hai mặt phẳng song song

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN − QUAN HỆ SONG SONG §4 Hai mặt phẳng song song Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 chđ ®Ị h mặt phẳng song song A Tóm tắt lí thuyết vị trí tơng đối hai đờng thẳng phân biệt Cho mặt phẳng (P) (Q) Căn vào số đờng thẳng chung mặt phẳng ta có ba trờng hợp sau: a Hai mặt phẳng (P) (Q) đờng thẳng chung, tức là: (P) ∩ (Q) = ∅ ⇔ (P) // (Q) b Hai mặt phẳng (P) (Q) có đờng thẳng chung, tøc lµ: (P) ∩ (Q) = a ⇔ (P) cắt (Q) c Hai mặt phẳng (P) (Q) có đờng thẳng chung phân biệt, tức là: (P) (Q) = {a, b} ⇔ (P) ≡ (Q) Q P (P)∩ (Q) = ∅ ⇔ (P)//(Q) a P Q (P)∩ (Q) = a ⇔ (P) c¾t (Q) Q P (P)∩(Q) = {a, b} (P)(Q) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng điểm chung điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song (Q) a b Tức lµ: P  a, b ∈ ( P )  a cắ t b a //(Q) b //(Q)  ⇒ (P) // (Q) Q tÝnh chÊt Tính chất 1: Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng Tức là: O (Q ) O ∉ (P) ⇒ ∃!(Q):   (P) //(Q) Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện: Trong (P) dùng a, b c¾t  Qua O dựng a1 // a, b1 // b Mặt phẳng (a1, b1) mặt phẳng qua O song song với (P) Hệ 1: Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (Q) qua a có mặt phẳng (P) song song với (Q) Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) đà cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chóng song song a P Tøc lµ: b Q  (P) //(Q)   a = ( P ) ∩ ( R) ⇒  b = (Q ) ∩ ( R ) R a // b Định lí Talét không gian Định lí (Định lí Talét): Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tơng ứng tỷ lƯ a b Tøc lµ: A A2 P  (P) //(Q) //(R)   a ∩ (P) = A vµ a ∩ (Q) = B vµ a ∩ (R) = C  b ∩ (P) = A vµ b ∩ (Q) = B vµ b ∩ (R) = C 2  Q R B1 B2 C1 C2 A1 B1 B 1C A1C = = A2B2 B2C2 A2C2 Định lí (Định lí Talét đảo): Giả sử hai đờng thẳng chéo a1 a2 lần lợt lấy điểm A1, B1, C1 vµ A2, B2, C2 cho: A1 B1 B 1C A1C = = A2B2 B2C2 A2C2 Khi đó, ba đờng thẳng A1A2, B1B2, C1C2 lần lợt nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song song với mặt phẳng hình lăng trụ hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ : Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt phẳng song song gọi hai đáy tất cạnh không thuộc hai đáy song song với Q A6 Trong đó: A1 A5 Các mặt khác với hai đáy gọi mặt A2 A3 A4 bên hình lăng trụ Cạnh chung hai mặt bên gọi cạnh A6 bên hình lăng trụ A1 A5 A2 Tuỳ theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ P A3 A4 tam giác, lăng trụ tứ giác, Từ định nghĩa hình lăng trụ, ta lần lợt suy tính chất sau: a Các cạnh bên song song b Các mặt bên mặt chéo hình bình hành c Hai đáy hai đa giác có cạnh tơng ứng song song Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Từ định nghĩa hình hộp, ta lần lợt suy tính chất sau: a Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật b Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vuông gọi hình lập phơng D1 C1 D1 D1 C1 C1 B1 B1 A1 B1 A1 A1 D C D C D C A A B B B Chó ý: Các đờng chéo hình hộp cắt trung điểm đờng A hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp SA1A2 An Một mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh SA1, SA2, , SAn theo thứ tự A1, A2, , An Hình tạo thiết diện A1A2 An đáy A1A2 An hình