Cơ sở toán học hiện đại trong chương trình môn toán ở trường tiểu học giáo trình toán học 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA SƯ PHẠM TIỂU HỌC - MẦM NON -  - GIÁO TRÌNH: TỐN HỌC CƠ SỞ TỐN HỌC HIỆN ĐẠI TRONG CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC (Tài liệu lưu hành nội bộ) Năm 2019 ThS.GVC Nguyễn Kế Tam MỞ ĐẦU Chúng ta sống thời đại mà biến đổi xã hội diễn sâu sắc mạnh mẽ chưa có lịch sử nhân loại Trong thập niên qua, cách mạng khoa học - công nghệ phát triển vũ bảo đạt thành tựu kỳ diệu, làm đảo lộn kinh tế giới, đưa người bước vào thời đại kinh tế mới: Thời đại kinh tế tri thức Đất nước ta thời kỳ đẩy mạnh cơng nghiệp hóa, đại hóa chủ động hội nhập quốc tế, việc hình thành xây dựng kinh tế tri thức điều tất yếu Yêu cầu đặt cho ngành Giáo dục - Đào tạo mà trực tiếp trường đại học nhiệm vụ nặng nề vinh quang Để hoàn thành sứ mạng vẻ vang đó, ngành Giáo dục - Đào tạo, khơng có đường khác “Tiếp tục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi nội dung, phương pháp dạy học, hệ thống trường lớp hệ thống quản lý giáo dục; thực chuẩn hóa, đại hóa, xã hội hóa” Hiện đại hóa giáo dục cần tập trung vào yêu cầu đại hóa nội dung quy trình đào tạo gắn liền với việc đổi phương pháp giáo dục phù hợp, thích ứng với xu đại Xét cho cùng, đại hóa giáo dục đào tạo đội ngũ người lao động kiểu phù hợp với u cầu nghiệp cơng nghiệp hóa, đại hóa, tạo điều kiện để người học phát triển toàn diện tiềm năng, lực Một xu hướng để đại hóa nội dung đào tạo gắn việc giảng dạy chương trình phổ thơng với sở khoa học vốn có Theo tinh thần xu hướng này, cần phải thực đồng hai mặt: Đối với trường Đại học, Cao đẳng (có đào tạo ngành sư phạm) cần phải quán triệt tinh thần tiếp cận nội dung chương trình phổ thơng giảng dạy môn khoa học bản; đồng thời trường phổ thông phải quán triệt tinh thần tiếp cận sở khoa học chuyên ngành dạy học tri thức phổ thông tương ứng Điều có ý nghĩa quan trọng thiết thực mơn Tốn, mơn khoa học lý thuyết có chất trừu tượng mức độ cao Tuy nhiên thực tế trường đại học, việc giảng dạy học phần toán cao cấp khối kiến thức khoa học sở chuyên ngành tác rời nội dung kiến thức tương ứng chương trình mơn Tốn trường phổ thơng Chính điều dẫn đến tình trạng phận khơng nhỏ giáo viên tốn trường phổ thơng khơng vận dụng kiến thức tốn học cao cấp bậc Đại học vào trình dạy học mình, đặc biệt đội ngũ giáo viên tiểu học Thơng qua q trình bồi dưỡng thay sách, bồi dưỡng nâng chuẩn năm vừa qua chứng minh điều Để góp phần khắc phục tình trạng đây, lựa chọn vấn đề: “Cơ sở Tốn học đại chương trình mơn Tốn trường Tiểu học” giúp sinh viên nghiên cứu chương trình mơn Tốn tiểu học Mục đích nhằm hệ thống cung cấp cho sinh viên sở toán học đại mạch kiến thức chủ yếu chương trình mơn Tốn tiểu học; từ xem xét nội dung chương trình mơn Tốn trường tiểu học cách sâu sắc theo tinh thần toán học đại, nhờ góp phần nâng cao chất lượng hiệu trình dạy học không trường Tiểu học mà trường đại học, cao đẳng có đào tạo sư phạm tiểu học Nội dung chương trình bao gồm: + Nghiên cứu tư tưởng toán học đại phản ánh chương trình mơn Tốn trường tiểu học như: Tập hợp, quan hệ, cấu trúc đại số… + Phân tích sở Tốn học đại khái niệm: số tự nhiên, phép toán, phương trình… Những khái niệm đóng vai trò quan trọng tồn chương trình mơn Tốn trường tiểu học + Khai thác số khái niệm, toán chương trình mơn Tốn trường tiểu học theo quan điểm toán học đại nhằm định hướng giúp bạn đọc vận dụng toán tương tự Chương I CƠ SỞ TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI CỦA NỘI DUNG SỐ HỌC Ở TIỂU HỌC Số học nội dung trọng tâm chương trình Tốn tiểu học, kiến thức số học xếp phù hợp với lứa tuổi, phát triển nhận thức học sinh xen kẻ với mạch kiến thức khác, đại lượng, giải tốn có lời văn… chúng hỗ trợ hữu lẫn khiến cho kiến thức số học có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc I KHÁI NIỆM VỀ SỐ TỰ NHIÊN Số tự nhiên khái niệm trừu tượng Đó