Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8

Bài (4đ): 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x +3x +6x+4 2/ a,b,c cạnh tam giác Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 Bài (3đ): Chứng minh x + y = xy ≠ : Bài (5đ): Giải phương trình: x y x3 −1 − y −1 = 2( x − y ) x2 y2 + x − 24 x − 22 x − 20 x − 18 1, 2001 + 2003 = 2005 + 2007 2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3 Bài (6đ): Cho ∆ABC vuông A Vẽ phía ngồi ∆ ∆ABD vng cân B ∆ACE vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BE Chứng minh rằng: 1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK Bài (2đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) ®Ị thi häc sinh giái Bµi 1: − x2 + x − n n +1 Rót gän biĨu thøc: A = x − x víi /x/ = Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + = x − xy + 52 x y Tính giá trị biểu thức: B = ( x y) Bài 2: Giải phơng trình:(x 2).(x + 2).(x2 10) = 72 Tìm x để biểu thøc:A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ? Bài 3: Tìm số tự nhiên x cho: x2 + 21 số phơng ? Chứng minh rằng: Nếu m, n hai số phơng lẻ liên tiếp thì:(m 1) (n 1) M192 Bài 4:Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC > BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF Gọi H giao điểm AE BN Chứng minh: M; H; F thẳng hàng Chứng minh: AM tia phân giác AHN Vẽ AI HM; AI cắt MN G Chứng minh: GE = MG + CF Bài 5: Gải phơng tr×nh:(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7) 1 + + ≥ Cho a, b, c ∈ R+ vµ a + b + c = 1.Chøng minh r»ng: a b c §Ị sè 1   x2  1  A= + +  :  x − 3x   27 − 3x x + Bài 1: (3 điểm)Cho biểu thức a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên 6y = + Bài 2: (2 điểm)Giải phơng trình: a) y 10 y + y − 1 − y  6− x x 3+ x 1 −  − 2  x− = 3− 2 b) Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc giê, giê, giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h Hái lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB vµ N ∈AD) Chøng minh: a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm)Cho a = 111 (2n chữ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + lµ sè chÝnh phơng Đề số Câu I: (2điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + x − b) ab(a − b) − ac(a + c) + bc(2a − b + c) 1 1 + + + = 2) Giải phơng trình x + x x + 3x + x + x + x + x + 12 Câu II: (2 điểm) 1) Xác định a, b để da thức f ( x) = x + x + ax + b chia hÕt cho ®a thøc g ( x) = x + x + 161 37 13 2) Tìm d phép chia đa thức P( x) = x + x + x + x + x + 2006 cho ®a thøc Q( x) = x + Câu III: (2 điểm) 1) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 P= + + a − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a ≠ −b , b ≠ −c, c ≠ −a a − bc b − ac c − ab + + =0 CMR: (a + b)(a + c) (b + a)(b + c) (c + a)(c + b) Câu IV: (3điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm CP vµ NB CMR: a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho ABC có ba góc nhọn, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H HA' HB' HC ' + + CMR: AA' BB' CC ' Câu V: (1 điểm): số Cho hai số a, b không đồng thời Tìm giá trÞ a − ab + b Q= a + ab + b lín nhÊt, nhá nhÊt biểu thức: Đề số Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a (b + c) (b − c) + b(c + a) (c − a ) + c(a + b) (a − b) 1 + + =0 b) Cho a, b, c khác nhau, khác a b c 1 N= + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Rút gọn biểu thức: Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + y − xy − x + y + b) Giải phơng trình: ( y 4,5) + ( y − 5,5) − = Bµi 3: (2điểm) Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau đợc 15 phút, ngời gặp ô tô, từ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h « t« ®Õn A nghỉ 15 phút trở lại B gặp ngời xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đờng AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vuông góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) 4 2 Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3x + y = 345 Đề số Bài 1: (2,5điểm)Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + x -2 víi x > Bµi : (1,5®iĨm)Cho abc = A= Rót gän biĨu thøc: a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + P= ab 4a − b 2 Bµi 3: (2điểm)Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > 0.Tính: Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM < CM Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm ®èi xøng cña M qua E F a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm Chøng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF hình vuông Bài 5: (1điểm)Chứng minh với số nguyên n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23 Đề số Bài 1: (2điểm) Cho biểu thức: M = 1 1 + + + x − x + x − x + 12 x − x + 20 x − 11x + 30 1) Rót gän M 2) Tìm giá trị x để M > Bài 2: (2điểm) Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vòi sau 42 phút bể đầy nớc Còn đóng vòi chảy mở vòi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy 1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên cho: x + xy + x + y + y = Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC F, đờng thẳng vuông góc với AE A cát CD K 1) Chứng minh tam giác ABF tam giác ADK 2) Gọi I trung ®iĨm KF, J lµ trung ®iĨm cđa AF Chøng minh rằng: JA = JB = JF = JI 3) Đặt DE = x (a ≥ x > 0) tÝnh ®é dài cạnh tam giác AEK theo a x 4) H·y chØ vÞ trÝ cđa E cho độ dài EK ngắn Bài 5: (1điểm)Cho x, y, z khác thoả mãn: x2 y2 z N= + + yz zx xy 1 + + =0 xy yz zx TÝnh Đề số Câu I: (5 điểm) Rút gọn ph©n thøc sau: x −1 + x + x 1) 3x − x + ( a − 1) − 11(a − 1) + 30 2) 3(a − 1) − 18(a − 2a) − Câu II: (4 điểm) 1) Cho a, b số nguyên, chứng minh a chia cho 13 d vµ b 2 chia cho 13 d th× a + b chia hÕt cho 13 2) Cho a, b, c số nguyên thoả mãn abc = Tính giá trị biểu thức: a b c + + + a + ac + b + bc + c + ac x + 2x + x + 2x + + = 3) Giải phơng tr×nh: x + x + x + x + A= Câu III: (4 điểm)Để thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng công việc Nếu hai tổ làm chung hoàn thành 15 NÕu tỉ I lµm giê, tỉ lµm làm đợc 30% công việc Nếu công việc đợc giao riêng cho tổ tổ cần thời gian để hoàn thành Câu IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD 1) Tứ giác DFBE hình ? ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chøng minh AC = AB AH + AD AK x − 2002 2002 + x − 2003 2003 =1 Câu V: (2 điểm)Giải phơng trình: Đề số Câu I: (2điểm) 2 Thực phÐp chia A = x − x − x − x + cho B = x + Tìm x Z để A chia hết cho B Phân tích đa thức thơng câu thành nhân tử Câu II: (2điểm) 16 32 So sánh A B biết: A = − vµ B = 6(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1) Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44 Câu III: (2điểm) Cho tam giác có ba cạnh a, b, c tho¶ m·n: (a + b + c) = 3(ab + bc + ca) Hỏi tam giác cho tam giác ? 100 99 2 Cho ®a thøc f(x) = x + x + + x + x + T×m d cđa phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE Tứ giác AEHF hình ? Tại ? Chøng minh AB CF = AC AE So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Câu V : (1 điểm)Chứng minh nghiệm phơng trình sau số nguyên: x − x − x − x − 2005 x − 2004 x − 2003 + + = + + 2005 2004 2003 §Ị sè Câu 1: (2điểm) N= 3x y xy a) Cho x − xy + y − x + y + 13 = Tính b) Nếu a, b, c số dơng đôi khác giá trị đa thức sau số dơng 2 A = a + b + c − 3abc C©u 2: (2 ®iĨm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = th×: a b   a − b b − c c − a  c A= + + + +  =9 a b  a − b b − c c − a   c Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đờng AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đờng đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đờng sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian ô tô quãng đờng AB biết ngời đến B Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc vơi AE cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x + 3x + = y Đề số Bài 1: (2 điểm)   x +  −x + −2 x  x  M = 1  x+  + x + x x  Cho a) Rót gän M b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ M Bài 2: (2 điểm) a) Tìm x biết : (2 x − 5) − ( x − 2) = ( x 3) b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh phơng Bài 3: (2 điểm) 3 2 3 a) Cho x y thoả mãn: x + 17 xy + y = xy − y − TÝnh H = x + y + xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = abc Chøng minh: a(b − 1)(c − 1) + b(a − 1)(c − 1) + c(a − 1)(b − 1) = 4abc Bµi 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AD BC lần lợt M N a) Chứng minh IM = IN 2 2 2 1 + = b) Chøng minh: AB CD MN c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt H E Chứng minh HM + HE = 2AK d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) Tính