chóp với mặt bên A1A2A2A1, A2A3A3A2, , AnA1A1An gọi hình chóp cụt Trong đó: S A P 1A2 A’ A A1 A2 A’3 A’4 A3 A4 Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, thiết diện gọi đáy nhỏ hình chóp cụt Các mặt lại gọi mặt bên hình chóp cụt Cạnh chung hai mặt bên kề nh A1A1, A2A2, AnAn gọi cạnh bên hình chóp cụt Tuỳ theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có tính chất sau: Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng Các mặt bên hình chóp cụt hình thang Cách cạnh bên hình chóp cụt đồng quy điểm B phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phơng pháp áp dụng Để chứng minh mặt phẳng song song ta chứng minh mặt phẳng chứa hai đờng thẳng cắt song song với mặt phẳng (hoặc song song với hai đờng thẳng cắt nằm mặt phẳng kia) Chú ý: Sư dơng tÝnh chÊt:  (P) //(Q) ⇒ a // (P) a (Q ) ta đợc thêm phơng pháp để chứng minh đờng thẳng a song song với (P) Sử dụng định lí Talét đảo ta đợc thêm phơng pháp để chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng, cụ thể: Ba điểm A1, B1, C1 thuộc đờng thẳng a ba ®iĨm A2, B2, C2 thc ®êng th¼ng b (víi a b chéo nhau) thoả mÃn: A1 B1 A2B2 = B1C1 B2C2 suy tån t¹i nhÊt bé ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song lần lợt chứa đoạn thẳng A1A2, B1B2, C1C2 , từ ta đợc kết quả: A1A2 song song với (Q) (R) B1B2 song song víi (P) vµ (R) C1C2 song song với (P) (Q) Điều quan trọng cần đợc tồn ba mặt phẳng Cho hai hình vuông ABCD ABEF mặt phẳng khác Trên đờng chéo AC BF lần lợt lấy điểm M, N cho AM = BN Các đờng thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lợt cắt AD, AF t¹i M’, N’ a Chøng minh r»ng (CBE) song song víi (ADF) b Chøng minh r»ng (DEF) song song với (MNNM) c Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp điểm I M, N dộng E  Gi¶i E a Ta cã nhËn xÐt: F VÝ dô 1:  BC // AD ⇒ (BCE) // (ADF)   BE // AF O' N N' A b Ta cã nhËn xÐt: AM' AM BN AN ' = = = ⇒ M'N' // DF AD AC BF AF M' C B MO D (1) Mặt khác, ta cã MM' // CD Tõ (1) vµ (2) suy ra: (MNNM) // (DEF) c I chạy trung tuyến ∆ADE kỴ tõ A VÝ dơ 2: (2) (Më réng 33/tr 68 Sgk): Cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ bốn nửa ®êng th¼ng Ax, By, Cz, Dt ë cïng phÝa ®èi với mặt phẳng (ABCD), song song với không nằm mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng () lần lợt cắt Ax, By, Cz Dt A, B, C’ vµ D’ a Chøng minh (Ax, By) // (Cz, Dt) b Gäi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’ Chøng minh IJ // AA’ c Cho AA’ = x, BB’ = y, CC’ = z H·y tÝnh DD’  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng:  Ax // Cz ⇒ (Ax, By) // (Cz, Dt)   AB // CD b NhËn xÐt r»ng: x t z D' y J A' C' B' C D A I B  (a, b) //( c, d)   (A' B' C' D' ) ∩ (a, b) = A' B' ⇒ A'B' // C'D'  (A' B' C' D' ) ∩ (c, d) = C' D'   (a, d) //( b, c)   (A' B' C' D' ) ∩ (a, d) = A' D' ⇒ A'D' // B'C'  (A' B' C' D' ) ∩ (b, c) = B' C' Từ đó, suy AB'C'D' hình bình hành Suy IJ đờng trung bình hình thang AA'C'C, IJ // AA' c Từ kết câu b), ta có: IJ = Ví dô 3: 1 (AA' + CC') = (BB' + DD') ⇒ DD' = AA' + CC' − BB' = x + y − z 2 Cho h×nh chãp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lợt trung điểm SA CD a Chứng minh mặt phẳng (OMN) mặt phẳng (SBC) song song với b Gọi I trung điểm SC, J điểm (ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ song song với (SAB) c Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE, AF đờng phân giác tam giác ACD SAB Chøng minh r»ng EF song song víi (SAD)  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng:  OM // SC ⇒ (OMN) // (SBC)   ON // BC b Gäi P, Q theo thứ tự trung điểm AD BC, suy J thuộc đờng thẳng PQ Nhận xét rằng: S M I A O P D N B J Q C  PQ // AB ⇒ (IPQ) // (SAB) ⇒ IJ // (SAB)   IQ // SB c Sử dụng tính chất đờng phân giác, ta có: ED AD AS FS = = = EC AC AB FB suy tồn ba mặt phẳng song song lần lợt chứa đoạn thẳng SD, EF, CD ta thấy ba mặt phẳng (SAD), đó: EF // (SAD) S F A H B C D E  Chó ý: Nếu em học sinh cảm thấy khó hiểu lời giải câu c) sử dụng lời giải tờng minh nh sau: Dựng EH // SD, H ∈ SC (1) NhËn xÐt r»ng: HS ED AD AS FS = = = = ⇒ HF // BC ⇒ HF // AD (2) HC EC AC AB FB Tõ (1) vµ (2) suy ra: (HEF) // (SAD) EF // (SAD) Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện song song với mặt phẳng cho trớc Phơng pháp áp dụng Ta sử dụng thêm tính chất để xác định giao tuyến hai mặt phẳng Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trớc đợc xác định thông qua việc tìm đợc đoạn giao tuyến nh Ví dơ 1:  (Bµi 32/tr 68 − Sgk): Cho hai đờng thẳng chéo a b lần lợt nằm hai mặt phẳng song song (P) (Q) Chứng minh điểm M không nằm (P) không nằm (Q) có đờng thẳng qua M cắt a b Giải Nhận xét rằng: Mặt phẳng (M, a) Mặt phẳng (M, b) Vì (M, a) (M, b) a b chÐo nªn (M, a) ∩ (M, b) = Mx Khi đó: Mx song song với a (vì trái lại Mx b chéo mâu thuẫn (Mx, b)) Mx cắt a Mx song song với b (vì trái lại Mx a chéo mâu thuẫn (Mx, a)) Mx cắt b Vậy, có đờng thẳng qua M cắt a b Ví dụ 2: (Bài 31/tr 68 Sgk): Cho hai đờng thẳng chéo Chứng minh có hai mặt phẳng song song với lần lợt qua hai đờng thẳng Giải Với hai đờng thẳng chéo a b theo định lí học 3: Có mặt phẳng (P) chứa a song song với b, đợc dựng cách: - Từ điểm A thuộc a kẻ đờng thẳng b' song song a b' víi b A P - Khi ®ã (P) = (a, a') a' b  Cã mặt phẳng (Q) chứa b song B Q song với a, đợc dựng cách: - Từ điểm B thuộc b kẻ đờng thẳng a' song song víi a - Khi ®ã (Q) = (b, b') Theo định lí 1, ta có (P) song song víi (Q) VÝ dơ 3: (Bµi 34/tr 68 − Sgk): Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB Hỏi mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với AD BC có qua trung điểm N CD không ? Tại ? Giải Mặt phẳng (P) có qua trung điểm N CD, bởi: Mặt phẳng (Q) chứa AD song song với BC Mặt phẳng (R) chứa BC song song với AD Khi đó, ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với chắn hai cắt tuyến AB CD đoạn thẳng tơng ứng tØ lƯ, thĨ: AM BM AB DN AM = = = ⇒ =1 DN CN DC CN BM A M D F E B N C ⇒ DN = CN N trung điểm CD Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành t©m O cã AC = a, BD = b Tam giác SBD tam giác Một mặt phẳng di động song song với (SBD) qua điểm I đoạn AC a Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng b Tính diện tích thiết diện theo a, b AI = x Giải Bạn đọc tự vẽ hình a Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếi I OA thì:  α //(SBD)  ⇒ Ix // BD vµ Ix cắt AB, AD theo thứ tự M N  Ix = α ∩ (ABCD)  BD = (SBD) ∩ (ABCD)  LËp ln t¬ng tù ta cịng cã: cắt mặt phẳng (SAB) theo đoạn giao tuyến MP song song với SB cắt mặt phẳng (SAD) theo đoạn