Đề thi đáp án thi học sinh giỏi toán 8

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) A ĐỀ BÀI Bài ( điểm ): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - )2 - 36x b) Dựa vào kết chứng minh: A= n3(n2 - )2 - 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Bài ( điểm ):   x3   x2    x : Cho biểu thức A =  với x khác -1  1 x  1 x  x  x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x  c, Tìm giá trị x để A < Bài ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004 Tính : M = 2004a b c   ab  2004a  2004 bc  b  2004 ac  c  Bài (4 điểm ) : Cho hình vng ABCD có cạnh cm Gọi M, N trung điểm AB , BC Gọi P giao điểm AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM tam giác vng b) Tính diện tích tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD tam giác cân Bài ( điểm ): Tìm giá trị x, y nguyên dương cho : x2 = y2 + 2y + 13 - HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài Đáp án a) x (x - ) - 36x = x[( x - 7x) - 36] = x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + ) = x[x(x - )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - )( x + 1) - 6( x- 1)] = x(x + )(x2 - x - 6)(x - )( x2 + x - ) = x(x + )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - )( x2 +3x - 2x - ) = x(x + )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - )( x2 + 3x - 2x - ) = x(x + )( x - )[(x(x - ) + 2( x - )][(x(x + ) - 2( x + )] = x(x + )( x - ) (x - )(x + ) ( x - )( x + ) b) Theo phần a ta có : A = n3(n2 - )2 - 36n = n(n + )( n - ) (n - )(n + ) ( n - )( n + ) Đây tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có : - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên tố nên: A M( 2.3.5.7 ) Hay A M210 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Với x khác -1 :  x3  x  x2 (1  x)(1  x) : A= 1 x (1  x)(1  x  x )  x(1  x) = (1  x)(1  x  x  x) (1  x )(1  x ) : 1 x (1  x)(1  x  x ) = (1  x ) : = (1  x )(1  x) (1  x) 2    b) Tại x =  =  Acó giá trị 1  ( )   1  ( )    3  25 34 272 10 = (1  )(1  )   9 27 27 c) Với x khác -1 A< (1  x )(1  x)  (1) Vì  x  với x nên (1) xảy  x   x  KL Thay 2004 = abc vào M ta có : a 2bc b c   ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  a 2bc b c    ab(1  ac  c) b(c   ac) ac  c  ac c     ac  c c   ac ac  c  ac  c   1  ac  c M 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình cho phần a A 1 M 0,25 B P I N H D C a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc ) 0,75 => 0,25 � � A1  D � M �  900 ( ∆ADM vuông A ) Mà D 1 �  900 => � A1  M Do đó: � APM  900 Hay ∆APM vuông P 0,5 (cm) 5 AM = (cm) SAPM = (cm ) b) Tính : AP = 0, 0,25 c) Gọi I trung điểm AD Nối C với I; CI cắt DM H Chứng minh tứ giác AICN hình bình hành => AN // CI mà AN  DM nên CI  DM Hay CH đường cao ∆CPD (1) Vận dụng định lý đường trung bình ∆ADP chứng minh H trung điểm DP => CH trung tuyến ∆CPD (2) Từ (1) (2) suy ∆CPD cân C Biến đổi đẳng thức cho dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12 Lập luận để có x + y + 1> x - y - x + y + 1; x - y - ước dương 12 từ có trường hợp : x+y+1 x-y-1 12 x 13 y 0,25 4 1 Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1) KL *Chú ý: Ở phần, học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề) Câu (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x4  b, Cho  x  2  x  3  x  4  x  5  24 a b c a2 b2 c2    Chứng minh rằng:   0 b  c c  a a b b  c c  a a b Câu 2: (2 điểm) Tìm a,b cho f  x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức g  x   x2  x  2 Tìm số nguyên a cho a  số nguyên tố Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 4.