được 3

4 không phải là số tự nhiên, nó là số biểu diễn thương đúng của phép chia hai

số tự nhiên 3 cho 4 khi không có số tự nhiên nào biểu diễn chính xác thương

của chúng, 3

4 là một loại số mới, được gọi là phân số

Từ ví dụ này, học sinh hiểu thêm rằng: ngoài số tự nhiên còn có một loại số mới Loại số này mở rộng thêm tập hợp số mà học sinh từng biết

Sau khi đưa ra hai ví dụ là hai bài toán (liên quan đến phép chia hết và phép chia có dư của các số tự nhiên và các cách giải quyết đối với từng bài toán), sách giáo khoa Toán 4 đưa ra nhận xét :

Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia

Như vậy, khi đã làm xuất hiện dạng số mới - phân số (từ mâu thuẫn khi tìm thương đúng của phép chia hai số tự nhiên có dư), thì nhận xét cũng khẳng

định rằng: không chỉ thương của phép chia hai số tự nhiên có dư mới gọi là phân số mà phân số còn biểu diễn được cả thương của phép chia hết (giữa hai

số tự nhiên), với điều kiện số chia phải là số tự nhiên khác 0

Ở ví dụ a: có thể biểu diễn kết quả của phép chia 8 (quả cam) cho 4 (em) như

Để học sinh thấy được tập hợp phân số được mở rộng từ tập hợp số tự nhiên

(tập ¤ + bao hàm tập ¥ ), thông qua ví dụ cụ thể: 9 9

1

= , 4 4

1

Ở bài tập 3 ( Toán 4, trang 106) có đưa ra một nhận xét : Mọi số tự nhiên có thể

viết thành một phân số có tử số là số tự nhiên và mẫu số bằng 1

Như vậy, mọi số tự nhiên đều là phân số Tập hợp phân số bao gồm những số

tự nhiên và những số không phải là số tự nhiên

Cấu tạo của phân số trong trường hợp xuất hiện từ phép chia hai số tự nhiên là: Tử số là số bị chia, mẫu số là số chia Có 3 trường hợp:

 Trường hợp số bị chia bé hơn số chia:

Theo ví dụ b đã nêu trên ta có: 3 4 3

Sách giáo khoa Toán 4 đưa ra và phân tích ví dụ cụ thể như sau: Chia 5 quả cam cho 4 người Tìm phần cam của mỗi người?

Phân tích ví dụ: chia mỗi quả cam thành 4 phần bằng nhau Lần lượt đưa cho

mỗi người một phần (1

4 của từng quả cam) Sau 5 lần chia như thế, mỗi người

được 5 lần hay 5

4 quả cam

Như vậy: 5 và 4 là hai số tự nhiên, 5> 4, kết quả của phép chia số tự nhiên

5 cho số tự nhiên 4 được viết dưới dạng phân số: 5 4 5

4

Học sinh có thể thêm khái niệm mới về phân số Đó là:

 Phân số bé hơn 1

Giáo viên giảng: 3

4 quả cam tức là thiếu 1

4 quả nữa mới được đủ 1 quả nên 3

4

quả cam sẽ ít hơn 1 quả Nghĩa là phân số 3

4 nhỏ hơn đơn vị là 1 Mà phân số

Giáo viên giảng: 5

4 quả cam gồm 1 quả cam và 1

4 quả cam, thì 5

4 quả cam sẽ

nhiều hơn 1 quả cam Nghĩa là phân số 5

4 lớn hơn đơn vị là 1 Mà phân số 5