vecto trong không gian. sự đồng phẳng của các vecto

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN − QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chơng III vectơ trong không gian quan hệ vuông góc chủ đề 1 vectơ trong không gian sự đồng phẳng của các vectơ A. Tóm tắt lí thuyết 1. vectơ trong không gian Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian đợc định nghĩa hoàn toàn giống nh trong mặt phẳng, chúng có các tính chất đã biết. Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 , ta luôn có: 1 AC uuuur = AB uuur + AD uuur + 1 AA uuuur . Trọng tâm của tứ diện: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi: GA uuur + GB uuur + GC uuur + GD uuur = . 2. Sự đồng phẳng của các vectơ. điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Định nghĩa : Ba vectơ đợc gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng song song với một mặt phẳng. Định lí 1 (Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng): Cho hai vectơ không cùng phơng a r và b r . Khi đó ba vectơ a r , b r , c r đồng phẳng khi và chỉ khi có các số m, n sao cho c r = m a r + n b r . Hơn nữa, các số m, n là duy nhất. Định lí 2: Nếu ba vectơ a r , b r và c r không đồng phẳng thì với vectơ d r bất kì, ta đều tìm đợc các số m, n, p sao cho d r = m a r + n b r + p c r . Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ Phơng pháp áp dụng Sử dụng: Quy tắc ba điểm : Ta có: 2 AB uuur = AC uuur + CB uuur , xen điểm C. AB uuur AC uuur = CB uuur , hiệu hai vectơ cùng gốc. Quy tắc hình bình hành : Với hình bình hành ABCD luôn có: = AB uuur + AD uuur . Quy tắc hình hộp : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 , ta luôn có: 1 AC uuuur = AB uuur + AD uuur + 1 AA uuuur . Quy tắc trung điểm : Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có: MI uuur = 1 2 ( MA uuuur + MB uuur ). Trọng tâm của tam giác : Điểm G là trọng tâm của ABC khi và chỉ khi: GA uuur + GB uuur + GC uuur = 0 r . Trọng tâm của tứ diện : Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi: GA uuur + GB uuur + GC uuur + GD uuur = 0 r . Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ. Để thực hiện phép biến đổi tơng đơng cho đẳng thức cần chứng minh. Và khi đó, ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau: Hớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT VP hoặc VP VT). Khi đó: Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức. Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ. Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. Hớng 3: Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh. Hớng 4: Tạo dựng các hình phụ. V í d ụ 1 : V í d ụ 1 : (Bài 2/tr 91 Sgk): Cho hình chóp S.ABCD. a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì SB SD SA SC+ = + uur uuur uuur uur . Điều ngợc lại có đúng không ? b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi SA SB SC SD 4SO+ + + = uuur uur uur uuur uuur . Giải Bạn đọc tự vẽ hình 3 a. Nếu ABCD là hình bình hành với tâm O thì: SB SD 2SO+ = uur uuur uuur , SA SC 2SO+ = uuur uur uuur , từ đó, suy