Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn

MỤC LỤC Nội dung 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2.Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Vấn đề 1: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) Xác định yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số cho 2.3.1.1 Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm hàm số hợp 2.3.1.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị 2.3.1.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tương giao đồ thị 2.3.2 Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Xác định yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số cho 2.3.2.1 Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm hàm số hợp 2.3.2.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị 2.3.2.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tương giao đồ thị 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 3 4 12 12 14 15 20 20 20 20 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Theo xu đổi ngành giáo dục Trong trình dạy học để đạt kết cao, địi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Mỗi người thầy, cô cần tự nghiên cứu kiến thức mới, kĩ giải phương pháp dạy học tích cực để thích nghi với thay đổi kì thi THPT Quốc Gia.Ý thức điều đó, tơi ln tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Từ năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Qua kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 2018, kiến thức Toán THPT xây dựng yêu cầu phát triển theo nhiều hướng Đây thử thách hội không với giáo viên mà với học sinh giảng dạy học tập tầm phát triển Là người trực tiếp giảng dạy, biết nhiều học sinh lo lắng, khó thích nghi trước thay đổi Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm quen thuộc em Do hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn cịn nên tài liệu dạy học mơn Tốn theo hình thức thi trắc nghiệm cịn ít, thầy cơ, nhà trường chưa có nhiều kinh nghiệm thi trắc nghiệm mơn Tốn Làm để giảng dạy đạt hiệu hơn? Vì tơi nghiên cứu xây dựng chuyên đề ôn luyện cho học sinh chuẩn bị tốt cho em kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018 2019 Trong chuyên đề xây dựng có nhiều chuyên đề hay áp dụng kì thi THPT Quốc Gia như: Các tốn vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán cực trị hình học; Tích phân hàm ẩn …Tuy nhiên, tâm đắc chuyên đề sử dụng kiến thức chất hàm số lớp 12 để giải toán liên quan đến đồ thị hàm số chưa xác định biểu thức Chuyên đề phù hợp với xu hướng đề thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018 đề tham khảo năm 2019 Bộ Giáo Dục đào tạo (dạng chống bấm máy tính) Trong khn khổ đề tài này, tơi xin trình bày: “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” giúp học sinh học lớp 12 làm thi THPT Quốc Gia môn Tốn theo hình thức trắc nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Đồ thị hàm ẩn dạng toán khai thác từ sách giáo khoa theo hướng chống bấm máy tính áp dụng chất Tốn Đây hướng khai thác nên tài liệu dạy học; Học sinh lúng túng khơng có phương pháp giải Trong đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 ; 2017-2018 đề tham khảo năm học 2018 - 2019 khai thác có câu mức độ vận dụng cao Vì phải xây dựng chuyên đề “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” nhiệm vụ cấp thiết để giảng dạy cho học sinh Mục đích: Xây dựng dạng ; nhận dạng ; nêu dạng tổng quát (nếu có), xây dựng phương pháp giải rèn luyện kĩ giải dạng tốn “ Đồ thị hàm ẩn” Qua học sinh giải được, giải đúng, giải nhanh dạng tốn đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu +) Học sinh lớp 12A8 năm học 2018-2019 trường THPT Yên Định +) Các đơn vị kiến thức