Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa mà được hiểu trực giác một cách tự nhiên như là sự tụ tập của các đối tượng có chung tính chất nào đó hoặc có thể liệt kê ra. Mỗi đối tượng lập nên tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp. Mỗi tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa A, B, C,. .. ; các phần tử của nó thường được kí hiệu bởi chữ cái in thường a, b, c,. .. Ta viết x 2 X để kí hiệu x là một phần tử của X. Nếu y không phải là một phần tử của tập X thì ta kí hiệu y 62 X. Một tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là ;.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN Giáo trình GIẢI TÍCH MỘT BIẾN HÀ NỘI, 2017 Trang viết quyền MỤC LỤC Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Tập hợp Ánh xạ Quan hệ 1.1 Tập hợp 1.2 Mệnh đề phép toán 1.3 Ánh xạ 10 1.4 Lực lượng đếm 12 1.5 Quan hệ hai 13 §2 Số thực Trường số thực 15 2.1 Định nghĩa trường 15 2.2 Tính chất trường số hữu tỉ 16 2.3 Số thực Trường số thực 17 2.4 Biểu diễn hình học tập số thực 19 2.5 Tập số thực mở rộng 20 Bài tập chương I 20 Chương II GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC 27 §1 Một số khái niệm dãy số 27 1.1 Khái niệm dãy số 27 1.2 Dãy bị chặn 27 1.3 Dãy đơn điệu 28 1.4 Dãy 28 §2 Giới hạn dãy số 28 2.1 Định nghĩa giới hạn dãy số 28 2.2 Các tính chất dãy hội tụ 30 2.3 Các phép toán hữu tỉ dãy hội tụ 31 2.4 Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức 34 §3 Các ngun lí tính đầy đủ 35 3.1 Nguyên lí Cantor 35 3.2 Nguyên lí Bolzano-Weierstrass 36 3.3 Nguyên lí Cauchy 36 §4 Một số điều kiện đủ để dãy hội tụ 38 §5 Mở rộng khái niệm giới hạn 40 5.1 Giới hạn riêng 40 5.2 Giới hạn ±∞ 42 Bài tập chương II 43 Chương III GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM TRÊN §1 Giới hạn hàm số 51 1.1 Lân cận, điểm tụ, điểm cô lập 51 1.2 Định nghĩa giới hạn hàm số 53 1.3 Các tính chất giới hạn hàm số 54 1.4 Các phép tốn hàm số có giới hạn 55 1.5 Một số tiêu chuẩn tồn giới hạn hàm số 56 1.6 Mở rộng khái niệm giới hạn 57 1.7 Vô bé vô lớn 59 §2 Hàm số liên tục 61 2.1 Các khái niệm liên tục 61 2.2 Các tính chất phép toán hàm số liên tục 64 2.3 Các tính chất hàm số liên tục đoạn 64 2.4 Hàm số đơn điệu Liên hệ tính đơn điệu tính liên tục 67 2.5 Hàm sơ cấp tính liên tục hàm sơ cấp 70 Bài tập chương III 76 Chương IV PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN §1 Đạo hàm hàm số biến 1.1 Định nghĩa đạo hàm, hàm khả vi 51 87 87 87 1.2 Các quy tắc tổng quát đạo hàm 88 §2 Các định lí giá trị trung gian 91 2.1 Các định lí Fermat Rolle 91 2.2 Các định lí Cauchy Lagrange 93 §3 Vi phân ứng dụng vi phân 93 3.1 Các quy tắc lấy vi phân 94 3.2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần 94 §4 Đạo hàm vi phân cấp cao 95 4.