(1,5 điểm) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu 1a HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN Đáp án x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) 4 Điểm 0,5 0,25 0,25 1b ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 0,25 0,25 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,25 0,25 Nhân vế của: a b c   1 b c c  a a b với a + b + c rút gọn � đpcm Ta có : g  x   x  x  2=  x  1  x   Vì 0,5 0,5 f  x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức 0,25 g  x   x2  x  Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x) � ax  bx  10x  4=  x+2   x-1 q  x  0,25 Với x=-2 � 2a-b+6=0   Thay (1) vào (2) Ta có : a=2 b=4 2 Ta có : a  4=  a -2a+2   a +2a+2  0,25 Với x=1 � a+b+6=0 � b=-a-6  1 0,25 0,25 Z a -2a+2 Z ;a +2a+2 Z Vì a ή�� Có a +2a+2=  a+1  �1 a Và a -2a+2=  a-1  �1 a Vậy a  số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a -2a+2=1 � a  thử lại thấy thoả mãn 0,25 Nếu a +2a+2=1 � a  1 thử lại thấy thoả mãn 0,25 0,25 0,25 a Chứng minh: AE  FM  DF � AED  DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm 0,5 0,5 c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi � ME  MF  a không đổi 0,5 � SAEMF  ME.MF lớn 0,25 � ME  MF (AEMF h.v) 0,25 0,25 � M trung điểm BD (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 0,25 � (a+ b) – ab = 0,25 � (a – 1).(b – 1) = 0,25 � a = b = 0,25 Vì a = => b 2000 =b 2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT -UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – Câu 2: (2,5 điểm) 2 x 4x2 2 x x2  3x Cho biểu thức : A  (   ):( ) 2 x x 4 2 x x  x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x – 7| = Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z       Chứng minh :    x y z a b c a b c Câu 4: (3 điểm) Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O giao điểm hai đường chéo Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm OA, OD, BC Tam giác EFG tam giác gì? Vì sao? Câu 5: (1 điểm) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z   yz zx xy Hết UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN Đáp án Điểm = 3x2 – 6x – x + = 3x(x – 2) – (x – 2) 0,25 = (x – 2)(3x – 1) b) Đặt a = x2 – 2x 0.25 0.25 Thì x2 – 2x – = a – 0.25 Do đó:( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – = a2 – a – = (a + 2) (a – 3) 0.25 Vậy: ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – = (x + 1)(x – 3)(x2 – 2x + 2) 0.25 �x �0 � a) ĐKXĐ : �x ��2 �x �3 � 0,25 a) 3x – 7x + Câu (1.5 điểm) (2  x)2  x  (2  x) x (2  x ) x2  8x x(2  x) A  (2  x)(2  x) x( x  3) (2  x)(2  x) x   Câu (2.5 điểm) 2, x �3 A  Vậy với x �0, x �� b)Với x �0, x �3, x ��2 : A  � x( x  2) x(2  x) x2  (2  x)(2  x)( x  3) x  4x x3 4x 0 x3 � x 30 0,25 0,25 0,25 0,25 � x  3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > A > 0,25 0,5 x7  x  11(TMDKXD) � � �� x   4 x  3( KTMDKXD) � � c) x   � � Với x = 11 A = 121 0,25 a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0,25 � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,25 Do : ( x  1) �0;( y  3) �0;( z  1) �0 Nên:(*) � x = 1; y = 3; 0,25 z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1; 3; -1) Câu (2.0 điểm) a b c ayz+bxz+cxy  � ayz + bxz + cxy b)Từ:    � x y z 0,25 xyz =0 0,25 x y z x y z    � (   )2  Ta có : a b c a b c 2 x y z cxy  bxz  ayz �   2 1 abc a b c x2 y z �    1(dpcm) a b c 0,25 0,25 - Hình vẽ A - Chứng minh: ACD  BDC (c.g.c) B // E � � �� ACD  BDC ACD  600 // O � OCD tam giác X D BC 0,25 G 0,25 C 0,25 0,25 0,25 - Chứng minh tương tự: EG  BC 0,25 - Xét AOD có: AE = EO DF = FO (gt) � EF đường trung bình AOD � EF  - Suy EF = EG = FG nên EFG 1 AD  BC 2  x+y+z=   a b c a  bc a b c x= ;y= ;z= 2 P=  a b c a  b c a b  c   = 2a 2b 2c b c a c a b (         ) a a b b c c 0,25 = X � BFC vuông F Câu (3.0 điểm) - Xét BFC vng F có: Câu Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c (1.0 điểm) 0, F -Trong OCD cân C có CF trung tuyến BG = GC � FG  = 0, a