giao tuyến NP song song với SD Trờng hợp 2: Nếi I OC thì: //(SBD) Ix // BD Ix cắt CB, CD theo thø tù H vµ L  Ix = α ∩ (ABCD)  BD = (SBD) ∩ (ABCD)  Lập luận tơng tự ta có: cắt mặt phẳng (SBC) theo đoạn giao tuyến HK song song với SB cắt mặt phẳng (SCD) theo đoạn giao tun LK song song víi SD b Tríc tiªn, ta cã ngay: S∆SBD = BD b2 = 4 Ta lần lợt xét hai trờng hỵp cđa thiÕt diƯn: Trêng hỵp 1: NÕi I ∈ OA th× < x < a Ta cã: 2 2 S ∆MNP  MN  4x b2x2  AI  =  =  = ⇒ S∆MNP = S ∆SBD  BD  a  AO  a2 a Trêng hỵp 2: NÕi I ∈ OC th× < x < a Ta cã: S ∆LHK  LH  4(a − x) b (a − x )  CI  = ⇒ S∆MNP =  =  = S ∆SBD  BD  a2  CO  a2 Tãm l¹i, ta cã: 10  b2x2 a < x <   a Std =  2  b (a − x ) a < x < a  a2  VÝ dơ 5: Cho h×nh chãp S.ABCD đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a Mặt bên (SAB) tam giác cân đỉnh S với SA = 2a, mặt phẳng di động song song với (SAB), cắt cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự M, N, P, Q a Chứng minh MNPQ hình thang cân b Đặt x = AM, với < x < a Định x để MNPQ ngoại tiếp đợc đờng tròn Tính bán kính đờng tròn Giải a Ta lần lợt có: //(SAB )   MN = α ∩ (ABCD ) ⇒  AB = (SAB ) ∩  S MN // AB Q A M LËp ln t¬ng tù ta cịng cã: NP // BS, PQ // CD, QM // SA NhËn xÐt r»ng: MN // PQ bëi AB // CD MQ DQ CP NP = = = SA DS CS SB P B N D C O SA = SB ⇒ MQ = NP Vậy, thiết diện MNPQ hình thang cân b Để MNPQ ngoại tiếp đợc đờng tròn ®iỊu kiƯn lµ: MN + PQ = MQ + NP ⇔ MN + PQ = 2MQ (1) Trong ∆SAD, ta cã: MQ DM a − x = = ⇒ MQ = 2(a − x) SA DA a (3) Q (2) PQ SQ AM x = = = ⇒ PQ = x CD SD AD a P Trong ∆SCD, ta cã: N < H M Giả sử AB cắt CD O vµ OD = y, ta cã: OD CD a a = = ⇒ 3y = a + y ⇔ y = OA AB 3a 11 a +a −x MN OM OD + DM = = = ⇒ MN = 3a − 2x (4) a AB OA OD + DA +a Thay (2), (3) vµ (4) vào (1), ta đợc: 3a 2x + x = 4(a − x) ⇔ x = VËy, víi x = a a MNPQ ngoại tiếp đợc đờng tròn Khi đó, xét hình thang cân MNPQ, hạ đờng cao QH, ta có: QH = MQ −MH =  MN − PQ  MQ −     suy b¸n kính đờng tròn nội tiếp MNPQ r = Ví dô 6: a QH = (Bài 35/tr 68 Sgk): Cho hai điểm M, N lần lợt thay đổi hai mặt phẳng song song (P) (Q) Tìm tập hợp điểm I thuộc đoạn thẳng MN cho = a IM = k, k ≠ cho tríc IN Gi¶i M0 Với hai điểm cố định M0 N0 theo thø tù thuéc (P) vµ I0M0 R I0 (Q), lÊy ®iĨm I0 thc M0N0 cho = k, ta ®ỵc: I0N0 I0M0 I M I N M0N0 IM Q N0 = =k⇒ 0 = 0 = I0N0 IN IM IN MN ⇒ M0M, I0I, N0N n»m trªn ba mặt phẳng song song Vậy, tập hợp điểm I thuộc mặt phẳng (R) qua I0 song song với (P) M P Sử dụng tính chất hình lăng trụ hình hộp Thiết diện Phơng pháp áp dụng Nắm vững định nghĩa tính chất hình lăng trụ hình hộp để vẽ hình chứng minh số tính chất khác Việc xác định thiết diện hình lăng trụ (hình hộp) cắt mặt phẳng tiến hành tơng tự nh hình chóp Lu ý " Hai đáy hình lăng trụ song song, giao tuyến mặt phẳng cắt mặt đó, có, hai đoạn thẳng song song " Vấn đề 3: Ví dụ 1: 12 (Bài 37/tr 68 Sgk): Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' a Chứng minh mặt phẳng (BDA') // (B'D'C) b Chøng minh r»ng ®êng chÐo AC' ®i qua trọng tâm G1, G2 hai tam giác BDA' vµ B'D'C c Chøng minh r»ng G1 vµ G2 chia đoạn thẳng AC' thành ba phần d Chứng minh trung điểm D' C' sáu cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B O' Q cïng n»m mặt phẳng B' A' R Giải a Gọi O, O' theo thứ tự tâm hình bình