thuộc tính chung tập hợp tương đương, nghĩa tập hợp thiết lập tương ứng đối Do để nhận thức khái niệm số tự nhiên đòi hỏi học sinh phải có khả trừu tượng hóa, khái quát hóa cao, học sinh tiểu học có hạn chế nhận thức: tri giác gắn liền với hành động đồ vật; khó nhận biết tính chất chung tập hợp thay đổi vài đặc điểm bên phần tử hình dạng, màu sắc; ý học sinh tiểu học chủ yếu ý không phủ định, hay ý đến lạ, hấp dẫn, đập vào mắt trước cần quan sát; học sinh tiểu học trí nhớ trực quan, hình tượng phát triển mạnh trí nhớ câu chữ, trừu tượng; trí tưởng tượng phụ thuộc hình mẫu có thực; tư cụ thể chủ yếu, tư trừu tượng hình thành Vì để học sinh tiểu học hiểu chất số tự nhiên cần phải qua trình với mức độ khác nhiều cách khác kết hợp với chế loogic hình thành khái niệm với kinh nghiệm sống học sinh Muốn vậy, người giáo viên phải hiểu rõ chất toán học số tự nhiên, dụng ý cách trình bày sách giáo khoa để từ đưa cách dạy thích hợp 1.1 Các cách định nghĩa số tự nhiên + Cách 1: Coi số tự nhiên số tập hợp hữu hạn - Định nghĩa 1: Cho hai tập hợp A B Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B, ký hiệu A  B có song ánh f: A  B Mỗi tập hợp A có số, ký hiệu Card A cho Card A = Card B  A  B - Định nghĩa 2: Tập hợp không tương đương với tập thực gọi tập hợp hữu hạn Tập hợp không hữu hạn gọi tập vô hạn - Định nghĩa 3: Bản số tập hợp hữu hạn gọi số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên ký hiệu làN + Cách 2: Coi số tự nhiên khái niệm xây dựng tập hợp N số tự nhiên theo hệ tiên đề Pêanô - Khái niệm bản: Số tự nhiên - Quan hệ bản: Số kề - Các tiên đề: (1) Số thuộc N (2) Với n thuộc N có có số liền kề sau n’ thuộc N (3) Với n’ khác 0, thuộc N số kề sau n thuộc N (4) Nếu M tập hợp N cho: a Số thuộc M b Nếu n thuộc M số liền sau n’ thuộc M Khi M  N Ngồi định nghĩa số tự nhiên dựa vào khái niệm tập hợp thứ tự tốt 1.2 Cách trình bày khái niệm số tự nhiên sách giáo khoa Quá trình giới thiệu số tự nhiên theo vòng số sau: - Các số từ đến 10 - Các số từ 11 đến 99 - Các số từ 100 đến 999 - Các số từ 1000 đến 999999 - Các số từ 1000000 trở lên Vấn đề quan trọng phần hiểu có phương pháp dạy số phạm vi 10 Về chất, khái niệm số tự nhiên Toán hình thành theo tư tưởng số tập hợp Ví dụ: hình thành số theo sơ đồ: / / /       Số Đồng thời sách giáo khoa vận dụng tư tưởng cách hình thành quan hệ thứ tự, khái niệm số liền trước, liền sau khái niệm dãy số tự nhiên Do dạy số tự nhiên phạm vi 10 cần tiến hành theo giai đoạn: Giai đoạn 1: Hình thành khái niệm tập hợp lực lượng Ở giai đoạn này, trước hết giới thiệu cho học sinh tập hợp khác đồ vật tranh vẽ Để so sánh số phần tử, giáo viên giới thiệu cho học sinh cách ghép cặp (mỗi phần tử tập hợp ghép với phần tử tập hợp kia), thực chất cho học sinh làm quen với cách thiết lập tương ứng đối một: tập hợp gồm đồ vật, đặt phần tử thành cặp, tập hợp tranh vẽ, cặp phần tử ghép với nối vạch thẳng Các tập hợp thiết lập tương ứng đối có “số phần tử” Từ học sinh nhận thức tập hợp không thiết lập tương ứng đối “số phần tử” khơng hình thành khái niệm “nhiều hơn”, “ít hơn” Giáo viên kết hợp với phép đếm giúp học sinh xếp tập hợp thành dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn”, tập hợp có số phần tử xếp vị trí gọi tập hợp tương đương Giai đoạn 2: Giới thiệu ký hiệu số, cách viết đọc số Sau làm quen với tập hợp tương đương, học sinh nhận thức tập hợp có tính chất chung là: “số phần tử” chúng Giáo viên đặt tên cho tập hợp chữ số nhấn mạnh cho học sinh điều quan trọng “số phần tử” tập hợp, “chữ số” quy ước thuận tiện để xem xét số phần tử tập hợp Giai đoạn 3: Hình thành khái niệm dãy số Sau học sinh nắm chữ số, cách đọc cách viết chữ số, xếp tập hợp thành dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết “chữ số” tương ứng với “số phần tử” tập hợp thành hàng, học sinh nhận dãy số Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng dãy số quan hệ “liền trước”, “liền sau” Để củng cố