lí thuyết hàm số lớp 12

Kinh nghiem giảng dạy toán học trong nhà truòng. Tóm tắt kết quả. Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên D nếu . Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên D nếu . II.Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng D. Nếu thì hàm số f đồng biến trên khoảng D. Nếu thì hàm số f nghịch biến trên khoảng D. Nếu thì hàm số f không đổi trên khoảng D.

Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! BÀI CÁC ĐỊNH I.Các định lí vng góc: LÍ VNG GĨC VÀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Định lí (hình 1): � (P)  (R) � � (Q)  (R) � d  (R) � (P) �(Q)  d � Định lí (hình 2): � (P)  (Q) � (P) �(Q)  b � a  (P) � � (Q) : a  b � (hình 1) Định lí (hình 3): SA  SB  SC � � SI  (ABC) � �IA  IB  IC (hình 2) (hình 3) Chú ý: Nếu điểm I nằm mặt phẳng (ABC) I gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC +Nếu tam giác ABC tâm I trọng tâm tam giác ABC +Nếu tam giác ABC vuông A tâm I trung điểm cạnh huyền BC �  120o tâm I điểm đối xứng A qua BC +Nếu tam giác ABC cân A BAC B-PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Xác định đường cao khối đa diện (hình chóp, lăng trụ,…) Phương pháp: Thường dựa vào định lí vng góc phần A Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có hai mp (SAB) (SAC) vng góc với (ABC).Tìm độ dài đường cao từ đỉnh S tứ diện S.ABC? Giải � (SAB)  (ABC) � Theo giả thiết có: � (SAC)  (ABC) � SA  (ABC) � (SAB) �(SAC)  SA � Vậy d(S;(ABC))  SA Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với (ABCD) tam giác SAB Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)? Giải Gọi H trung điểm AB � (SAB)  (ABCD) � (SAB) �(ABCD)  AB � SH  (ABCD) Theo giả thiết có: � � (SAB) : SH  AB � Vậy d(S;(ABCD))  SH  a (đvđd) Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC Tìm trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trường hợp sau: a) Tam giác ABC tam giác b) Tam giác ABC tam giác vuông A � c) Tam giác ABC cân A BAC  120o Giải a).Gọi G trọng tam tam giác ABC �SA  SB  SC � SG  (ABC) GA  GB  GC � Vậy SG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết có: � b).Gọi I trung điểm cạnh huyền BC SA  SB  SC � � SI  (ABC) �IA  IB  IC Vậy SI trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết có: � c) Trong mặt phẳng (ABC), Gọi D điểm đối xứng A qua cạnh BC � Vì BAC  120 o AD đường phân giác góc A nên tam giác ABD ADC tam giác �SA  SB  SC � SD  (ABC) �DA  DB  DC Vậy SD trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó: � Hình a) Hình c) Hình b) Vấn đề 2: Xác định GĨC khơng gian Phương pháp: a) Xác định góc đường thẳng góc đường thẳng mặt phẳng: Xác định phần A b) Xác định góc mặt phẳng (P) (Q) xác định theo cách sau: Cách 1: (Dùng định nghĩa) � (P) �(Q)  d � (P) : a  d � � � b) � ((P);(Q))  (a; � (Q) : b  d � � a �d  M; b�d  M; � Cách 2: Làm theo bước sau: -Tìm giao tuyến (P) �(Q)   -Tìm đường thẳng d   d cắt (P), (Q) A B -Trong (P), kẻ AH   � � -Góc ((P);(Q))  AHB Cách 3: Làm theo bước sau: -Tìm đường thẳng a  (P) b  (Q) Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! � � b) -Góc ((P);(Q))  (a; Cách 4: Làm theo bước sau: -Trong (Q), lấy hình (H) có diện tích S -Tìm hình chiếu vng góc hình (H) xuống (P) hình (H’) có diện tích S’ -Góc mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: S' � � S'  S.cos ((P);(Q)) � cos ((P);(Q))  S Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M, N trung điểm AC BD, biết MN  a Tính góc tạo AB CD? Giải Gọi I trung điểm AD Theo tính chất đường trung bình tam giác có: �AB / /NI � � IM) � (AB;CD)  (NI; � DC / /IM � � Dùng định lí cosin tam giác IMN MN  IM  IN  2.IM.IN.cos NIM �   � NIM �  120o cos NIM � � IM)  180o  120o  60o Vậy (AB;CD)  (NI; Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành SA vng góc với (ABCD) Xác định góc tạo với mặt phẳng (ABCD) với: a)SB b) SC c) SD d) SO (O: tâm hình bình hành) e) SM (M trung điểm CD) f) SE (E trung điểm OB) Giải SB �(ABCD)  B � � � � (SB;(ABCD))  SBA SA  (ABCD) � � � b).Tương tự (SC;(ABCD))  SCA a) Vì � � � c).Tương tự (SD;(ABCD))  SDA � � d).Tương tự (SO;(ABCD))  SOA � � e).Tương tự (SM;(ABCD))  SMA � � f).Tương tự (SE;(ABCD))  SEA Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng tâm O SA vng góc với (ABCD) Xác định góc: a)SC (SAD) b) SC (SAB) c) SA với (SBD) d) SA với (SCD) e) SO với (SCD) Giải Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! CD  AB � � CD  (SAB) �CD  SA SC �(SAD)  S � � � � (SC;(SAD))  CSD nên � � CD  (SAB) � � b).Tương tự (SC;(SAB))  CSB a) Vì � c).Trong tam giác SAO, gọi H hình chiếu vng góc A lên SO AH  (SBD) � �  ASO � nên (SA;(SBD))  ASH d).Tương tự câu c), tam giác SAD, gọi K hình chiếu vng góc A