hành ABCD A'B'C'D', ta có: P S D  A' O // CO' ⇒ (BDA') // (B'D'C)   BD // B' D' C N M A B b Vì AC', AO, CO' nằm mặt phẳng (ACC1A1) nên gọi: G1 = AC' A'O G2 = AC' ∩ CO' Trong ∆A'BD, ®iĨm G1 thc trung tuyến A'O AO // A'C' nên: GO AO = = G1 trọng tâm A'BD GA' A' C' Chứng minh tơng tự G2 träng t©m ∆CB'D' c NhËn xÐt r»ng OG1, O'G2 theo thứ tự đờng trung bình ACG2 A'C'G1 nên: AG1 = G1G2 = G2C' tức G1, G2 chia đoạn AC' làm phần d Gọi M, N, P, Q, R, S theo thø tù lµ trung điểm BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B Vì đoạn thẳng MN, NP, PQ, QR, RS song song với mặt phẳng (A'BD) nển chúng nằm mặt phẳng Ví dụ 2: (Bài 6/tr 78 − Sgk): Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D' VÏ thiÕt diƯn cđa hình hộp tạo mặt phẳng qua hai trung điểm M, N cạnh AB, AD tâm O mặt CDD'C' Giải Ta lần lợt thực hiện:  Nèi MO  Trong (AA'D'D) kỴ NP // AI với I trung điểm DD' (ta có AI // MO) Trong (CC'D'D) nối PO cắt CC' Q Trong (CC'B'B) kẻ QR // BJ với J trung ®iĨm CC' (ta cã BJ // MO)  Nèi MR Khi đó, thiết diện ngũ giác MNPQR C' D' Q B' A' I P O D R N A J M C B 13 VÝ dơ 3: (Bµi 7/tr 78 Sgk): Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Trên ba cạnh AB, DD', C'B' lần lợt lấy ba điểm M, N, P không trùng với đỉnh cho AM D' N B' P = = AB D' D B' C ' a Chøng minh r»ng mp(MNP) vµ mp(AB'D') song song với b Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (MNP) Giải a Tõ gi¶ thiÕt: AM D' N = AB D' D P B' A' suy MN, AD', BD thuéc ba mặt phẳng đôi song song với Vì bíi BD // B'D' nªn: MN // (AB'D') (1) Tõ gi¶ thiÕt: AM B' P = AB B' C' C' R D' N Q D S A C B M suy MP, AB', BC' thuộc ba mặt phẳng đôi mét song song víi V× bëi BC' // AD' nên: MP // (AB'D') (2) Từ (1) (2), suy (MNP) // (AB'D') b Để có đợc thiết diện, ta thực hiện: Kẻ Mx // BD cắt AD S Nối SN Kẻ Py // B'D' cắt C'D' R Kẻ Pz // BC' cắt BB' Q Khi đó, lục giác MSNRPQ thiết diện cần dựng Ví dụ 4: (Bài 36/tr 68 Sgk): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi H trung điểm cạnh A'B' a Chứng minh đờng thẳng B'C song song với mặt phẳng (AHC') b Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (A'B'C') (A'BC) Chứng minh d song song với mặt phẳng (BB'C'C) c Xác định thiết diện hình lăng trụ ABC.A'B'C' cắt mặt phẳng (H, d)  Gi¶i a Gi¶ sư: AC' ∩ A'C = {N} N trung điểm AC' A'C B'C // NH tính chất đờng trung bình B' C' H M R A' N B 14 C P Q A B'C // (AHC'), đpcm b Giả sử: AB' ∩ A'B = {M} ⇒ (A'B'C') ∩ (A'BC) = MN Từ tính chất đờng trung bình, suy ra: MN // BC ⊂ (BB'C'C) ⇒ MN // (BB'C'C), ®pcm c Nối MH cắt AB P (P trung điểm AB), ®ã: (H, d) ∩ (ABC) = Px // MN // BC, Px cắt AC Q (Q trung điểm AC) (H, d) (A'B'C') = Hy // MN // BC // B'C' ⇒ Hy c¾t A'C' R (R trung điểm A'C') Khi đó, ta đợc thiết diện hình bình hành HPQR Ví dụ 5: (Bµi 38/tr 68 − Sgk): Chøng minh r»ng tỉng bình phơng tất đờng chéo hình hộp tổng bình phơng tất cạnh hình hộp Giải Trớc tiên ta chứng minh mệnh đề "Tổng bình phơng đờng chéo hình bình hành tổng bình phơng cạnh" Thật vậy, với hình bình hành ABCD, theo định lí hàm số côsin ta có: AC2 = AB2 + BC2 − 2AB.BC.cos ABC (1) D C 2 ˆ BD = CD + CB − 2CD.CB.cos BCD (2) ˆ = CD2 + DA2 − 2AB.BC.cos BCD (2) A B Céng theo vÕ (1) vµ (2), ta đợc: AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 − 2AB.BC.