khái niệm dãy số giáo viên yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tiếp, đếm nhảy định vị số dãy KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN N Việc xây dựng khái niệm số tự nhiên tiểu học hoàn toàn dựa vào tư tưởng tập hợp Các phép toán tập hợp số tự nhiên xác định thông qau phép tán tập hợp Ta biết hợp tích Đề-các hai tập hợp hữu hạn tập hợp hữu hạn điều sở cho việc định nghĩa phép toán cộng nhân hai số tự nhiên 2.1 Các cách xây dựng phép cộng 2.1.1 Theo quan điểm tập hợp Định nghĩa phép cộng: Cho a, b  N, a = Card A, b = Card B với A, B hai tập hữu hạn A  B =  A  B tập hữu hạn ta định nghĩa: a + b = Card (A  B) Như vậy, khái niệm tổng hai số tự nhiên xây dựng dựa vào thiết lập mối tương ứng hợp tập hợp rời với số tự nhiên tổng số tập hợp Ví dụ: A tập hợp viên bi xanh B tập hợp viên bi đỏ A B khơng có phần tử chung, C tập hợp hai tập hợp A B gồm viên bi xanh viên bi đỏ Số lượng A Số lượng B Số lượng C Ta nói + = Khi dạy giáo viên dùng từ “gộp” hay từ “thêm” thiết phải với hai tập hợp rời Chẳng hạn: cầm hai tay bên hoa, bên bơng hoa, gộp hai tay lại ta có bơng hoa thêm hoa hoa Ta nói thêm Viết + = Và sử dụng biểu đồ Ven sau:    3+2=5   2.1.2 Theo quan điểm đại số Phép cộng tập hợp số tự nhiên coi ánh xạ: f:NNN (a, b) a+b từ quy tắc cho tương ứng: với cặp số tự nhiên (a; b) ứng với số tự nhiên c gọi tỏng a b, ký hiệu a + b = c Tập hợp số tự nhiên đóng kín với phép cộng Việc thể phép cộng theo quan điểm ánh xạ thể tập như: Điền vào ô trống: a b a+b Trong sách giáo khoa sau xây dựng khái niệm phép cộng người ta hình thành kỹ thuật cộng cột dọc (ngay từ số phạm vi 10): 1 + + Kỹ cộng cột dọc kỹ cần hình thành cho học sinh tồn chương trình tốn Tiểu học (kể phép tính số thập phân sau này) 2.2 Các cách xây dựng phép trừ Cách 1: Tìm số phần bù: Cho hai số a, b  N, a  b tồn hai tập hợp hữu hạn a = Card A, b = Card B, A  B Ta đặt c = Card (B \ A) =  a + c = Card (A  (B \ A)) = Card B = b Số c tồn gọi hiệu b a, ký hiệu c = b - a Cách 2: Cho a, b  N, b  a tồn c  N, cho b + c = a Ta nói c hiệu a b ký hiệu c = a - b Trong sách giáo khoa hành, phép trừ hai số tự nhiên giới thiệu quan hệ phép cộng với tư cách phép tính ngược phép cộng Khi dạy khái niệm phép trừ với thao tác ta sử dụng từ bớt đi, lấy Ví dụ có bơng hoa, lấy bơng hoa bơng hoa Ta nói bớt viết - = 3; đọc năm trừ hai ba Sách giáo khoa sử dụng biểu đồ Ven để mô tả phép trừ: Và sử dụng biểu đồ Ven sau:    3+2=5   5-2=3 5-3=2 2.3 Các cách xây dựng phép nhân Cách 1: Phép nhân tập hợp số tự nhiên coi ánh xạ f:NNN (a, b) ab Tức quy tắc cho tương ứng: với cặp số tự nhiên (a, b) ứng với số tự nhiên c gọi tích a b, ký hiệu a  b Tập số tự nhiên N đóng kín phép nhân Cách định nghĩa phép nhân không sử dụng để xây dựng khái niệm phép nhân Tiểu học sử dụng tập Cách 2: Định nghĩa phép nhân theo lý thuyết tập hợp: Cho a, b  N, a = Card A, b = Card B với A, B hai tập hợp hữu hạn Khi tích Đề-các A  B tập hữu hạn ta định nghĩa: a  b = Card (A  B) Theo quan điểm định nghĩa phép nhân hoàn toàn độc lập với phép cộng tích Đề-các khái niệm khó học sinh tiểu học Cách 3: Trong sách giáo khoa tiểu học nay, phép nhân quan niệm trường hợp đặc biệt phép cộng, phép cộng nhiều số hạng nhau: a  b = a + a + … + a (a lấy b lần) b số hạng SGK lớp trình bày cụ thể sau:            + + + + = 10  + + + + tổng số hạng nhau, số hạng  Ta chuyển thành phép nhân, viết sau:   = 10  Đọc là: Hai nhân năm mười lấy lần Dấu  gọi dấu nhân KHÁI NIỆM VỀ PHÂN SỐ 3.1 Các cách định nghĩa phân số + Cách 1: Phân số cặp thứ tự (a, b) a, b số tự nhiên b  0; b số phần mà đơn vị chia a số phần lấy Cặp thứ tự (a, b) ký hiệu a b Định nghĩa có nói đến đơn vị cách đọc phân số đơn vị thường hiểu ngầm, chẳng hạn nói “một phần bảy” phần bảy đơn vị + Cách 2: Quan niệm phân số thương hai số tự nhiên Chúng ta biết chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b  0, lúc thương số tự nhiên Nói cách khác, phương trình