Tuyệt kĩ hạ gục góc và khoảng cách trong hình học không gian

Nguyễn Tiến Đạt Chun luyện thi Đại học Tốn tại Hà Nội TUYỆT KỸ GIẾT NHANH GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHƠNG GIAN 2018 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội CHUYÊN ĐỀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Góc hai đường thẳng d1 d góc hai đường thẳng d1 ' d ' qua điểm song song (hoặc trùng) với d1 d2 d1 d2 d1' O d2' Nhận xét  Để xác định góc hai đường thẳng d1 d , ta lấy điểm O nói thuộc hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng khơng vượt q 90°      Nếu u1 , u2 vectơ phương d1 d u1 , u2 = a góc hai đường thẳng ( ) d1 d a a £ 90° 180°- a a > 90° B KỸ NĂNG CƠ BẢN Cách xác định góc hai đường thẳng chéo  Cách 1: Từ điểm đường thẳng a , kẻ b '  b Þ (a, b) = (a, b ')  Cách 2: Từ điểm bất kì, kẻ a '  a, b '  b Þ (a, b) = (a ', b ') a a a' O b' b' O b b Cách Cách 2 Cách tính góc hai đường thẳng chéo  Dựng tam giác chứa góc sử dụng định lí hàm số cơsin: a = b + c - 2bc cos A b = c + a - 2ac cos B c = a + b - 2ab cos C    Sử dụng tích vơ hướng để tính góc: Nếu u1 , u2 vectơ phương a b thì:   u1.u2   cos (a, b) = cos u1 , u2 =   ( ) Trang 149 u1 u2 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội C VÍ DỤ Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC  ASB =  BSC =  CSA Hãy xác định góc SA BC ? A 120° B 60° C 90° D 45° Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm BC Þ SI ^ BC S DSAB = DSAC (c.g c) Þ AC = AB Þ AI ^ BC Þ BC ^ (SAI ) Þ BC ^ SA Þ (SA, BC ) = 90° C A I B Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Giả sử tam giác AB ' C A ' C ' D có ba góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A ' D góc sau đây? BB ' D AB ' C DA ' C ' A  B  C  Hướng dẫn giải: AC  A ' C ' Þ ( AC , A ' D) = ( A ' C ', A ' D) =  DA ' C ' BDB ' D  A' D' B' C' D A B C Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng SA = vng góc với mặt đáy Gọi D trung điểm đường thẳng SD AC 1 A B C D 30 30 30 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC Þ MD  AC Þ (SD, AC ) = (SD, MD) AB = 5, DM = C , AC = 2, BC = Cạnh bên AB Tính cơsin góc hai 30 S AB = 1, SD = SA2 + AD = 30 SC = SA2 + AC = 29, SM = SC + CM = 33 SD + MD - SM Þ cos (SD, AC ) = cos SDM = = SD.MD 30 A B D M C Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB ^ AC , AB ^ BD Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc PQ AB là: A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải: Trang 150 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội       ( AB.PQ = AB PA + AC + CQ ) A      AB + AB AC + AB.CD 2     1      = AB CD - AB = AB CA + AD - AD - DB 2     1     = AB CA - DB = AB.CA - AB.DB = 2 Þ ( AB, PQ) = 90° =- ( ( ) ) ( P ) D B Q C D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c ) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai vectơ phương hai đường thẳng Trong khơng gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định sau sai? A Nếu a b vng góc với c a  b B Nếu a  b c ^ a c ^ b C Nếu góc a c góc b c a  b D Nếu a b nằm mặt phẳng (a ) song song với c