(cos ABC + cos BCD ) = AB2 + BC2 + CD2 + DA2, ®pcm D' C' Sư dơng mƯnh ®Ị trªn, ta thÊy: B' A'C2 + C'A2 + D'B2 + B'D2 = A' 2 2 = A'A + AC + C'C + C'A' + D + BD2 + D'D2 + D'B'2 + B'B2 C 2 2 = (A'A + B'B + C'C + D'D ) + A B (AC2 + BD2) + (A'C'2 + B'D'2) 2 2 2 2 = (A'A + B'B + C'C + D'D ) + (AB + BC + CD + AD ) + + (A'B'2 + B'C'2 + C'D'2 + A'D'2), đpcm Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi G, G' lần lợt trọng tâm tam giác ABC A'B'C' Một mặt phẳng () cắt cạnh AA', BB', CC', GG' lần lợt A1, B1, C1 vµ G1 Chøng minh r»ng: a GG' song song cạnh bên hình lăng trụ 15 b G1 trọng tâm tam giác A1B1C1 c G1G' = G1G = (A1A' + B1B' + C1C'), (A1A + B1B + C1C)  Giải a Gọi M M' theo thứ tự trung điểm BC B'C, suy ra: // // // MM' =BB' =CC' =AA', MM' ∩ B1C1 = {M1}, với M1 trung điểm B1C1 Trong (AA'M'M) , ta cã: AG AG' // = = ⇒ GG' =MM', AM AM ' M' B' C' G' B1 A' B A1 từ đó, suy GG' song song cạnh bên hình lăng trụ b Ta có: A1G1 AG = = A1M1 AM ⇒ G1 trọng tâm tam giác A1B1C1 c Từ kết qu¶ (*), ta cã: M1 G1 C1 M C G A (*) 2 1 A1A' + M1M' = A1A' + ( B1B' + C1C') 3 3 = (A1A' + B1B' + C1C') Chøng minh t¬ng tù, ta cịng cã G1G = (A1A + B1B + C1C) G1G' = VÝ dụ 7: Cho lăng trụ tam giác ABC A1B1C1, đáy tam giác cạnh a Các mặt bên ABB1A1, ACC1A1 hình vuông Gọi I, J tâm mặt bên nói O tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp ∆ABC a Chøng minh IJ song song víi mặt phẳng (ABC) b Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (IJO) Chứng minh thiết diện thang c©n TÝnh diƯn tÝch cđa nã theo a  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: IA1 JA1 = =1 IB JC ⇒ IJ // BC ⊂ (ABC) ⇒ IJ // (ABC) b Ta lần lợt có: B1 H G A1 I B 16 C1 E O A J F C  IJ ∈ (IJO) vµ BC ∈ (ABC )  ⇒ Ox // IJ // BC  IJ // BC  (IJO) ∩ (ABC ) = Ox  vµ Ox cắt AB AC theo thứ tự E F Nối EI cắt A1B1 H nối FI cắt A1C1 G Nh vậy, thiết diện tứ gi¸c EFGH NhËn xÐt r»ng:  (ABC ) //( A1B1C1 )   (IJO) ∩ (ABC ) = EF ⇒ EF // GH EFGH hình thang (IJO) ∩ (A B C ) = GH 1 Vì ABC nên AA1B1B = AA1C1C, EH = FG Vậy, thiết diện EFGH hình thang cân  Trong ∆ABC, ta cã: EF 2a = ⇒ EF = BC 3  Trong ∆A1B1C1, ta cã: HG AH BE = = = ⇒ HG = a B1C1 A1B1 BA 3  Trong ∆IBE, ta cã: ˆ IE2 = BI2 + BE2 − 2BI.BE.cos IBE = a    ⇒ IE =     a 5a a  +   − a cos450 = 3  18 a 10 a 10 ⇒ EH = 2IE = Khi đó, xét hình thang cân EFGH, hạ đờng cao HM, ta cã: HM = EH − ME = = SEFGH =  EF − HG  EH −     = a 39 G (EF + HG).HM  2a a  a 39 a 39 +   = 3  12 F < H M E 17  Chó ý: Trong lời giải trên: câu a), cã thĨ sư dơng nhËn xÐt: // a IJ đờng trung bình A1BC IJ = BC (ta cã IJ = ) 2 Khi ®ã, câu b), tính độ dài HG dựa tính chất IJ đờng trung bình cđa h×nh thang EFGH nh sau: IJ = a 2a a (EF + HG) ⇒ HG = 2IJ − EF = − = 2 3 Vấn đề 4: Các toán chóp cụt Phơng pháp áp dụng Nắm vững định nghĩa tính chất hình hộp để vẽ hình chứng minh số tính chất khác Việc xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng tiến hành tơng tự nh hình lăng trơ VÝ dơ 1: (Bµi 39/tr 68 − Sgk): Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C' có đáy lớn ABC cạnh bên AA', BB', CC' Gọi M, N, P lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CA M', N', P' lần lợt trung điểm cạnh A'B', B'C', C'A' Chứng minh MNP.M'N'P' hình chóp cụt Giải Để chứng minh MNP.M'N'P' hình