b  x = a (a, b N, b  0) khơng phải lúc có nghiệm N Vì phải mở rộng tập hợp a số tự nhiên cách thu nhận thêm số có dạng Vậy phân số b thương phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b  Trên tập hợp số mới, phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b  ln ln thực (đóng kín phép chia) tập hợp số chứa phận đẳng cấu với N + Cách 3: Sử dụng phương pháp đối xứng hóa để mở rộng tập hợp số tự nhiên khác đến tập hợp số hữu tỉ không âm Xét: N  N* = {(a, b) / a  N, b  N*} với quan hệ tương đương sau: (a, b)  (c, d)  ad = bc * Có tam giác hình ngơi năm cánh hình 8? (lớp nâng cao) A M N B P C (Hình 7) (Hình 8) DẠY HỌC VẼ HÌNH HÌNH HỌC Vẽ hình kĩ quan trọng, cần rèn luyện thường xuyên theo mức độ thích hợp, từ thấp đến cao Yêu cầu đặt học sinh biết sử dụng dụng cụ thường dùng, lựa chọn dụng cụ phù hợp, xác định quy trình vẽ để vẽ hình tương ứng học 3.1 Vẽ đoạn thẳng Để vẽ đoạn thẳng cần có hai điểm, dùng thước thẳng nối hai điểm với Đây kĩ đơn giản Giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách cầm thước, đặt thước, cách kẻ, cách gọi tên ghi tên đoạn thẳng 3.2 Vẽ hình hình học qua điểm cho trước Cho trước điểm, giáo viên hướng dẫn học sinh dùng bút thước nối (thẳng) cặp điểm để tạo thành hình hình học (tam giác, tứ giác, hình chữ nhật, hình vng…) Có trường hợp phức tạp (cho nhiều điểm tùy ý) giáo viên cần giúp học sinh có kĩ tìm tòi giải pháp tối ưu để vẽ hình Ví dụ: Vẽ hình thang qua điểm trường hợp sau:        a)  b) 3.3 Vẽ hình giấy kẻ vng Ở lớp 1, học sinh rèn luyện vẽ hình thơng qua dùng giấy kẻ vng để vẽ hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng Giáo viên cần hướng dẫn cách tỉ mỉ cho học sinh cách vẽ Chẳng hạn để vẽ hình vng cần 44 xác định điểm hợp lí (các đỉnh nằm đỉnh ô vuông, hai đỉnh liên tiếp nằm đường kẻ, đếm số ô vuông để xác định cạnh nối chúng lại với nhau) 3.4 Vẽ hình hình học tùy ý Học sinh vẽ hình tự do, tùy ý kích thước, vị trí, quy trình vẽ Song giáo viên cần hướng dẫn học sinh thao tác theo định hướng hợp lí để tạo thành kĩ vẽ hình sau Chẳng hạn: Vẽ đoạn thẳng, ta chấm hai điểm nối chúng thước thẳng Vẽ tam giác, chấm điểm không thẳng hàng, nối thẳng cặp điểm Vẽ tứ giác,chấm điểm khơng có điểm thẳng hàng, nối thẳng (một cách hợp lí) cặp điểm 3.5 Vẽ hình theo yếu tố cho trước Lúc việc vẽ hình có u cầu gần việc dựng hình Giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ hình theo quy trình gồm nhiều bước phải sử dụng dụng cụ hình học thước, ê ke, com pa để vẽ Ví dụ: Quy trình vẽ hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm, tiến hành sau: - Bước 1: Vẽ góc vng xAy (dùng ê ke) - Bước 2: Trên cạnh Ax đặt đoạn AB = 4cm, cạnh Ay đặt đoạn AD=3cm (dùng com-pa hay thước có vạch chia xăng-ti-mét) - Bước 3: Từ B vẽ đường thẳng Bz vng góc với BA, từ D vẽ đường thẳng Dt vng góc với DA (dùng ê ke) - Bước 4: Lấy giao điểm Bz Dt C Ta hình chữ nhật ABCD cần dựng y z D C t A B x (Hình 9) 45 3.6 Vẽ thu nhỏ lên giấy Ở lớp cuối, học sinh tiểu học gặp trường hợp vẽ thu nhỏ hình lên giấy theo tỉ lệ xích Quy trình vẽ tiến hành sau: - Chuyển số đo thực tế thành số đo vẽ giấy (theo tỉ lệ xích) - Tiến hành bước vẽ hình Khi cần dùng sơ đồ đoạn thẳng để minh họa mơ hình hóa điều kiện toán, học sinh chọn tỉ lệ thể thích hợp Phải sử dụng mơ hình tốn học (đó sức mạnh tốn học) tiểu học, miễn khơng gây nhầm lẫn Chẳng hạn, vẽ tam giác sau đây: A 8cm 10cm B C (Hình 10) DẠY HỌC CẮT GHÉP, XẾP HÌNH HÌNH HỌC Cắt ghép, xếp hình (kĩ năng) hoạt động hình học cần ý rèn luyện tiểu học Vì phù hợp với đặc đểm tâm lí lứa tuổi, có tác dụng tốt phát triển tư lực phân tích - tổng hợp, trí tưởng tượng khơng gian học sinh Có nhiều dạng cắt ghép hình tùy thuộc vào nhiệm vụ đặt ra: cắt ghép hình để nhận dạng hình hình học, để xây dựng cơng thức tính diện tích, để tạo thành hình có hình dạng theo u cầu… 4.1 Cắt ghép hình để nhận dạng hình hình học Để nhận dạng hình cắt ghép, ta dùng giải pháp sau: chia cắt hình cho thành “hình đơn”, ghép “hình đơn” theo cách khác để “hình hợp” Ví dụ: Có hình tam giác hình sau? (Hình 11) 46 Học sinh dùng cắt ghép hình rõ có hình tam giác sau: Vẽ hình cho lên giấy Cắt rời hình tam giác nhỏ ta tam giác “đơn” Ghép (theo cách hợp lí) cặp tam giác “đơn” tam giác “hợp” Cuối ta ghép ba tam giác “đơn” thêm tam giác “hợp” 4.2 Cắt ghép hình để xây dựng cơng thức tính diện tích (phương pháp đẳng hợp) Ở tiểu học việc xây dựng cơng thức tính diện tích số hình thực cắt ghép hình Cơ sở lơ-guisc phương pháp định lí: Hai hình đẳng hợp có diện tích Từ đó, để xây dựng cơng thức tính diện tích hình A ta làm theo bước sau: - Chia cắt hình A cho thành phần rời - Ghép phần (theo cách khác) để hình B biết cơng thức tính diện tích (hình B có gọi hình đẳng hợp với hình A) - Từ cơng thức tính diện tích hình B suy cơng thức tính diện tích hình A Ví dụ: Biết cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, xây dựng cơng thức tính diện tích hình bình hành Cắt ghép hình vẽ: A D B C A B H K Ta có: SbhABCD = ScnABKH = a  h Vậy, diện tích hình bình hành độ dài đáy nhân với chiều cao (với đơn vị đo) Ví dụ: Xây dựng cơng thức diện tích hình tam giác từ cơng thức tính diện tích hình chữ nhật Cắt ghép hình vẽ: 47 A B’ h B a H C’ h B C C (Hình 13) Ta có: AtgABC = ScnBB’CC’ = BC  BB’ = BC  1 AH = a  h 2 Vậy, diện tích hình tam giác nửa diện tích độ dài đáy với chiều cao (với đơn vị đo) Ví dụ: Xây dựng cơng thức tính diện tích hình thang biết cơng thức tính diện tích tam giác Cắt ghép hình vẽ: A b B h D H a C b C’ (Hình 14) AhtABCD = StgADC’ = = AH  (DC + CC’) = 1 AH  (DC + AB) = h  (a + b) 2 Vậy, diện tích hình thang tích tổng độ dài đáy với chiều cao (với đơn vị đo) chia cho 4.3 Cắt ghép hình để tạo thành hình có hình dạng theo u cầu Đây tốn biến đổi hình dạng hình học, đòi hỏi cắt ghép theo điều kiện để hình có dạng theo u cầu Thao tác có đơn giản có phức tạp, phải thử nhiều lần thành cơng Giáo viên cần có kiến thức nâng cao biết dự đốn, tìm cách giải, từ biết cách hướng dẫn học sinh cắt ghép hình Chẳng hạn: 48 Diện tích hình (bằng diện tích hình cũ biết)  độ dài cạnh hình (nhờ cơng thức diện tích)  cách cắt ghép thỏa mãn Ví dụ: Cắt hình vng ABCD theo đường chép AC thành mảnh (hình 15a) để ghép mảnh lại thành: a) Hình tam giác cân b) Hình bình hành A B A 2 D AD C C a) C 1 BD A C b) BC c) (Hình 15) Hướng dẫn giải: a) Suy luận: Các tam giác ABC, ADC nhau; cạnh BC, AD nhau; góc DAC, BAC phụ nên ghép AB trùng với AD (khi góc đỉnh A phụ nhau, AC trở thành hai cạnh bên) ta hình tam giác vng cân cần dựng Hoặc: Nếu gọi cạnh hình vng có độ dài diện tích hình tam giác vng cân có diện tích nên cạnh có độ dài x cho x  x : = 1, tức cạnh tam giác đường chéo hình vng ta lấy đường chéo AC làm cạnh bên tam giác ghép AB trùng với AD Giải: Ghép mảnh cho AB trùng AD (hình 15b) b) Suy luận: Để có hình bình hành ta cần cặp cạnh đối diện ta lấy BC, AD làm cặp cạnh đối diện, AC tách thành cặp cạnh đối diện khác ghép AB trùng DC Giải: Ghép mảnh cho AB trùng DC (hình 15c) 49 Chương V CƠ SỞ TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI CỦA NỘI DUNG ĐẠI LƯỢNG VÀ ĐO ĐẠI LƯỢNG Ở TIỂU HỌC I ĐẠI LƯỢNG VÀ PHÉP ĐO ĐẠI LƯỢNG Đại lượng phép đại lượng vấn đề khó dạy toán tiểu học Tri thức khoa học đại lượng đo đại lượng tri thức môn học trình bày tiểu học có khoảng cách Vì người giáo viên tiểu học cần nắm vững tri thức khoa học, khai thác quan hệ tri thức khoa học tri thức môn học Nhờ hiểu đầy đủ tri thức mơn học, có phương pháp dạy học tốt, đạt hiệu dạy học Dưới giới thiệu tri thức khoa học đại lượng đo đại lượng theo quan điểm cấu trúc đại số 1.1 Khái niệm đại lượng 1.1.1 Định nghĩa 1: Ta gọi đại lượng tập hợp X, quan hệ tương đương  X Ký hiệu đại lượng (X, ) Như X có nhiều quan hệ tương đương nên có nhiều đại lượng, đại lượng xác định thuộc tính đặc trưng X Chẳng hạn tập hợp đồ vật X có đại lượng khối lượng (nặng, nhẹ), thể tích (chiếm