Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn

Mỗi người thầy, cô cần tựnghiên cứu kiến thức mới, kĩ năng giải và phương pháp dạy học tích cực đểthích nghi với sự thay đổi của kì thi THPT Quốc Gia.Ý thức được điều đó, tôiluôn tích cự

của các đồ thị.

9

2.3.2 Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số yf x'  Xác định

các yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số đã cho 12

2.3.2.1 Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm của hàm số hợp 122.3.2.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị 142.3.2.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về sự tương giao

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Theo xu thế đổi mới hiện nay của ngành giáo dục Trong quá trình dạyhọc để đạt được kết quả cao, đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹchương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiếnthức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Mỗi người thầy, cô cần tựnghiên cứu kiến thức mới, kĩ năng giải và phương pháp dạy học tích cực đểthích nghi với sự thay đổi của kì thi THPT Quốc Gia.Ý thức được điều đó, tôiluôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mớiphương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sángtạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiếnthức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Từ năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), môn Toán

áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Qua các kì thi THPT Quốc Gia ở các năm

2017 và 2018, kiến thức Toán THPT được xây dựng và yêu cầu phát triển theo nhiều hướng mới Đây là thử thách và cũng là cơ hội không chỉ với giáo viên

mà cả với học sinh trong giảng dạy và học tập ở tầm phát triển mới Là người trực tiếp giảng dạy, tôi biết rất nhiều học sinh lo lắng, khó thích nghi trước thay đổi này Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm bài quen thuộc của các em Do hình thức thi trắc nghiệm môn Toán còn mới nên các tài liệu về dạy và học môn Toán theo hình thức thi trắc nghiệm còn ít, các thầy cô, nhà trường cũng chưa có nhiều kinh nghiệm về thi trắc nghiệm môn Toán

Làm thế nào để giảng dạy đạt hiệu quả hơn? Vì vậy tôi đã nghiên cứu xâydựng các chuyên đề ôn luyện cho học sinh chuẩn bị tốt cho các em trong các kìthi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018 và 2019 Trong các chuyên đề xây dựng cónhiều chuyên đề hay được áp dụng trong kì thi THPT Quốc Gia như: Các bàitoán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán về cực trị hình học; Tích phânhàm ẩn …Tuy nhiên, tôi tâm đắc nhất là chuyên đề sử dụng các kiến thức vềbản chất hàm số lớp 12 để giải các bài toán liên quan đến đồ thị của những hàm

số chưa xác định biểu thức của nó Chuyên đề này phù hợp với xu hướng đề thiTHPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 và đề tham khảo năm 2019 của Bộ Giáo

Dục và đào tạo (dạng chống bấm máy tính) Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin

được trình bày: “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” giúp học

sinh học lớp 12 làm bài thi THPT Quốc Gia môn Toán theo hình thức trắcnghiệm

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đồ thị hàm ẩn là dạng toán được khai thác từ sách giáo khoa theo hướngchống bấm máy tính áp dụng đúng bản chất Toán Đây là hướng khai thác mớinên ít tài liệu dạy và học; Học sinh lúng túng không có phương pháp giải Trong

đó đề thi THPT Quốc Gia các năm học 2016-2017 ; 2017-2018 và đề tham khảonăm học 2018 - 2019 khai thác có những câu ở mức độ vận dụng cao Vì vậy

phải xây dựng chuyên đề “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn”

là nhiệm vụ cấp thiết để giảng dạy cho học sinh

Mục đích: Xây dựng các dạng ; nhận dạng ; nêu dạng tổng quát (nếu

có), xây dựng phương pháp giải và rèn luyện kĩ năng giải dạng toán “ Đồ thị hàm ẩn” Qua đó học sinh có thể giải được, giải đúng, giải nhanh dạng toán

trong các đề thi

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

+) Học sinh lớp 12A8 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1.

+) Các đơn vị kiến thức của chương 1 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao kếthợp các dạng bài có trong đề thi THPT Quốc Gia về đồ thị hàm ẩn

Trong đề tài này tôi nghiên cứu giải quyết hai vấn đề chính gắn liền với các

đề thi THPT Quốc gia

Vấn đề 1: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) Xác định các yếu tố liên quan

đến đồ thị hàm số đã cho.

Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số yf x'  Xác định các yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số đã cho.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là các phương pháp:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ sở kiến

thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia các năm học 2016 2017; 2017

-2018 và đề tham khảo năm học -2018 - 2019; đọc tài liệu tham khảo có liên quanđến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng và áp dụng lí thuyết vào bàitoán cụ thể

Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp

định hướng năng lực, tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A8 năm học 2018-2019

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

*) Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”.

*) Trên cơ sở các đơn vị kiến thức học sinh đã được học trong sách giáo khoa.

a) Dựa vào phép tịnh tiến đồ thị trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao b) Dựa vào kiến thức của chương 1 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao 2.2 Thực trạng của vấn đề.

Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài cho một hàm số cụthể, tìm các tính chất của hàm số, học sinh có thể bấm máy tính để chọn đáp án,

do đó bản chất kiến thức toán không được áp dụng Chính vì vậy bộ giáo dục vàđào tạo khi xây dựng đề thi đã chú trọng nhiều hơn dạng toán học sinh phải vậndụng bản chất kiến thức Toán vào bài thi

Ban đầu khi gặp dạng toán đồ thị hàm ẩn ở mức độ nhận biết thì học sinhkhông gặp khó khăn Khi bài toán yêu cầu mức độ thông hiểu, vận dụng đặc biệt

là mức độ vận dụng cao thì học sinh lúng túng và không có định hướng giải bàitoán một cách chủ động

Đề thi THPT Quốc Gia các năm học 2017, 2018 và đề tham khảo nămhọc 2018-2019 dạng toán đồ thị hàm ẩn được xây dựng nhiều câu và ở các mức

độ khác nhau; Đặc biệt có những câu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, khi

đó học sinh không có phương pháp giải, thậm chí bỏ qua những câu hỏi thuộcdạng toán này Đứng trước thực trạng đó trong giảng dạy tôi đặt ra vấn đề cầngiải quyết đó là: Xây dựng các dạng, phân tích và hình thành các phương phápgiải, rèn luyện kĩ năng, phát huy tính tích cực tự giác của học sinh Vì vậy tôi

xây dựng “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” để ôn luyện cho

học sinh lớp 12 thi THPT Quốc Gia

+) Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.

Chú ý: Dạng toán này ta có thể giải theo cách đặt ẩn phụ t = u(x).

+) Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.

Ví dụ 1 Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình bên dưới

a) Hàm số g x  f  x2  3x đồng biến trên khoảng ?

3 2

Nhận xét: Các nghiệm của phương trình g x¢ = ( ) 0 là các nghiệm bội lẻ nên g x¢ ( )

qua nghiệm đổi dấu.

b) Hàm số g(x) có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu D 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Lời giải Dựa vào đồ thị, ta có

x

x x

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta có.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;0nên chọn khẳng định A.

b) Hàm số g x( ) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu Chọn C.

2.3.1.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị.

Nhận xét:

1 Phép tịnh tiến không làm thay đổi số điểm cực trị của đồ thị hàm số.

2 Số giao điểm của  C :yf x  với Ox bằng số giao điểm của

 C' : y f x m     với Ox ( Với m là tham số, m   ).

3 Số điểm cực trị của hàm số f x( ) bằng A+B với:

+) A là số điểm cực trị của hàm f x( ).

+) B là số giao điểm của ( ) f x với trục hoành (không tính các điểm trùng với

A ở trên).

4 Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) ( f(x) liên tục trên ).

- Ứng với mỗi điểm cực trị của đồ thị hàm số yf x m sẽ cho ta một điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x m (các điểm cực trị tương ứng đó của hai đồ thị sẽ trùng nhau hoặc đối xứng nhau qua trục hoành).

- Mỗi giao điểm của đồ thị hàm số yf x  m với trục hoành sẽ tạo thành một điểm cực trị của hàm số y f x m

Ví dụ 3

Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình bên dưới Biết hàm số g x   f x  4

a) Chọn khẳng định đúng?

A Hàm số y = g(x) chỉ nghịch biến trên khoảng 0; 2 

B Phương trình g(x) = 3 có bốn nghiệm thực phân biệt.

C Điểm M ( -1; 0) không thuộc đồ thị hàm số y = g(x).

a) Đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số y = g(x) tại bốn điểm phân biệt nên

chọn B

b) Tọa độ các điểm cực trị là (-1;0), (0; 4), (2; 0) Do đó tổng tung độ các điểm cực trị bằng 4 nên chọn C.