lên SD � �  ASD � AK  (SCD) nên (SA;(SCD))  ASK e) Gọi L trung điểm KC AK//OL (do OL đường trung bình tam giác ACK) mà AK  (SCD) nên OL  (SCD) SO �(SCD)  S � � � � (SO;(SCD))  OSL Vậy � OL  (SCD) � Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng tâm O SA vng góc với (ABCD) Xác định Góc mặt phẳng: a)(SCD) (ABCD) b) (SBC) (ABCD) c) (SBD) (ABCD) d) (SCD) (SAD) e) (SBC) (SAB) f)(SBC) (SCD)? Giải (SCD) �(ABCD)  CD � � � � � � ((SCD);(ABCD))  (AD;SD)  ADS (ABCD) : A D  CD a) Ta có: � � (SCD) : SD  CD � � � b).Tương tự ((SBC);(ABCD))  SBA � � c) Tương tự ((SBD);(ABCD))  SOA d) Vì CD  (SAD) � (SCD)  (SAD) � nên ((SCD);(SAD))  90o � e) Tương tự câu d) ((SBC);(SAB))  90o f) Trong tam giác SBC, kẻ BL  SC L BD  (SAC) � BD  SC nên SC  (BDL) � SC  LD � � LD) Vậy ((SBC);(SCD))  (BL; Ví dụ : Hình chóp S.ABC hình chóp tam giác a) Xác định góc cạnh bên mặt đáy b) Xác định góc mặt bên mặt đáy c) Xác định góc mặt bên (SAC) (SBC) Giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC � � AG)  SAG � (SA;(ABC))  (SA; b).Gọi M trung điểm BC � � � ((SBC);(ABC))  (SM;GM)  SMG c) Trong tam giác SAC, kẻ AH  SC H Vì AB  (SGC) � AB  SC nên SC  (ABH) � SC  BH � � BH) Vậy ((SAC);(SBC))  (AH; Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! Ví dụ : Hình chóp S.ABCD hình chóp tứ giác a)Xác định góc cạnh bên mặt đáy b)Xác định góc mặt bên mặt đáy c) Xác định góc mặt bên (SAD) (SCD) Giải a) Gọi O tâm hình vng ABCD � � � (SA;(ABCD))  (SA;AO)  SAO b).Gọi M trung điểm CD � � � ((SCD);(ABCD))  (SM;OM)  SMO � � c) Trong tam giác SAD, kẻ AH  SD H ((SAD);(SCD))  (AH;CH) Ví dụ : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a với tâm O, SA  (ABCD);SA  a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) Giải b) SC (SAB) c) AC với (SBC) d) SB với (SAC) SC �(ABCD)  C � � � AC)  SCA � � (SC;(ABCD))  (SC; � SA  (ABCD) �  SA  � SCA �  60o Trong tam giác SAC có: tan SCA AC � �  60o Vậy (SC;(ABCD))  SCA SC �(SAB)  S � � � � � (SC;(SAB))  (SC;CB)  CSB b) T a có: � CB  (SAB) � Trong tam giác SBC có: BC �  BC  �  arctan tan CSB  � CSB SB 7 SA  AB2 � �  arctan  CSB Vậy (SC;(SAB)) c) Vì (SAB)  (SBC) nên tam giác SAB, kẻ AH  SB � AH  (SBC) �AC �(SBC)  C � � HC)  ACH � � (AC;(SBC))  (AC; Ta có: � � AH  (SBC) a) T a có: � 1 1 a 42      � AH  2 AH AS AB 6a a 6a �  AH  21 � ACH �  arcsin 21 Trong tam giác HAC có: sin ACH AC 7 � �  arcsin 21 Vậy (AC;(SBC))  ACH SB �(SAC)  S � � � BO)  BSO � � (SB;(SAC))  (SB; d) Ta có: � BO  (SAC) � BO BO � �  acr tan   � BSO Trong tam giác BSO có: tan BSO  SB 13 13 SA  AB2 � �  acr tan  BSO Vậy (SB;(SAC)) 13 Trong tam giác SAB có: Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a với tâm O SA vng góc với (ABCD) với SA  a Tính góc mặt phẳng: a)(SCD) (ABCD) b) (SBD) (ABCD) c) (SBD) (SAB) d) (SBC) (SCD) Giải Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! (SCD) �(ABCD)  CD � � � � � � ((SCD);(ABCD))  (AD;SD)  ADS (ABCD) : A D  CD a) Ta có: � � (SCD) : SD  CD � �  SA  � ADS �  60o Trong tam giác SAD có: tan ADS AD o � � Vậy ((SCD);(ABCD))  ADS  60 b) Ta có: (SBD) �(ABCD)  B D � � (ABCD) : AC  BD � � (SBD) : SO  BD � � � � � ((SBD);(ABCD))  (AC;SO)  SOA Trong tam giác SAO có: �  SA  � SOA �  arctan tan SOA AO � �  arctan Vậy ((SBD);(ABCD))  SOA c) Trong tam giác SAB, kẻ AH  SB (SAB) �(SBD)  SB � � � � H D) � ((SAB);(SBD))  (AH; (SAB) : AH  SB Ta có: � � (SBD) : HD  SB � 1 1 a      � AH  2 AH SA AB 3a a 3a �  AD   � AHD �  arctan Trong tam giác HAD có: tan AHD AH 3 � � HD)  AHD �  arctan Vậy ((SAB);(SBD))  (AH; Trong tam giác vng SAD có d) Trong tam giác SBC, kẻ BK  SC (SBC) �(SCD)  SC � � � � KD) � ((SBC);(SBC))  (BK; (SBC) : BK  SC Ta có: � � (SCD) : KD  SC � 1 1 1 2a  2      � AH  Trong tam giác vng SBC có 2 2 2 BK SB BC SA  AB BC 3a  a a 4a 2 � � cos BKD � 1 0 Dùng đinh lí cosin tam giác BKD có: BD  KB  KD  2KB.KD.cos BKD � �  arccos Nên BKD góc tù Do đó: ((SBC);(SCD)) Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! BÀI KHOẢNG CÁCH A.TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1) Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng: a) Định nghĩa: AH  (P) (tại H) d(A;(P))  A H b) Định lí (định lí chuyển điểm): Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Trên đường thẳng d, lấy điểm A, B gọi H, K hình chiếu vng góc A; B xuống (P) -Nếu d//(P) d(A;(P)) = d(B;(P)) d(A;(P)) AH AI   -Nếu d �(P)  I d(B;(P)) BK BI 2) Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng chéo a b Gọi A, B điểm a b cho AB  a AB  b AB gọi đoạn vng chung đường thẳng a b Kí hiệu d(a;b) = AB B-PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), tức d(M;(P)) = ? Phương pháp: Cách 1: Dựa vào định nghĩa, MH  (P) (tại M) d(M;(P))  