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao 95 4.2 Các phép toán đạo hàm cấp cao 95 4.3 Vi phân cấp cao 96 §5 Công thức Taylor 97 5.1 Công thức Taylor 97 5.2 Khai triển Taylor số hàm số sơ cấp 99 5.3 Ứng dụng công thức Taylor 100 §6 Một số ứng dụng phép tính vi phân 101 6.1 Quy tắc L’Hospital để khử dạng vô định 101 6.2 Hàm lồi ứng dụng 105 6.3 Khảo sát hàm số 107 Bài tập chương IV Chương V TÍCH PHÂN MỘT LỚP 107 117 §1 Tích phân lớp 117 1.1 Định nghĩa tích phân lớp 117 1.2 Điều kiện cần tính khả tích 119 1.3 Điều kiện cần đủ tính khả tích 120 1.4 Các tích chất tích phân lớp 124 1.5 Các lớp hàm khả tích 128 1.6 Các định lí giá trị trung bình tích phân 129 1.7 Định lí Lebesgue (phần đọc thêm) 131 1.8 Nguyên hàm tích phân xác định 133 1.9 Các phương pháp tổng quát tính tích phân xác định 136 §2 Nguyên hàm số lớp hàm quan trọng 138 2.1 Bảng nguyên hàm hàm sơ cấp 138 2.2 Nguyên hàm hàm hữu tỷ 139 2.3 Nguyên hàm số biểu thức chứa 142 2.4 Nguyên hàm hàm lượng giác 146 §3 Ứng dụng hình học tích phân lớp 147 3.1 Tính độ dài cung 147 3.2 Tính diện tích hình phẳng 150 3.3 Tính thể tích miền 151 3.4 Diện tích xung quanh vật thể tròn xoay 153 §4 Tích phân suy rộng 155 4.1 Tích phân suy rộng loại I 156 4.2 Tích phân suy rộng loại II 164 Bài tập chương IV 169 Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Tập hợp Ánh xạ Quan hệ 1.1 Tập hợp Tập hợp Tập hợp khái niệm bản, không định nghĩa mà hiểu trực giác cách tự nhiên tụ tập đối tượng có chung tính chất liệt kê Mỗi đối tượng lập nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Mỗi tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C, ; phần tử thường kí hiệu chữ in thường a, b, c, Ta viết x ∈ X để kí hiệu x phần tử X Nếu y phần tử tập X ta kí hiệu y ∈ X Một tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu Tập Nếu phần tử tập hợp A phần tử B ta nói A tập B kí hiệu A ⊂ B B ⊃ A Chẳng hạn ⊂ A A ⊂ A với tập A Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói hai tập A, B kí hiệu A = B Các phép toán tập hợp Cho trước hai tập hợp A B, ta thành lập tập hợp phép toán sau đây: a) Phép hợp Hợp hai tập A, B tập hợp xác định kí hiệu bởi: A ∪ B = {x|x ∈ A x ∈ B} A ∪ B gồm phần tử thuộc hai tập A, B b) Phép giao Giao hai tập A, B tập hợp xác định kí hiệu bởi: A ∩ B = {x|x ∈ A x ∈ B} A ∩ B tập phần tử thuộc A lẫn B c) Phép trừ Hiệu hai tập hợp kí hiệu A \ B = {x ∈ A x ∈ B} A \ B gồm phần tử thuộc A không thuộc B d) Phần bù Nếu A ⊂ X X \ A gọi phần bù A X kí hiệu CX A Chú ý Các phép toán hợp giao suy rộng cho số tuỳ ý tập hợp Aα , α ∈ I, sau Aα = {x|∃α ∈ I để x ∈ Aα } α∈I Aα = {x|x ∈ Aα ∀α ∈ I} α∈I e) Đối với phép toán tập