ra: SB SD SA SC+ = + uur uuur uuur uur . Điều ngợc lại cũng đúng, thật vậy: SB SD SA SC+ = + uur uuur uuur uur SB SA SC SD = uur uuur uur uuur AB DC= uuur uuur ABCD là hình bình hành. b. Trớc tiên, vì O là giao điểm của AC và BD nên: O, A, C thẳng hàng, suy ra m: OA uuur = m OC uuur . O, B, D thẳng hàng, suy ra n: OB uuur = n OD uuur . Khi đó: 4SO SA SB SC SD= + + + uuur uuur uur uur uuur = (SO OA) (SO OB) (SO OC) (SO OD)+ + + + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = 4SO (OA OC) (OB OD)+ + + + uuur uuur uuur uuur uuur (m + 1) OC uuur + (n + 1) OD uuur = 0 r m 1 0 n 1 0 + = + = m 1 n 1 = = O là trung điểm của AC và BD ABCD là hình bình hành. V í d ụ 2 : V í d ụ 2 : Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD, chứng minh rằng: MA uuuur + MB uuur + MC uuuur + MD uuuur = 4 MG uuuur , với mọi điểm M. Giải Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD, sử dụng quy tắc ba điểm bằng cách xen vào giữa, ta lần lợt có: MA uuuur = MG uuuur + GA uuur , MB uuur = MG uuuur + GB uuur , MC uuuur = MG uuuur + GC uuur , MD uuuur = MG uuuur + GD uuur , suy ra: MA uuuur + MB uuur + MC uuuur + MD uuuur = 4 + ( GA uuur + GB uuur + GC uuur + GD uuur ) = 4, đpcm. V í d ụ 3 : V í d ụ 3 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Gọi P, R theo thứ tự là trung điểm của AB, A 1 D 1 , gọi P 1 , Q, Q 1 , R 1 theo thứ tự là giao điểm của các đ- ờng chéo của các mặt ABCD, CDD 1 C 1 , A 1 B 1 C 1 D 1 , ADD 1 A 1 . a. Chứng minh rằng 1 PP uuur + 1 QQ uuuur + 1 RR uuuur = 0 r . b. Chứng minh hai tam giác PQR và P 1 Q 1 R 1 có trọng tâm trùng nhau. Giải 4 G A B C D I J a. Ta có: 1 PP uuur = 1 2 BC uuur , 1 QQ uuuur = 1 2 1 CB uuuur , 1 RR uuuur = 1 2 1 B B uuuur , suy ra: 1 PP uuur + 1 QQ uuuur + 1 RR uuuur = 1 2 ( BC uuur + 1 CB uuuur + 1 B B uuuur ) = 1 2 BB uuur = 0 r . b. Gọi G, G 1 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác PQR và P 1 Q 1 R 1 , ta có: 1 PP uuur = PG uuur + 1 GG uuuur + 1 1 G P uuuur , 1 QQ uuuur = QG uuur + 1 GG uuuur + 1 1 G Q uuuuur , 1 RR uuuur = RG uuur + + 1 1 G R uuuuur , suy ra: 1 PP uuur + 1 QQ uuuur + 1 RR uuuur = ( PG uuur + QG uuur + RG uuur ) +3 1 GG uuuur + ( 1 1 G P uuuur + 1 1 G Q uuuuur + 1 1 G R uuuuur ) 0 r = 3 1 GG uuuur G G 1 . Vấn đề 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phơng pháp áp dụng Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh: AB uuur = k AC uuur , k Ă . (1) Để nhận đợc (1), ta lựa chọn một trong hai hớng: Hớng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết. Hớng 2: Xác định vectơ AB uuur và AC uuur thông qua một tổ hợp trung gian. Chú ý: 1. Sử dụng kết quả trong nhận xét quan trọng ở bài toán 3, ta có đợc kết quả sau: Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là: MC uuuur = MA uuuur + (1 ) MB uuur , với điểm tuỳ ý M và số thực bất kỳ . Đặc biệt khi 0 1 thì điểm C thuộc đoạn AB. 2. Kết quả trên ngoài ra còn đợc sử dụng để tìm điều kiện cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng (), ( 1 ) cắt ba mặt phẳng song song (), (), () lần lợt tại A, B, C và A 1 , B 1 , C 1 . Với O là điểm bất kì trong không gian, đặt 1 OI AA= uur uuuur , 1 OJ BB= uur uuuur , 1 OK CC= uuur uuuur . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng. Giải Từ giả thiết theo định lí Talét, ta có BA kBC= uuur uuur , 1 1 1 1 B A kB C= uuuuur uuuur . Khi đó, ta lần lợt: 5 D 1 B A D A 1 B 1 C C 1 R P P 1 Q 1 Q R 1 Với BA kBC= uuur uuur thì: ( ) OA OB k OC OB = uuur uuur uuur uuur ( ) 1 OB OA kOC 1 k = uuur uuur uuur . Với 1 1 1 1 B A kB C= uuuuur uuuur thì: ( ) 1 1 1 1 OA OB k OC OB = uuuur uuuur uuuur uuuur ( ) 1 1 1 1 OB OA kOC 1 k = uuuur uuuur uuuur . Khi đó: 1 1 BB OB OB= uuuur uuuur uuur ( ) ( ) 1 1 1 1 OA kOC OA kOC 1 k 1 k = uuuur uuuur uuur uuur ( ) ( ) 1 1 1 k OA OA OC OC 1 k 1 k = uuuur uuur uuuur uuur 1 1 1 k AA CC 1 k 1 k = uuuur uuuur 1 k OJ OI OK 1 k 1 k = uur uur uuur . Nhận xét rằng trong đẳng thức trên: 1 k 1 1 k 1 k + = ữ I, J, K thẳng hàng. Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên để chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng chúng ta không sử dụng điều kiện đã đợc nêu trong nội dung bài toán (tức chứng minh IJ kIK= ur uur ) bởi đó là công việc khó, và thay vào đó chứng minh ba vectơ OK, OI, OJ uuur uur uur thoả mãn: OJ OI OK= + uur uur uuur , với + = 1. Ví dụ 2: (Bài 1/tr 113 Sbt): Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là các điểm lần lợt thuộc AB và CD sao cho MA 2MB= uuuur uuur , ND 2NC= uuur uuur . Các điểm I, J, K lần lợt thuộc AD, MN, BC sao cho IA kID= uur uur , JM kJN= uuur uur , KB kKC= uuur uuur . Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng. Giải Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Ta lần lợt có: Với vectơ IJ ur , ta có biểu diễn: IJ IA AM MJ= + + ur uur uuuur uuur . (1) IJ ID DN NJ= + + ur uur uuur uur kIJ kID kDN kNJ= + + ur uur uuur uur IA kDN MJ= + + uur uuur uuur . (2) Trừ theo vế (1) cho (2), ta đợc: (1 k)IJ AM kDN = ur uuuur uuur 6 A D B C K I M N J 1 k IJ AM DN 1 k 1 k = ur uuuur uuur 2 2k MB NC 1 k 1 k = uuur uuur . (3) Với vectơ JK uur , bằng cách chứng minh tơng tự ta cũng có: 1 k JK MB NC 1 k 1 k = uur uuur uuur 2 k MB NC 1 k 1 k = uuur uuur . (4) Từ (3) và (4) suy ra: IJ 2JK= ur uur I, J, K thẳng hàng. Cách 2: Ta lần lợt sử dụng các giả thiết với một điểm O bất kì: MA 2MB= uuuur uuur ( ) OA OM 2 OB OM = uuur uuuur uuur uuuur ( ) 1 OM OA 2OB 3 = + uuuur uuur uuur tơng tự, ta cũng có: ( ) 1 ON OD 2OC 3 = + uuur uuur uuur , ( ) 1 OI OA kOD 1 k = uur uuur uuur , ( ) 1 OJ OM kON 1 k = uur uuuur uuur , ( ) 1 OK OB kOC 1 k = uuur uuur uuur . Từ đó, suy ra: ( ) 1 1 OJ . OA 2OB 2kOC kOD 1 k 3 = + uur uuur uuur uuur uuur ( ) ( ) 1 1 k OI 2 1 k OK 3(1 k) = + uur uuur ( ) 1 OI 2OK 3 = + uur uuur 1 2 OI OK 3 3 = + uur uuur I, J, K thẳng hàng. Nhận xét: Nh vậy, để thực hiện ví dụ trên: a. Trong cách 1, chúng ta đã sử dụng hớng thứ 2 để thiết lập đợc điều kiện IJ 2JK= ur uur . Và câu hỏi thờng đợc các em học sinh đặt ra ở đây là "Vì sao lại nghĩ đợc nh vậy ?", để trả lời chúng ta hãy bắt đầu nh sau: I, J, K sẽ thẳng hàng khi IJ tJK= ur uur (hoặc IJ t 'IK= ur uur ) và để có đợc đẳng thức này nếu sử dụng phép tách chúng ta cần chèn thêm các điểm A, B, C, D, M, N (tức 6 điểm), khi đó sẽ nhận đợc một biểu thức vectơ rất phức tạp. Với sự cần thiết của 6 điểm để đơn giản hoá chúng chia thành hai bộ (mỗi bộ ba điểm) tơng ứng với các đẳng thức vectơ của giả thiết. b. Trong cách 2, chúng ta đã sử dụng kết quả đợc trình bày ỏ phần chú ý. Vấn đề 3: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ Phơng pháp áp dụng Ta lựa chọn một trong hai hớng: 7 Hớng 1: Từ giả thiết xác định đợc tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Hớng 2: Từ giả thiết thiết lập đợc mối liên hệ vectơ giữa các đối tợng, rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc. Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC. Đáy ABC có trọng tâm G. Hãy phân tích vectơ SA uuur theo ba vectơ SB uur , SG uuur , BC uuur . Giải Ta có: SA uuur = SG uuur + GA uuur , SB uur = SG uuur + GB uuur , SC uur = SG uuur + GC uuur , suy ra: SA uuur + SB uur + SC uur = 3 SG uuur + ( GA uuur + GB uuur + GC uuur ) = 3 SG uuur SA uuur = 3 SG uuur SB uur SC uur = 3 SG uuur SB uur ( SB uur + BC uuur ) = 3 SG uuur 2 SB uur BC uuur . Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi A 1 , B 1 , C 1 , D 1 là các điểm thoả mãn: 1 A A uuuur = 2 1 A B uuuur , 1 B B uuuur = 2 1 B C uuuur , 1 C C uuuur = 2 1 C D uuuur , 1 D D uuuur = 2 1 D A uuuur . Đặt AB uuur = i r , AC uuur = j r , AD uuur = k r . Hãy biểu diễn các vectơ 1 1 A B uuuuur , 1 1 A C uuuuur , 1 1 A D uuuuur theo ba vectơ i r , j r , k r . Giải Ta lần lợt có: 1 A A uuuur = 2 1 A B uuuur = 2( 1 A A uuuur + AB uuur ) 1 A A uuuur = 2 3 AB uuur = 2 3 i r . 1 B B uuuur = 2 1 B C uuuur 1 B A uuuur + AB uuur = 2( 1 B A uuuur + AC uuur ) 1 B A uuuur = 1 3 ( AB uuur + 2 AC uuur ) = 1 3 ( i r + 2 j r ). 1 C C uuuur = 2 1 C D uuuur 1 C A uuuur + AC uuur = 2( 1 C A uuuur + AD uuur ) 1 C A uuuur = 1 3 ( AC uuur + 2 AD uuur ) = 1 3 ( j r + 2 k r ). 2 1 D A uuuur = 1 D D uuuur = 1 D A uuuur + AD uuur 1 D A uuuur = 1 3 AD uuur = 1 3 k r . 8 A B C D D 1 A 1 B 1 C 1 S A B C G Tõ ®ã, ta lÇn lît cã: 1 1 A B uuuuur = 1 A A uuuur − 1 B A uuuur = − 2 3 i r + 1 3 ( i r + 2 j r ) = − 1 3 i r + 2 3 j r . 1 1 A C uuuuur = 1 A A uuuur − 1 C A uuuur = − 2 3 i r + 1 3 ( j r + 2 k r ) = − 2 3 i r + 1 3 j r + 2 3 k r . 1 1 A D uuuuur = 1 A A uuuur − 1 D A uuuur = − 2 3 i r + 1 3 k r . 9 Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.300.000đ. 1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2. Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN 0 & PTNT Tây Hồ 3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email. LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 10 . 1 chơng III vectơ trong không gian quan hệ vuông góc chủ đề 1 vectơ trong không gian sự đồng phẳng của các vectơ A. Tóm tắt lí thuyết 1. vectơ trong không. ợc kết quả: 1 1 A B uuuuur = 1 t 1 t + i r t 1 t j r . 1 1 A C uuuuur = t 1 t i r + 1 1 t j r t 1 t k r . 1 1 A D uuuuur = t 1 t i r + 1 1 t k r . Vấn