MH Cách 2: Dựa vào định lí chuyển điểm vào toán sau : “Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) Xác định d(A; (SBC))=???” Giải: +Trong (ABC), kẻ AM vng góc BC +Nối SM (SAM), kẻ AH vng góc SM Thì d(A;(SBC)) = AH Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a với tâm O SA vng góc với (ABCD) với SA  a Tính góc mặt phẳng: a) d(A;(SBD))  ? b) d(I;(SBD))  ? với I trung điểm SC c) d(G';(SBD))  ? , với G’ trọng tâm tam giác SCD d) d(M;(SBD))  ? với M trung điểm CD Giải a) Trong tam giác SOA, kẻ AH  SO (1) �BD  AC � BD  (SAC) � BD  AH (2) Vì � �BD  SA Từ (1) (2) có: AH  (SBD) Do đó: d(A;(SBD))  AH 1 a 10    � AH  2 AH SA AO 2a a 10 Vậy d(A;(SBD))  AH  (đvđd) Xét tam giác SAO Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! b) Trong tam giác SAC, gọi G trọng tâm I trung điểm SC AI a 10 Vậy d(I;(SBD))  (đvđd) d(A;(SBD))  AH  AG 10 c).Trong tam giác SCD, gọi G’ trọng tâm I trung điểm SC G'D a 10 a 10 Vậy d(G';(SBD))  (đvđd) d(I;(SBD))   ID 10 15 d).Trong tam giác ACD, gọi G’’ trọng tâm M trung điểm SC MG '' a 10 Vậy d(M;(SBD))  (đvđd) d(A;(SBD))  AH  AG '' 10 Vấn đề 2: Tính khoảng cách đường thẳng chéo a b, tức d(a;b)=? Thường xét trường hợp sau: a) Nếu a vng góc với b: +Tìm mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a +Gọi A  a �(P) +Trong (P), kẻ AB  b (tại B) d(a;b)=AB b) Nếu a khơng vng góc với b: +Trên a, lấy điểm A qua A, kẻ a’// b thu mặt phẳng (P) mặt phẳng (a;a’) b//(P) +Vậy d(a;b) = d(b;(P)) = d(M;(P)) với M điểm tùy ý b +Tính d(M; (P)) làm vấn đề Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a với tâm O SA vng góc với (ABCD) với SA=a �  120o Tính khoảng cách đường chéo sau đây: BAD a) d(SA; CD) = ? b) d(BD; SC) = ? c) d(DN; SC) = ? với N trung điểm AB Giải a) d(SA; CD) = ? Gọi M trung điểm CD Vì tam giác ACD cạnh a nên AM  a �AM  SA a nên d(SA;CD)  AM  (đvđd) AM  CD � Vì � b) d(BD; SC) = ? Trong tam giác SAC, kẻ AK  SC OH  SC Trong tam giác SAC 1 a    � AK  2 AK SA AC a �OH  SC 1 a a nên d(SC; BD)  OH  AK  (đvđd)  OH  BD 2 � Vì � c) d(DN; SC) = ? Trong (ABCD), kéo dài AB đoạn BE cho NDCE hình bình hành Vì ND // CE nên ND //(SEC) Vì AK  (SBD) � AK  BD Do BD//CE nên AK  CE Suy ra: AK  (SCE) � d(A;(SCE))  AK Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! Vậy d(DN;SC)  d(MD;(SCE))  d(M;(SCE))  2 a (đvđd) .d(A;(SCE))  AK  3 Ví dụ 2: Cho tứ diện S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc cảu S xuống mặt phẳng (ABC) �  60o Tính khoảng cách đường thẳng SA BC? điểm H thuộc cạnh AB cho HA= 2HB SCH Giải Trong tam giác HBC có HC2  HB2  BC2  2.HB BC.cos 60o � HC  a a 21 Trong mặt phẳng (ABC), kẻ AD//CB cho ACBD hình bình hành BC//(SAD) Ta có: d(SA; BC)  d(BC;(SAD))  d(B;(SAD))  BA  d(H;(SAD))  d(H;(SAD)) (1) HA Gọi M trung điểm AD Trong tam giác ABD, kẻ HN//BM Trong tam giác SHN, kẻ HK  SN Vì AD  (SHN) nên AD  HK Ta HK  (SAD) hay d(H;(SAD))  HK (2) Nên SH  HC tan 60o  2 a a Dùng định lí Talet tam giác AMB HN  MB   3 1 24 Xét tam giác SHN có: (3)    � HK  a 2 HK HN SH 7a 24 3 a 24 Từ (1); (2) (3) d(SA; BC)  d(H;(SAD))  HK  2 a 24 Vậy d(SA; BC)  (đvđd) Bài Tập: I.Định lí vng góc Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Xác định đường cao trường hợp sau: a)Hai mp (SAB) (SAC) vng góc với (ABCD) b) Hai mp (SAC) (SBD) vng góc với (ABCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng Xác định đường cao trường hợp sau: a)Mặt phẳng (SAB) vng góc với (ABCD) biết tam giác SAB b) Mặt phẳng (SAB) vng góc với (ABCD) biết tam giác SAB cân S c)Mp (SAB) vng góc với (ABCD) Bài : Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC Xác định đường cao trường hợp sau: a)Tam giác ABC b) Tam giác ABC vuông A c) Tam giác ABC vuông B � � d) Tam giác ABC cân A BAC  120o e) Tam giác ABC cân B ABC  120 o Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA=SB=SC Xác định đường cao trường hợp sau: Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! � �  120 o b)Hình thoi ABCD có: BAD  60 o a)Hình thoi ABCD có: BAD Bài : Xác định đường cao trường hợp sau: a)Hình chóp S.ABC hình chóp tam giác b)Hình chóp S.ABC tứ diện c)Hình chóp S.ABCD hình chóp tứ giác Bài 2: Các phương pháp tính thể tích hình chóp I.Cơng thức thể tích khối chóp: V  Sdáy h II Các diện tích đáy thường gặp: a) Tam giác: a bc 1 abc SABC  a.h a  b.c.sin C  pr   p(p a)(p b)(p  c) với p  2 4R (Diện tích tam giác: đều, vuông, cân tỷ số diện tích ) b) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD  2SABC c) Diện tích hình thoi ABCD: SABCD  2SABC  AC.BD d) Diện tích hình chữ nhật ABCD: SABCD  AB.CD e) Diện tích hình vng ABCD: SABCD  AB f) Diện tích hình thang ABCD (AB//CD): SABCD  (AB  CD) h III Tỷ số diện tích, tỷ số thể tích: SAB' C' AB' AC '  1)Tỷ số diện tích tam giác: SABC AB AC SABM AM   SABC AC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC G trọng tâm thì: 2 1 SABG  SABM  SABC  SABC 3 Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O thì: SOAB  SOBC  SOCD  SODA  SABCD / Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O thì: VS.OAB  VS.OBC  VS.OCD  VS.ODA  VS.ABCD / Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC thì: 10 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! 