bc 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b a c a b c (  (  )  (  )  (  ))  a b a c c b Min P = Khi a = b = c  x = y = z = Tổng 10,0 UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y) b) x2 – 12x + 35 c) x3 + 2x2 + 2x + Bài 2: (1,5điểm) Thực phép tính a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1) � x2 �� 10  x �   : x   b) � �� � x2 � �x  x  3x x  �� c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2 Bài 3:( 2,0 điểm) a) Cho a số tự nhiên a > Chứng minh rằng: A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số 1006 b) Tính B =   1   1   1   1 K   1  c) Tìm dư chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – Bài 4: (2,0 điểm) a b c   a) Cho abc = Rút gọn biểu thức: M = ab+a+1 bc  b  ac  c  a 2013  b 2013  c 2013 3 b) Cho a +b +c �0 a + b + c = 3abc Tính N = 2013  a  b  c Bài 5: (3,0 điểm) � = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H hình chiếu D lên Cho hình thang ABCD có � A D AC; M, N, P trung điểm CD, HC HD a) Chứng minh tứ giác ABMD hình vng tam giác BCD tam giác vuông cân b) Chứng minh tứ giác DMPQ hình bình hành c) Chứng minh AQ vng góc với DP d) Chứng minh S ABCD  6S ABC H ẾT - UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài Bài (1,5 đ) Bài (1,5 đ) Bài (2,0 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN Đáp án a) = (x – 3y)(x – 3y – 3) b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5) = (x – 5)(x – 7) c) = x3 + + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1) = (x + 1)(x2 – x + 3) a) Thực phép chi theo cột dọc Kết (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1 � x2 �� 10  x � �: �x   �   � �x  x     x  x  �� x2 � � � b)  x   x    x  : ( x  2)( x  2)  10  x ( x  2)( x  2) x2 6 x2 1    ( x  2)( x  2) x 2 2 x 2 c) = (1- 3x + 3x + 4) = = 25 a) Đặt x = a2 +a +1 � a2 +a +2 = x +1 A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3) Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Vì a �N a > nên a số tự nhiên Ngoài ước �1 A, có thêm ước (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Do A hợp số b) B    1   1  2  1   1  28  1 K  21006  1  Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,1 0,2 0,2 0,5 0,25 0,25 0,75   22  1  2  1   1  28  1 K  21006  1    24  1   1  28  1 K  21006  1     K   21006     22012 2 Bài (2,0 đ) c) Vì đa thức x – có bậc 2, nên đa thức dư có dạng r(x) = ax + b Gọi thương phép chia q(x), ta có: x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (1) Đẳng thức (1) với x, với x = ta có : a + b = (2) với x = ta có : - a + b = -4 (3) Từ (2) (3) � b = a = - Vậy dư phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – là: – 4x c b a) Thay abc = vào , nhân tử mẫu với a ta có: ac  c  bc  b  a ab c M   ab+a+1 a  bc  b  1 ac  c  abc  a ab ab+a+1    1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x x2 2 x x  3x A(   ):( ) 2 x x 4 2 x x  x3 d) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị x để A > 0? f) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) a b c x y z x2 y z       Cho Chứng minh :    x y z a b c a b c Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE  CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn -Hết - UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MễN: TO N Đáp án Bi a/ 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b/ a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) 2 Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 a/ ĐKXĐ : �2  x �0 �2 �x  �0 � x �2 �۹� �x  x �0 � � �2 x  x �0 A( �x �0 � �x �x �3 � 0,25  x x2 2x x2  3x (2  x)  x  (2  x) x (2  x)   ):( )    x x   x x  x3 (2  x)(2  x) x( x  3) x2  8x x(2  x)  = (2  x)(2  x) x  Bài 2:  x( x  2) x(2  x) x2  (2  x)(2  x)( x  3) x  4x Vậy với x �0, x ��2, x �3 A  x 3 4x2 x � 0, x � 3, x � � : A  � 0 b/ Với x 3 � x3 � x  3(TMDKXD) Vậy với x > A > x7  � x   4 � c/ x   � � 0,25 0,25 0,25 0,25 x  11(TMDKXD) � �� x  3( KTMDKXD) � Với x = 11 A = 0,25 121 Bài 0,25 0,25 2,0 2 a/ 9x + y + 2z – 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x  1) �0;( y  3) �0;( z  1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b/ Từ : a b c ayz+bxz+cxy   0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = x y z x y z    � (   )2  Ta có : a b c a b c 2 x y z xy xz yz �    2(   )  a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz �   2 1 a b c abc x2 y z �    1(dfcm) a b c Bài 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 HV + GT + KL AE  FM  DF � AED  DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm a Chứng minh: 1,0 1,0 c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi � ME  MF  a không đổi � SAEMF  ME.MF lớn � ME  MF (AEMF hình vng) � M trung điểm BD 1,5 - HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1( 2,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) ( x2 + y2)2 - 4x2y2 b) (x-2)(x-1)(x+1)(x+2) - 10 c) x2- 4x -5 Bài 2( 1,5 điểm): Thực phép tính y x 2y a) x  xy  y  xy  x  y x  y    �� 1 �1 �  :  �� � �x  x  ��x  x  x  x  � b) � Bài 3(1,5 điểm): � � 1� � n  n  1  �  n  1 n  � � � � �� 2� �4 � �4 � � �  �  � � 13  � � � 4� � 4� � 4�� b) Áp câu a thu gọn phân thức: �4 � �4 � �4 � � �  �  �  � � 14  � � � � 4� � 4� � 4� � 4�� a) Chứng minh: n  Bài 4( 3,5 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1   AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Bài 5(1,5 điểm): Cho 2x2+2y2 = 5xy 0< x < y Tính giá trị E  - Hết - x y x y UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu Đáp án a) a/=  x  y  xy   x  y  xy    x  y  x HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 2 2  x  y Điểm 0,5    x  1  10  x  x  x   10 0,75 2 2 b/  x  x   x  x     x      x    x  1  x    x    x  1 c/ = x2- 5x +x -5 = x(x - 5) +( x - 5) = (x - 5)(x + 1)  0,75 0,75 y x 2y   x  x  y y  x  y  x  y  x  y y  x  y   x  x  y   xy x  y  x y  xy   xy  x  y   x  y  xy  x  y   x  y  a/  x  y  x  y  xy  x  y   x  y   b/  x y xy 2x 12 x :  x    x    x  3  x  3 0,75  x  3  x  3   x    x     x 2x  12 x 6  x  3  x  3 2 �� � 1� � 1�  n  1 n  ��n  n  1  � a/  n   n2  n  �n2  � n  � �� 2� � � � �4 � �4 � � � 1  �  � � 13  � 0.1  � � 4 � � � �� �   b/ �4 � �4 � �4 � � � 14.15  421  �  �  � � 14  � � � � 4� � 4� � 4� � 4� � O M N C D a/ Lập luận để có Lập luận để có 0,75 0,5 B A 0,75 OM OD  , AB BD OD OC  DB AC ON OC  AB AC 0,5 0,25  0,25 OM ON  OM = ON  AB AB b/ Xét ABD để có OM DM  AB AD (1), xét ADC để có 0,5 OM AM  (2) DC AD 1 AM  DM AD   1 ) AB CD AD AD 1 Chứng minh tương tự ON (  ) 1 AB CD Từ (1) (2)  OM.( từ có (OM + ON) ( 1 1  ) 2    AB CD AB CD MN 0,25 S AOB OB S BOC OB S S    AOB  BOC  , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC S AOB S DOC S BOC S AOD 0,25 Chứng minh S AOD S BOC 0,25  S AOB S DOC ( S AOD ) 0,25 Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009 Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,25 x  y  xy 1,5 c/ 0,25 � x  y  xy  �  x  y   2x  y   x  y  loai  �� �y  x VayE  x  2x  3 x  2x - HẾT - UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1(1.5 điểm): Thực phép tính a) 98.28 – ( 184 - 1)(184 + 1) b) (2x - 1)2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)2 � � c) �2 x   �� 4x � : 2 �� �  x �� x  � Câu 2(1.5 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 – 9x b) 4x2 – 3x – c) ab( a - b) + bc( b- c) + ca( c- a) Câu ( 1.5 điểm): a) Chứng minh rằng: Nếu a �N, a > A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số b) Cho 10a2 = 10b2 – c2 Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2 Câu 4(1.5 điểm): Cho A = a  4a  a  2a  4a  a) Rút