góc a c góc b c Câu Câu Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng: A 90° B 60° C 45° D 30° Câu Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = Góc AB CD là: A 120° B 90° Câu A B trung điểm BC AD) C 60° D 30° C D Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB = AC = a Hình chiếu vng góc H S mặt đáy ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SH = A (I , J Cho tứ diện ABCD có cạnh a , M trung điểm cạnh BC Gọi a góc hai đường thẳng AB DM , cosa bằng: Câu a a Tính cotan góc hai đường thẳng SB , AC B C Trang 151 D 14 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Câu A Câu A - B C D Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AC = a,C = 60° Đường chéo BC ' mặt bên BB ' C ' C tạo với mặt phẳng ( AA ' C ' C) góc 30° Tính cơsin góc tạo AC ' BC Câu A Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 4a Tam giác SAB vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm BC Biết SA = 2a Tính cơsin góc DI SA B 6 C - D Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình vuông tâm O , cạnh a ; SA vuông góc với đáy SA = a Khi đó, cơsin góc SB AC bằng: B C D Câu 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = a , góc tạo A ' C với mặt đáy 60° Gọi I trung điểm CD Tính góc hai đường thẳng BD ' AI 3 A arccos B arccos 3 C arccos D arccos E HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn A B sai thiếu trường hợp b trùng với c C sai góc hai đường thẳng góc vng D sai góc hai đường thẳng bù với góc hai vectơ phương hai đường thẳng Chọn B B sai b c chéo Câu Câu Chọn A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì tứ diện ABCD nên AG ^ (BCD) A CD ^ AG ïü ý Þ CD ^ ( ABG) ị CD ^ AB CD ^ BG ùỵ D B G C Câu Chọn C Trang 152 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Gọi M trung điểm AC A Þ ( AB, CD) = (MI , MJ ) J MI + MJ - IJ cos IMJ = = - Þ ( AB, CD) = 60° 2MI MJ M D B I C Câu Chọn A Gọi N trung điểm AC A ì MN // AB ï Þ MN đường trung bình DABC Þ í ï MN = AB ỵ DBCD DACD tam giác cạnh a Þ MD = ND = N a D B M MN // AB Þ a = ( AB, DM ) = (MN , DM ) C AB a a MN = = , MD = ND = 2 2 3 MN + MD - ND cos NMD = = Þ cos a = cos NMD = 2MN MD 6 Câu Chọn C Gọi H trung điểm BC Þ SH ^ ( ABC) S Qua B kẻ Bx  AC Þ (SB, AC) = (SB, Bx) Kẻ HE ^ Bx E , cắt AC M ì a ï BE = AM = AC = ï 2 Suy AMEB hình chữ nhật nên í a ï ï HE = HM = AB = 2 ỵ Bx ^ HE üï BE AM SBE = = = ý Þ Bx ^ (SHE ) Þ Bx ^ SE ị cot Bx ^ SH ỵù SE SH + HE M A C H E x B Câu Chọn C Kẻ SH ^ AB Þ SH ^ ( ABCD) S Qua A dựng đường thẳng song song với DI , cắt BC E A D H E Trang 153 B I C Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Þ AE  DI Þ (DI , SA) = ( AE , SA) =  SAE AE = DI = 2a 7, BE = BI = 2a 3, SB = AB - SA2 = 2a Þ SH = a 3, BH = 3a SE = SH + EH = SH + EB + BH = 2a Þ cos (DI , SA) = cos  SAE = SA2 + AE - SE = SA AE Câu Chọn D Dựng E cho ACBE hình bình hành A' C' AB ^ AC ïü ý Þ AB ^ ( ACC ' A ') AB ^ AA 'ùỵ B' ị (BC ', ( ACC ' A ')) = (BC ', AC ') =  BC ' A = 30° AE  BC Þ (BC , AC ') = ( AE , AC ') A C AB = AC.tan 60° = a 3; AC ' = AB.cot 30° = 3a CC ' = AC '2 - AC = 2a 2; AE = BC = ( AB + AC = 2a E B EC = AC + BC - AB = a 7; EC ' = EC + CC '2 = a 15 ) Þ cos (BC , AC ') = cos EAC ' = AE + AC '2 - EC '2 = AE AC ' Câu Chọn B Gọi I trung điểm SD Þ OI đường trung bình DSBD ìOI  SB ïï 2 2 Þí ïOI = SB = SA + AB = 3a + a = a ïỵ 2 S I A AOI Vì OI  SB Þ (SB, AC ) = (OI , AC ) =  D H SD SA2 + AD 3a + a = = =a Ta có: AI = 2 Þ AI = OI Þ DAOI cân I Gọi H trung điểm OA Þ IH ^ OA OA AC a = = Và OH = 4 a OH HOI = = = Xét DOHI , ta có: cos OI a HOI = Vậy cos (SB, AC ) = cos B Câu 10 Chọn A Trang 154 O C Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội ACA ' = 60° ( A ' C , ( ABCD)) = ( A ' C , AC) =  B' Þ AC = a 3, AA ' = AC.tan 60° = 3a   (    BD ' AI = BB ' + BA + BC )(   AD + DI    ỉ   A' ) 3a = BB ' + BA + BC ỗỗ BC - BA ữữ = BC - BA2 = 2 è ø ( ) BD ' = 2a 3, AI =   BD ' AI 3a Þ cos (BD ', AI ) = = BD ' AI Trang 155 C' D' B C I A D Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội CHUYÊN ĐỀ 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng (a ) Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (a ) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (a ) 90° Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (a ) góc d hình chiếu d ' (a ) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (a ) Nhận xét  Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90° d α A d' H O B KỸ NĂNG CƠ BẢN Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng  Bước 1: Tìm điểm chung đường thẳng mặt phẳng  Bước 2: Tìm hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng  Bước 3: Tính góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng Từ ta có cơng thức góc theo thứ tự ĐỈNH – GIAO ĐIỂM – CHÂN ĐƯỜNG CAO d A ĐỈNH GIAO ĐIỂM α d' H O CHÂN ĐƯỜNG CAO Cách tính góc đường thẳng mặt phẳng  Dựng tam giác chứa góc sử dụng định lí hàm số cơsin: a = b + c - 2bc cos A b = c + a - 2ac cos B c = a + b - 2ab cos C  Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông: (1) AB = BH BC; AC (2) AB + AC = BC (3) AB AC = BC AH (4) AH = BH CH 1 (5) AH = AB + AC 2 = CH BC A 2 2 B Trang 156 H C Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội C VÍ DỤ Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD đơi vng góc với Khẳng định sau đúng? ADB ACD A Góc AC (BCD) góc  B Góc AD ( ABC) góc  C Góc AC ABD góc  CAB D Góc CD ABD góc  CBD ( ) ( ) Hướng dẫn giải: ACB A sai ( AC , (BCD)) =  A BAD B sai ( AD, ( ABC )) =  BDC D sai (CD, ( ABD)) =  B D C Ví dụ Cho hình chóp S ABC có DSAB tam giác cạnh a , DABC cân C Hình chiếu vng góc S xuống mặt ( ABC ) trung điểm AB Góc SC mặt đáy 30° Tính độ dài đoạn SC A a B a C 3a D a Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AB S Þ SH ^ ( ABC ) Þ SH ^ HC Þ SC , ( ABC ) = (SC , CH ) =  SCH = 30° ( ) SH = a SH Þ SC = =a sin SCH C A H B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA = 2a vng góc với đáy Tính sin góc đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB) A 85 10 B 51 17 C Hướng dẫn giải: Trang 157 D 15 10 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Ví dụ 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khi đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  A a 21 B a 21 14 C a 21 D a 21 21 Lời giải: Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A không chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ -> Đổi điểm H 2) Nối AH, ta thấy AH // (SCD) (Do AG//CD) -> CẤP ĐỘ 3: Loại Gọi H trung điểm AB  SH  a  AB //   SCD   d A,  SCD   d H ,  SCD   H  AB  Vì     Gọi K trung điểm CD  HK  a Kẻ HI  SK ,    I  SK  Khi đó: d  H ,  SCD    HI  SH HK SH  HK 2  a 21 Nối AH, ta thấy AH // (SCD) (Do AG//CD) Vậy d  A ,  SCD    d  H ,  SCD    a 21  Chọn đáp án C Ví dụ 13 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AD=2AB=2a SA vng góc với đáy Góc (SCD) (ABCD) 30o Gọi M trung điểm SB Tìm khoảng cách từ M đến (SCD) A a 21 B a 21 14 C a D a 21 21 Lời giải: Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD) 1) M không chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ -> Đổi điểm 2) Nối MA, ta biết AM cắt (SCD) hay AM//(SCD) Ố la la Vậy tốn tìm khoảng cách từ điểm LƠ LỬNG ta đổi điểm lần Lần 1: Ta đổi M B (Loại 2: Do BM cắt (SCD) S) d ( M ;( SCD)) MS 1 = = Þ d ( M ;( SCD)) = d ( B;( SCD)) = ??? d ( B;( SCD)) BS 2 Lần 2: Ta đổi B A (Loại 1: Do AB // (SCD) d ( B; ( SCD )) = d ( A; ( SCD )) = ??? => Để tìm d ( M ; ( SCD )) , ta phải tìm d ( A; ( SCD )) Trang 183 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Giải Bước 1: Tìm khoảng cách từ chân đường cao A đến (SCD) Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ACD (đáy) có góc vng D -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ AH vng góc SD Khi d ( A, (SBD)) = AH =  SA AD SA2 + AD = ??? SDA =30o  Tìm SA: Ta có Góc ((SCD) ;( ABCD)) =  S (Nhắc lại Phương pháp tìm góc: từ chân đường cao A, kẻ đường vng góc vào giao tuyến chung CD, sau nối lên đỉnh S) Þ SA = tan( SDA) AD = tan 30o.2a = ( SA AD ) ® d A, (SCD) = AH = SA2 + AD 2 a H M A D =a AB / /( SCD ) ( ) ( B ) ® d B, (SCD) = A, (SCD) = a C BM ầ ( SCD ) = S đ d ( M ; ( SCD )) MS a = = Þ d ( M ; ( SCD )) = d ( B; ( SCD )) = d ( B; ( SCD )) BS 2 Ví dụ 14 (Minh họa 2017 – Lần 1) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác (SAD) cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) B h = a C h = a D h = a 3 khối chóp S ABCD A h = a Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm AD Suy SH ^ AD Þ SH ^ ( ABCD) S Đặt SH = x ( ) = a Þ x = 2a Ta có V = x a Ta có d (B, (SCD)) = d ( A, (SCD)) = 2d (H , (SCD)) = HK = 4a A K D Trang 184 B H C Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Ví dụ 15 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a SA vuông góc với đáy Góc tạo SB mặt phẳng đáy ( ABC) 60° Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMN ) , với M , N trung điểm AB AC A a 51 34 B a 51 17 C 2a 51 17 Hướng dẫn giải: SA ^ ( ABC) suy AB hình chiếu vng góc SB lên ( ABC) SBA = 60° Góc SB ABC góc  3a 51 17 D S ) ( SA = AB tan 60° = a Kẻ AI ^ MN Suy I trung điểm MN , kẻ AH ^ SI H MN ^ SA, MN ^ AI Þ MN ^ AH Þ AH ^ (SMN ) H N A Vậy AH khoảng cách từ A đến (SMN ) M 1 1 16 a 51 = + = + Þ AH = , 2 AH 3a 3a 17 AS AI d A, (SMN ) MA = =1 Mà MB d B, (SMN ) B AI = a ( ( ( C I ) ) ) ( ) Þ d B, (SMN ) = d A, (SMN ) = a 51 17 CAB = 120° Ví dụ 16 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cân A , AB = AC = 2a, Góc ( A ' BC) ( ABC) 45° Khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' BC) là: A a B 2a C a a D Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC A C Þ AM ^ BC , A ' M ^ BC Þ M AMA ' = 45° (( A ' BC), ( ABC)) = B BC = 2a Þ AM = AA ' = a Gọi I giao điểm AB ' A ' B Þ IA = IB ' Þ d B ', ( A ' BC) = d A, ( A ' BC) ( ) ( ) Gọi H trung điểm A ' M ( ) A' a 2 a = Þ AH ^ A ' M Þ d A, ( A ' BC ) = AH = ( ) ( ) Þ d B ', ( A ' BC ) = d A, ( A ' BC ) H I B'   Trang 185 C' Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn CHUYÊN ĐỀ 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa  Đường thẳng d cắt hai đường thẳng chéo a b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b  Nếu đường vng góc chung d cắt hai đường thẳng chéo a b M , N độ dài đoạn thẳng MN khoảng cách hai đường thẳng chéo a b d M a b N Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Cách 1: Dựng đường vng góc chung (nếu biết a b vng góc) Bước Xác định mặt phẳng (P) chứa b mà (P) vng góc với a Bước Tìm giao điểm I = (P) Ç a Bước Kẻ IA ^ b ( A Ỵ b) , chứng minh IA ^ a Khi d (a, b) = IA a P b I A Trang 186 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Ví dụ Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD A B C D Hướng dẫn giải: Gọi M , N trung điểm AB, CD Ta có: ACD BCD tam giác Þ CD ^ AN , CD ^ BN Þ CD ^ ( ABN ) Þ CD ^ MN A M AN = Þ AB ^ MN Þ d ( AB, CD) = MN = AN - AM = C B N D Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD A a C a B 2a D a Hướng dẫn giải: AB ^ BC üï ý Þ BC ^ (SAB) SA ^ ( ABCD) Þ SA ^ BC ùỵ ị BC ^ SB ỹù ý Þ d (SB, CD) = BC = 2a BC ^ CD ùỵ S A D B C Vớ d Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) SO = Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD A 30 B C 2 D Hướng dẫn giải: Ta có BD ^ (SAC) Kẻ OK ^ SA Þ d (SA, BD) = SO.OA SO + OA = S 30 K A D O B Trang 187 C Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Cách 2: Dựng đường vng góc chung (tổng qt) Bước Xác định mặt phẳng (P) chứa b song song với a Bước Gọi a ' hình chiếu a lên N = a 'Ç b , (Q) ( P) , d Q b mặt phẳng chứa a a ' , d đường thẳng qua N M a P vng góc với (P) , a' N M = d Ç a Khi d (a, b) = MN Ví dụ Cho hình chóp S ABC có mặt bên (SBC) tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Lấy điểm M cạnh BC cho MC = 2MB Biết  BAC = 120° Tính khoảng cách hai đường thẳng SM AC A a B a C a 21 D a Hướng dẫn giải: Kẻ AH ^ SM (H Ỵ SM ) S SB = SC Þ AB = AC Þ BC = AB - AB cos120°Û AB = SA = SB - AB = a a H A a a Þ AM = BM = 3 Þ BAM =  ABM = 30°Þ  MAC = 90°Þ AM ^ AC üï ý ï SA ^ ( ABC ) Þ SA ^ AC ỵ ị AC ^ (SAM ) ị AC ^ AH üï SA AM =a ý Þ d ( AC , SM ) = AH = 2 21 SM ^ AH SA + AM ỵù AM = C AB + MB - AB.MB.cos120° = B M Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a  ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC ) (SBD) vng góc với đáy ( ABCD) , góc hai mặt phẳng (SAB) ( ABCD) A a B 30° Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD a C a Hướng dẫn giải: Trang 188 D a Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Gọi O = AC Ç BD Kẻ OI ^ AB Gọi J = OI Ç CD Kẻ JH ^ SI CD  AB Þ CD  (SAB) ( ) ( S ) Þ d (CD, SA) = d CD, (SAB) = d J , (SAB) = JH SO ^ ( ABCD) Þ SO ^ AB üï ý Þ AB ^ (SOI ) ï OI ^ AB ỵ ị ((SAB), ( ABCD)) H A SIO = 30° = (SI , OI ) =  O a a OI = Þ IJ = 2OI = Þ d (CD, SA) = JH = IJ sin 30° D I B a a = 4 Trang 189 C J Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Cách 3: Dựa vào khoảng cách hai đường thẳng song song Bước Xác định mặt phẳng (P) chứa b a song song với a Bước d (a, b) = d (a, (P)) = d (I , (P)) b P Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Biết thể tích khối chóp a3 Tính khoảng cách h hai đường thẳng BC SA a a 2a A B a C D 6 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình vng S ABCD , suy SO ^ ( ABCD) S Đặt SO = x 3 Ta có VS ABCD = S ABCD SO = a x = a3 a Ûx = K BC  AD Þ BC  (SAD) ( ) ( ) ( ) Þ d (BC , SA) = d BC , (SAD) = d B, (SAD) = 2d O, (SAD) O D Kẻ OK ^ SE ( ) Þ d O, (SAD) = OK = Þ d (BC , SA) = 2OK = SO.OE SO + OE = B A E C a 2a Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáy tam giác vng A có AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A ' xuống mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng B ' C ' AA ' A a 15 B a 15 10 C a a 10 D Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm BC Þ A ' H ^ ( ABC ) A' C' AA '  BB ' Þ AA '  (BCC ' B ') ( ) ( H' ) Þ d ( AA ', B ' C ') = d AA ', (BCC ' B ') = d A ', (BCC ' B ') B' Kẻ A ' H ^ B ' C ', A ' K ^ HH ' K C A H B Trang 190 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội A' H ' ^ B 'C ' üï ý Þ B ' C ' ^ ( A ' HH ') A ' H ^ ( A ' B ' C ') ị A ' H ^ B ' C 'ùỵ ị B ' C ' ^ A ' K üï ý Þ A ' K ^ (BCC ' B ') A ' K ^ HH ' ùỵ ị d ( AA ', B ' C ') = A ', (BCC ' B ') = A ' K ( ) BC = a A ' B ' A ' C ' a = A ' H = AA '2 - AH = a 3; A ' H ' = B 'C ' a 15 A ' H ' A ' H Þ d ( AA ', B ' C ') = A ' K = = 2 A' H ' + A' H BC = B ' C ' = AB + AC = 2a Þ AH = B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên ( ABC ) điểm H nằm AB cho AH = 2HB Góc SC ( ABC) 60° Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a 42 Câu B a 42 12 C a 42 D a 42 16 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = BC = 2a ; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AB , mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) ( ABC) 60° Tính khoảng cách hai đường thẳng A a 39 13 Câu B 3a 39 13 C AB SN a 39 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng với AC = D a 39 13 a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60° Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD SC A a B a C a D a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 10 Cạnh bện SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD) SC = 10 Gọi M , N trung điểm SA BC Tính khoảng cách BD MN A B C D 10 Câu Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a Trên cạnh AB a lấy điểm M cho AM = , cạnh AC cắt MD H Biết SH vng góc với mặt phẳng ABCD SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Trang 191 