NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––– PHẠM NGỌC SƠN NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2015 LUẬN VĂN MỞ ĐẦU NỘI DUNG KẾT LUẬN Bài toán cân vectơ (VEP) đưa vào nghiên cứu Ansari, Oettli Schlager Bianchi, Hadjisavvas Schaible vào năm 1997 Gần toán cân vectơ nghiên cứu rộng rãi, bao gồm nhiều toán khác, trường hợp đặc biệt như: toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ bao gồm tối ưu hóa tập, toán cân Nash vectơ, Trong lý thuyết toán cân vectơ lý thuyết tối ưu vectơ người ta thường xét nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Pareto, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig nghiệm siêu hữu hiệu Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Zheng – Yang – Teo (2007) thiết lập tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu tối ưu vectơ Gong (2011) chứng minh điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính mà chọn đề tài: “ Nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu toán cân vectơ ” Chương TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG NỘI DUNG Chương TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 1.1 ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG Chương 1.2 CÁC TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG Giả sử X không gian Banach X* không gian đối ngẫu X Giả sử C nón nhọn lồi đóng X xác định thứ tự phận  X: x  x  x  x C C C 2 Giả sử  tập đóng X a  Nhắc lại a điểm hữu hiệu Pareto  , kí hiệu a  E  , C  , x  x  a   x  a  C Theo Borwein Zhuang 5 , ta nói điểm a điểm siêu hữu hiệu (superefficient point)  tồn số thực M > cho cl cone(  a) ( B  C )  MB , X X B hình cầu đơn vị X Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú nghiên cứu rộng rãi X Ký hiệu SE(  ,C) tập tất điểm siêu hữu hiệu  Ta biết a  SE  , C  tồn M > cho x  , y  X x  a  y  x  a  M y C (1.1) Ta suy SE  , C   E  , C  Ta nói a  điểm siêu hữu hiệu địa phương  , ký hiệu a  SE  , C  , tồn   cho L a  SE    B  a,   ,C  , B  a,   hình cầu mở tâm a, bán kính  Như vậy, a  SE  , C  tồn số M,   cho L x   B  a,   , y  X x  a  y  x  a  M y C Rõ ràng SE  , C   SE  , C  L (1.2) Khi  lồi ta chứng minh SE  , C   SEL  , C  Trong trường hợp  không lồi có lẽ thích hợp ta xét nghiệm siêu hữu hiệu địa phương Nhiều kết biết nghiệm siêu hữu hiệu đòi hỏi giả thiết lồi Chẳng hạn, với giả thiết  lồi C có sở bị chặn, Borwein Zhuang 5 chứng minh a  SE  , C   c  int  C *   cho c , a   c , x : x  , * * C : x  X *: x , c  0, c  C  * * Chú ý  lồi c , a   c , x : x   c  N  , a  * * * c (trong N c ( , ) ký hiệu nón pháp tuyến Clarke), kết Borwein Zhuang viết lại sau: a  SE  , C   x  N  , a  cho  int  C  x  * c *  Nhắc lại nón thứ tự C gọi có sở bị chặn tồn tập lồi bị chặn C = t : t  0,   cl (Θ) Ta biết C sở bị chặn int  C   Ø Khi bỏ giả thiết nón thứ tự có sở bị chặn, ta mở rộng kết Borwein Zhuang cho trường hợp  bán trơn (semi-subsmooth) a (khái niệm định nghĩa dưới) Giả sử  bán trơn a Chúng ta chứng minh mệnh đề sau tương đương: (i) a  SE  , C  (ii) Tồn M,   (0, ) cho x  a  M  y  d  x,    với  x, y   B  a,    X với x  a  y d  x,    inf  x  u : u   L C (iii)  int  C  N  , a    c Trong trường hợp  lồi ta chứng minh phát biểu sau tương đương: (i) a  SE  , C  (ii) a  SE  , C  (iii) Tồn số M > cho x  a  M  y  d  x,    với  x, y   X  X với xa  y (iv)  int  C  N  , a   Bây ta giả sử X không gian Banach trang bị thứ tự phận nón lồi đóng C Với tập đóng A X a  A, giả sử T  A, a  nón tiếp liên A a: T  A, a  : {h  X : t  0, h  h với a  t h  A L C  c n n n n Nhận xét 1.1 Từ chứng minh định lý 1.1 ta thấy suy luận (ii)  (iii) không đòi hỏi giả thiết giả thiết    (i) và(i) bán trơn a Nhưng bỏ bán trơn a suy luận (iii) chí không gian hữu hạn chiều  (i) không Định lý 1.1 Giả thiết  bán trơn a Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) a  SE  , C  (ii) Tồn M,   (0, ) ch x  a  M  y  d  x,    với  x, y   B  a,    X với xa  y (iii)  int  C  N  , a   L C  c Nhận xét 1.1 Từ chứng minh định lý 1.1 ta thấy suy luận (ii)  (i) (i)  (iii) không đòi hỏi giả thiết  bán trơn a Nhưng bỏ giả thiết  bán trơn a suy luận (iii)  (i) không chí không gian hữu hạn chiều Định lý 1.2 Giả