S(ABCD) theo a b Đề số 10 Câu 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 a) x x − 12 ; b) x + x + ; c) ( x + x + 2)( x + 11x + 30) Câu 2: (2 điểm) 16 32 1) So sánh A B biÕt: A = vµ B = 24(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1) 2 2) Cho 3a + 2b = 7ab vµ 3a > b > 2005a − 2006b P= 2006a + 2007b Tính giá trị biểu thức: Câu 3: (2 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y − xy − x − 12 y + 1974 x x +1 2) Giải phơng trình: y + + y − + = 8 8 2 2 3) Chøng minh r»ng: a + b + c + d ≥ 4a b c d Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi b) Chøng minh AF2 = FK FC c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu 5: (1 điểm) Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức f(x) nghiệm nguyên Đề số 11 Câu 1: (2 ®iĨm)      1 +  +  19 +   4  4 A=        +  +   20 +   4  4  a) TÝnh giá trị biểu thức: b) Chứng minh rằng: Tích cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi số phơng Câu 2: (2 điểm) 2006 x y z + + =1 xy + 2006 x + 2006 yz + y + 2006 xz + z + a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 2 c) Cho a + 2b + 3c ≥ 14 Chøng minh r»ng: a + b + c ≥ 14  3x + x −1  x −1  B =  − −  x − x + x + x −  2x − 5x + C©u 3: (2 điểm)Cho phân thức: a) Rút gọn B b) Tìm giá trị lớn B Câu 4: (3 điểm) Cho M điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ hình vuông AMCD BMEF a) Chøng minh: AE ⊥ BC b) Gäi H lµ giao ®iĨm cđa AE vµ BC, chøng minh r»ng: D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đờng thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB Câu 5: (1 điểm) 1 1 + + + + < 3 n a) Chøng minh r»ng víi ∀n ∈ N vµ n > thì: b) Giải phơng trình: ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) C = 1+ §Ị sè 12 Câu 1: (2 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x x − ;b) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 ;c) x + A= 1 1 + + + x + x + x + x + 12 x + x + 20 x + 11x + 30 2) Rót gän: Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm đa thức f(x) biết r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + đợc thơng 1-x2 d 2) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau số nguyên A= 2x3 + x + 2x + 2x + Câu 3: (2 điểm)Giải phơng trình: x x − x − x − x − x − + + = + + 97 95 98 96 94 a) 99 2 b) ( x + x + 1) + ( x + x + 1) − 12 = C©u 4: (3 điểm)Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt E, K, G Chøng minh r»ng: 1) AE = EK EG 1 = + 2) AE AK AG 3) Khi đờng thẳng d xoay quanh điểm A Chøng minh: BK DG = const C©u 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ có biểu thøc sau: §Ị sè 13 B= 16 x + x + 2x (víi x > 0) C©u 1: (6 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tö; a) x − y − x + xy − y ;b) xy + x − y − y ;c) x − xy + y + 3x − y − 10 C©u (4 điểm)Cho a + b + c = abc ≠ Chøng minh r»ng: 2 2 x4 + x x + 3x + Q= +1− x +1 x − x +1 Câu (4 điểm)Cho biểu thức ( x −1 ) a) Rót gän biĨu thøc Q b) T×m giá trị nhỏ Q Câu 4: (6 điểm) Vẽ phía tam giác nhọn ABC tam giác ABD ACE Gọi M, N lần lợt trung điểm AD CE H hình chiếu N AC, từ H kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC I a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN b) Tính góc tam giác MNI c) Giả sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b Đề số 14 Câu 1: (2 điểm) 3 3 a) Phân tích thành thừa số: (a + b + c) − a − b − c x − x − 12 x + 45 b) Rót gän: 3x − 19 x + 33x Câu 2: (2điểm)Chứng minh rằng: A = n (n − 7) − 36n chia hÕt cho 5040 với số t/ nhiên n Câu 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nớc giếng Nếu làm máy bơm A hút hết nớc 12 giờ, máy bơm B hót hÕtníc 15 giê 2 vµ máy bơm C hút hết nớc 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B Tính xem giếng hết nớc b) Giải phơng trình: x + a x 2a = 3a (a số) Câu 4: (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích IMN lớn gấp đôi diện tích ABC Câu 5: (1 điểm) Chứng minh số: phơng ( n ) Đề số 15 P= 22499     9100      09 n-2 sè n sè lµ sè chÝnh a − 4a − a + a − a + 14a Câu 1: (2 điểm)Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biÓu thøc: P = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 3: (2 ®iĨm) 1 1 + + = a) Giải phơng trình: x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a, b, c lµ ba cạnh tam giác Chứng minh