2a 6.a 16 2.a  Vậy thể tích lăng trụ VABCD.A ' B'C ' D '  SABCD AA '  2a (đvtt) 3 Vấn đề 2: Tính thể tích lăng trụ xiên Phương pháp: + Xác định đường cao khối lăng trụ +Tính diện tích đáy Dùng cơng thức: V  SS.A1A2 An h Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Biết hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm H BC AA’=a Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Giải 2 Trong tam giác A’AH có: A'H  AA '  AH  a Vậy thể tích lăng trụ a a a 3 (đvtt) VABCA ' B' C '  SABC A ' H   Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O Cạnh CC’ =a CC’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o Điểm C’ có hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O.Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Giải � �' CO  60o Gọi M trung điểm AB (CC ';(ABC))  C Trong tam giác C’CO có: C' O  CC '.sin 60o  a a 3a CM  CO  2 3a a   Vì tam giác ABC nên AB  CM o CO  CC '.cos 60  a a 9a (đvtt)  32 Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O Biết hình chiếu vng góc C’ � xuống mặt phẳng (ABC) tâm O d(O; CC’) = a ((AA'C'C);(BB'C'C))  90o Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Vậy thể tích lăng trụ VABC.A ' B' C '  C ' O.SABC  Giải Trong tam giác COC’, kẻ OK  CC' OK=a Trong (CBB’C’), kẻ BL  CC ' (CBB'C') �(CAA'C')  CC' � � (CBB'C') : BL  CC ' Thì � � (CAA'C') : AL  CC' (do : CC'  (BLA)) � � �  90 o � ((AA'C'C);(BB'C'C))  BLA 3a Trong tam giác CHL có: HL  KO  2 Vì tam giác BLA vuông cân L nên AB  2HL  3a � CO  21 CH  a Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! 1 a   � C'O  2 KO CO C ' O a (3a)2 a 3.27 Vậy thể tích lăng trụ VABCA ' B' C '  C ' O.SABC  (đvtt)  Trong tam giác C’CO có: Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) điểm nằm đường cao AH tam giác ABC Biết mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (ABC) góc 60o AA '  a Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Giải Gọi H; H trung điểm BC; B’C’ I hình chiếu vng góc H’ xuống (ABC) (CBB'C') �(ABC)  BC � � (ABC) : IH  BC Ta có: � � (CBB'C') : HH'  BC (do : BC  (H'HI)) � � �' HI  60o � ((BCC'B');(ABC)) H 3a  2 3a a 3 3   a (đvtt) Trong tam giác H’HI có: H ' I  HH '.sin 60o  a Vậy thể tích lăng trụ VABCA ' B'C '  H ' I.SABC Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt hình thoi cạnh a Biết hình chiếu vng góc A’ �' AD  DAB �  BAA � '  60o Tính thể xuống mặt phẳng (ABCD) điểm nằm hình thoi ABCD A tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ ? Giải Theo giả thiết tam giác A’AD; ADB; AA’B’ tam giác Gọi H trọng tâm tam giác ABD �A ' A  A ' D  A ' B � A ' H  (ABD) � � HA  HD  HB Trong tam giác A’AH có: �2 � a A ' H  AA '  AH  a  � AO �  �3 � 2 Vậy VABCD.A ' B'C 'D'  A ' H.SABCD  a 2.a a (đvtt)  BÀI TẬP A-Lăng trụ đứng: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng với AB=BC=a AA '  a Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a=4 Biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD’ hợp với đáy góc 30o Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ tổng diện tích mặt xung quanh? �  120o đường thẳng A’C tạo với mặt Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC =a; BC=2a; ACB o phẳng (ABB’A’) góc 30 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=2a; mặt phẳng (A’BC) hợp với (ABCD) góc 60o A’C tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’? Bài 6(DB KB 2010) : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có AB=a Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’? 22 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! Bài (ĐH KA-2007): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a B’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30o Tính thể tích khối lăng trụ? Bài 8(ĐH KD 2008): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C đáy tam giác ABC vng AB=BC=a; AA '  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ d(AM, B’C) với M trung điểm BC? Bài 9(DB2-09): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C có đáy ABC tam giác vng B.Gọi K hình chiếu vng góc A’ lên AC’ Biết góc đường thẳng A’K với mặt phẳng (C’AB’) 30 o A’B’=a; A 'C'  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a? Bài 10(TK-2015): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân C, cạnh AB=2a �  30o Mặt phẳng (C’AB) tạo với mặt đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ ABC khoảng cách hai đường thẳng AC’ CB’? �  120o Bài 11(Chuyên Hưng Yên 2015): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB=AC=a, BAC o Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (AB’C’) theo a? Bài 12(TK-2015): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A ' C  a 6; AC  2a đáy ABC tam giác vuông cân B Gọi M trung điểm A’C’ I tâm mặt bên ABB’A’ Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng IM, A’C Bài 14(DB1-06A): Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi với AB=AD=a, AA '  a / góc BAD = 60o Gọi M, N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài 15(TK 2011): Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ (lăng trụ đứng đáy hình vuông); d(AB; A’D)=2 Độ dài đường chéo mặt bên Tính thể tích khối lăng trụ? Vấn đề 2: Tính thể tích lăng trụ xiên Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Biết hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm H BC AA’=a Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác cạnh 2a , hình chiếu vng góc A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 3: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân A AB=AC=a Điểm A’ cách điểm A, B, C Biết AA’ hợp với đáy ABC góc 60o Chứng minh BB’CC’ hình chữ nhật tính thể tích lăng trụ? Bài 4: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng cân A, mặt bên (ABB’A’) hình thoi cạnh a vng góc với (ABC) Mặt phẳng (ACC’A’) tạo với mặt đáy góc 30o Tính thể tích khối lăng trụ? Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O Cạnh CC’ =a CC’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o Điểm C’ có hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O.Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O Biết hình chiếu vng góc C’ � xuống mặt phẳng (ABC) tâm O d(O; CC’) = a ((AA'C'C);(BB'C'C))  90o Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bài 7(B-2014): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B đến (ACC’A’)? Bài 8(ĐH KB 2009): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có BB’=a BB’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 o Tam giác ABC vng C góc BAC 60o Hình chiếu B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp A’ABC? Bài 9(TK2011): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a A’ cách điểm A, B, C Cạnh AA’ tạo với mặt (ABC) góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ? Bài 10(TK-2015): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết đường thẳng AA’ hợp với đáy (ABC) góc 60o Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ ? 23 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! Bài 11(ĐH KB-2011): Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a; AD  a Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 60o Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a? Bài 12: Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB  Biết (AA 'B)  (ABC), AA '  , góc A’AB nhọn, góc (A’AC) (ABC) 60o Tính thể tích khối lăng trụ Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, góc ABC= 60o, cạnh AB=a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Góc hợp AA’ (A’BC) 30o Gọi H hình chiếu A lên BC CMR góc AA’H= 30o tính thể tích khối lăng trụ VABC.A’B’C’ theo a? Bài 14(TK 2011): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C đáy tam giác ABC vng cân A ABB’A’ hình thoi cạnh a; mặt phẳng (ABB’A’) vng góc với (ABC) � (ACC ' A ');(ABC)    Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’? Bài 15 (ĐH KA-2008): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a; tam giác ABC vuông A; AB=a; AC  a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính thể tích khối chóp A’ABC tính cosin đường thẳng AA’, B’C’? Bài 16(ĐH KB 2009): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có BB’=a BB’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o Tam giác ABC vng C góc BAC 60o Hình chiếu B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp A’ABC? Bài 17: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C đáy tam giác ABC vuông cân C với CA=CB=a o (AA 'B'B)  (ABC); AA '  a , góc A’AB nhọn; � (ACC ' A ');(ABC)   60 Tính thể tích ABC.A’B’C’? BÀI HÌNH NĨN A-TĨM TẮT LÍ THUYẾT Các cơng thức hình nón: Hình nón có đường sinh l; đường cao h R bán kính đáy l  h2  R2 * Diện tích xung quanh: Sxq   Rl * Diện tích tồn phần: Stp   Rl   R * Thể tích khối nón: V( N )   R2h B-PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề 1: Tính thể tích; diện tích xung quanh; diện tích tồn phần khối nón Phương pháp: Dựa vào cơng thức:V; Sxq; Stp Ví dụ 1: Cho hình nón có đường cao a Thiết diện qua trục có góc đỉnh 120o Tính thể tích; diện tích xung quanh; diện tích tồn phần khối nón? Giải Gọi I tâm đáy nón Thiết diện tam giác SAB có �  120o � ISB �  60o ASB Trong tam giác SIB có: R  IB  SI tan 60o  a Và độ dài l  SI  R  a  (a 3)2  2a Thể tích khối nón là: 1 V  SI.S  a..R  a..