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội A h = 2a B h = a C h = a D h = a Cho hình chóp S ABCD có AB  CD , tam giác ABC vng A , AB = a, BC = CD = 2a, Câu SA = SB = SC = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC a 21 a a a 21 A B C D 3 7 Cho hình chóp S ABCD có SA = a SA vng góc với mặt đáy Biết ABCD hình thang vng A B , AB = a, BC = 2a SC vng góc với BD Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a với M trung điểm BC Câu A a C a D a Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng B ' C AM Câu A B 2a 2a B a C 2a a D Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình vng cạnh a , AA ' = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD CD ' Câu A a B 2a C 2a D a C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn A SH ^ ( ABC ) Þ 60° = SC , ( ABC ) = (SC , CH ) =  SCH ( CH = ) AH + AC - AH AC.cos 60° = SH = CH tan 60° = a K a 21 Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC Gọi (a ) mặt phẳng chứa SA d ( ) d H , (a ) ( ) Kẻ HI ^ d (I Ỵ d ) Þ (SHI ) ^ (a ) Kẻ HK ^ SI (K ẻ SI ) ị HK ^ (a ) ) Þ d H , (a ) = HK HI = AH sin 60° = Þ d (SA, BC ) = I C A H B Þ BC  (a ) Þ d (SA, BC ) = d B, (a ) = ( S a ; HK = SH HI SH + HI = a 42 12 a 42 HK = Trang 192 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Câu Chọn C (SAB) ^ ( ABC) üï ï (SAC) ^ ( ABC ) ýù ị SA ^ ( ABC ) (SAB) ầ (SAC) = SAùỵ ị SA ^ BC ùỹ ý ị BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB AB ^ BC ùỵ S H D A ị ((SBC ) , ( ABC )) =  SBA = 60°Þ SA = AB.tan 60° = 2a BC MN  BC , NA = NC Þ MN = N C M B Kẻ đường thẳng d qua N song song với AB Gọi (a ) mặt phẳng chứa SN d Þ AB  (a ) Þ d ( AB, SN ) = d ( A, (a )) Kẻ AD ^ d = {D} Þ (SAD) ^ (a ) Kẻ AH ^ SD Þ AH ^ (a ) Þ d ( A, (a )) = AH AD = MN = a Þ d ( AB, SN ) = AH = Câu SA AD SA + AD = 2a 39 13 Chọn A Ta có d ( AD, SC ) = d ( AD, (SBC)) = d ( A, (SBC)) S SA AB Kẻ AK ^ SB Khi d ( A, (SBC )) = AK = SA2 + AB = a K A D B Câu Chọn B Gọi P trung điểm CD E = NP ầ AC ị PN BD ị BD  (MNP) C S Þ d (BD, MN ) = d BD, (MNP) = d O, (MNP) = d A, (MNP) ( ) ( ( ) ) M Kẻ AK ^ ME ( K A D ) Þ d A, (MNP) = AK SA = SC - AC = 10 Þ MA = 3; AE = AK = MA AE MA + AE = Þ d (BD, MN ) = 15 AC = AK = Trang 193 B P E N C Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Câu Chọn A Kẻ HE ^ SD S SH ^ ( ABCD) Þ SH ^ AC üï ý Þ AC ^ (SHD) DH ^ AC þï Þ AC ^ HE Þ HE đoạn E SD vng góc chung AC A M Þ d (SD; AC ) = HE B CD AD 4a = AC 2a SH HD = 2 SH + HD AD.CD = DH AC Þ HD = Þ d (SD; AC ) = HE = Câu D H C Chọn D S A B K C D H I H A I C B Kẻ SH ^ ( ABC ) SA = SB = SC Þ HA = HB = HC Þ H trung điểm BC AB  CD Þ AB  (SCD) Þ d ( AB, SC) = d AB, (SCD) = d B, (SCD) = d H , (SCD) Kẻ HI ^ CD, HK ^ SI ( ( ) ( ) ( ) ) Þ d H , (SCD) = HK a 1 AC = BC - AB = ; BH = BC = a; SH = SB - BH = a 2 2 AB  CD Þ AB  (SCD) HI = Þ d ( AB, SC ) = Câu SH HI a 21 1 = d H , (SCD) = HK = 2 2 SH + HI ( ) Chọn C Trang 194 D Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chuyên gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội S D A N I B M A Gọi I = AC Ç BD , N C H B N D điểm đối xứng C M