Ví dụ 4 Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tất cả các giá trịthực của tham số m để hàm số g x   f x m có 3 điểm cực trị là [1]

A m 1 hoặc m 3 B m 3 hoặc m 1

C m 1 hoặc m 3 D 1  m 3

Lời giải Cách 1:

- Đồ thị hàm số yf x  m có được khi ta tịnh tiến (lên trên hoặc xuống dưới)

đồ thị hàm số yf x  theo phương trục tung m đơn vị

- Đồ thị hàm số y f x m gồm hai phần

Phần 1: Là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của hàm số yf x m

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của hàm số

 

y f x m qua trục hoành

Do đồ thị hàm số yf x m đã có hai điểm cực trị nên để đồ thị hàm số

 

y f x m có ba điểm cực trị, xảy ra hai trường hợp sau:

TH1: Đồ thị hàm số yf x m có đúng một điểm chung với trục hoành

Vì hàm f x( ) đã cho có 2 điểm cực trị nên ( )f x +m cũng luôn có 2 điểm cực trị

Do đó yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị f x( )+m với trục hoành là 1

Để số giao điểm của đồ thị ( )f x +m với trục hoành là 1, ta cần

+) Tịnh tiến đồ thị f x( ) xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị  m 1.

+) Hoặc tịnh tiến đồ thị f x( ) lên trên tối thiểu 3 đơn vị  m 3.

Ví dụ 5 Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình bên dưới Hàm số

Khi đó đồ thị hàm số yf x  2019 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không

làm thay đổi số điểm cực trị) Chọn C.

2.3.1.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về sự tương giao của các đồ thị Cách giải

- Đặt t = u(x), xác định tương ứng mỗi giá trị t cho bao nhiêu giá trị x.

- Dựa vào đồ thị và yêu cầu bài toán để kết luận.

Ví dụ 6 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f sinx m cónghiệm thuộc khoảng 0;  là ? [2]

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m  1;1.Chọn D.

Trang này ví dụ 5 tác giả tham khảo từ TLTK số 1; Ví dụ 6 tham khảo từ TLTK số 2.

y

1

 1

 1

3

2 2



Ví dụ 7 Cho hàm số yf x( ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ.

Gọi m là số nghiệm thực của phương trình f f x ( ( )) 1 khẳng định nào sau đây

1 0

0 1

+ Vậy phương trình: f(f(x))  1 có 7 nghiệm phân biệt nên m 7 Đáp án B.

Ví dụ 8 Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình

vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

Với 0;2

3

xÎ ê úé ùê úë û, ta có 0 £ 6x- 9x2 = 1 (1 3 ) - - x2 £ 1 Û 0 ³ - 4 6x- 9x2 ³ - 4

Û 3 3 4 6 ³ - x- 9x2 ³ - 1 Dựa vào đồ thị đã cho suy raf(3 4 6 - x- 9x2) Î -ê úéë 5;1ùû

2.3.2 Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số yf x'  Xác định các yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số đã cho.

2.3.2.1 Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm của hàm số hợp Cách giải:

- Lấy đạo hàm hai vế.

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

Ví dụ 10 Cho hàm số yf x( ). Hàm số yf x ( ) có đồ thị như hình bên dưới

a) Hàm số y f (1 2 x x 2) đồng biến trên khoảng dưới đây?

x x x

2 2

a) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; 2) Chọn D

b) Hàm số đạt cực trị tại x = 0, x = 1, x = 2 Chọn A.

Ví dụ 11 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của hàm số yf x 

được cho như hình vẽ bên dưới Biết rằng f  0  f  3 f  2  f  5 Tìm giá trị nhỏnhất m và giá trị lớn nhất M của f x  trên đoạn 0;5 ? [1]

g x f x  mx Có bao nhiêu giá trị không âm của tham số m để hàm số

 

g x có đúng hai điểm cực trị?[1]



 Khi đó m 0;1; 2;3; 4;5;10;11;12 Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài Chọn D.

2.3.2.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị

Nhận dạng: Cho trước đồ thị hàm số yf x m  n.Tìm các yếu tố về hàm

số y = f(x) ?

Cách giải:

- Tịnh tiến theo trục Ox và theo trục Oy Chuyển đồ thị yf x m  n về

đồ thị yf x .