chỗ khơng gian)… Ví dụ: i) Quan hệ (toàn đẳng)  (giữa hai đoạn thẳng) đại lượng tập hợp đoạn thẳng, ký hiệu đại lượng (X, ) ii) Trên tập hợp người X, sau đại lượng: (X, giới tính), (X, chiều cao)… iii) Trên tập hợp hình khơng gian X (X, (cùng) diện tích), (X, (cùng) thể tích) đại lượng) 1.1.2 Định nghĩa 2: Ta gọi tập thương X tập giá trị đại lượng (X, ) Mỗi lớp tương đương (được đại diện phần tử lớp đó) xác định đặc trưng mà trạng thái có, gọi giá trị (riêng) 50 Như ứng với giá trị đại lượng lớp phần tử tương đương (theo nghĩa xác định đại lượng này) tập hợp đối tượng Chẳng hạn: Đại lượng “độ dài” có tập giá trị độ dài đoạn thẳng (chính tập số thực R) Ứng với giá trị độ dài (mỗi số đo) lớp tương đương đoạn thẳng có “độ dài” Đó tập hợp đoạn thẳng 1.2 Các loại đại lượng 1.2.1 Định nghĩa 3: Đại lượng (X, ) gọi đại lượng vô hướng, ký hiệu (X, , ) X   có quan hệ thứ tự tồn phần  Đại lượng khơng phải đại lượng vơ hướng gọi đại lượng vectơ (tức tập X   khơng thể thứ tự tồn phần) Ví dụ: i) (Tập đoạn thẳng, , ) với  quan hệ thứ tự thông thường, đại lượng vơ hướng ii) (Tập hợp người, giới tính, không cao hơn) đại lượng vô hướng iii) Lực, gia tốc đại lượng vectơ 1.2.2 Định nghĩa 4: Đại lượng (X, ) gọi đại lượng cộng ký hiệu (X, , +) X   có phép cộng + cho (X, +) vị nhóm giao hốn Ví dụ: i) (Tập đoạn thẳng, , +) với + phép cộng thông thường, đại lượng cộng ii) Độ dài, khối lượng, thời gian đại lượng cộng iii) Nhiệt độ, thời điểm đại lượng cộng 1.2.3 Định nghĩa 5: Đại lượng (X, ) gọi đại lượng vô hướng cộng được, ký hiệu (X, , , +), thỏa mãn điều kiện sau: i) (X, , ) đại lượng vô hướng ii) (X, , +) đại lượng cộng iii) (X, , +, ) vị nhóm thứ tự ácsimet phần tử khác (đơn vị phép +) phần tử dương (nghĩa là: x, y  X, x dương  n  N : < nx = x + x + … + x (n lần); x   x dương Ví dụ: 51 i) (Tập đoạn thẳng, , , +) đại lượng vô hướng cộng ii) Độ dài, khối lượng, thời gian đại lượng vô hướng cộng iii) Nhiệt độ,thời điểm đại lượng vô hướng cộng 1.3 Phép đo đại lượng vô hướng cộng 1.3.1 Định nghĩa 6: Cho (X, , , +) đại lượng vô hướng cộng được, e phần tử khác 0, R+ tập số thực không âm Ta gọi phép đo d, đơn vị đo e, đơn cấu đơn điệu: d : X   R+ x  d(x) với d(e) = d(x) gọi số đo x, e gọi đơn vị đo Ví dụ: Phép đo độ dài, đo diện tích, đo thể tích Như vậy, phép đo đặt giá trị đại lượng với số thực R +, tập giá trị X   đại lượng đồng cấu với tập hợp số thực R + Vì vậy, để nghiên cứu tập giá trị đại lượng ta thay nghiên cứu tập hợp số (ở tiểu học lafcasc tập N, Q+) PHƯƠNG PHÁP HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM ĐẠI LƯỢNG Ở TIỂU HỌC 2.1 Hình thành khái niệm đại lượng Từ định nghĩa §1 ta có: Trên tập hợp X có nhiều quan hệ tương đương nên có nhiều đại lượng, đại lượng xác định thuộc tính đặc trưng X Chẳng hạn tập hợp đồ vật X có đại lượng khối lượng (nặng, nhẹ), thể tích (chiếm chỗ không gian)… Khái niệm đại lượng hình thành thơng qua trừu tượng hóa khái qt hóa Việc nhận thức khái niệm đại lượng điều khó khăn lứa tuổi tiểu học nên cần có phương pháp u cầu thích hợp 2.1.1 Ở tiểu học, đại lượng giới thiệu thuộc tính đặc trưng (trong số nhiều thuộc tính) đối tượng thực, thơng qua trừu tượng hóa khái qt hóa Ví dụ: Giới thiệu đại lượng khối lượng sau: - Sử dụng kinh nghiệm sống trẻ tiến hành thao tác tập hợp đồ vật, giúp học sinh có nhận thức cảm tính khối lượng (tính “nặng”, “nhẹ” vật) 52 - Sử dụng tập thực hành yêu cầu học sinh phân tích thuộc tính “nặng nhẹ”của vật - Giới thiệu cân (là đồ vật đồng thời vật chuẩn) để so sánh “nặng nhẹ” với vật khác, giúp củng cố ý niệm khối lượng - Học sinh nhận thức thuộc tính chung vật “có khối lượng” 2.1.2 Khi nhận thức đại lượng, cần có phương pháp giúp học sinh gạt bỏ kiện khác (tính chất vật lý, màu sắc, chất liệu…) để hình thành nên thuộc tính đặc trưng đại lượng đó, tức rõ quan hệ tương đương  định nghĩa 2.1.3 Cần ý là, thuộc tính (đại lượng) khơng nằm riêng biệt ngồi vật thể mà thể thông