Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi tuyến vô định á tuyến tính

Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi tuyến vơ định tuyến tính Đặng Trường - Trần Hòa Phú Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Ngày 14 tháng năm 2015 Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Giới thiệu toán Trong tiểu luận này, kiểm chứng chi tiết chứng minh báo "Multiple positive solutions for quasilinear problems with indefinite sublinear nonlinearity" Francisco Odair de Paiva công bố Nonlinear Analysis 71 (2009) trang 1108-1115 Trong báo đó, người ta tìm nghiệm bội khơng tầm thường khơng âm tốn tựa tuyến tính − pu = h(x)u α−1 + g (x, u) u≥0 Ω u=0 ∂Ω Ω (1.1) với Ω ⊂ RN miền trơn bị chặn, ≤ α < p Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Giới thiệu tốn (tt) g : Ω × R → R Caratheodory cho g (x, t) = 0, với t ≤ h thỏa h ∈ Lσα , σα := p∗ α nghĩa α + ∗ = (1.2) σα p với p ∗ = pN/(N − p) < p < N p ∗ = ∞ < N ≤ p Giả sử g subcritical growth, tức |g (x, t)| ≤ c |t|q−1 + b(x), a.e in Ω, t ∈ R (1.3) với q ∈ (p, p ∗ ), b ∈ Lq (Ω), q = p ∗ /s p < s < p ∗ , c số Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Giới thiệu tốn (tt) Giả sử có hai hàm k L thuộc Lr với r > N/p < p ≤ N r = p > N, k L định nghĩa k (x) = liminf t→∞ g (x, t) |t|p−2 t L (x) = limsup t→0 pG (x, t) |t|p có phần dương khơng tầm thường, giới hạn theo x Ω Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu tốn Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Giới thiệu toán (tt) Hơn h+ = có hàm a ∈ Lr d ∈ Lp cho |g (x, t)| ≤ a(x) |t|p−1 + d (x) (1.6) Cho µ1 (k) < < µ1 (L), tồn λ > cho tốn có hai nghiệm không âm không tầm thường (a) < α < p h+ L σα (b) α = 1, h(x) ≥ h < λ, L σα để Φ|∂B(0,p) ≥ α ii) tồn e ∈ E \ B(0, p) cho Φ(e) ≤ Khi Φ có điểm tới hạn c ≥ α c có dạng vói Γ = {g ∈ C ([0, 1], E )|g (0) = 0, g (1) = e} Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Bổ đề cần dùng Bổ đề Với điều kiện (1.6) µ1 (k) < < µ1 (L) ta có hàm Φ thỏa Palais-Smale Bổ đề Với điều kiện (1.3), h+ Lσα đủ nhỏ µ1 (L) > tồn a > 0, p > cho u = p Φ(u) ≥ a > Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Bổ đề cần dùng (tt) Bổ đề pG (x, t) nên tồn u ∈ W01,p thỏa p |t| t→0 u < ρ Φ(u) < Do L(x) = lim sup Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Chứng minh định lý Do bổ đề nên hàm Φ thỏa điều kiện Mountain Pass tồn u1 ∈ W01,p điểm tới hạn không tầm thường Φ thỏa mãn Φ(u1 ) > Do bổ đề kết hợp Φ thỏa Palais-Smale nên cực tiểu Φ Bρ (0) đạt cầu mở tương ứng nên tồn điểm tới hạn u2 không tầm thường Φ với Φ(u2 ) < u2 < ρ Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Kết luận Trong luận văn làm cơng việc sau: Trình bày cách hệ thống, rõ ràng không gian Lp (Ω) không gian Sobolev W01,p (Ω) định lý nhúng liên tục, nhúng compact Rellich-Kondrachov vốn công cụ đắc lực việc giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mà phương trình p-Laplace luận văn chúng tơi ví dụ điển hình Hơn chúng tơi rõ tốn xét, với điều kiện Ω phép nhúng W 1,p (Ω) ⊂ L∞ (Ω) (p > N) compact Kết kết hợp với định lý Dunford-Pettis (sẽ nói rõ sau đây) để chứng minh bổ đề trang 29 luận văn Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Kết luận (tt) Phát biểu định lý Dunford-Pettis (định lý 1.21 trang 23 luận văn), điều kiện cần để dãy bị chặn L1 (X , µ) có dãy hội tụ yếu hệ định lý (hệ 1.2 trang 23 luận văn), sử dụng chứng minh hàm Φ thỏa điều kiện Palais-Smale (bổ đề trang 29 luận văn) Cụ thể hơn, dùng hệ định lý Dunford-Pettis, chứng minh g (x, un ) g0 Lp (Ω) với p = p ≥ N Ngoài chúng un p−1 g (x, un ) g0 Lp (Ω) với p > p∗ chứng minh un p−1 p < N (trang 30 luận văn) Trong báo mình, tác giả Fancisco Odair de Paiva nói lướt qua chỗ mà không đưa chứng minh cụ thể Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Kết luận (tt) Chứng minh hàm Φ ∈ C W01,p (Ω) , R (mệnh đề trang 25 luận văn) Trong báo mình, tác giả Fancisco Odair de Paiva nói lướt qua chỗ mà khơng đưa chứng minh cụ thể Từ việc tính cụ thể đạo hàm Fréchet hàm Φ, xây dựng dạng hình học Mountain pass phiếm hàm lượng Φ Một lần báo tác giả Fancisco Odair de Paiva không nhắc đến điều Chúng tơi kiểm chứng điều kiện để dùng định lý Fatou cho liminf (trang 38 trang 40 luận văn) Trong báo mình, cấp độ cơng trình khoa học cấp cao nên tác giả Fancisco Odair de Paiva không đưa chứng minh cụ thể việc kiểm chứng điều kiện để dùng định lý Fatou cho liminf Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Kết luận (tt) Phát chỉnh sửa số lỗi sai báo tác giả Fancisco Odair de Paiva Các lỗi thiếu dư số α đẳng thức (trang 1112 dòng cuối từ đếm lên [10] phần Tài liệu tham khảo), chủ yếu việc đánh máy nhầm gây nên Ngoài nhiều chỗ nêu ngắn gọn mà chưa có chứng minh chi tiết Trong báo đăng Nonlinear Analysis TMA, chứng minh định lý tác giả Fancisco Odair de Paiva dài gần trang Sau cô đọng lại chứng minh Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Kết luận (tt) (chưa tính phần kiến thức chuẩn bị nhiều kiến thức bổ trợ có tài liệu mà nghiên cứu, mà thời gian khuôn khổ luận văn chưa cho phép chúng tơi trình bày cặn kẽ hết được), chúng tơi nhận thấy độ dài phần luận văn (chương Áp dụng giải toán p-Laplace) 17 trang Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo Robert A Adams, John J F Fournier: Sobolev Spaces, Second Edition, Academic Press, Pure and Applied Mathematics, Volume 140, 2003 Haim Brezis: Analyse Fonctionelle, Theorie et Applications, Masson A., 1987 F.E Browder: Fixed point theory and nonlinear problems, Proc Symp Pure Math 39 (1983) 4986 Dương Minh Đức: Giải tích hàm, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh, 2000 L.C.Evan: Partial Differential Equations, American Mathematical Society (1997) Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng: Giải tích hàm, 2008 N.S.Papageorgiou, S.T.Kyritsi-Yiallourou: Handbook of Applied Analysis, Advances in Mechanics and Mathematics, Springer 2009 I Peral: Multiplicity of Solutions for the p-Laplacian, International center for theoretical physics trieste, Second School of Nonlinear Functional Analysis and Applications to Differential Equations (1997) I.V Skrypnik: Methods for analysis of nonlinear elliptic boundary value problems, Am Math Soc Transl., Ser II 139 (1994) Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo Francisco Odair de Paiva: Multiple positive solutions for quasilinear problems with indefinite sublinear nonlinearity, Nonlinear Analysis TMA 71 (2009) 1108-1115 Dương Minh Đức, Nguyễn Quang Huy: Non-uniformly asymptotically linear p-Laplacian problems, Nonlinear Analysis TMA 92 (2013) 183-197 G Dinca, P Jebelean and J Mawhin: Variational and topological methods for Dirichlet problems with p-Laplacian, Portugaliae Mathematica Vol 58 Fasc - 2001, Nova Série Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi Giới thiệu toán Hàm Caratheodory toán tử Nemytskii Điểm tới hạn nghiệm yếu Định lý Mountain Pass Bổ đề cần dùng Kết luận Tài liệu tham khảo H L Royden, P M Fitzpatrick: Real Analysis (Fourth Edition), Pearson Education Asia Limited and China Machine Press, 2010 Haim Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 2011 Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương tốn tựa tuyến tính với bước nhảy phi