(a 3)  .a (đvtt) 3 24 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! Diện tích xung quanh khối nón là: Sxq  .R.l  .(a 3).2a  3a (đvdt) 2 2 Diện tích tồn phần khối nón Stp  Sxq   R  3a  .3a  (2  3).a (đvdt) Ví dụ 2: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A, B điểm thuộc đường tròn đáy khối nón cho �  30o ;SAB �  60o Tính thể tích; diện tích xung quanh; diện tích tồn phần khối nón? d(O;AB)=a; SAO Giải Gọi I trung điểm AB OI =a o Trong tam giác SAO có: SO  OA tan 30  SA  R SO 2R  2.SO  o sin 30 Trong tam giác SOI có: SI  SO2  OI  R2  a2 Trong tam giác SAI có: sin 60o  SI � SI  SA.sin 60o � SA R2 2R  a2  3 R2 6.a  a2  R2 � R  6.a 2.a Nên h  SO  R tan 30o  l  SA  a  2 �  Thể tích khối nón V  h..R  a (đvtt) Diện tích xung quanh khối nón Sxq  .R.l  3a (đvdt) 3� � a (đvdt) Diện tích tồn phần khối nón Stp  Sxq   R  �  � 2� � Ví dụ 3: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường tròn tâm O Hai đường sinh SA; SB Biết SO =3 d(O; (SAB))= Diện tích tam giác SAB 18 Tính diện tích xung quanh khối nón? Giải Gọi M trung điểm AB Trong tam giác SOM, kẻ OH  SM OH  SM � � OH  (SAB) Thì � �OH  AB Nên d(O;(SAB))  OH  Xét tam giác SAM có: 1 1   �1  � OM  2 2 OH OS OM OM SM  OM  OS2  1 Nên SSAB  SM.AB � 18  AB � AB  2 Trong tam giác SAM có: 674 530 l  SA  SM  AM  �R  4 25 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! Vậy diện tích xung quanh nón Sxq  Rl =  89305 (đvdt) Vấn đề 2: Các công thức khối nón cụt Phương pháp: Thể tích nón cụt là: h h V  (S' S S.S')  (R  R' R R') 3 Diện tích xung quanh nón cụt là: Sxq  (R  R')l Diện tích tồn phần nón cụt là: Stp  Sxq   R   R'2  .[R  R'2  (R  R')l ] Ví dụ : Cho hình nón cụt có bán đáy R’ = R = đường cao h = Tính thể tích; diện tích xung quanh; diện tích tồn phần khối nón? Giải Thể tích nón cụt là: h  112 V (R  R' R R')  4.(4  22  4.2)  (đvtt) 3 Diện tích xung quanh nón cụt là: Sxq  (R  R')l = (4  2)  2 = 12 5 (đvdt) Diện tích tồn phần nón cụt là: Stp  Sxq   R   R'2  12 5  4  16  (12  20) (đvdt) BÀI Hình Trụ A.TĨM TẮT LÍ THUYẾT Các cơng thức hình trụ: * Diện tích xung quanh: Sxq  2 Rh * Diện tích toàn phần: Stp  Sxq  2S  2 Rh  2 R  2 R(R h) * Thể tích khối trụ: V  S.h   R2h B-PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề 1: Xác định thể tích, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần khối trụ Phương pháp: +Xác định yếu tố hình trụ: R, h +Áp dụng cơng thức hình trụ Ví dụ1: Một hình trụ có bán kính R thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần khối trụ Giải Gọi thiết diện qua trục hình vuông ABCD cạnh 2R h = 2R * Thể tích khối trụ: V   R2h   R2.2R  2 R3 (đvtt) * Diện tích xung quanh: Sxq  2 Rh  2 R.2R  4 R (đvdt) 2 * Diện tích tồn phần: Stp  Sxq  2S  4 R  2 R  6 R (đvdt) 26 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! Ví dụ 2: Một hình trụ có đáy đường tròn (O; R) (O’; R’) Biết tồn dây cung AB đường tròn (O;R) cho tam giác O’AB mặt phẳng (O’AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O;R) góc 60 o Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần khối trụ Giải Gọi OO’=h Gọi M trung điểm AB � � Ta có: ((OAB);(O;R))  O'MO  60o Đặt AB = x (x>0) Vì tam giác O’AB có: O ' M  x x2 OM  R2  Trong tam giác O’OM OM  OM '.cos60o � R2  � R2  x2 x x2 3x2  � R2   2 16 7x2 4R � x 16 Nên h  OO '  O ' M sin60o  7R 7R   R (đvdt) 7 �6 �  R  2 R2  �  2�  R (đvdt) Và Stp  Sxq  2S  �7 � � � Vậy Sxq  2 R.h  2 R Và V   R2h   R2 7R   R (đvtt) 7 Ví dụ 3: Một hình trụ hình vng ABCD cạnh a có đỉnh lên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ đỉnh lại nằm đường tròn đáy lại hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình tròn góc 45 o Tính thể tích, diện tích xung quanh khối trụ Giải Gọi M; M’ trung điểm AB CD Trong tam giác OMI vuông cân O IM a a   OM OI  2 2 a Nên h  OO '  2OI  R  OB  OM  MB2  a Ta có: IM  Vậy Sxq  2 R.h  2 a a   a (đvdt) 2 a 3   a (đvtt) Và V   R2h   a2 16 Vấn đề 2: Bài toán tính khoảng cách liên quan đến hình trụ Phương pháp: Thường chiếu điểm theo phương OO’ tốn đưa tính khoảng cách hình lăng trụ đứng hình chóp đường cao OO’ Ví dụ 1: Cho hình trụ có đáy đường tròn có tâm O O’; bán kính đáy chiều cao hình trụ a Trên đường tròn đáy tâm O, lấy điểm A Trên đường tròn tâm O’, lấy điểm B cho AB =2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB? Giải 27 