chương sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao kết hợp dạng có đề thi THPT Quốc Gia đồ thị hàm ẩn Trong đề tài tơi nghiên cứu giải hai vấn đề gắn liền với đề thi THPT Quốc gia Vấn đề 1: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) Xác định yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số cho Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Xác định yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số cho 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp nhiều phương pháp chủ yếu phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết : Dựa sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016 - 2017; 2017 -2018 đề tham khảo năm học 2018 - 2019; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ phân tích, nhận dạng áp dụng lí thuyết vào toán cụ thể Phương pháp thực hành: Soạn thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng lực, tiến hành thực nghiệm lớp 12A8 năm học 2018-2019 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm *) Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ” *) Trên sở đơn vị kiến thức học sinh học sách giáo khoa a) Dựa vào phép tịnh tiến đồ thị sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao b) Dựa vào kiến thức chương sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao 2.2 Thực trạng vấn đề Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với cho hàm số cụ thể, tìm tính chất hàm số, học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, chất kiến thức tốn khơng áp dụng Chính giáo dục đào tạo xây dựng đề thi trọng nhiều dạng toán học sinh phải vận dụng chất kiến thức Toán vào thi Ban đầu gặp dạng toán đồ thị hàm ẩn mức độ nhận biết học sinh khơng gặp khó khăn Khi tốn u cầu mức độ thơng hiểu, vận dụng đặc biệt mức độ vận dụng cao học sinh lúng túng khơng có định hướng giải toán cách chủ động Đề thi THPT Quốc Gia năm học 2017, 2018 đề tham khảo năm học 2018-2019 dạng toán đồ thị hàm ẩn xây dựng nhiều câu mức độ khác nhau; Đặc biệt có câu mức độ vận dụng vận dụng cao, học sinh khơng có phương pháp giải, chí bỏ qua câu hỏi thuộc dạng toán Đứng trước thực trạng giảng dạy tơi đặt vấn đề cần giải là: Xây dựng dạng, phân tích hình thành phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng, phát huy tính tích cực tự giác học sinh Vì tơi xây dựng “ Các phương pháp giải dạng tốn đồ thị hàm ẩn” để ơn luyện cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc Gia 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Vấn đề 1: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) Xác định yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số cho 2.3.1.1 Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm hàm số hợp Dạng 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x) Xác định yếu tố hàm số g ( x) = f ( u ( x) ) Cách giải: +) Bước 1: Tính g ' ( x ) = f ' ( u ( x ) ) u ' ( x ) +) Bước 2: Dựa vào đồ thị cho xét dấu hàm số g ' ( x ) Từ lập bảng biến thiên hàm số g(x) +) Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận Chú ý: Dạng tốn ta giải theo cách đặt ẩn phụ t = u(x) Dạng 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x) Xác định yếu tố hàm số n g ( x ) =  f ( x )  ( n ∈ ¥ * , n ≥ ) Cách giải: n −1 +) Bước 1: Tính g ' ( x ) =  f ( x )  f ' ( x ) +) Bước 2: Dựa vào đồ thị cho xét dấu hàm g ' ( x ) Từ lập bảng biến thiên hàm g(x) +) Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên kết luận Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên a) Hàm số g ( x ) = f ( − x + 3x ) đồng biến khoảng ? A ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; +∞ )  C  −∞;  B ( 0;3) − 17     + 17  ÷∪  0; ÷∪  3; ÷ D ÷ ÷   2    − 17     + 17  ;0 ÷ ∪  ;3 ÷∪  ; +∞ ÷  ÷ ÷   2    b) Hàm số g ( x ) = f ( − x + 3x ) có điểm cực đại ? A B C Ta có g¢( x) = ( - 2x + 3) f ¢( - x + 3x) ; D Lời giải  x =   −2 x + =   −2 x + = ± 17   g '( x) = ⇔  ⇔  − x + x = −2 ⇔  x = 2  f ' ( − x + x ) = − x + 3x =   x = x =  Nhận xét: Các nghiệm phương trình g¢( x) = nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu Bảng biến thiên x − 17 + 17 −∞ +∞ 2 g’(x) + - + - g¢( x) + - g(x) Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta có a) Chọn đáp án A b) Chọn đáp án C Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Biết hàm số g ( x ) =  f ( x )  a) Chọn khẳng định sai khẳng định sau A g(-3) < g(-1) B g’(1) = C g(2019) < g(2020) D g’(3) = b) Hàm số g(x) có điểm cực đại, điểm cực tiểu ? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải Dựa vào đồ thị, ta có x = a ( < x < a) x =   f ( x ) = ⇔  x = ; x = ( nghiệm kép) f ' ( x ) = ⇔  x =  x = b ( < b < 3)  x =   x = a ( < a < 1)  x =1 Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) f ( x ) ; g ' ( x ) = ⇔  x = b ( < b < 3) x =  x = Bảng biến thiên −∞ x f’ f + 0 g’ a - + - + b - - 0 + - + - + + +∞ + g Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta có a) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) nên chọn khẳng định A b) Hàm số g( x) có điểm cực đại, điểm cực tiểu Chọn C 2.3.1.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị Nhận xét: Phép tịnh tiến không làm thay đổi số điểm cực trị đồ thị hàm số Số giao điểm ( C ) : y = f ( x ) với Ox số giao điểm ( C') : y = f ( x + m) với Ox ( Với m tham số, m ∈ ¡ ) Số điểm cực trị hàm số f ( x) A + B với: +) A số điểm cực trị hàm f ( x) +) B số giao điểm f ( x) với trục hồnh (khơng tính điểm trùng với A trên) Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) ( f(x) liên tục ¡ ) - Ứng với điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) + m cho ta điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) + m (các điểm cực trị tương ứng hai đồ thị trùng đối xứng qua trục hoành) - Mỗi giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) + m với trục hoành tạo thành điểm cực trị hàm số y = f ( x ) + m Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + a) Chọn khẳng định đúng? A Hàm số y = g(x) nghịch biến khoảng ( 0; ) B Phương trình g(x) = có bốn nghiệm thực phân biệt C Điểm M ( -1; 0) không thuộc đồ thị hàm số y = g(x) D Hàm số có hai điểm cực trị b) Đồ thị hàm số y = g(x) có tổng tung độ điểm cực trị ? A B C D Lời giải Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + có cách +) Tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x) lên đơn vị ta đồ thị hàm số f ( x) + +) Lấy đối xứng phần phía Ox đồ thị hàm số f ( x) + qua Ox, ta đồ thị f ( x) + Dựa vào đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + suy ra: a) Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = g(x) bốn điểm phân biệt nên chọn B b) Tọa độ điểm cực trị (-1;0), (0; 4), (2; 0) Do tổng tung độ điểm cực trị nên chọn C Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tất giá trị thực tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) + m có điểm cực trị [1] y O x −3 A m ≤ −1 m ≥ C m = −1 m = B m ≤ − m ≥ D ≤ m ≤ Lời giải Cách 1: - Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có ta tịnh tiến (lên xuống dưới) đồ thị hàm số y = f ( x ) theo phương trục tung m đơn vị - Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m gồm hai phần Phần 1: Là phần đồ thị nằm phía trục hoành hàm số y = f ( x ) + m Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía trục hồnh hàm số y = f ( x ) + m qua trục hoành Do đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có hai điểm cực trị nên để đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị, xảy hai trường hợp sau: TH1: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có điểm chung với trục hoành  m < −1 m > ⇔ y CD yCT > ⇔ ( m + 1) ( m − 3) > ⇔  TH2: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có điểm cực trị thuộc trục hoành  m = −1 m = Kết hợp hai trường hợp ta có m ≥ m ≤ −1 giá trị cần tìm Chọn A ⇔ y CD yCT = ⇔ ( m + 1) ( m − 3) = ⇔  Cách 2: Vì hàm f ( x) cho có điểm cực trị nên f ( x) + m ln có điểm cực trị số giao điểm đồ thị f ( x) + m với trục hoành Để số giao điểm đồ thị f ( x) + m với trục hoành 1, ta cần +) Tịnh tiến đồ thị f ( x) xuống tối thiểu đơn vị ⇒ m ≤ −1 Do yêu cầu toán Û +) Hoặc tịnh tiến đồ thị f ( x) lên tối thiểu đơn vị ⇒ m ≥ Vậy m ≤ −1 m ≥ Chọn A Trang ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK số Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số h ( x ) = f ( x ) + 2019 có điểm cực trị ?[1] A B C D Lời giải Từ đồ thị ta thấy hàm số f ( x) có điểm cực trị có hồnh độ số dương Suy đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Khi đồ thị hàm số y = f ( x ) + 2019 có điểm cực trị (vì phép tịnh tiến khơng làm thay đổi số điểm cực trị) Chọn C 2.3.1.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tương giao đồ thị Cách giải - Đặt t = u(x), xác định tương ứng giá trị t cho giá trị x - Dựa vào đồ thị u cầu tốn để kết luận Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) ? [2] y −2 −1 O −1 A [ −1;3) x B ( −1;1) Đặt t = sin x Với x ∈ ( 0; π ) t ∈ ( 0;1] C ( −1;3) D [ −1;1) Lời giải Do phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) phương trình f ( t ) = m có nghiệm thuộc nửa khoảng ( 0;1] Quan sát đồ thị ta suy điều kiện tham số m m ∈ [ −1;1) Chọn D Trang ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK số 1; Ví dụ tham khảo từ TLTK số Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Gọi m số nghiệm thực phương trình f ( f ( x)) = khẳng định sau đúng? [3] A m = B m = C m = D m = Lời giải  − < t1 <  + Đặt f ( x) = t từ đồ thị phương trình f (t ) = có nghiệm t1 ; t ; t với 0 < t < 2 < t < 3  + Nên phương trình : f ( x) = t1 có nghiệm f ( x) = t có nghiệm f ( x) = t có nghiệm + Vậy phương trình: f ( f ( x)) = có nghiệm phân biệt nên m = Đáp án B Ví dụ Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun m để phương trình ( ) 2.f - 6x - 9x2 = m - có nghiệm [3] A B 10 C 13 D 12 Trang ví dụ 7, ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK số 10 Lời giải é 2ù 0; ú Với x Ỵ ê ê 3ú, ta có £ ë û 6x - 9x2 = 1- (1- 3x)2 £ Û ³ - 6x - 9x2 ³ - ( Û ³ - 6x - 9x2 ³ - ) - 5;1ù Dựa vào đồ thị cho suy f - 6x - 9x Ỵ é ê ë ú û ( ) 2.f - 6x - 9x2 = m - có nghiệm Û - £ m- £ 1Û - £ m Ê Do m ẻ Â nờn m Î { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} , có 13 giá trị m thỏa mãn đề Chọn B Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B (x y= − 3x + ) x − x  f ( x ) − f ( x )  [3] Lời giải C D x ≥1 x≠2   x −1 ≥   x ≥1    ⇔ x ≠ ⇔ f ( x ) ≠ ⇔ ⇔ < x ∉{a, 2, b} x ≠1 Hàm số xác định     f ( x) − f ( x) ≠  f ( x) ≠  x ≠ a ∈ (1;2)     x ≠ b ∈ (2; +∞) Do đồ thị hàm số cần tìm có tối đa tiệm cận đứng ( x − 1) ( x − ) x − = ⇒ x = không tiệm cận đứng, hàm x →1 xf ( x )  f ( x ) − 1 lim+ y = lim+ x →1 x −1 đa thức bậc ba nên f x − = mx + nx + p ( ) ( x − 1) ( x − ) x − = ∞, x →2 xf ( x )  f ( x ) − 1   lim y = lim y = ∞;lim y = lim x→a x→b x−2 x→2 f ( x ) = ( x − ) ( rx + s ) f ( x ) tiếp xúc trục hồnh điểm có hồnh độ x = Vậy đồ thị hàm số có tất tiệm cận đứng Trang ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK số 11 2.3.2 Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Xác định yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số cho 2.3.2.1 