gọn A b) Tìm số nguyên a để A số nguyên Câu 5(3.25 điểm): Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vng AHKE Gọi P giao điểm AC KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh H, I, E thẳng hàng c) Tứ giác HEKQ hình gì? Chứng minh Câu 6(0.75 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, � A  450 ; �  600 chiều cao hình thang 18m B - HẾT - UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN Câu Đáp án Điểm a/ = 18 – (18 – 1) = 188 – 188 + = 0.25 0.25 0.25 0.25 b/ = �  x  1   x  1 � � � 2 = (3x) = 9x 1 �� 4x � 4x2 1  x   x � :  : �� � x  �� x  � x  2x 1 � 4x 2 :  2 x = 2x 1 2x 1 c/ = �2 x   a/ = x(x2 - 9) = x(x + 3)(x -3) b/ = 4x2 + 4x – x – = (4x2 + 4x) – (x + 1) = 4x(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(4x - 1) c/ = ab( a - b) + b2c – bc2 + ac2 – a2c = ab( a-b) + ( b2c – a2c) + (ac2 – bc2) = ab( a - b) + c( b2- a2) + c2(a - b) � a  b  c  c  b  c �  ab  ac    bc  c  � = ( a - b) � � � �  a  b  � = (a - b)( b - c)( a - c) a/Đặt a2+ a + = x (1) A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12 = (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4) Thay (1) vào biểu thức A, ta có A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5) = (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5) = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5) Ta thấy AMa  1; AMa  2; AMa  a  Vậy A hợp số b/ VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2 mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2 nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2) = 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2 = 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP  a  2 a/ A = a   0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25   a  a  8a   a    a  2  a  2  =  a    a  4a    a    a   2 b/ Để A �Z � 0.25  �Z nên a – ước a2 Với a – = a = Với a – = - a = 1 a2 0.5 0.25 0.5 Vậy a � 1;1 A số nguyên a/ CM BHA  PEA (g.c.g) A E �  900 (gt) � AB = AP mà BAP Vậy BPA vuông cân P I B b/Ta có : HA = HK C K � H nằm đường trung trực AK H Ta có : AE = KE Q � E nằm đường trung trực KA PBK vng có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP) � IK  IP  IB (*) Ta có ABQP hbh(gt), có BA= AP ( BPA vuông cân A) �  900 (gt) � APQB hình thoi, mà BAP � APQB hình vng nên PI = IA(**) Từ (*) và(**) suy IK = IA nên I nằm đường trung trực AK Vậy H, I, E thẳng hàng c/ Ta có APQB hình vng (cmt) nên AP = BQ PB AQ � IK  mà IK = 2 AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv) AQ Mà IK  (cmt) � AKQ vuông K � AK  KQ mà AK  HE (EAHK hv) � QK // HE 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 Vậy HEKQ hình thang Qua A B kẻ AA’ BB’ vuông góc với CD Tứ giác ABB’A’là hcn A’A = BB’ = 18m � �  450 � � A ' AB  900 , DAB A ' AD  450 Do V A’AD vng cân � A’D = A’A = 18m D A' C �' BA  900 , CBA �  600 � B �' BC  30 A B B' B tam giác vng B’BC ta có B’C = BC Theo định lí Pi ta go, ta có: B’C2 = BC2 – B’B2 � B’C2 = 4B’C2 – B’B2 � 3B’C2 = B’B2 � B’C = B ' B 18  (cm) 3 0.25 0.25 0.25 Suy : 18 18  24  (cm) 3 1� 18 � 18 �498, (cm2) Vậy SABCD =  AB  CD  A ' A  �42  24  � 2� 3� CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - - HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài (1,5 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 b) 4x2 – 8x + c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 Bài (1,5 điểm): Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí: a) A = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x x = 14 b) B = 1 650 4    315 651 105 651 315.651 105 Bài (1,5 điểm): a) Xác định số a b cho đa thức x4 + ax + b chia hết cho x2 - b) Cho đa thức A(x) = ax2 + bx + c Xác định b biết chia đa thức A(x) cho x – x + có số dư Bài (1,5 điểm): a) Chứng minh khơng