hợp, tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa: A∪ B = B ∪ A Giao hoán A∩ B = B ∩ A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Kết hợp (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Phân phối A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Công thức De Morgan X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B) Aα = X\ α∈I Aα = X\ α∈I (X \ Aα ) α∈I (X \ Aα ) α∈I 1.2 Mệnh đề phép toán Mệnh đề Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề khái niệm không định nghĩa Các câu phản ánh điều đó, trái với thực tế khách quan gọi mệnh đề Để mệnh đề, ta dùng chữ p, q, r, gọi chúng biến mệnh đề Mệnh đề tốn học nhận kết sai Các phép toán logic Cho p, q, r mệnh đề a- Phép phủ định Phủ định mệnh đề p mệnh đề (kí hiệu p) p sai sai p b- Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề p, q mệnh đề (kí hiệu p ∨ q) p q sai p lẫn q sai c- Phép hội Hội hai mệnh đề p, q mệnh đề (kí hiệu p ∧ q) p lẫn q sai trường hợp lại Từ định nghĩa suy p = p, p ∧ q = p ∨ q, p ∨ q = p ∧ q d- Phép kéo theo Mệnh đề "p kéo theo q" (kí hiệu p → q) mệnh đề sai p q sai trường hợp lại e- Phép tương đương Nếu p → q q → p ta nói p tương đương với q kí hiệu p ↔ q Như p ↔ q mệnh đề p q sai, sai trường hợp lại Lượng từ phổ biến tồn a- Hàm mệnh đề Ta xét câu "Số tự nhiên x chia hết cho 5" Nó khơng phải mệnh đề tốn học thay x số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn 10, mệnh đề Ta gọi câu hàm mệnh đề xác định tập số tự nhiên Một câu chứa biến x gọi hàm mệnh đề xác định tập X thay biến x phần tử xác định X mệnh đề Ta kí hiệu hàm mệnh đề biến x S(x), T (x), Cho S(x) hàm mệnh đề xác định X , ta gọi tập Es = {x ∈ X | S(x) đúng} miền của hàm mệnh đề S(x) Hai hàm mệnh đề có miền trùng ta nói chúng tương đương b- Lượng từ Từ "với mọi" kí hiệu ∀ gọi lượng từ phổ biến Ví dụ 1.1 {∀x ∈ X | S(x) đúng} mệnh đề miền S(x) trùng X sai trường hợp lại Từ "tồn tại" kí hiệu ∃ gọi lượng từ tồn Ví dụ 1.2 Giả sử S(x) hàm mệnh đề xác định X , {∃x ∈ X |S(x) đúng} mệnh đề miền Es = (là tập khác rỗng) c- Các kí hiệu khác ∃ không tồn tại, ∀ với mọi, ∃! tồn d- Lượng từ phép phủ định có quan hệ sau {∀x ∈ X | S(x) đúng} ↔ {∃x ∈ X | S(x) đúng} {∃x ∈ X | S(x) đúng} ↔ {∀x ∈ X | S(x) đúng} 1.3 Ánh xạ Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Một quy luật f cho ứng phần tử A với phần tử f (x) ∈ B gọi ánh xạ từ A vào B kí hiệu f : A → B Cho X ⊂ A Tập f (X ) = { y ∈ B | ∃x ∈ X để y = f (x)} gọi ảnh tập X 10 Khi λ = A dx lim = lim (ln A − ln a) = +∞ x A→+∞ A→+∞ a Vậy λ > tích phân Iλ hội tụ có giá trị phân kì λ−1 a1−λ , λ ≤ +∞ e−a x sin bx d x(a > 0) 3) Tính A e−a x sin bx d x = − a sin bx + b cos bx a +b 2 A e−x A Từ e−x sin bx d x = lim A→+∞ b a + b2 Tương tự A e−x