chóp cụt, ta cần chứng minh: Các đờng thẳng MM', NN', PP' đồng quy S MN // M'N', NP // N'P', PM // P'M' a Gäi S điểm đồng quy đờng thẳng AA', BB', CC', ta cã: P' A' C' AB // A'B' N' M' M, M' theo thứ tự trung điểm AB, A'B' B' suy S ∈ MM' A T¬ng tù, ta cịng cã S ∈ NN' vµ S ∈ PP' M Vậy, đờng thẳng MM', NN', PP' đồng quy S b Theo tính chất đờng trung bình, ta cã: MN // AC; M'N' // A'C' ngoµi ra, theo tính chất hình chóp cụt AC // A'C' nên MN // M'N' T¬ng tù, ta cịng cã NP // N'P', PM // P'M' 18 C P N B VËy, ta có kết luận MNP.M'N'P' hình chóp cụt Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD Gọi A1 trung điểm cạnh SA A2 trung điểm đoạn AA1 Gọi () () hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) lần lợt qua A1, A2 Mặt phẳng () cắt cạnh SB, SC, SD lần lợt B1, C1, D1 Mặt phẳng () cắt cạnh SB, SC, SD lần lợt B2, C2, D2 Chøng minh : a B1, C1, D1 lần lợt trung điểm cạnh SB, SC, SD b B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D c Chỉ hình chóp cụt có đáy tứ giác ABCD Giải a Vì () song song víi (ABCD), suy ra: AB // A1B1 ⇒ A1B1 đờng trung bình SAB B1 trung điểm SB A1 Chứng minh tơng tự, ta đợc C1, D1 lần lợt trung điểm cạnh SC, SD A2 B b Vì () song song víi (ABCD), suy ra: A B2 AB // A2B2 A2B2 đờng trung bình hình thang ABB1A1 B B2 trung điểm BB1 B1B2 = B2B Chứng minh tơng tự, ta đợc C1C2 = C2C, D1D2 = D2D S C1 C2 D1 D2 D C Bài tập tự giải Bài tập Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? a Hai mặt phẳng phân biệt song song với đờng thẳng song song với b Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với Bài tập Trong mệnh ®Ị sau, mƯnh ®Ị nµo ®óng ? a NÕu hai mặt phẳng song song đờng thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng lại b Nếu hai mặt phẳng song song đờng thẳng nằm mặt phẳng song song với đờng thẳng nằm mặt phẳng c Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lợt qua hai đờng thẳng song song song song với Bài tập Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lợt trung ®iĨm cđa SA, SD a Chøng minh r»ng (OMN) song song víi (SBD) 19 b Gäi P vµ Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ song song víi (SBC) Bµi tËp Cho tø diện ABCD Gọi I, J hai điểm di động lần lợt cạnh AD, BC cho cã IA JB = ID JC a Chøng minh IJ song song với mặt phẳng cố định b Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trớc (tức điểm M thoả → → IM = k MJ ) Bµi tËp Cho hai đờng thẳng chéo a b Tìm tập hợp điểm I đoạn thẳng MN vµ chia MN theo tØ sè k cho tríc M, N di động lần lợt a, b Bài tập Cho hai mặt phẳng song song A, B, C ba điểm không thẳng hàng thuộc MN đoạn thẳng nằm a Tìm giao tuyến (MAB) ; giao tuyến (NAC) b Tìm giao tuyến (MAB) (NAC) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a Mặt bên (SAB) tam giác cân đỉnh S với SA = 2a, mặt phẳng di động song song với (SAB), cắt cạnh AD, BC, SC, SD theo thø tù t¹i M, N, P, Q a Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp điểm I M di động AD b Gọi J giao điểm MP NQ Chứng minh IJ có phơng không đổi J di động mặt phẳng cố định Bài tập Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang có cạnh đáy AB, CD với CD = p.AB (0 < p < 1) S diện tích tam giác SAB mặt phẳng qua điểm M cạnh AD song song với mặt phẳng (SAB) Đặt DM = x , với < x AD < a Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng Tính diện tÝch thiÕt diÖn theo S0, p, x b TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn b»ng mét nưa diƯn tÝch tam giác SAB Bài tập Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Điểm M nằm A D, điểm N nằm C C' cho AM CN = MD NC ' a Chứng minh đờng thẳng MN song song với mp(ACB') b Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MN song song với mp(ACB') Bài tập 10 Cho lăng trơ tam gi¸c ABC.A1B1C1 Gäi M, M1 theo thø tù trung điểm cạnh BC B1C1 a Chứng minh AM // A1M1 b Tìm giao điểm mặt phẳng (AB1C1) với đờng thẳng A1M c Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (AB1C1) (BA1C1) 20 d Tìm giao điểm G đờng thẳng d với mặt phẳng (AMA1) Chứng minh G trọng tâm AB1C1 Bài tập 11 Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 a Chøng minh r»ng (BDA1) // (B1D1C) b Chøng minh đờng chéo AC1 qua trọng tâm G, G1 A1BD CB1D1 G, G1 chia đoạn AC1 làm phần c Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (A1B1G1) với hình hộp đà cho Thiết diện hình ? d Gọi O, K lần lợt tâm hình bình hành ABCD BCC 1B1 Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (A1OK) với hình hộp đà cho Bài tập 12 Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, B1C1 DD1 a Chứng minh (MNP) song song với mặt phẳng (AB1D1) (BDC1) b Xác định thiết diện hình lập phơng với mặt phẳng (MNP) Thiết diện hình ? Tính diện tích Bài tập 13 Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Trên AB, CC1, C1D1 AA1 lần lợt lấy điểm M, N, P, Q cho AM = C1N = C1P = AQ = x, víi ≤ x ≤ a a Chứng minh điểm M, N, P, Q đồng phẳng MP, NQ cắt điểm cố định b Chứng minh mặt phẳng (MNPQ) chứa đờng thẳng cố định Định x để (MNPQ) // (A1B1C1) c Dựng thiết diện hình lập phơng cắt (MNPQ) Thiết diện có đặc điểm cạnh ? Tính giá trị lớn nhỏ chu vi thiết diện Bài tập 14 Cho lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 Các điểm M, N lần lợt trung ®iĨm cđa BC vµ CC1 P lµ ®iĨm ®èi xøng C qua A a Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (A 1MN) Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AB b Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNP) Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AA1 AB Bài tập 15 Cho hình chóp cụt ABCD.A1B1C1D1 ABCD đáy lớn có diện tích s1 A1B1C1D1 đáy nhỏ có diện tích s2 a Gọi S điểm đồng quy đờng thẳng AA1, BB1, CC1, DD1 Chøng minh r»ng: SA1 SB1 SC1 SD1 = = = SA SB SC SD b Gäi M trung điểm AA1, mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng đáy (ABCD) Xác định thiết diện hình chóp cụt với mặt phẳng TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo s1 vµ s2 21 22 ... nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng lại b Nếu hai mặt phẳng song song đờng thẳng nằm mặt phẳng song song với đờng thẳng nằm mặt phẳng c Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lợt qua hai đờng thẳng song. .. a Hai mặt phẳng phân biệt song song với đờng thẳng song song với b Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với Bài tập Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? a Nếu hai mặt phẳng song song... nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng điểm chung điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song (Q)