qua vật thể vật lý Vì vậy, để nhận thức đại lượng cần trừu tượng hóa (gạt bỏ thuộc tính vật lý khác) khái qt hóa (thấy thuộc tính chung cho đối tượng loại) Cũng cần lưu ý học sinh khơng lẫn lộn thuộc tính với vật mang Chẳng hạn, đoạn thẳng với độ dài nó, cân với khối lượng nó, ca”lít” với dung tích 2.2 Giới thiệu số tính chất đại lượng Các loại đại lượng vô hướng, đại lượng cộng được, đại lượng vô hướng cộng không tường minh mà giới thiệu ẩn tàng chương trình tốn tiểu học Thơng qua việc sử dụng kinh nghiệm sống trẻ khai thác số khía cạnh thao tác với đồ vật để hình thành tính chất thứ tự, tính cộng đại lượng (tức quan hệ thứ tự  định nghĩa 3, phép cộng + định nghĩa 4) Ví dụ: Với thao tác thêm nước vào xơ xơ nước “nặng” hơn, túi gạo to nặng túi gạo nhỏ, thêm kg vào kg kg…, học sinh nhận rằng: đại lượng khối lượng có giá trị khác nhau, từ so sánh, xếp thứ tự, cộng chúng Các đại lượng học tiểu học (độ dài, diện tích, thể tích, khối lượng, thời gian, dung tích) đại lượng vơ hướng cộng (không nêu tên) Cần ý là, theo định nghĩa 5, đại lượng vô hướng cộng vừa đại lượng vô hướng vừa đại lượng công vừa thỏa mãn điều kiện iii) Song 53 thực tiễn, hầu hết đại lượng vừa vô hướng vừa cộng đại lượng vô hướng cộng Chương trình tiểu học có dạy thời điểm (gắn liền với thời gian) đại lượng không cộng được, cần giúp học sinh phân biệt Chẳng hạn: khơng thể cộng thứ với thứ 5, đại lượng thời điểm cộng Cũng cần ý rằng, định nghĩa 3, đại lượng vectơ bỏ qua yếu tố phương chiều (chẳng hạn yếu tố xác định) xem đại lượng vơ hướng Vì đại lượng vận tốc chuyển động xác định, trọng lượng… (cuối bậc tiểu học đầu bậc trung học sở) coi đại lượng vơ hướng PHƯƠNG PHÁP HÌNH THÀNH PHÉP ĐO ĐẠI LƯỢNG Ở TIỂU HỌC 3.1 Vấn đề dạy học phép đo đại lượng tiểu học Phép đo đại lượng giới thiệu đầy đủ mục đích chủ yếu dạy học đại lượng tiểu học Các đại lượng tiểu học đại lượng đo phép đo chúng thừa nhận Ở tiểu học, phép đo đại lượng giới thiệu việc biểu diễn giá trị đại lượng số thực công cụ đo Đó việc thực ánh xạ d định nghĩa §1 Do định nghĩa §1 ta có: phép đo đại lượng đặt giá trị đại lượng với số thực (ở tiểu học số tự nhiên, số thập phân) Vì tập hợp giá trị đại lượng đồng cấu với tập hợp số Do đó, việc nghiên cứu tập giá trị đại lượng thông qua nghiên cứu tập hợp số (điều ẩn tàng chương trình) 3.2 Quy trình dạy học phép đo đại lượng tiểu học Mỗi loại đại lượng có phép đo riêng, thích hợp Tuy nhiên có quy tắc thực hành chung cho quy trình thực phép đo Quy trình tiến hành theo bước sau: 3.2.1 Lựa chọn phép đo a) Có hai phép đo: phép đo trực tiếp dùng trực tiếp dụng cụ để đo phép đo gián tiếp phép đo trực tiếp khó khơng thể thực thực tế 54 Chẳng hạn: Đo đoạn thẳng, ta dùng thước thẳng đo trực tiếp Đo diện tích hình đo trực tiếp lưới ô vuông đơn vị đo gián tiếp qua đo độ dài cạnh b) Mỗi nhiệm vụ đo có phép đo thích hợp, việc lựa chọn phép đo hay phối hợp hai, chủ yếu dựa vào kinh nghiệm sống kĩ thực hành Chẳng hạn: Đo diện tích hình tròn lưới vng đơn vị kết hợp với ước lượng Đo diện tích hình tam giác, hình bình hành, hình thang… thực đo gián tiếp kết hợp biến đổi hình phương pháp đẳng hợp 3.2.2 Giới thiệu công cụ đo hình thành khái niệm đơn vị đo a) Trong phép đo trực tiếp, việc giới thiệu công cụ đo thích hợp với nhiệm vụ đo tạo điều kiện cho học sinh thao tác với đồ vật cụ thể Hơn công cụ đo, đơn vị đo cụ thể hóa, giúp học sinh có biểu tượng xác bước đầu đơn vị đo Cần giới thiệu cụ thể công cụ đo: cấu tạo, cách sử dụng, giới hạn đo… b) Trong định nghĩa §1, đơn vị đo khơng có ý nghĩa mặt lý thuyết (có thể chọn giá trị làm đơn vị đo) vai trò to lớn thực tiễn đo đại lượng Các đơn vị đo giới thiệu theo nguyên tắc sư phạm: đơn vị thường dùng, dễ tiếp thu giới thiệu trước (mặc dù đơn vị bản); đơn vị dùng khó tiếp thu giới thiệu sau Các đơn vị đo giới thiệu phù hợp với mở rộng vòng số đặc điểm tâm lý lứa tuổi Việc giới thiệu đơn vị đo cần kết hợp yêu cầu học sinh tái tạo đơn