cos bx d x = b sin bx + a cos bx a +b 2 A e−x +∞ e−x cos bx d x = Từ a a + b2 b) Tích phân suy rộng loại I hàm dương Giả sử hàm số f (x) ≥ [a, +∞] Khi với A > a hàm A Φ(A) = f (x)d x a hàm đơn điệu tăng A +∞ Do Φ(A) bị chặn f (x)d x hội tụ ngược lại a +∞ f (x)d x phân kì a 159 Định lí 4.3 (dấu hiệu so sánh) Giả sử hàm số f , g khả tích đoạn [a, A], ≤ f (x) ≤ g(x) với x ≥ a Khi đó: +∞ a) Nếu +∞ f (x)d x hội tụ g(x)d x hội tụ a a +∞ +∞ f (x)d x phân kì b) Nếu g(x)d x phân kì a a Chứng minh Với A > a ta có A A f (x)d x ≤ a g(x)d x a Từ +∞ A f (x)d x = lim f (x)d x ≤ lim A→+∞ a a +∞ +∞ +∞ g(x)d x = A→+∞ a g(x)d x a +∞ g(x)d x < +∞ Vì +∞ A a +∞ f (x)d x < +∞, ngược lại a f (x)d x = a g(x)d x = +∞ a Như hệ Định lí 4.3, định lí sau đơn giản song có nhiều thuận lợi xét hội tụ phân kì tích phân suy rộng loại I Định lí 4.4 Giả sử tồn lim x→+∞ f (x) g(x) =K (0 ≤ K ≤ +∞) +∞ a) Nếu K < +∞ +∞ a a +∞ b) Nếu K = +∞ 160 +∞ f (x)d x phân kì g(x)d x phân kì, a Chứng minh f (x)d x hội tụ g(x)d x hội tụ, a a) Nếu K < +∞ với = 1, tồn B > a cho x > B, ta có +∞ f (x) g(x) < K + f (x)d x hội tụ Vậy f (x) < (K + 1)g(x) Từ Định lí 4.3 suy B +∞ f (x)d x hội tụ a f (x) b) Nếu K = +∞, lim x→+∞ g(x) = Vậy từ a) ta có b) Hệ 4.5 Giả sử với x đủ lớn hàm f (x) có dạng f (x) = ϕ(x) (λ > 0) xλ Khi +∞ a) Nếu λ > ϕ(x) ≤ c < +∞ f (x)d x hội tụ a +∞ b) Nếu λ ≤ ϕ(x) ≥ c > f (x)d x phân kì a +∞ 1) Xét tích phân Ví dụ 4.2 x 3/2 Ta có lim x→+∞ +∞ dx 2) Xét 1+ x x + x2 x→+∞ x 3) Xét tích phân 1 d x < nên tích phân xét phân kì +∞ + x2 +∞ + x2 x 1/2 = x2 Ta có lim x 3/2 sin x x dx = > nên x + x2 hội tụ d x Nhờ tích phân phần ta có A A sin x x dx = cos x x cos x A − x2 dx 161 +∞ cos A = cos − cos x − a x2 d x Cho A → +∞, cos − cos A A → cos 1, +∞ +∞ cos x | x2 +∞ Vậy sin x x dx d x| ≤ x2 < +∞ d x hội tụ c) Dấu hiệu Abel dấu hiệu Dirichlet Định lí 4.6 (Dấu hiệu Abel) Giả sử f (x) g(x) xác định [a, ∞], thêm vào đó: +∞ f (x)d x hội tụ; a) a b) Hàm g(x) đơn điệu bị chặn: |g(x)| ≤ L (a ≤ x < ∞) +∞ f (x)g(x)d x hội tụ Khi a Chứng minh Từ định lí giá trị trung bình với A > A > a, ta có ζ A f (x)g(x)d x = g(A) A A f (x)d x + g(A ) ζ A với A ≤ ζ ≤ A Bởi a) với > tồn A0 > a cho A > A0 xảy ζ A 162 A f (x)d x| < | f (x)d x, 2L f (x)d x| < | ζ 2L Từ ζ A A f (x)g(x)d x| = |g(A)|| | A f (x)d x| + |g(A )|| f (x)d x| < ζ A +∞ f (x)g(x)d x hội tụ Do a Định lí 4.7 (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử: a) Hàm f (x) khả tích đoạn [a, A], A > a A f (x)d x ≤ K; a b) Hàm g(x) đơn điệu tiến tới x → ∞ +∞ f (x)g(x)d x hội tụ Khi a Chứng minh Từ định lí giá trị trung bình ta có ζ A f (x)g(x)d x = g(A) A A f (x)d x + g(A ) f (x)d x ζ A ζ Với A, A đủ lớn b), g(A) g(A ) nhỏ tuỳ ý, A f (x)d x , A