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! Gọi A’ hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng tâm O’ gọi B’ hình chiếu vng góc B xuống mặt phẳng tâm O O’A’B.OAB’ lăng trụ đứng 1 VO ' A'B.OAB '  SOAB '.OO ' 3 Trong tam giác BB’A có: B'A  4a2  a2  a Và VOO ' AB  Nên SOAB'  3.a2 3.a2 3.a3 Vậy VOO ' AB  a (đvtt)  12 Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R=a chiều cao h  a Lấy điểm A, B nằm đáy cho AB tạo với trục hình trụ góc 30o Tính khoảng cách đường thẳng AB với trục hình trụ Giải Gọi A’ hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng đường tròn đáy tâm O gọi H trung điểm A’B � � �' AB  30o Ta có: (AB;OO'))  (AB;AA') A o Trong tam giác AA’B có: A' B  AA'.tan30  a Nên OH  R2  HB2  a a �OH  AB � OH  ( AA' B) Mà � OH  AA' � Vậy d(OO';AB)  d(OO';(AA'B))  d(O;(AA'B))  OH  a (đvdt) BÀI MẶT CẦU A.TĨM TẮT LÍ THUYẾT I.Định nghĩa: Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R (S)  {M/ MI  R} II.Các cơng thức mặt cầu: * Diện tích mặt cầu: S  4 R2 (đvdt) * Thể tích khối cầu: V   R3 (đvtt) Vấn đề 1: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Phương pháp: Cách 1: Dùng định nghĩa tức là: IA1  IA2  IA3   IAn  R � A1; A2; A3; ; An nằm mặt cầu tâm I bán kính R Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) với SA  a ABCD hình vng cạnh a Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD ? Giải 28 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! Gọi I trung điểm SC Vì tam giác SAC vuông A nên IA = IB= IC (1) Vì tam giác SBC vng B nên IB = IC = IS (2) Vì tam giác SCD vng D nên IC = ID = IS (3) Từ (1) ; (2) (3) IA = IB =IC =ID =R Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I 2 bán kính R  IS  SC  3a  a  a (đvđd) 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) với ABCD hình vng cạnh a.Gọi H, K, L hình chiếu vng góc A lên SB; SC SD Tìm tâm bán kính mặt cầu qua A, B, C, D, H, K, L? Giải Gọi O tâm hình vng ABCD nên OA=OB=OC=OD (1) Do AH  (SBC) � AH  SC nên tam giác AHC vng góc H nên OA = OC= OH (2) Tương tự AL  L C nên tam giác ALC vng góc L nên OA = OC= OL (3) Và tam giác AKC vng góc K nên OA = OC= OK (4) Từ (1); (2); (3) (4) có: OA = OB = OC = OD = OK = OH = OL =R Vậy điểm A, B, C, D, H, K, L nằm mặt cầu tâm O bán kính R  OA  AC a (đvđd)  2 Cách 2: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Thường chia làm trường hợp sau: Trường hợp 1: Hình chóp S.A1A2 A3 An có SA1  ( A1A2 A3 An) đáy A1A2 A3 An đa giác nội tiếp Ta làm theo bước sau: Bước 1: Tìm tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A A A n Bước 2: Dựng đường thẳng  qua O song song SA1 (  gọi trục đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A A A n ) Bước 3:Trong mặt phẳng (SA1 ,  ) , lấy M trung điểm SA, kẻ đường thẳng  ' trung trực SA1 I   � ' Ta được: I � ' � IS  IA1 (  trục đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A A A n ) (1) I � � IA1  IA  IA n (2) Từ (1) (2) IA1  IA  IA n  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1A A3 A n bán kính R=IS Trong SA12 �SA �  R d  � � R d �2 � Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA=a, SB=b, SC=c Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Gọi O, M trung điểm AB, SC O tâm đường tròn ngoại tiếp SAB -Dựng  đường thẳng qua O song song SC 29 SMI : R  IS  SM  IM  Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! - Trong mặt phẳng (SC, ) , dựng đường thẳng d trung trực cạnh SC gọi I  d � I �d � IS  IC (1) I � � IA  IB  IC (2) Từ (1) (2) thì: IA  IB  IC  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC bán kính 2 SA  SB2  SC2 �AB � �SC � R  IS  OS2  OI  � � � �  �2 � �2 � a  b2  c2 �  1200 SA  (ABC) Biết (SBC) tạo với (ABC) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có AB  AC  a; BAC góc 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải � � AH  SHA �  600 � SA  AH t an600  a Gọi H trung điểm BC (SBC);(ABC)  SH; Trong (ABC), gọi O điểm đối xứng A qua BC OAB OAC nên O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Qua O kẻ đường thẳng  song song SA Gọi M trung điểm SA Trong mặt phẳng (SA, ) , kẻ đường thẳng (d) trung trực SA gọi I  d � Ta có: I �d � IA  IS (1) I � � IA  IB  IC (2) Từ (1) (2) IA  IB  IC  IS (2) Nên R  Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bán kính R  IA  OA  OI SA a 3 19  � R  a2  a2  a 16 Trường hợp 2: Hình chóp S.A1A2 A3 An có (SA1A )  (A1A A A n ) đáy A1A2 A3 An đa giác nội tiếp Ta làm theo bước sau: Bước 1: Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A A A n Bước 2: Dựng  đường thẳng qua O vng góc đa giác A1A A A n Bước 3: Gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp SA1A , Và OI  dựng đường thẳng d qua O’ vng góc (SA1A ) Bước 4: Gọi H hình