rằng; A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a +b−c C©u 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D vµ E Chøng minh: BD.CE = BC a) b) DM, EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED Câu 5: (1 điểm)Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi Đề số 16 Bài 1: (2 điểm) 10 a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh BEFC hình thang c) Tìm vị trí H BC để BEFC hình thang vuông, hình bình hành Câu 5: (1 điểm) 2 : P = a −b §Ị sè 20 Cho a + 3ab = 14  b + 3a b = 13 Tính giá trị Bài 1: (2 điểm) 2 a) Cho x > 0, y > tho¶ m·n: x − xy = y Tính giá trị biểu thức: A= x− y x+ y b) Víi x = Rót gän biĨu thøc: B= − x + 6x − 5 x n − x n +1 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh với giá trị nguyên x biểu thức P ( x) = 1985 x3 x2 x + 1978 + có giá trị nguyên Bài 3: (2 điểm) Một ngời xe đạp, ngời xe máy, ngời ô tô từ A B khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, giê víi vËn tèc thø tù lµ 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h Hái lóc mÊy giê « t« cách ngời xe đạp xe máy Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O giao điểm ba đờng trung trực, vẽ phía tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH Biết OE = OH Tính số đo góc BAC ? 2 Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: ( x x + 11)( y + y + 4) = − z + z + Đề số 21 Câu 1: (2 ®iÓm) A= a + a −  ( a + 2) − a  −  n +1 n  a − 3a  4a − a − a a) Rót gän biÓu thøc: 19 18 17 16 b) TÝnh giá trị biểu thức: B = x x + x − x + − x + x + 1886 C©u 2: (2 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình x + x − 12 y = b) Cho a, b, c số tự nhiên không nhá h¬n 1 + ≥ 2 Chøng minh r»ng: + a + b + ab 13 víi x = C©u 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải từ A đến B víi vËn tèc 45 km/h Sau ®ã mét thêi gian ô tô từ A đến B với vận tốc 60 km/h thay đổi đuổi kịp ô tô tải B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB, xe tải giảm bớt km/h nên hai xe gặp C cách B 30 km Tính quãng đờng AB Câu : (3 điểm) Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD c¾t BD, BC, DC theo thø tù ë E, K, G Chøng minh r»ng: 1 = + b, AE AK AG a, AE2 = EK EG; c, Khi đờng thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhng ®i qua A th× tÝch BK.DG = Const x − x + 2005 M= x2 C©u 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Đề số 22 Câu 1: (2 điểm) a) Chứng minh với số nguyên dơng ta có: A= x5 x4 x3 5x2 x + + + + 120 12 24 12 B= luôn số nguyên dơng x + x + x + + x + x 26 + x 24 + x 22 + + x + 24 20 16 b) Rót gọn: Câu 2: (2 điểm)Bạn A hỏi bạn B: năm bố mẹ anh tuổi ? B trả lời: bố mẹ tuổi Trớc tổng số tuổi bố mẹ 104 tuổi tuổi ba anh em 14; 10 Hiện tổng số tuổi bố mẹ gấp lần tổng sè ti cđa ba anh em t«i” TÝnh xem ti bố mẹ bạn B ? Câu 3: (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu: x + y = z + t (x, y, z, t ∈ Z ) th× sè : A = x + y + z + t lµ tỉng bình phơng ba số nguyên b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong cã ®iỊu kiƯn ®óng, ®iỊu kiƯn sai: N + 45 bình phơng số tự nhiên N có chữ số tận N - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm) Hai đờng chéo AC BD hình thoi ABCD cắt O Đờng trung trực AB cắt BD AC O1 O2 Đặt O2A = a ; O1B = b TÝnh diÖn tÝch ABCD theo a, b x Câu 5: (1 điểm) Tìm x, y, z ∈ Z tho¶ m·n: (2 x + y + 1)(2 + y + x + x) = 105 §Ị số 23 Câu 1: (2 điểm) 14 3k + 3k + (k + k ) a) Cho víi k ∈ N*.TÝnh tỉng S = a1 + a2 + a3 + + a2007 2 b) Chøng minh r»ng: A = n (n − 7) − 36n chia hÕt cho víi mäi n nguyªn ak = Câu 2: (3 điểm) a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: x2 + y + = ; y2 + 2z + = z2 + 2x + = ; 2005 2006 2007 Tính giá trị biểu thức: A = x + y + z b) Chøng minh r»ng víi x, y ∈ Z th× P = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y số phơng c) Tìm số d phÐp chia: ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 2007 cho x + x + C©u 3: ( điểm)Phơng Hng có 110.000 đồng Hai ngời rủ chợ Phơng tiêu 1/5 số tiền Hng tiêu 1/6 số tiền Số tiền lại Hng nhiều số tiền lại Phơng 10.000 đồng Hỏi ngời có tiền Câu 4: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD 1) Tứ giác DFBE hình ? ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam gi¸c BCA 3) Chøng minh AC = AB AH + AD AK Đề số 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình: 1 + + + + .x 2005  2 = 2005 2004 2003 2002 + + + + 2004 a) x −1 + x = b) Câu 2: (2 điểm) Tìm tỉ lệ ba đờng cao tam giác Biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác tỉ lệ kết : : Câu 3: (2 điểm) a) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: P( x) = (2004 − 2005 x + x ) 2004 (2004 + 2005 x + x ) 2005 b) Tìm số tự nhiên n để n + n + số nguyên tố Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C điểm đối xứng H qua AB, B điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm BC với AC AB I K Chứng minh IB, CK đờng cao tam giác ABC 15 Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c ∈[ 0; 1] vµ a + b + c = Tìm giá trị lớn 2 biÓu thøc P = a + b + c Đề số 25 Câu 1: ( điểm) a) Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: x x x − x + x + x + x −   3y2 y x2      − − y+ 2   x − xy x − xy x + x y + xy x + y   b) Rút gọn biểu thức: Câu 2: (2 điểm) 4 a) Có tồn cặp số tự nhiên (x, y) để số x + y số nguyên tố không y2 y + = x + 2x + b) Giải phơng trình: Câu 3: (2 điểm) Một ngời ®i tõ A ®Õn B råi ®i tư B vỊ A 17 phút, đoạn đờng AB dài km gồm đoạn lên dốc, tiếp đoạn đờng bằng, cuối đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đờng dài km Nếu vận tốc ngời lúc lên dốc 4km/h, lúc đoạn đờng km/h, lúc xuống dốc km/h Câu 4: (3 điểm)Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đờng chéo BD Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc víi AD a) Chøng minh: DE = CF vµ DE CF b) Chứng minh đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c ba sè d¬ng Chøng minh r»ng: 1< a b c + + x > vµ xy      1 +  +  11 +   4  4 A=        +  +  12 +   4  4  b) Rót gän biĨu thøc C©u 2: (2 điểm) a) Giải phơng trình: M= x y x+ y x − x − 19 x + 106 x − 120 = x 2004 y 2004 x4 y4 + 1002 = + = 1002 2 b (a + b)102 b) Cho a b a + b vµ x + y = Chứng minh rằng: a Câu 3: (2 điểm) Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bình đờng hai nhà Bình Khi trở đến nhà An tính quãng đờng dài gấp bốn lần quãng đờng Bình Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, góc vuông xAy qoay quanh đỉnh A hình vuông, cạnh Ax cắt đờng thẳng BC, CD lần lợt M, N; cạnh Ay cắt đờng thẳng P Q a) Chứng minh ANP AMQ vuông cân b) Biết QM cắt PN R; I, K theo thứ tự trung điểm PN, QM Tứ giác AKRI hình ? c) Chøng minh ®iĨm: B, D, K, I cïng thc đờng thẳng, từ suy đờng thẳng IK cố định góc vuông xAy quay quanh đỉnh A 3 Câu 5: (1 điểm)Cho p + q = Chøng minh r»ng: < p + q Đề số 28 Câu 1: (2 điểm) a) Giải phơng trình: ( x x + 4) + (2 − x ) + (4 x − 6) = b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 2004 x + 2003x + 2004 3 a b c + + =0 Câu 2: (2 điểm) Cho a + b + c = ; x + y + z = ; x y z 17 Chøng minh: ax + by + cz = Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dơng A; Cho biết ba mệnh ®Ị P, Q, R díi ®©y chØ cã nhÊt mệnh đề sai: P = A+ 45 bình phơng số tự nhiên Q = A tận chữ số R = A - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD; M điểm tuú ý trªn BD, ME ⊥AB; MF ⊥ AD (E ∈ AB, F ∈ AD) a) Chøng minh DE, BF, CM đồng quy b) Tìm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn 2 Bài 5: (1 điểm)Tìm x nguyên để y nguyên: y= 2x + x2 + Đề số 29 Câu 1: (2 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc: A= x−2 + x +x 3x − x + 4 B= + + + x + x x + x + 10 x + 14 x + 15 x + b) a) Câu 2: (2 điểm) a) Cho 3a + b = 4ab vµ b > a > TÝnh 2 P= a −b a+b b) T×m x, y biÕt: x + y − xy − 3x + = Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 19 d 3, b 2 chia cho 19 d th× a + b + ab chia hÕt cho 19 b) Chøng minh r»ng tÝch cña sè tù nhiên liên tiếp cộng số phơng Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AA, BB , CC cắt H, gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam 2 giác ABC Trên tia HG lÊy ®iĨm O cho OG = OH; AO HM cắt D a) Chứng minh OM BC.;b) Tứ giác BHCD hình ? c) Gọi A1 , B1 , C1 điểm đối xứng H qua cạnh BC, CA, AB TÝnh AA1 BB1 CC1 + + AA' BB' CC ' 18 P = ( x + 8) + ( x + 6) Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Đề số 30 Câu 1: (2 ®iĨm) Cho ®a thøc A = 2a b + 2b c + 2a c − a − b c a) Phân tích đa thức A thành nhân tư b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ độ dài ba cạnh tam giác A> Câu 2: (2 điểm) 2 2 2 4 2 a) Giải phơng trình: ( x − y ) = xy + a b c + + =0 b) Cho a, b, c đôi khác b c c − a a − b a b c P= + + 2 ( b − c ) ( c − a ) ( a − b) Tính Câu 3: (2 điểm) 2 a) Cho m, n số thoả mãn: 3m + n = 4m + n Chøng minh (m-n) vµ (4m + 4n + 1) số phơng b) Cho x, y, z số khác thoả mãn x + y + z = xyz A= 1 + + =m x y z vµ 1 + + 2 x y z theo m Tính giá trị biểu thức: Câu 4: (3 điểm)Cho ABC , trọng tâm G, BC lấy ®iĨm P, ®êng th¼ng qua P theo thø tù song song CG BG cắt AB, AC E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự I, J a) Chøng minh: EI = IJ = JF b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iĨm cđa EF c) Mét đờng thẳng P tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp lần khoảng cách từ trọng tâm đến đthẳng d Câu 5: (1 điểm) Tìm tất số có hai chữ số ab cho: nguyên tố Đề số 31Câu 1: (2 điểm)Cho biểu thøc: M = ab a−b x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x) (1 + x)(1 − y ) a) Rút gọn M b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Câu 2: (3 điểm) a) Chứng minh với n số tự nhiên chẵn biểu thức: A = 20 n + 16 n − 3n − chia hÕt cho 323 b) Cho x, y, z khác x + y + z Chøng minh r»ng: 19 lµ sè 1 1 + + = NÕu x y z x + y + z th× x 2007 + y 2007 + z 2007 = x 2007 +y 2007 + z 2007 Câu 3: (2 điểm) Trong đua mô tô có ba xe khởi hành lúc Một xe chạy chậm xe thứ 15 km nhanh xe thứ ba km, đến đích chậm xe thứ 12 phút sớm xe thứ ba phút Không có dừng lại đờng Tìm vận tốc xe, quãng đờng đua xem xe chạy thời gian Câu 4: (2 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt trung điểm AB, BC, CD DA Các đoạn thẳng AO, BE, Cn DK cắt t¹i L, M, R, P TÝnh tØ sè diƯn tÝch S(MNPR) : S(ABCD) Câu 5: (1 điểm)Tính tổng S= 1 1 + + + + 1.2.3 2.34 3.4.5 n( n + 1)(n + 2) Đề số 32 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích a + thành nhân tử A= + + 10 + 14 + 184 + 4 + 84 + 12 + 16 + 20 + b) TÝnh : C©u 2: (2 ®iĨm) 15 14 13 2 a) TÝnh giá trị biểu thức: A = x x + x − x + − x + x − víi x = b) Tìm n nguyên để n - chia hÕt cho n − n + C©u 3: ( ®iĨm) a) Cho ®a thøc f ( x) = x + x + + x + x + T×m d cđa phÐp chia f(x) cho x b) Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc sau: 100 99 B = xy ( x − 2)( y + 6) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2004 Câu 4: (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE a) Tứ giác AEHF hình ? Tại ? b) Chøng minh AB AE = AC AF c) So s¸nh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC 2 Câu 5: (1 điểm) Cho x + y − xy = x + y 3 T×m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y Đề số 33 Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử: 10 a) x + x + 2 b) ( x − 3x + 2)( x − x + 12) − 15 2 Cho a, b số thoả mãn a + b + ab = 2005 Tính giá trị biểu thức: P= a + b + ( a + b) a + b + ( a + b) 20 Câu 2: ( điểm) ) Cho p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số nguyên tố b) Tìm số dơng x, y, z thoả mãn: x + y = xyz vµ x + y + z = Câu 3: (2 điểm) Trên quãng đờng AB thành phố, phút lại có mét xe bt ®i theo chiỊu tõ A ®Õn B phút lại có xe buýt theo chiều ngợc lại Các xe chuyển động ®Ịu víi cïng vËn tèc nh Mét kh¸ch du lịch từ A đến B nhận thấy phút lại gặp xe buýt từ B vể phía Hỏi phút lại có xe từ A vợt qua ngời Câu 4: (3 điểm) a) Cho hình bình hành ABCD Lấy E thuộc BD, Gọi F điểm đối xứng với C qua E Qua F kỴ Fx song song víi AD, cắt AB I, Fy song song với AB, cắt AD K Chứng minh ba điểm I, K, E thẳng hàng b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d Tìm điểm M (d M n»m kh¸c phÝa víi AB) cho c¸c tia MA, MB tạo với đờng thẳng d tam giác có diện tích nhỏ Câu 5: (1 điểm)Giải phơng trình: Đề số 34 x a2 x b2 x2 + a = b2 − x x2 − b2 Câu 1: (2 điểm) x4 + x2 + A= x2 a) Cho x − x + = Tính giá trị biểu thức: x2 + b) Tìm số tự nhiên x để x + số phơng Câu 2: (2 điểm) a) Giải phơng trình: ( x 1) = x + x −1 >1 b) Gi¶i bất phơng trình: x Câu 3: ( điểm)Việt (hỏi): Bạn số nhà ? Nam (trả lời): Mình số nhà số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu nh hai chữ số cuối lập thành số phơng số gấp bốn lần số ? Việt: Sau lúc suy nghĩ tìm số nhà Nam Hỏi số nhà Nam ? Câu 4: ( điểm) 1) Cho hai điểm A B nằm phía đờng thẳng a Hãy tìm đờng thẳng a điểm P cho tổng độ dài AP + PB bé 2) Cho góc nhọn xOy điểm A miền góc Hãy tìm hai cạnh Ox, Oy điểm tơng ứng B C cho chu