- Dựa vào đồ thị của yf x  và yêu cầu bài toán để kết luận.

Ví dụ 13 Cho hàm số yf x  có đạo hàm là hàm số f x  trên  Biết rằnghàm số yf x  2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số f x  nghịch

biến trên khoảng nào?[1]

Từ đồ thị hàm số f x-'( 2 2)+ tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm

số f x-'( 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Trang này ví dụ 13 tác giả tham khảo từ TLTK số 1.

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số (f x-' 2) sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm

số f x' ( ) (tham khảo hình vẽ bên dưới)

- Lấy đạo hàm hai vế.

- Xét sự tương giao của các đồ thị và xét dấu hàm số theo yêu cầu bài toán.

g(-1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Vì trên 0;1 hàm số g x  đồng biến nên g 0 g 1 , do đó (I) đúng

Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy 3; 1  hàm g x  nghịch biến nên

 min3; 1g x  g 1

    , do đó (II), (III) đúng; dễ thấy rằng max 3;1 g x  maxg 3 ; 1g  

Chọn D.

Ví dụ 15 Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên ¡

Đồ thị hàm số y=f x¢ ( ) như hình vẽ bên dưới

a) Hàm số g x( )= 2f x( )+x2 đạt cực tiểu tại điểm

Dựa vào đồ thị ta suy ra ( )

1 0

1 2

x x

g x

x x

é ê

=-ê = ê

¢ = Û ê =ê

ê = ê

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng (- ¥ - ; 1) ta thấy

đồ thị hàm f x¢ ( ) nằm phía trên đường y= - x nên g x¢ ( ) mang dấu +

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x( ) đạt cực tiểu tại x =0. Chọn B.

Suy ra hàm số g x( ) nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;1 ,) (2;5 ) Chọn C

Ví dụ 17 Cho hai hàm số yf x , y g x   Hai hàm số yf x  và

 

y g x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường cong đậm hơn là đồ

Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số yf x  tại A a ;10,a 8;10 Khi đó



Tập nghiệm của phương trình f x  r có số phần tử là[2]

x x x

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

- Trong năm học 2018- 2019 tôi xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tươngđương nhau kiểm tra học sinh ở các lớp 12A8

Đề số 1 : Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Đề số 2 : Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

số

Tỉ lệ điểm Trước khi áp dụng

SKKN

Sau khi áp dụng SKKN

- Sau khi được học chuyên đề học sinh đã chủ động tích cực, tự tin khigặp dạng bài toán này

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.

Trong quá trình giảng dạy, cho học sinh rèn luyện dạng toán và qua thựcnghiệm tôi nhận thấy : Học sinh đã tự tin hơn khi giải dạng toán đồ thị hàm ẩn

Việc vận dụng “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” từng bài

toán cụ thể học sinh đã có hướng đi rõ ràng và thành thạo Học sinh hứng thúhọc tập dạng toán đồ thị hàm ẩn Trên lớp cũng như làm bài tập về nhà học sinh

đã tích cực, chủ động, sáng tạo, độc lập khi giải dạng toán đồ thị hàm ẩn

Qua hai đề kiểm tra ở trên ta nhận thấy kết quả học tập của học sinh đãtiến bộ rõ dệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu đã được nâng cao Trong các lần thikiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia của trường THPT Yên Định 1 nói riêng

và các trường trong cả nước nói chung hầu hết các học sinh được học đề tài nàyđều thực hiện tốt dạng đồ thị hàm ẩn Điều đó thể hiện tính hiệu quả của đề tài

3.2 Kiến nghị.

Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học Trong quátrình tham khảo các đề thi chính thức: THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 ;Các đề minh họa của các năm học, các tài liệu liên quan trên mạng

Trong quá trình tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải dạng toán đồ thịhàm ẩn Bản thân tôi suy nghĩ và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn chohọc sinh , khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho

người học Do đó tôi xây dựng đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị

hàm ẩn” cho học sinh lớp 12 Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vậndụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Tôi mong đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” được các

đồng nghiệp, những người đam mê dạy và học toán ghi nhận và được giới thiệurộng rãi, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy phù hợp với thực tiễn về sựthay đổi căn bản và toàn diện của ngành giáo dục

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Lê Thị Thủy