f (x)d x bị ζ A f (x)g(x)d x nhỏ tuỳ ý với A, A đủ lớn chặn 2K Do A +∞ Ví dụ 4.3 a) Từ 2) suy a sin x xλ +∞ d x cos x a xλ d x với a, λ > hội tụ Thật A A sin x d x = | cos a − cos A| ≤ tương tự a g(x) = hội tụ sin x d x = | cos a − cos A| ≤ a xλ đơn điệu giảm, tiến tới Bởi dấu hiệu Dirichlet tích phân 163 b) Cũng tích phân sau với a, k, λ > hội tụ +∞ +∞ x sin ax k +x 2 dx esin x a sin 2x xλ d x a 4.2 Tích phân suy rộng loại II Định nghĩa Giả sử hàm f (x) xác định [a, b), −∞ < a < b < +∞ không bị chặn b [a, b − η], < η < b − a, khả tích Riemann b−η f (x)d x (nếu có) η → 0+ gọi tích phân suy rộng Giới hạn a loại II hàm f (x) [a, b] kí hiệu b−η b f (x)d x := lim+ f (x)d x η→0 a (4.4) a b f (x)d x gọi hội tụ Trường hợp Nếu giới hạn (4.4) tồn hữu hạn a ngược lại gọi phân kì Tương tự, hàm f (x) xác định (a, b] không bị chặn a, tích phân [a + η , b] với < η < b − a b b f (x)d x = lim f (x)d x η →0 a a+η Trường hợp [a, b] có số hữu hạn điểm c0 , c1 , , cm mà hàm f (x) khơng bị chặn với a = c0 < c1 < < cm = b ta định nghĩa tích phân suy rộng b m ck f (x)d x = a 164 f (x)d x, k=1 ck−1 b f (x)d x hội tụ tất tích phân a ck f (x)d x, k = 1, m, hội tụ ck−1 So sánh hai định nghĩa, thấy tích phân suy rộng loại II có tất tính chất tích phân suy rộng loại I Sau ta nêu vài kết (chỉ giới hạn trường hợp [a, b)) b f (x)d x hội tụ điều kiện cần đủ với Định lí 4.8 Để > tồn δ > a cho b−η f (x)d x < ∀0 < η < δ, < η < δ b−η b b | f (x)|d x hội tụ Hệ 4.9 Nếu a f (x)d x hội tụ a dx , điểm bất thường −1 (ở điểm bất thường − x2 tích phân điểm hàm dấu tích phân khơng bị chặn) 1) Xét Ví dụ 4.4 −1 0 dx 1− x −1 dx 2) −1 1− x 2 dx = lim η →0 −1+η 1− x dx −1 3) Xét a η →0 π , hai điểm bất thường −1 b = lim [− arcsin(−1 + η )] = dx (b − a)λ − x2 = + −1 = π + π = π , b > a, λ > 165 Khi λ = b−η dx λ (b − a) = 1−λ [η1−λ − (b − a)1−λ ] a Do b−η dx lim = λ (b − x) η→0 a b−η Nếu λ = a b−η Như dx b−a dx λ λ−1 ∞ (b − a)1−λ < λ < hữu tỉ λ > vô tỉ = ln η − ln(b − a) → ∞ η → hội tụ có giá trị a (b − a) λ < phân kì λ ≤ 1 λ−1 (b − a)1−λ < b Định lí 4.10 Giả sử hàm f không âm [a, b) Để f (x)d x hội tụ cần đủ a b−η sup η>0 a f (x)d x < ∞ Tương tự Hệ 4.5 ta có: Giả sử x đủ gần b, hàm f (x) có dạng f (x) = g(x) (b − a)λ (λ > 0) Khi b 1) Nếu λ < sup g(x) < ∞ f (x)d x hội tụ a b 2) Nếu λ ≥ inf g(x) > f (x)d x phân kì a Đặc biệt lim (b − x)λ f (x) = c > x→b−0 166 b f (x)d x < λ < 1, hội tụ a b f (x)d x phân kì λ ≤ a Ví dụ 4.5 Xét hội tụ tích phân suy rộng sau: +∞ I1 = x a−1 1+ x d x(0 < a < 1), +∞ ln x I2 = + x2 d x, +∞ I3 = x p−1 e−x d x(0 < p < 1) a) Viết I1 dạng +∞ x a−1 I1 = 1+ x dx + Do lim x x→0 1−a x a−1 1+ x x a−1 1+ x 1 = < − a < 1, nên J1 = Mặt khác từ lim x 2−a x→+∞ x a−1 1+ x d x x