A qua D Kẻ AH ^ SN (H Ỵ SN ) BI = AB.BC = 2a AB a a ; BD = = Þ AD = BD - AB = BI 2 AB + BC BM = BC = a, AN = AD = a Þ BM = AN = AB = a, BM  AN Þ ABMN hình vng Þ AB  MN Þ AB  (SMN ) Þ d ( AB, SM ) = d AB, (SMN ) = d A, (SMN ) ( ) ( ) ü üï MN  AB Þ MN ^ AN ïï MN SAN MN AH Þ ^ Þ ^ ý ( ) SA ^ ( ABCD) ị MN ^ SAùỵ ý ị AH ^ (SMN ) ù ùỵ AH ^ SN ị d ( AB, SM ) = d A, (SMN ) = AH ( ) 1 a SN Þ d ( AB, SM ) = AH = SN = 2 SA = AN = a Þ AH = Câu Chọn D AM = AB + BM = a A' C' B' Qua C kẻ đường thẳng d song song với AM Gọi (a ) mặt phẳng chứa B ' C d Þ AM  (a ) Þ d ( AM , B ' C) = d M , (a ) = ( ) ( ) Kẻ BI ^ d (I Ỵ d ) , BK ^ B ' I (K Ỵ B ' I ) ( I C A M ) Þ (BB ' I ) ^ (a ) Þ d B, (a ) = BK B AB 2a = Þ BI = BC.sin BCI = sin BMA = BCI = sin  AM 5 BB '.BI a 1 Þ d ( AM , B ' C ) = BK = = 2 2 BB ' + BI Câu K d B, (a ) Chọn C Trang 195 Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội Gọi I điểm đối xứng A qua D , suy BCID hình bình hành nên BD  CI ( ) ( ) Þ d (BD, CD ') = d BD, (CD ' I ) = d D, (CD ' I ) A' AC = a; DK = Þ d (BD, CD ') = DK = D ' D + DE I D D ' D.DE K A Xét tam giác IAC , ta có DE  AC (do vng góc với CI ) có D trung điểm AI nên suy DE đường trung bình tam giác Þ DE = C' B' Kẻ DE ^ CI E , kẻ DK ^ D ' E Khi d (D, (CD ' I )) = DK D' = 2a 5 2a 5 Trang 196 E B C Thầy Nguyễn Tiến Đạt Chun gia luyện thi mơn Tốn Học12 ‐ Tổ chức giáo dục luyện thi Đại học hàng đầu Hà Nội PHỤ LỤC: KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO VÀ VINACAL Kĩ thuật 1: Tính đạo hàm máy tính Phương pháp: * Tính đạo hàm cấp 1 : qy  * Tính đạo hàm cấp 2 :       y ' x  0, 000001  y ' x y '  x  x 0, 000001 y '' x  lim * Dự đốn cơng thức đạo hàm bậc n : + Bước 1 : Tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2, đạo hàm cấp 3 + Bước 2 : Tìm quy luật về dấu, về hệ số, về số biến, về số mũ rồi rút ra cơng thức tổng qt Quy trình bấm máy tính đạo hàm cấp 1: Bước 1: Ấn qy Bước 2: Nhập biểu thức     d f X dx X x  và ấn =.  Quy trình bấm máy tính đạo hàm cấp 2: Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1 tại điểm x  x0 Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 tại điểm x  x0  0, 000001   Bước 3: Nhập vào máy tính Ans - PreAns ấn =.  X   Ví dụ 1: Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  A B x2 tại điểm có hồnh độ x  x2  C D 2 Lời giải d Hệ số góc tiếp tuyến k  y1 Nhập vào máy tính dx Phép tính  X 2     X  X 1 Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị qyaQ)+2Rs d  X2    dx  X2  X1 Q)d+3$$$1= Trang 197 ... Muốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng Việc xác định hình chiếu điểm mặt phẳng ta thường dùng cách sau: CẤP ĐỘ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM... với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai vectơ phương hai đường thẳng Trong khơng gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định sau sai? A Nếu a b vng góc với... ĐẾN MẶT ĐỨNG Ví dụ: Làm để tìm khoảng cách từ Sơn Tùng đến tường? À, dễ, từ Tùng kẻ đường thẳng vng góc vào tường! Ta để ý: tường mặt đất vng góc với ta kẻ vng góc vào tường Trang 173 Thầy Nguyễn