vị đo nhận đơn vị đo quan hệ với giá trị đại lượng Chẳng hạn, học centimet, giáo viên giới thiệu thước thẳng có vạch chia centimet, đoạn thẳng cm, sau yêu cầu học sinh tự vẽ đoạn cm, nhận cm độ dài vật đo Đơn vị đo với công cụ đo học sinh sử dungjddeer thực thao tác kỹ thuật đo đại lượng 3.2.3 Thực thao tác đo biểu diễn kết đo a) Việc sử dụng công cụ đo cần giáo viên hướng dẫn cụ thể, tỉ mỉ để học sinh biết thực thao tác, tránh sai sót Chẳng hạn 55 hướng dẫn cách đặt thước, chuyển thước, đọc kết đo độ dài đoạn thẳng; hướng dẫn cách cân, sử dụng cân đo khối lượng b) Cần hướng dẫn học sinh cách đọc biểu diễn kết đo kèm theo tên đơn vị đo Việc biểu diễn kết đo dạng số đo hỗn hợp (nhiều tên đơn vị đo) số đo thập phân Cũng cần hướng dẫn học sinh lớp biết cách đo biểu diễn số đo gần 3.2.4 Dạy hệ thống đơn vị đo a) Với đại lượng khác nhau, giá trị khác đại lượng loại… cần đơn vị đo thích hợp Thống mặt khoa học, tiểu học chọn đại lượng độ dài, khối lượng thời gian Từ có đại lượng dẫn xuất diện tích, thể tích vận tốc… Các đơn vị đo đại lượng lập thành hệ thống đơn vị đo b) Việc dạy hệ thống đơn vị đo thường sử dụng cơng cụ “băng fdodwn vị đo”, rõ đơn vị đo quan hệ chúng Việc chuyển đổi số đo (từ số đo hỗn hợp thành số đo thập phân ngược lại) đòi hỏi học sinh cần nắm vững quan hệ đơn vị đo, kiến thức hệ ghi số có tác dụng củng cố kiến thức 3.2.5 Tính tốn số đo đại lượng rèn luyện khả ứng dụng thực tiễn phép đo đại lượng giúp học sinh củng cố khái niệm đại lượng, tính chất đại lượng, thực hành đo đại lượng yêu cầu dạy học khác… Tùy học cụ thể mà mức độ yêu cầu bước khác nhau, nhìn chung học phép đo đại lượng thường có đầy đủ bước 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Hữu Hoan, Số học, Nxb GD 1998; [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương Nxb GD 1998; [3] Phạm Văn Kiều, Trần Diên Hiển Giáo trình tốn cao cấp II Nxb GD 1998; [4] Phạm Văn Kiều, Trần Diên Hiển Nhập môn lý thuyết xác suất, thống kê Nxb GD 1995; [5] Hoàng Chúng Phương pháp thống kê khoa học giáo dục Nxb GD 1983; [6] Đơ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Hà Sỹ Hồ Phương pháp dạy học toán tiểu học Nxb GD 1994; [7] Hà Sỹ Hồ Những vấn đề sở phương pháp dạy học toán cấp Nxb GD 1990; [8] Bộ sách giáo khoa Toán tiểu học 57 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương I Cơ sở toán học đại nội dung số học tiểu học Khái niệm số tự nhiên Khái niệm phép toán N Khái niệm phân số Chương II Cơ sở toán học đại nội dung yếu tố đại số tiểu học Biểu thức toán học Đẳng thức bất đẳng thức tiểu học Phương trình tiểu học Bất phương trình tiểu học Hệ phương trình tiểu học Chương III Cơ sở toán học đại nội dung yếu tố thống kê tiểu học Các kiến thức thống kê Các phương pháp xử lý số liệu thống kê số liệu Một số đặc trưng số liệu thống kê Yếu tố thống kê môn toán tiểu học Chương IV Cơ sở toán học đại nội dung yếu tố hình học Phương pháp hình thành biểu tượng hình học tiểu học Dạy học nhận dạng hình hình học Dạy học vẽ hình hình học Dạy học cắt ghép, xếp hình hình học Chương V Cơ sở toán học đại nội dung đại lượng đo đại lượng tiểu học Đại lượng phép đo đại lượng Phương pháp hình thành khái niệm đại lượng tiểu học Phương pháp hình thành phép đo đại lượng tiểu học TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 ... học đại nhằm định hướng giúp bạn đọc vận dụng toán tương tự Chương I CƠ SỞ TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI CỦA NỘI DUNG SỐ HỌC Ở TIỂU HỌC Số học nội dung trọng tâm chương trình Tốn tiểu học, kiến thức số học. .. phạm tiểu học Nội dung chương trình bao gồm: + Nghiên cứu tư tưởng toán học đại phản ánh chương trình mơn Tốn trường tiểu học như: Tập hợp, quan hệ, cấu trúc đại số… + Phân tích sở Tốn học đại. .. Tốn trường Tiểu học giúp sinh viên nghiên cứu chương trình mơn Tốn tiểu học Mục đích nhằm hệ thống cung cấp cho sinh viên sở toán học đại mạch kiến thức chủ yếu chương trình mơn Tốn tiểu học;