chiếu O’ lên A1A mặt phẳng ( SA1A ) suy H trung điểm A1A O 'H  (A1A A3 A n ) (do (SA1A )  (A1A A A n ) ) � OH  A1A � OH  (SA1A ) Ta có: d �(;OH) gọi d �  I Nên I �d � IS  IA1  IA (1) I � � IA1  IA   IA n (2) � IA1  IA   IA n  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1A A3 A n có bán kính R=IS 2 2 R  IS  O 'S  O ' I Trong đó: O 'S  R b , d  A1A O 'I  OH  OA1  HM  R d  2 30 d2 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt hạnh phúc!!! Vậy R  IS  R 2b  R d2  d2 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB (SAB) vng góc (ABCD) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải Gọi H trung điểm AB, G trọng tâm SAB O tâm ABCD Ta có SH  (ABCD) (do (SAB)  (ABCD) ) DỰng đường thẳng  qua O song song SH Trong (SHO), dựng đường thẳng d qua G song song HO Gọi I  d � Ta có: I �d � IA  IB  IS (1) I � � IA  IB  IC  ID (2) Từ (1) (2) suy ra: IA  IB  IC  ID  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD bán kính R=IS với 2 �2 a � �a � a 21 R  IS  SG  GI  �   � � � �3 � �2 � � � 2 Trường hợp 3: Hình chóp S.A1A2 A3 An có SA1  SA  SA3  SA n đáy A1A2 A3 An đa giác nội tiếp Ta làm theo bước sau: Bước 1: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp A1A A A n OA1  OA  OA3  OA n SA1  SA  SA  SA n (gỉa thiết) nên SO  (A1A A3 A n ) SO trục đường tròn Bước 2: Trong tam giác SA1O , SA1O gọi M trung điểm SA1 kẻ đường trung trực d cạnh SA1 , gọi I  d �SO Suy I �d � IS  IA1 (1) I �SO � IA1  IA  IA  IA n (2) Từ (1) (2) suy ra: IA1  IA  IA  IA n  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.A1A A A n bán kính R=IS Ta có: SMI đồng dạng nên SI SM SM.SA1 SA12 SA12  � SI    , SA1 SO SO 2SO 2h với h = SO Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh bên a cạnh bên tạo với đáy góc 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Giải Gọi G tâm tam giác ABC SGC có: SOA1 � SG  SC.sin 600  a thì: SA  SB  SC � �� SG  (ABC) SG trục đường GA  GB  GC � tròn ngoại tiếp ABC Trong SAG , kẻ đường trung trực d cạnh SA Gọi I  d �SG thì: 31 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! Ta có: I �d � IS  IA (1) I �SG � IA  IB  IC (2) Từ (1) (2) suy ra: IA  IB  IC  IS SA R  IS   Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bán kính 2SG a2  a a 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA=SB=SD=2a, đáy ABCD hình thoi cạnh a �  600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD ABC Giải Gọi G trọng tâm ABC Ta có: ABC ACD tam giác cạnh a � CB  CA  CD SA  SB  SD (gt) � SA  (ABCD) SA trục đường tròn ngoại tiếp ABD Xét SCD , dựng đường trung trực d cạnh SD gọi I  d �SC � I �d � IS  ID (1) I �SC � IA  IB  IC  ID (2) Từ (1) (2) suy ra: IA  IB  IC  ID  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính R  IS  SD 4a 2   a 2SC 2.a 3 Cách 3: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng A1A2 A3 An.A'1 A'2 A'3 A'n có đáy A1A2 A3 An đa giác nội tiếp Ta làm theo bước sau: Bước 1: Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp đáy O O’ OO’ trục đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A A A n A'1 A'2 A'3 A'n Bước 2: Gọi I trung điểm OO’ IA '1  IA1 (1) IA1  IA  IA   I A n (2) IA '1  IA '2  IA '3   I A ' n (3) Từ (1); (2) (3) IA1  IA  IA3   I An  IA '1  IA '2  IA '3   I A 'n Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ A1A2 A3 An.A'1 A'2 A'3 A'n �h � bán kính R  IA1  R  � � �2 � d Đặc biệt: *Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có tâm O tâm hình hộp chữ nhật bán kính a2  b2  c2 R *Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O tâm hình lập phương bán kính R a 32 Gv: Lê Cao Tú, trường Lê Quý Đôn ,Q3, HCM, sđt: 0935.171.433 Chúc em đạt kết tốt ln hạnh phúc!!! Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy a Gọi M điểm cạnh AA’ cho AA’=3AM � '  90o Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ ? BMC Giải Đặt AA’ = 3x AM = x Trong tam giác BCM’ có: BC '2  MC '2  MB2 � a2  9x2  a2  4x2  x2  a2 a 3a � 4x2  a2 � x  � AA'  2 Gọi G; G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ I trung điểm GG’ I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ bán kính 2 �2 a � �3a � a 129 (đvđd)  � � � � �3 � �4 � 12 � � Cách 4: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại khối đa diện Khối đa diện có đường cao trục đường tròn  ngoại tiếp đáy �h � R  AG '2  � �  �2 � Ta làm theo bước sau: Bước 1: Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện bán kính R I � Đặt OH  x hình vẽ bên Bước 2: Tính x? Xét tam giác IOB có R  IB  x2  Rd2 (1) Và R  IS  OH  (SH  x)2  d2  (h x)2 (2) d2  h2  Rd2 Từ (1) (2) có: x  R  d  (h x) � x  2h d2  h2  Rd2 Vậy OH  2h Chú ý: Đặt OH  x tức độ dài đại số x=0 I trùng O x>0 điểm I hình vẽ x