Phương pháp 1: Khai thác tính chất đạo hàm hàm số hợp Cách giải: - Lấy đạo hàm hai vế - Lập bảng biến thiên kết luận Ví dụ 10 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình bên a) Hàm số y = f (1 + x − x ) đồng biến khoảng đây? A ( −∞;1) B ( 1; +∞ ) C ( 0;1) D ( 1; ) b) Gọi S tập hợp cực trị hàm số y = f (1 + x − x ) Tổng phần tử S là? A B C D Lời giải x = x =   Ta có: y ' = ( − x ) f ′(1 + x − x ) ; y ' = ⇔ 1 + x − x = ⇔  x = 1 + x − x =  x =  Nhận xét: Khi 2 − x <  − x < x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒  ⇒ ⇒ ( − 2x ) f ' ( + 2x − x2 ) <  2 f ' + x − x > ) 1 + x − x <  ( Bảng biến thiên x y’ −∞ + - +∞ + - y Theo bảng biến thiên ta có: 12 a) Hàm số đồng biến khoảng ( 1; 2) Chọn D b) Hàm số đạt cực trị x = 0, x = 1, x = Chọn A Ví dụ 11 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên Biết f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M f ( x ) đoạn [ 0;5] ? [1] A m = f ( ) , M = f ( ) B m = f ( ) , M = f ( ) C m = f ( 1) , M = f ( ) D m = f ( ) , M = f ( 5) Lời giải Ta có bảng biến thiên x y’ f(0) y + + f(5) f(3) f(2) f ( x) = f ( 2) f( 3) > é0;5ù ê ú ë û ( 2) Mà: f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) ⇒ f ( ) − f ( ) = f ( ) − f ( 3) < ⇒ f( 0) < ( 5) Chọn D Ví dụ 12 Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên f ' ( x ) < với x ∈ ( −∞; −3, ) ∪ ( 9; +∞ ) Đặt g ( x ) = f ( x ) − mx + Có giá trị khơng âm tham số m để hàm số g ( x ) có hai điểm cực trị?[1] 13 A B C D Trang ví dụ 11, ví dụ 12 tác giả tham khảo từ TLTK số Lời giải Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − m ; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − m = ⇔ f ′ ( x ) = m Để hàm số y = g ( x ) có hai điểm cực trị phương trình g ′ ( x ) = có hai m ≤ Khi m ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;10;11;12} 10 ≤ m < 13 nghiệm bội lẻ phân biệt ⇔  Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Chọn D 2.3.2.2 Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị Nhận dạng: Cho trước đồ thị hàm số y = f ′ ( x + m ) + n Tìm yếu tố hàm số y = f(x) ? Cách giải: Tịnh tiến theo trục Ox theo trục Oy Chuyển đồ thị y = f ′ ( x + m ) + n đồ thị y = f ′ ( x ) Dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) yêu cầu toán để kết luận Ví dụ 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm hàm số f ′ ( x ) ¡ Biết hàm số y = f ′ ( x − ) + có đồ thị hình vẽ bên Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng nào?[1] y -2 x O -1 A ( −∞; ) B ( −1;1) 3 5 C  ; ÷  2 Lời giải D ( 2; +∞ ) 14 Từ đồ thị hàm số f '( x- 2) + tịnh tiến xuống đơn vị, ta đồ thị hàm số f '( x- 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới) y -2 x O -3 Trang ví dụ 13 tác giả tham khảo từ TLTK số Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f '( x- 2) sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số f '( x) (tham khảo hình vẽ bên dưới) y -1 O x -3 Từ đồ thị hàm số f '( x) , ta thấy f '( x) < x Ỵ ( - 1;1) Chọn B 2.3.2.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tương giao đồ thị Cách giải: - Lấy đạo hàm hai vế - Xét tương giao đồ thị xét dấu hàm số theo yêu cầu toán - Kết luận Ghi nhớ: Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục tập D; có đồ thị ( C ) ( C ') ; a, b ∈ D a < b +) Nếu đồ thị ( C) nằm “phía trên” đồ thị ( C’) với x ∈ ( a; b ) f ( x ) > g ( x ) với x ∈ ( a; b ) +) Nếu đồ thị ( C) nằm “phía dưới” đồ thị ( C’) với x ∈ ( a; b ) f ( x ) < g ( x ) với x ∈ ( a; b ) Ví dụ 14 Hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ 15 3 Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2019 Trong mệnh đề đây: g ( x ) = g ( −1) (II) xmin ∈[ −3;1] (I) g ( ) < g ( 1) (III) Hàm số g ( x ) nghịch biến ( − 3; − 1) Số mệnh đề là:[1] A B g ( x ) = max { g ( −3) ; g ( 1) } (IV) xmax ∈[ −3;1] C D Trang ví dụ 14 tác giả tham khảo từ TLTK số Lời giải 3  Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) −  x + x − ÷  2 Trên mặt phẳng toạ độ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = x2 + 3 x− 2 Dựa vào đồ thị hàm số ta có 3 3 2 Khi x ∈ ( − 3; − 1) f ′ ( x ) < x + x − , x ∈ ( −1;1) f ′ ( x ) > x + x − Do ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) đoạn [ −3;1] sau x -3 -1 g’(x) + g(-3) g(1) g(x) 16 g(-1) Dựa vào bảng biến thiên ta có: Vì [ 0;1] hàm số g ( x ) đồng biến nên g ( ) < g ( 1) , (I) Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy ( − 3; − 1) hàm g ( x ) nghịch biến nên g ( x ) = g ( −1) , (II), (III) đúng; dễ thấy max g ( x ) = max { g ( −3 ) ; g ( 1) } [ −3;1] [ −3;−1] Chọn D Ví dụ 15 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ bên a) Hàm số g( x) = f ( x) + x đạt cực tiểu điểm A x =- B x = C x = b) Hàm số g( x) = f ( x) + x nghịch biến khoảng A ( −∞; −1) B ( −1;0 ) C ( 0; ) c) Chọn khẳng định đúng? g ( x ) = g ( 0) A [ −1;1] g ( x ) = g ( −1) C [ −1;1] D x = D ( 2; +∞ ) g ( x ) = g ( 0) B max [ −1;1] g ( x) = g ( a) D max [ −1;1] ( < a < 1) Lời giải Ta có g¢( x) = f ¢( x) + 2x; g¢( x) = Û f ¢( x) =- x Suy số nghiệm phương trình g¢( x) = số giao điểm đồ thị hàm số thẳng y = - x f ¢( x) đường 17 Dựa vào đồ thị ta suy x g’(x) −∞ éx =- ê êx = g¢( x) = Û ê êx = ê êx = ê ë -1 + - Bảng biến thiên 0 + + +∞ + g(x) Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên sau: Ví dụ khoảng ( - ¥ ;- 1) ta thấy đồ thị hàm f ¢( x) nằm phía đường y = - x nên g¢( x) mang dấu + a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g( x) đạt cực tiểu x = Chọn B b) Chọn B c) Chọn A Ví dụ 16 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên f( - 2) = ( 2) = Hàm số g( x) = éëf ( 3- x) ùû nghịch biến khoảng khoảng sau?[1] A ( - 2;2) B ( 1;2) C ( 2;5) D ( 5;+¥ ) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) , suy bảng biến thiên hàm số f ( x) sau −∞ +∞ x -2 y’ + 0 + 0 y y(1) −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy f ( x) £ 0, " x Ỵ ¡ Ta có g¢( x) =- f ¢( 3- x) f ( 3- x) Xét ïì f ¢( 3- x) < g¢( x) < Û f ¢( 3- x) f ( 3- x) > Û ïí Û ïï f ( 3- x) < ỵ é- < 3- x < ê Û ê3- x > ë ìïï < x < í ïïỵ x < Suy hàm số g( x) nghịch biến khoảng ( - ¥ ;1) , ( 2;5) Chọn C Ví dụ 17 Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên dưới, đường cong đậm đồ 18 3  thị hàm số y = g ′ ( x ) Hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x − ÷ đồng biến  2 khoảng đây? [2]  31  A  5; ÷  5 9   31   25  C  ; +∞ ÷ D  6; ÷     Lời giải B  ;3 ÷ 4  Cách Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) A ( a;10 ) , a ∈ ( 8;10 ) Khi  f ' ( x + ) > 10, < x + < a  f ' ( x + ) > 10, − < x < a − <   ⇒  ta có   3 3 25  g '  x − ÷ ≤ 5, ≤ x − < 11  g '  x − ÷ ≤ 5, ≤ x ≤       Trang ví dụ 16 tác giả tham khảo từ TLTK số 1;Ví dụ 17 tham khảo từ TLTK số 3  Do h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷ > ≤ x <  2 Đối chiếu với đáp án ta chọn B 3  Cách Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷  2 25 9  < x + < , f ' ( x + ) > f ' ( 3) = 10 ; Dựa vào đồ thị, ∀x ∈  ;3 ÷, ta có 4  < 2x −  3  < , g '  x − ÷ < f ' ( ) = 2 2  3  9  Suy h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷ > 0, ∀x ∈  ;3 ÷  2 9 4   Do hàm số đồng biến  ;3 ÷ 4  Ví dụ 18 Cho hàm số f ( x ) = mx + nx + px + qx + r , (với m, n, p, q, r ∈ R ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên dưới: y −1 O x 19 Tập nghiệm phương trình f ( x ) = r có số phần tử là[2] A B C Lời giải D Ta có f ′ ( x ) = 4mx + 3nx + px + q ( 1) Dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) ta thấy phương trình f ′ ( x ) = có ba nghiệm đơn −1 , , Do f ′ ( x ) = m ( x + 1) ( x − ) ( x − 3) m ≠ Hay f ′ ( x ) = 4mx − 13mx − 2mx + 15m ( ) Từ ( 1) ( ) suy n = − 13 m , p = −m q = 15m Khi phương trình f ( x ) = r ⇔ mx + nx3 + px + qx = ⇔ 13   m  x − x − x + 15x ÷ =   Trang ví dụ 18 tác giả tham khảo TLTK số x =  ⇔ x − 13 x − x + 45 x = ⇔ x ( x + ) ( x − 3) = ⇔  x = −  x =  Với x = nghiệm kép   Vậy tập nghiệm phương trình f ( x ) = r S = − ;0;3 Chọn B   2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Trong năm học 2018- 2019 xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương kiểm tra học sinh lớp 12A8 Đề số : Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đề số : Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tỉ lệ điểm Lớp Sĩ số Trước áp dụng Sau áp dụng SKKN SKKN Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu 12A8 38 2% 20% 58% 20% 30% 40% 30% 0% - Sau học chuyên đề học sinh chủ động tích cực, tự tin gặp dạng toán KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận Trong trình giảng dạy, cho học sinh rèn luyện dạng tốn qua thực nghiệm nhận thấy : Học sinh tự tin giải dạng toán đồ thị hàm ẩn Việc vận dụng “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” toán cụ thể học sinh có hướng rõ ràng thành thạo Học sinh hứng thú học tập dạng toán đồ thị hàm ẩn Trên lớp làm tập nhà học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo, độc lập giải dạng toán đồ thị hàm ẩn Qua hai đề kiểm tra ta nhận thấy kết học tập học sinh tiến rõ dệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu nâng cao Trong lần thi kiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia trường THPT Yên Định nói riêng trường nước nói chung hầu hết học sinh học đề tài thực tốt dạng đồ thị hàm ẩn Điều thể tính hiệu đề tài 3.2 Kiến nghị Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia năm học Trong trình tham khảo đề thi thức: THPT Quốc Gia năm 2017, 2018 ; Các đề minh họa năm học, tài liệu liên quan mạng Trong q trình tìm hiểu khó khăn học sinh giải dạng toán đồ thị hàm ẩn Bản thân tơi suy nghĩ nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học Do tơi xây dựng đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” cho học sinh lớp 12 Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Tôi mong đề tài “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn” đồng nghiệp, người đam mê dạy học toán ghi nhận giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi phương pháp giảng dạy phù hợp với thực tiễn thay đổi toàn diện ngành giáo dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Thủy 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Tài liệu nhóm diễn đàn giáo viên Toán [2] Các đề thi minh họa, đề tham khảo thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018, 2019 đề thi thức giáo dục đào tạo kì thiTHPT Quốc Gia năm 2017 2018 [3] Đề thi thử theo cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018,2019 trường nước 22 ... thị hàm ẩn Việc vận dụng “ Các phương pháp giải dạng toán đồ thị hàm ẩn? ?? toán cụ thể học sinh có hướng rõ ràng thành thạo Học sinh hứng thú học tập dạng toán đồ thị hàm ẩn Trên lớp làm tập nhà học... đồ thị hàm số cho Vấn đề 2: Cho trước đồ thị hàm số y = f '' ( x ) Xác định yếu tố liên quan đến đồ thị hàm số cho 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp nhiều phương pháp chủ yếu phương pháp: Phương. .. Lời giải Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + có cách +) Tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x) lên đơn vị ta đồ thị hàm số f ( x) + +) Lấy đối xứng phần phía Ox đồ thị hàm số f ( x) + qua Ox, ta đồ thị