vi tam gi¸c ABC bÐ nhÊt 21 2 2 Câu 5: (1 điểm)Tìm số x, y, z, t tháa m·n: x + y + z + t = x( y + z + t ) Đề số 35 Câu 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 3 a) (a + b + c) − (a + b − c) − (b + c − a) − (c + a − b) b) ( x + y ) + ( z − x ) − ( y + z ) Câu 2: (2 điểm) a) Cho f(x) = ax + bx + c Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) 2 2 2 b) Tìm số x, y nguyên dơng thoả mãn: x − y = y + 13 C©u 3: ( ®iĨm) a) Chøng minh r»ng n − 5n + 4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyên b) Cho tam giác có độ dài hai đờng cao cm cm Hãy tìm ®é dµi ®êng cao thø ba, biÕt r»ng ®é dµi đờng cao số nguyên Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài ®êng chÐo cđa ngò gi¸c ®ã b) Cho tam gi¸c ABC Trong hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh BC hai đỉnh lại lần lợt nằm hai cạnh AB AC, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn 2 Câu 5: (1 điểm).Tìm tất số thực dơng x, y thoả mãn: Đề số 36 x + y = xy Câu 1: ( điểm) a) Chøng minh r»ng: n − n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n 3 b) Phân tích thành nhân tử: x + y xy + Câu 2: (2 điểm) 1 x + y + z =    −1 =4  xy z a) T×m x, y, z thoả mãn: b) Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: A= 1 + + 2 ( a − b) (b − c ) (c − a ) số hữu tỉ Câu 3: ( ®iÓm) 2 1   25   x +  +  y +  ≥ x  y a) Cho x, y > tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng:  1 1 + + + < n + (n + 1) b) Chøng minh r»ng: 13 22 27 C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x) = x + ax + bx + cx + d víi a, b, c , d lµ h»ng sè BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8) 2 2 Câu 5: ( điểm)Tìm số x, y nguyên thoả mãn: x y x y = xy Đề số 37 Bài 1: (4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x + b) Tìm số nguyên a ®Ĩ biĨu thøc P= a2 + a + a +1 nhận giá trị nguyên Bài 2: (4 điểm) §a thøc P(x) chia cho x -3 d 7, chia cho x + d -9 cßn chi cho x2 - 5x + đợc thơng x2 + d Tìm đa thức P(x) Bài 3: (6 điểm) x ab x ac x − bc + + =a+b+c a) BiÕt x nghiệm phơng trình: a + b a + c b + c Tìm x dạng thu gọn M= (23 + 1)(33 + 1)(43 + 1) (503 + 1) (23 − 1)(33 − 1)(43 − 1) (503 − 1) b) Rút gọn biểu thức: Bài 4: (6 điểm) a) Trªn tia Ox cđa gãc xOy cho tríc mét điểm A Hãy tìm tia Oy góc mét ®iĨm B cho OB + BA = d (với d độ dài cho trớc b) Cho tam giác ABC có trung tuyến kẻ từ B C BE CF Chứng minh BE vuông gãc víi CF vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 Đề số 38 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: x + 3x − x + 3 b) Giải phơng trình: x + 3x 3x + =  a + a − 2 a +1 P= −   a +1 a a Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm a để P nguyên Bài 3: (3 điểm) a) Tìm số nguyên x, y, z biÕt r»ng: y + z +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z b) Cho ®a thøc f(x) = ax + bx + c víi a, b, c số hữu tỉ Biết f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên 23 Bài 4: (2 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®êng cao AA, BB, CC Gọi H trực tâm tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: HA' HB' HC ' + + =1 AA' BB' CC ' Bµi 5: (1 điểm) Tìm số a b chob ®a thøc x + ax + b chia cho (x + 1) th× d 7, chia cho (x-3) th× d -5 Đề số 39 Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biÓu thøc: 2 2 a) P = (a + b + c) + (a − b + c) + (a + b − c) + (b + c − a) Q= 1 − − x − y x + y x + y2 b) Bµi 2: ( điểm) a) Phân tích đa thức thành nh©n tư: (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc b) T×m x, y biÕt: x2 + y2 − x + y + =0 c) Cho A = (n − 1)(n − 3n + 1) Tìm số tự nhiên n để giá trị A số nguyên tố Bài 3: ( điểm) Giải phơng trình: x 13 x − 11 x − x − x − x − 117 x − 119 x − 121 x − 123 x − 125 + + + + = + + + + 117 119 121 123 125 13 11 Bài 4: (2 điểm) Một ô tô khởi hành từ A đến C, hai giê sau mét « giê tÝnh tõ ô tô thứ lhởi hành tô khác từ B đến C Sau hai ô tô gặp Tính vận tốc ô tô Biết B nằm đờng từ A đến C quãng ®êng AB b»ng 78 km, vËn tèc cđa « t« từ A lớn vận tốc ô tô ®i tõ B lµ km/h Bµi 5: (2 ®iĨm) Cho tam giác ABC có ba phân giác AD, BE vµ CF Gäi M, N, P theo thø tự điểm đối xứng B, A C qua AD, BE , AD Q điểm đối xøng cña A qua CF Chøng minh MN // PQ Đề số 40 Bài 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x + − x − x 3 3 3 b) a(b − c ) + b(c − a ) + c(a − b ) Bµi 2: (4 ®iĨm) 3 a) Rót gän biĨu thøc sau: (a + b + 1) − (a + b − 1) − 6(a + b) 2 b) Xác định a, b để đa thức x + ax + x + b chia hÕt cho ®a thøc x − 2005 2004 2002 c) T×m d cđa phÐp chia ®a thøc f ( x) = 2004 x − 2005 x + x − cho ®a thức x2 d) Tìm x nguyên thoả mãn: x − < 24 Bµi 3: (2,5 ®iĨm)Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC Gäi M, N, P Q lần lợt trung điểm AB, CD, BD vµ AC a) Chøng minh MN lµ phân giác góc PMQ b) Tìm điều kiên tứ giác ABCD để MN = PQ c) Xác định vị trí điểm I CD để AIB có chu vi nhỏ Bài 4: (1,5 điểm) 2 2 a) TÝnh nhanh: 998 + 999 + 1001 + 1002 2 b) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A = x + xy + y − 3x − y + 2004 §Ị sè 41 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nh©n tư: x + x3 − x + 3x b) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A = x + y − xy − x − 12 y + 2006 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm thơng phần d phÐp chia ®a thøc: f ( x ) = + x + x + x + + x1997 cho x + b) Đa thức f(x) chia cho x-3 d 10, chia cho x+5 d chia cho (x-3)(x+5) đợc thơng x + d Tìm đa thức f(x) 1999 1997 Bài 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên x cho M = x + x + có giá trị số nguyên tố Bài 4: (3 điểm)Cho hình vuông ABCD điểm M đờng chéo AC Từ M hạ MH, MK thứ tự vuông góc với AB vµ BC a) Chøng minh r»ng: AK, CH vµ DM ®ång quy ( ) HK + KD b) TÝnh c¸c gãc cđa ∆DHK nÕu biÕt diện tích Bài 5: (1 điểm)Tìm a để phơng trình sau có nghiệm nhÊt: 2x − a + = x + Đề số 42 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x − x + x − x − 3x + b) x + x +  m m2 + m +  2m +   : P= +  m − m − m +  m + 2m + Bµi 2: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: a) Rót gän P m= 2001 1999 b) Tính P Bài 3: (2 điểm) a) Chứng minh với số nguyên dơng n ph©n sè: 15n + 8n + 30n + 21n + 13 tối giản 25 b) Tìm số nguyên n để n chia hết cho n 64 Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AE, cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF, AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CEM không đổi E chuyển động BC Bài 5: (1 điểm)Tìm a để P = a4 + số nguyên tố Đề số 43 Bài 1: ( 2điểm) hân tích đa thức thành nhân tử: a) ( x + y ) − ( x + y ) − 2 b) ( x + x + 1)( x + 3x + 1) + x Bµi 2: (2 ®iĨm) Cho ®a thøc P( x) = x + ax + bx + cx + dx + e vµ cho biÕt P(1) = ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51 Tính P(6) ; P(7) ; P(8) Bài 3: (2 điểm) Giải phơng trình: x2 + 4x =5 x − 4x + a) b) x = x + x + x + Bµi 4: (2 điểm)Dùng hai can lít 2,5 lít làm để đong đợc lít rợu từ can lít đựng đầy rợu (các can vạch chia độ) 100 10 Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x 10 x + 10 Đề số 44 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành nhân tử: x x b) Tìm cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lín nhÊt: P = − x − y + xy + x + y Bµi 2: ( 2điểm) Giải phơng trình: a) ( x + 2) + ( x + 3) + ( x + 4) = x − + x − = x − 2x + b) Bài 3: ( điểm)Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Newtơn đa thức: [1 + x (1 x)] Bài 4: (2 điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết số luỹ thừa bậc bốn tổng chữ số Bài 5: (2 điểm) x2 + x +1 ≤ ≤3 Chøng minh r»ng: x − x + 26 §Ị sè 45 Câu 1: ( điểm)Phân tích thành nhân tử: a) x y + 64 b) x − x + 14 x − x + Câu 2: ( điểm)Tìm m để phơng trình sau cã hai nghiÖm: 4 x + x − − x +1 = m C©u 3: ( ®iĨm)Cho x − 2006 x + = Tính giá trị biểu thức: x4 + x2 +1 P= x2 Câu 4: (2 điểm)Cho x, y, z > vµ xyz =1 Chøng minh r»ng: 1 + + ≤1 3 x + y + y + z + z + x3 + Câu 5: ( điểm) Cho a, b, c ba số dơng thoả mãn: a + b + c =     P = 1 + 1 + 1 +   a  b  c  T×m GTNN cđa biĨu thøc: 27 ... z + Đề số 21 Câu 1: (2 ®iĨm) A= a + a −  ( a + 2) − a  −  n +1 n  a − 3a  4a − a − a a) Rót gän biĨu thøc: 19 18 17 16 b) Tính giá trị biểu thức: B = x − x + x − x + − x + x + 188 6 Câu... xứng H qua cạnh BC, CA, AB TÝnh AA1 BB1 CC1 + + AA' BB' CC ' 18 P = ( x + 8) + ( x + 6) Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Đề số 30 Câu 1: (2 điểm) Cho đa thức A = 2a b + 2b c + 2a c −... song víi AB b) AB2 = CD EF n C©u 5: (1 ®iÓm)Chøng minh r»ng biÓu thøc: 10 + 18n − chia hết cho 27 với n số tự nhiên Đề số 19 Câu 1: (2 điểm) a) Phân tích thành nhân tử: x + 3x x − 12 A= 1 1 +