có số x, y thoả mãn đẳng thức sau: 4x2 + 3y2 – 4x + 30y + 78 = b) Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by x + y + z �0 ; xyz �0 Chứng minh: 1   =2 1 a 1 b 1 c � Bài (3,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có BDC = 300 Qua C kẻ đường thẳng vng góc với BD E cắt tia phân giác � ADB M Gọi N hình chiếu M DA, K hình chiếu M AB Chứng minh: � a) MBC = 1200 b) Tứ giác AMBD hình thang cân c) Ba điểm N, K, E thẳng hàng Bài (1,0 điểm): Chứng minh tam giác có đỉnh giao điểm hai cạnh đối tứ giác, hai đỉnh trung điểm hai đường chéo tứ giác có diện tích diện tích tứ giác HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Câu Bài (1,5đ) Đáp án a/ = (2bc + b + c – a ) (2bc - b - c2 + a2) = [(b + c)2 – a2] [a2 – (b - c)2] = (b + c + a)(b + c – a)(a + b - c)(a – b + c) 2 2 Điểm 0,25 0,25 b/ 4x2 – 8x + = 4x2 – 6x – 2x + = (4x2 – 6x) – (2x – 3) = 2x(2x – 3) – (2x – 3) = (2x – 3)(2x – 1) c/[(x + 2) (x + 5)][ (x + 3)(x + 4)]–24=( x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12)- 24 Đặt t = x2 + 7x + 10, ta đa thức : t( t + 2) – 24 = t2 + 2t - 24 = (t2 + 2t + 1) – 25 = (t + 1)2 – 52 = (t + 6)(t - 4)=(x2 + 7x + 16)( x2 + 7x + 6)=(x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6) a/ Vì x = 14 nên 15 = x + 1; 16 = x + 2; 29 = 2x + 1; 13 = x – Vậy A = x5 – (x + 1)x4 + (x + 2)x3 – (2x + 1)x2 + (x – 1)x = x5 - x5 – x4 + x4 + 2x3 – 2x3 – x2 + x2 – x = - x = - 14 Bài (1,5đ) b/B = (2  Đặt Bài (1,5d) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 12 )  (4  )   315 651 315 651 315 651 315 1  a;  b B = ( + a)b – 3a(4 – b) – 4ab + 12a 315 651 = 2b + ab – 12a + 3ab – 4ab + 12a = 2b = 0,25 0,25 0,25 651 0,25 a/ x4 + ax + b chia cho x2 – thương x2 + dư ax + (b + 16) Vậy x4 + ax + b chia hết cho x2 – ax + (b + 16) = 0x + Suy a = b = - 16 0,25 0,25 0,25 b/ Đặt A(x) = ax2 + bx + c = (x – 1).Q1 + R (1) A(x) = ax + bx + c = (x + 1).Q2 + R (2) Từ (1) suy A(1) = a + b + c = R ; Từ (2) suy A(- 1) = a - b + c = R => a + b + c = a - b + c => b = - b => 2b = => b = 0,25 0,25 0,25 a/ Ta có 4x2 + 3y2 – 4x + 30y + 78 = (4x2 – 4x +1)+(3y2 + 30y + 75)+ = (2x – 1)2 + 3(y + 5)2 + > với x, y Vậy khơng tìm x, y thoả mãn đầu 0,25 0,25 0,25 b/ Gọi x = by + cz (1) ; y = ax + cz (2) ; z = ax + by (3) Cộng vế với vế (1) (2) ta có: x + y = ax + by + 2cx = z + 2cz Bài (1,5đ) Bài (3đ) 2z x yz x yz => + c = => = 2z 2z 1 c x  y  z 2x x yz Tương tự: + a = => = x yz 2x 1 a x yz 2y 1+b= => = 2y 1 b x  y  z 2x 2y 2z 2 x  y  z  1 Vậy + + = + + = =2 1 a 1 b 1 c x  y  z x  y  z x  y  z x yz =>2cz = x + y – z => c = N vẽ: Hình A D M K 1 B E C 0,5 0,25 � = D � =D � = 300 , C � = 300 , B � = 300 a/ C/m D � = GIỎI UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN ĐỀ THI HỌCcó SINH C C/m BMC cân ( đường cao đồng thời CHỌN phân giác) 300 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO � nên MBC = 1200 b/ C/m MDC mà MK vng góc với AB nên MK vng góc với CD =>MK trung trực CD AB => MA = MB => MAB cân � = 300 => � � => AM//DB A1 = 300 = B C/m B � � Mà ABD = MBD =60 nên tứ giác AMBD hình thang cân � c/ Vì M thuộc tia phân giác NDE nên MN = ME � =1200 nên MNE � = 300 NME có NME (1) � = � A1 = 30 Lại có MNAK hình chữ nhật nên MNK (2) Từ (1) (2) suy N, K, E thẳng hàng Hình vẽ E 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 A B M Bài (1đ) N D C Gọi M, N trung điểm đường chéo BD, AC tứ giác ABCD, E giao điểm DA CB Ta có: SEMN = SEDC – SEMD – SENC – SDMC – SMNC 1 1 SEBD - SEAC - SDBC - SAMC 2 2 1 = (SEDC – SEBD – SDBC) + (SEDC – SEAC - SAMC) 2 1 = + (SADM + SCDM) = SABCD = SEDC - 0,25 0,25 0,25 0,25 Mơn : Tốn – Lớp Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 1,5 điểm) Thực phép tính: a) 216 – ( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) � �x