a−1 1+ x d x hội tụ = − a > ta suy +∞ J2 = x a−1 1+ x dx hội tụ Vậy I1 = J1 + J2 hội tụ 167 b) Như a) viết +∞ ln x I2 = 1+ x ln x dx + + x2 d x, cần kiểm tra tính hội tụ tích phân suy rộng vế phải ln x = (0 < λ < 1) tích phân suy rộng thứ hội tụ Do lim x λ x→0 + x2 Mặt khác lim x→+∞ x λ ln x 1+ x = lim x→+∞ x2 ln x + x x 2−λ = 0(1 < λ < 2), tích phân suy rộng thứ hai hội tụ Vậy I2 hội tụ c) Viết +∞ x p−1 e−x d x + I3 = Từ lim+ x 1−p x p−1 −x x→0 e x p−1 e−x d x = 1, tích phân thứ hội tụ Mặt khác x 1+p−λ x p−1 e−x = lim = 0(λ > 1), lim x→+∞ x→+∞ ex xλ tích phân thứ hai hội tụ Vậy I3 hội tụ 168 BÀI TẬP CHƯƠNG IV Tích phân lớp 5.1 Cho hàm số f : [0, 1] → [0, 1] Chứng minh f liên tục 1 [0, 1], f (0) = f (x)d x = f (x)d x f ≡ 5.2 Giả sử f1 , f2 , , f n : [a, b] → (a ≤ b) n hàm số liên tục [a, b] không đồng thời Chứng minh tồn n hàm số g1 , g2 , , g n : [a, b] → liên tục [a, b] cho b n [ a f i (x)g i (x)d x]d x = i=1 5.3 Cho hàm số f : [a, b] → (a ≤ b) khả tích [a, b] tồn số m, M (0 ≤ m ≤ M ) cho m ≤ f (x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] Chứng minh rằng: a) m M (b − a) ≤ b) (b − a) ≤ b a b M a f (x)d x b a a d x ≤ (1 + f (x) d x ≤ (b − a) f (x) 5.4 Cho hàm số f : [1, +∞) → b f (x)d x + m (m + M )2 4mM m M )(b − a); thuộc lớp C có tích chất: f (λx + (1 − λ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ) f ( y), ∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ [1, +∞) Chứng minh 0≤ n 1 f (1)+ f (2)+ f (3)+· · ·+ f (n−1)+ − 2 5.5 Giả sử f : [0, π ]→ 1 f (x)d x ≤ [ f (n)− f (1)], (n > 2) hàm số liên tục [0, π π ] 2 cho f (x) > với x ∈ (0, c) f (x) ≤ với x ∈ (0, c) Chứng minh π ( ] tồn c ∈ [0, π f (x) cos x d x)2 + ( f (x) sin x d x)2 > 0 169 5.6 Giả sử hai hàm số f , g : [0, 1] → [0, +∞) liên tục (0, 1) Chứng minh lim n→∞ n n−1 k=0 k+1 k f ( + g( n n 5.7 Cho f , g : [0, +∞) → f (x) + g(x)d x = liên tục [0, +∞) Giả sử g(x) > x x f đơn g g(t)d t Chứng minh điệu [0, +∞) Đặt F (x) = f (t)d t, G(x) = F hàm số đơn điệu (0, +∞) G 5.8 Cho hàm số f : → liên tục Đặt g(x) = f (x) minh g giảm f ≡ x f (t)d t Chứng 5.9 Giả sử f : [0, a] → [0, +∞)(a > 0) liên tục [0, a] tồn số k > x cho f (x) ≤ k f (t)d t Chứng minh f ≡ 5.10 Giả sử f , g : [0, a] → (a > 0) liên tục không âm [0, a] Chứng x minh tồn C > cho f (x) ≤ C + f (t)g(t)d t, f (x) ≤ x Ce g(t)d t , với x ∈ [0, a] 5.11 Cho f : [a, b] → thuộc lớp C Chứng minh b | f (x)| ≤ [| f (a)| + | f (b)| + 5.12 Cho hàm số liên tục f : [0, a] → 5.13 Tìm lim n→∞ 5.14 Cho n dx n2 + x thoả mãn f (x) = −1, f (x) f (a − a 1 + f (x) x+1 sin t d t x) = với x ∈ [0, a] Hãy tính | f (t)|d t] a d x > Tìm lim x 1− x x→+∞ 5.15 Cho hàm số f (x) = 2x x 0, t2 t + sin2 t d t, x =0 x =0 Hãy tính đạo hàm tìm