sử  lồi Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) a  SE  , C  (ii) a  SE  , C  (iii) Tồn M,   (0, ) cho x  a  M  y  d  x,    với  x, y   B  a,    X với xa  y (iv) Tồn số M   0,   cho x  a  M  y  d  x,    với  x, y   X  X với x  a  y (v)  int  C  N  , a   L C C  c Nhận xét 1.2 Lấy X  l , C  x l : tọa độ x không âm}   C Như vậy, với kết Borwein Zhuang, ta kiểm tra liệu có điểm siêu hữu hiệu  theo C hay không Mặt khác, ý  int  C  N  ,0   , N  ,0   C  C l  C  C Từ Định lý 1.2 suy  SE  , C  Cuối cùng, ta xét trường hợp  compact địa phương a (tức tồn   , cho    a   B  compact) Ta biết  compact địa phương điểm  X hữu hạn chiều 2  c  c X Định lý 1.3 Giả sử  compact địa phương a  quy a theo nghĩa Clarke Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) a  SE  , C  L (ii)  SE T  , a  , C  (iii)  E T  , a  , C  (iv)  int  C  N  , a    c 2.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2.2 CÁC TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CHO NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y không gian vectơ tôpô lồi địa phương thực, A tập X F : A A  Y song hàm Xét toán cân vectơ (viết tắt VEP): tìm x  A cho F  x, y   K \ 0 , y  A , K nón lồi Y Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Y không gian Banach thực, C nón nhọn lồi đóng Y giả sử Y* không gian đối ngẫu tôpô trongY nón C sinh thứ tự phận Y định nghĩa y  y  y  y  C C gọi chuẩn tắc U  C   U  C  bị chặn, U hình cầu đơn vị đóng Y Giả sử C   y  Y : y , y  0, y  C nón đối ngẫu C * * 2 * Với x  A , ta ký hiệu F  x, A   yA F  x, y  Giả sử D tập khác rỗng Y Bao nón D định nghĩa cone  D   td : t  0, d  D Ký hiệu nón đối ngẫu D D :  y  Y : y , d  0, d  D Ký hiệu phần D int D * * * * Định nghĩa 2.1 Một vectơ x  A gọi nghiệm siêu hữu hiệu toán (VEP) tồn số thực M  cho cone F  x, A  U  C   MU   Ký hiệu VS  A, F  tập nghiệm siêu hữu hiệu (superefficient solution) toán (VEP) Định nghĩa 2.2 Một vectơ x  A gọi nghiệm siêu hữu hiệu nón (conesuperefficient solution) toán (VEP) tồn số thực M  cho cone F  x, A  C  U  C   MU   Ký hiệu VCS  A, F  tập nghiệm siêu hữu hiệu nón toán (VEP) Bài toán (VEP) bao gồm toán tối ưu vectơ trường hợp đặc biệt F  x, y   y  x, ( x, y  A ), nghiệm siêu hữu hiệu (VEP) điểm siêu hữu hiệu tập A Y trình bày chương Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Y không gian Banach thực Giả sử C nón nhọn lồi đóng Y Từ định nghĩa nghiệm siêu hữu hiệu, ta dễ dàng nhận bổ đề sau Bổ đề 2.1 x0 VS  A, F  tồn số M  cho với x  A y  Y , F  x , x   y F  x , x  M y 0 Định lý 2.1 Nếu  int C   F  x , A  x0 VS  A, F   * *  Hệ 2.1 Nếu Y *  C *   F  x0 , A * x V  A, F  S Nhận xét 2.1 Nếu Y không gian Banach, so sánh với hệ 8 kết trình bày đây bỏ điều kiện C có sở bị chặn Mệnh đề 2.1 (i) V  A, F   V  A, F  ; CS S (ii) Nếu C chuẩn tắc V  A, F   V S CS  A, F  Định lý 2.2 Nếu C chuẩn tắc F  x , A tập C  lồi ( tức F  x , A  C tập lồi ) x V  A, F  0  F  x , A   C  Y * * * S Hệ 2.2 Nếu C chuẩn tắc F  x , A tập C  lồi,thì x V  A, F  với g  Y , tồn * S f   F  x , A  cho g  f  f , F  x , y  , y  A Định lý 2.3 Nếu x V  A, F  F  x , A tập lồi, * C* S 0  F  x , A  C Y Từ Hệ 2.1 Định lý 2.3 ta nhận định lý sau Định lý 2.4 Nếu F  x , A tập lồi x V  A, F  * * * 0  F  x , A  * S C Y * * Hệ 2.3 Giả sử Y không gian Banach Nếu nón nhọn lồi đóng C chuẩn tắc A  Y tập C lồi ( tức A  C tập lồi ), x  A điểm siêu hữu hiệu toán tối ưu vectơ A x  C Y * * * Hệ 2.4 Giả sử Y không gian Banach, A  Y tập lồi C nón nhọn lồi đóng Khi đó, x  A điểm siêu hữu hiệu toán tối ưu vectơ A x  C Y * * * Luận văn trình bày kết nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu tập toán cân vectơ Zheng – Yang – Teo (2007) Gong (2011), bao gồm: Khái niệm điểm siêu hữu hiệu tập nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ Các tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng Chú ý nón thứ tự giả thiết có sở bị chặn, tập hợp giả thiết bán trơn Điều kiện đủ cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ tính chất đặc trưng chúng có giả thiết lồi thích hợp Lý thuyết nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu toán cân vectơ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu [...]