y� �1 �x  y 1� c) � �: �  �:  x  y   �  � �y x � �y x � � � y Bài 2: ( điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2 b) 3x2 + 11x + c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10 Bài 3: (2 điểm) a) Xác định hệ số a b cho đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + dư -6, chia cho x – dư 21 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x2  2x  x2 Bài :(1 điểm) Cho 3a2 + b2 = 4ab Tính giá trị biểu thức P  a b ab Bài 5: ( 2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC, gọi M, O, K trung điểm AH, HI CD a) Chứng minh: B D đối xứng qua O b) Chứng minh: BM  MK Bài 6: ( điểm) Cho hình bình hành ABCD M điểm cạnh CD AM cắt BD O Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC -Hết - UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài ( 1,5 đ) (Mỗi ý 0,5 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN ĐÁP ÁN a) – ( + 1)(2 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (2 – 1)( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – ( 22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (28 - 1)(28 + 1) =216 – (216 - 1) =1 b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) Đặt phép chia: Vậy: ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) = x2 + 4x + 16 ĐIỂM 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ � �x  y �x y � �1 � c) � �: �  �:  x  y   �  � �y x � �y x � � � y �x  y 2( x  y ) � y �  x y xy � � xy �x  y �x  y 2( x  y ) � y �  xy � �xy �x  y  Bài 2: ( đ) 0,25đ a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2 0,25 đ � =( xy + 1)2 - � �  x  y  � (x + y)] c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10 = (x2 + 2xy + y2 ) – (3x + 3y) – 10 =( x + y)2 – 3(x + y) – 10 =[ ( x + y)2 + 2(x + y)] – [5(x + y) + 10] =(x + y) (x + y + 2) – 5(x + y + 2) =(x + y + 2)(x + y – 5) a) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + dư -6 => - a + b = -4 (1) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - dư 21 => 2a + b = (2) Từ (1) (2), suy a = 3; b= -1 b) Ta có: A  Bài : (1 đ) 0.125đ 1 x =[ xy + + (x + y)].[xy + b) 3x2 + 11x + = (3x2 + 9x )+ (2x + 6) = 3x( x + 3) + 2(x + 3) = (x+ 3)(3x + 2) Bài 3: (2 đ) 0,125đ x2  2x       y  y ( với y = ) x x x x A= (y – 2y + 1) +3 = (y – 1) + ≥ với giá trị y Vậy : GTNN A y – = � y = � x = Điều kiện : a ≠ -b Từ g/t : 3a2 + b2 = 4ab � 4a2 – 4ab + b2 – a2 = � ( 2a – b)2 – a2 = � ( 3a – b)(a – b) = 0,25 đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,125đ 0,125đ 0,125đ 0,125đ � a = b/3 a = b ( tm) Bài 5: ( 2,5 đ) Bài 6: ( đ) +) Nếu a = b/ P = -1/2 +) Nếu a = b P = D Vẽ hình A M cho câu a) a)-Chứng minh tứ giác BHDI hình bình hành H -có O trung điểm HI (gt) => O trung điểm BC K => B D đối xứngNqua O O b) Qua M, kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH N => MN  BC, N trung điểm BH I => MN đường trung bình tam giác AHB C B MN = ½ AB => MN // AB * Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành => CN//KM (1) * Tam giác BMC có N trực tâm => CN  BM (2) Từ (1) (2) suy BM  MK D M 0,25đ 0,125đ 0,125đ 0,25đ 0.75 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ C O -Chứng minh: SADB = SAMB => SADO = SBOM (1) -Chứng minh: SADB = SBCD =>SDAO + SAOB = SDOM + SBOM + SBMC(2) TừA(1) (2) Suy S ABO = SDOM B +SBCM 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... � S ABCD  S ABC S ABC AD Học sinh có cách giải khác cho đủ điểm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN Thời gian: 120’ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 I Đề bài: Bài tập 1: Phân tích... NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1(1.5 điểm): Thực phép tính a) 98. 28 – ( 184 - 1)( 184 + 1) b) (2x - 1)2 + 2(2x... …………………HẾT………………… Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.0