đường tiệm cận f 170 5.16 Giả sử f ∈ C ([a, b])(a < b), f (b) = f (a) = f (x) > (a, b) b | f (t)| Chứng minh (b − a) a d t ≥ f (t) 5.17 Cho hàm số f : → liên tục tuần hoàn với chu kỳ T Hãy chứng x T minh hàm số F (x) = a f (t)d t tuần hoàn f (t)d t = 5.18 Tính tích phân sau: dx −1 (e x + 1)(x + 1) Ứng dụng hình học tích phân 5.19 Tìm độ dài đường cong xác định phương trình toạ độ cực sau: r = a(1 − cos ϕ) (a số dương) 2 5.20 Tìm độ dài đường cong: x + y = a (a số dương), diện tích hình phẳng giới hạn đường cong 5.21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: x = a(t − sin t), (4.5) y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π) trục hồnh (a số dương) 5.22 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: (x + y )2 = a2 (x − y ), (a số dương) 5.23 Cho hình phẳng D giới hạn đường x = a(t − sin t), (4.6) y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π) (a số dương) trục hồnh Tính diện tích vật thể tạo hình phẳng D quay quanh trục O y 5.24 Cho hình phẳng D giới hạn đườngx = y , y = x = Tính thể tích vật thể tạo D quay quanh trục Oy 5.25 Cho hình phẳng D giới hạn đường y = x , y = Tìm thể tích vật thể tạo D quay quanh đường thẳng x = 2 2 5.26 Tính diện tích mặt tạo đường cong: x + y = a (a số dương) quay quanh trục Oy 5.27 Tính diện tích mặt tạo đường cong: x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π) quay quanh trục O y, (a số dương) 171 Tích phân suy rộng 5.28 Giả sử hàm số f (x) khả vi dương [0, +∞) Chứng minh +∞ + f (x) f (x) d x = ∞ 5.29 Cho hàm số u(x) khả vi liên tục [1, +∞) u(x) > 0, u (x) > với x ∈ [1, +∞) Chứng minh +∞ +∞ dx < +∞ u(x) + u (x) dx u(x) < +∞ 5.30 Chứng minh hàm số f (x) liên tục [0, +∞) tích phân +∞ +∞ f (x)d x hội tụ x f (x)d x hội tụ 1 5.31 Tính tích phân 5.32 Tính +∞ dx +∞ (1 + x )(1 + x α ) (α ∈ ) x2 + d x x4 + x ln x +∞ 5.33 Tính d x (1 + x )2 5.34 Xét tính hội tụ tích phân suy rộng: +∞ 1 1 [e x − cos ]d x x x 5.35 Xét tính hội tụ tích phân suy rộng: +∞ ln(1 + x) x2 d x 5.36 Xét tính hội tụ tích phân: ln x (1 + x) 1− x d x 5.37 Xét tính hội tụ tuyệt đối bán hội tụ tích phân: +∞ 172 x α sin x 1+ x d x, (α ∈ ) 5.38 Với giá trị α ∈ , tích phân sau hội tụ: ln(1 + x) xα d x 5.39 Cho hàm số f (x) liên tục không âm [a, +∞) Chứng minh +∞ f (x) có đạo hàm liên tục bị chặn [a, +∞) a f (x)d x hội tụ, lim f (x) = x→+∞ 173 ... Chương V TÍCH PHÂN MỘT LỚP 107 117 §1 Tích phân lớp 117 1.1 Định nghĩa tích phân lớp 117 1.2 Điều kiện cần tính khả tích. .. 119 1.3 Điều kiện cần đủ tính khả tích 120 1.4 Các tích chất tích phân lớp 124 1.5 Các lớp hàm khả tích ... 150 3.3 Tính thể tích miền 151 3.4 Diện tích xung quanh vật thể tròn xoay 153 §4 Tích phân suy rộng 155 4.1 Tích phân suy rộng