ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN Câu Tìm số có chữ số: a1a2 a8 thỏa mãn điều kiện a b sau: a) a1a2a3 a7 a8 b) a4a5a6a7 a8 a7 a8 Câu Chứng minh rằng: x m x n 1 chia hết cho x x mn 2 Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 x2 Câu Giải phương trình: 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: a) EF / / AB b) AB2 EF CD c) Gọi S1 , S2 , S3 S theo thứ tự diện tích tam giác OAB, OCD, OAD OBC Chứng minh S1.S2 S3.S4 Câu Tìm giá trị nhỏ : A x2 xy y 12 x y 45 ĐÁP ÁN Câu Ta có: a1a2a3 a7 a8 (1) a4a5a6a7a8 a7a8 (2) Từ (1) (2) 22 a7 a8 31 a a a 00 a a a a a a a a a 00 a a 1 a a a a 1 4.25.a a a Do a a 1 ; a a ; a a 1 số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a7 a8 8 3 8 8 8 6 a)a7 a8 24 a1a2a3 .a8 số 57613824 b) a7 a8 24 a7 a8 25 số 62515625 c) a7 a8 26 khơng thỏa mãn ; n 3t s với s Câu Đặt m 3k r với r m n 3k r 3t s 3k r x x 1 x x x x x r x3t x s x s x r x s x r x3k 1 x s x3t 1 x r x s Ta thấy: x3k 1 x x 1 x3t 1 x x 1 Vậy x m x n 1 x x 1 x r x s 1 x x 1 với r , s r s m 3k n 3t r s m 3k n 3t mn 3k 3t 1 9kt 3k 6t 3kt k 2t mn 3k 1 3t 9kt 6k 3t 3kt 2k t mn 3, Điều phải chứng minh Áp dụng: m 7, n mn 12 x7 x 1 x x 1 x7 x 1 : x x 1 x5 x x x Câu 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Nhân vế với ta được: 2 3. x 1.2. 2.3. 1 2006.2007. 2008 2005 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 1 1 3. x 2006.2007 1.2 2.3 2.3 3.4 2.1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007 1003.1004.669 3. x 2.2006.2007.2008 x 5.100.651 1.2 2006.2007 Câu A E D B1 B K O H F A1 C OE OA OB OC a) Do AE / / BC BF / / AD OF OB OA OD OA OB OE OF EF / / AB Mặt khác AB / /CD ta lại có: nên OC OD OB OA b) ABCA1 ABB1D hình bình hành AC DB1 AB EF AB AB EF CD Vì EF / / AB / /CD nên AB DC 1 1 c) Ta có: S1 AH OB; S2 CK OD; S3 AH OD; S4 OK OD 2 2 1 AH OB S1 AH S3 AH OD AH ; S4 CK OB CK S2 CK OD CK 2 S S S1.S2 S3 S4 S4 S2 Câu A x xy y 12 x y 45 x y 36 xy 12 x 12 y y 10 y x y y 1 2 y 1 x Giá trị nhỏ A x y y