... con lồi và C là một nón nhọn lồi đóng Khi đó, x  A là một điểm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ nếu và chỉ nếu A x  C Y 0 * 0 * * Luận văn đã trình bày các kết quả về nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu một tập và bài toán cân bằng vectơ của Zheng – Yang – Teo (2007) và Gong (2011), bao gồm: Khái niệm điểm siêu hữu hiệu của một tập và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ. .. trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng Chú ý rằng nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn, còn tập hợp giả thiết là bán dưới trơn Điều kiện đủ cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ và các tính chất đặc trưng của chúng khi có giả thiết lồi thích hợp Lý thuyết nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng vectơ là đề tài đã và đang được nhiều nhà toán học... một nghiệm siêu hữu hiệu nón (conesuperefficient solution) của bài toán (VEP) nếu tồn tại số thực M  0 sao cho cone F  x, A  C  U  C   MU   Ký hiệu là VCS  A, F  là tập các nghiệm siêu hữu hiệu nón của bài toán (VEP) Bài toán (VEP) bao gồm bài toán tối ưu vectơ như trường hợp đặc biệt nếu F  x, y   y  x, ( x, y  A ), thì một nghiệm siêu hữu hiệu (VEP) là một điểm siêu hữu hiệu của. .. d  D Ký hiệu nón đối ngẫu của D bởi D :  y  Y : y , d  0, d  D Ký hiệu phần trong của D bởi int D * * * * Định nghĩa 2.1 Một vectơ x  A được gọi là một nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán (VEP) nếu tồn tại số thực M  0 sao cho cone F  x, A  U  C   MU   Ký hiệu là VS  A, F  là tập các nghiệm siêu hữu hiệu (superefficient solution) của bài toán (VEP) Định nghĩa 2.2 Một vectơ x ... BẰNG VECTƠ Giả sử X là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là không gian vectơ tôpô lồi địa phương thực, A là tập con của X và F : A A  Y là song hàm Xét bài toán cân bằng vectơ (viết tắt là VEP): tìm x  A sao cho F  x, y   K \ 0 , y  A , trong đó K là một nón lồi trong Y Giả sử X là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và Y là không gian Banach thực, C là nón nhọn lồi đóng trong Y và. .. C Y Từ Hệ quả 2.1 và Định lý 2.3 ta nhận được định lý sau đây Định lý 2.4 Nếu F  x , A là một tập lồi thì x V  A, F  nếu và chỉ nếu * * * 0 0 0  F  x , A  * 0 S C Y * * Hệ quả 2.3 Giả sử Y là không gian Banach Nếu nón nhọn lồi đóng C là chuẩn tắc và A  Y là tập C lồi ( tức là A  C là tập lồi ), thì x  A là một điểm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ nếu và chỉ nếu A x  C... điểm của  nếu X là hữu hạn chiều 2 2  c  c 2 X Định lý 1.3 Giả sử  là compact địa phương tại a và  chính quy tại a theo nghĩa Clarke Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) a  SE  , C  L (ii) 0  SE T  , a  , C  (iii) 0  E T  , a  , C  (iv) 0  int  C  N  , a    c 2.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2 2.2 CÁC TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CHO NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG... một tập A trong Y như đã trình bày trong chương 1 Giả sử X là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và Y là không gian Banach thực Giả sử C là một nón nhọn lồi đóng trong Y Từ định nghĩa của nghiệm siêu hữu hiệu, ta dễ dàng nhận được bổ đề sau Bổ đề 2.1 x0 VS  A, F  nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số M  0 sao cho với bất kỳ x  A và y  Y , nếu F  x , x   y thì F  x , x  M y 0 0 Định lý 2.1 Nếu... int  C  N  , a   L C C  c Nhận xét 1.2 Lấy X  l , C  x l : mỗi tọa độ của x là không âm} và   C Như vậy, với kết quả của Borwein và Zhuang, ta không thể kiểm tra được rằng liệu 0 có là một điểm siêu hữu hiệu của  theo C hay không Mặt khác, chú ý rằng 0  int  C  N  ,0   , bởi vì N  ,0   C  C và l  C  C Từ Định lý 1.2 suy ra 0  SE  , C  Cuối cùng, ta xét trường hợp... giả sử h T  A, a  và a  N  A, a   B , và lấy các dãy t  0 và h  h sao cho a  th  A với mọi số tự nhiên n Khi đó, do tính bán dưới trơn của A tại a, với bất kỳ   0 tồn tại số tự nhiên n sao cho t a , h  0  a ,  a  t h   a   t h , n  n Từ đó và h  h kéo theo a , h   h Cho   0 , ta suy ra a , h  0 Bởi vì h và a là tùy ý tương ứng trong T  A, a  và N  A, a   B , Cho