bộ đề thi học sinh giỏi toán 8

Bộ đề thi học sinh giỏi toán đề (43) Câu 1: a − (b − c) b2 + c − a Cho x = ;y= (b + c) − a 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phương trình: 1 1 a, = +b+ a+b− x a x b, (x ẩn số) (b − c)(1 + a ) (c − a )(1 + b) (a − b)(1 + c) + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c số đôi khác nhau) Câu 3: Xác định số a, b biết: (3 x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 nghiệm nguyên Câu 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C Đề (44) Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn: a+b−c b+c−a c+a −b = = c a b b a c b Tính giá trị M = (1 + )(1 + )(1 + a ) c Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x2 – x + b Câu 3: Giải PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680 Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + = Câu 4: Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có chữ số mà mẫu tổng chữ số Câu 5: Cho ∆ ABC cân A, AB lấy D, AC lấy E cho: AD = EC = DE = CB a, Nếu AB > 2BC Tính góc µA VABC b, Nếu AB < BC Tính góc µA VHBC đề (45) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2:  + x3 x(1 − x )2  − x ( + x )( − x ) Cho A = :   1+ x + x2  1− x  a, Rút gọn A b, Tìm A x= - c, Tìm x để 2A = Câu 3: a, Cho x+y+z = Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + z2 x b, Tìm giá trị lớn P = ( x + 10)2 Câu 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1< a b c + + 36, CMR: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca b, CMR: a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) Câu 5: a, Tìm x,y,x ∈ Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = b, Tìm nghiệm nguyên PT: 6x + 15y + 10z = Câu 6: Cho VABC H trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB B, với AC C cắt D a, CMR: Tứ giác BDCH hình bình hành µ tứ giác ABDC b, Nhận xét mối quan hệ góc µA D Đề (47) Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c ≠ Tính giá trị D = x2003 + y2003 + z2003 Biết x,y,z thoả mãn: x2 + y + z x2 y z = + + a2 + b2 + c2 a b2 c Câu 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 + ≥ a b a+b b, Cho a,b,c,d > CMR: a −d d −b b−c c−a ≥ + + + d +b b+c c+a a+d Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x + xy + y với x,y > x − xy + y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x + 1995)2 với x > Câu 5: a, Tìm nghiệm ∈ Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 Câu 6: Cho VABC M điểm ∈ miền VABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ Đề (48) Câu 1: a 13 169 −27 Cho x + y = ( x + z )2 = ( z − y )(2 x + y + z ) x+z 2a − 12a + 17 a − Tính giá trị biểu thức A = a−2 Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Câu 2: Cho x2 – x = 3, Tính giá trị biểu thức M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ M = x(x+1)(x+2)(x+3) b, Cho x,y > x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ N = 1 + x y Câu 4: a, Cho ≤ a, b, c ≤ CMR: a2 + b2 + c2 ≤ 1+ a2b + b2c + c2a b, Cho -1 x +1 x+2 Câu 7: Cho ≤ a, b, c ≤ a+b+c = CMR: a2 + b2 + c2 ≤ Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD góc 150 cắt AD E CMR: VBCE cân đề (50) Câu 1: n3 + 2n − Cho A = n + 2n + 2n + a, Rút gọn A b, Nếu n∈ Z A phân số tối giản Câu 2: Cho x, y > x+y = Tìm giá trị lớn P = (1 - 1 )(1 ) y2 x2 Câu 3: a, Cho a, b ,c độ dài cạnh tam giác CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca) Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán b, Cho ≤ a, b , c ≤ CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca ≤ Câu 4: Tìm x, y, z biết: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz Câu 5: Cho n ∈ Z n ≥ CMR: 13 + 23 +33 + +n3 = n + (n + 1)2 Câu 6: Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + Câu 7: Chia tập N thành nhóm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhóm n gồm n số hạng Tính tổng số nhóm 94 Câu 8: Cho hình vuông ABCD M, N trung điểm AB, BC, K giao điểm CM DN CMR: AK = BC đề (51) Câu 1: Cho M = a b c a2 b2 c2 + + ;N= + + b+c a+c a+b b+c a+c a+b a, CMR: Nếu M = N = b, Nếu N = có thiết M = không? Câu 2: Cho a, b, c > a+b+c = a2 b2 c2 ≥ CMR: + + b+c a+c a+b Câu 3: Cho x, y, z ≥ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 Tìm giá trị lớn M = x + y + z Câu 4: a, Tìm số nguyên x để x2 – 2x -14 số phương Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán ab b, Tìm số ab cho a − b số nguyên tố Câu 5: Cho a, b, c, d sô nguyên dương CMR: A = a b c d + + + số nguyên a+b+c a+b+d b+c+d a+c+d Câu 6: Cho VABC cân (AB=AC) AB lấy điểm M, phần kéo dài AC phía C lấy điểm N cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP CMR: BC ⊥ PC Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x2 + y2 + = (x ≠ 0) x2 Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ đề 10 (52) Câu 1: Cho a, b, c > a3 b3 c3 P= + + a + ab + b b + bc + c c + ac + a Q= b3 c3 a3 + + a + ab + b b + bc + c c + ac + a a, CMR: P = Q b, CMR: P ≥ a+b+c Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) ≥ Câu 3: CMR ∀ x, y∈ Z thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương Câu 4: a, Tìm số tự nhiên m, n cho: m2 + n2 = m + n + b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 5: Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 4x + x2 + Câu 6: Cho x = a − (b − c) b2 + c − a ;y= (b + c) − a 2ab x+ y Tính giá trị: M = − xy Câu 7: Giải BPT: − x < a − x (x ẩn số) Câu 8: Cho VABC , BC lấy M, N cho BM = MN = NC Gọi D, E trung điểm AC, AB, P giao AM BD Gọi Q giao AN CE Tính PQ theo BC Đề 11 (53) Câu 1: Cho x = a −b b−c c−a ;y= ;z= a+b b+c c+a CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) Câu 2: x4 + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A = 2 ( x + 1) Câu 3: a, Cho a, b, c > a+b+c = CMR: b+c ≥ 16abc b, Cho < a, b, c, d < CMR có bất đẳng thức sai bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 3b(1-c) > Câu 4: 8c(1-d) > 32d(1-a) > Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – Câu 5: a, Tìm nghiệm nguyên tố PT: x2 + y2 + z2 = xyz b, Tìm số nguyên tố p để 4p + số phương Câu 6: Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Tìm số có chữ số mà số bội số tích hai chữ số Câu 7: Cho hình thang ABCD (BC// AD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F trung điểm AD, BC CMR: E, O, F thẳng hàng đề 12 (54) Câu 1: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư f(x) chia cho x-4 dư f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương 3x dư Câu 2: a, Phân tích thành nhân tử: A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000 x − yz y − zx z − xy = = b, Cho: a b c a − bc b − ca c − ab = = CMR: x y z Câu 4: CMR: 1 1 + + + (2n + 1) < Với n ∈ N n ≥ 25 Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = x + xy + y (x≠0; y≠0) x2 + y2 Câu 6: a, Tìm nghiệm nguyên PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b, CMR phương trình sau nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999 Câu 7: Cho hình vuông ABCD Trên BD lấy M, từ M kẻ đường vuông góc AB, AD E, F a, CMR: CF = DE; CF ⊥ DE b, CMR: CM = EF; CM ⊥ EF c, CMR: CM, BF, DE đồng qui đề 13 (55) Lª Anh TuÊn 10 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Cho a, b, c, d số nguyên dương a, CMR: A = a b c d + + + không số nguyên a+b+c a+b+d b+c+d a+c+d b, Tìm số tự nhiên liên tiếp cho lập phương số tổng lập phương số lại Câu 4: 1 Cho x, y, z thoả mãn xyz = 1; x + y + z < x + y + z CMR: Có số x, y, z lớn Câu 5: Cho VABC , đường thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AM E, F, N a, CMR: AB AC AM + = AE AF MN b, Giả sử d // BC Trên tia đối tia FB lấy K, KN cắt AB P, KM cắt AC Q CMR: PQ // BC Câu 6: Cho hình thang có độ dài hai đường chéo 3,5 Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm đáy Tìm diện tích hình thang? Đề 30 (72) Câu 1: CMR: ∀n ∈ N ; n ≥ 1 1 + + + + < 13 25 n (n + 1) 20 Câu 2: Cho: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2 CMR: x = y = z Câu 3: a, Phân tích thành nhân tử: A = x3(x2-7)2-36x b, CMR: A M210 với x ∈ N Câu 4: Cho: ≤ a, b, c ≤ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của: P = a+b+c-ab-bc-ca Lª Anh TuÊn 25 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Câu 5: Cho VABC vuông B, tia đối tia BA lấy D cho: AD = 3AB Đường thẳng vuông góc với CD D cắt đường thẳng vuông góc với AC E CMR: VBDE cân đề 31 (73) Câu 1: Cho a+b+c = CMR: ( a−b b−c c −a c a b + + )( + + )=9 c a b a −b b−c c −a Câu 2: Tìm x, y, z biết: x + y + z ≤ xy+3y+2z -4 Câu 3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: a−b b−c c−a + + a+b+c = 27 Tìm a, b, c cho: ab+bc+ca đạt giá trị lớn b, Tìm số tự nhiên liên tiếp cho lập phương số tổng lập phương số lại Câu 5: Tìm nghiệm nguyên dương PT: x2 + (x+y)2 = (x+9)2 Câu 6: Cho lục giác lồi ABCDEF, đường thẳng AB, EF cắt P, EF CD cắt Q, CD AB cắt R Các đường thẳng BC DE; DE FA; FA BC cắt S,T,U AB CD EF BC DE FA = = CMR: Nếu PR = QR = QP US TT TU đề 32 (74) Câu 1: Lª Anh TuÊn 26 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán a, CMR: 62k-1+1 chia hết cho với K ∈ N ; n > b, CMR: Số a = 11 + 44 + bình phương số tự nhiên (Trong có 2k chữ số k chữ số 4) Câu 2: a, Tìm số dư phép chia: x2002+x+1 chia cho x2-1 b, Tìm số nguyên dương x, y cho: 3(x3-y3) = 2001 Câu 3: a, Cho a, b, c > o 1 CMR: a + b + b + c + c + a ≥ 2(a + b + c) b, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: y = x3-6x2+21x+18 Với − ≤ x ≤ Câu 4: · Cho VABC (AB = AC) Biết BAC = 200, AB = AC = b; BC = a CMR: a3 + b3 = 3ab2 Đề 33 (75) Câu 1: Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = ab+bc+ca = Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001 Câu 2: Cho x, y, z số nguyên khác CMR: Nếu : x2 – yz = a y2 – zx = b z2 – xy = c Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c Câu 3: a, Cho n ∈ N, CMR: A = 10n + 18n – chia hết cho 27 b, CMR: n5m – nm5 chia hết cho 30 với m,n ∈ Z Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn M = Lª Anh TuÊn 27 4x + x2 + Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 x + xy b, Tìm giá trị lớn của: N = 2 x +y Câu 5: Cho a, b, c số đo cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để: A= a b c + + đạt giá trị nhỏ b+c−a a +c−b a +b−c Câu 6: Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ có đỉnh thuộc cạnh hình vuông (M ∈ AB; N ∈ BC; P∈ CD; Q ∈ DA) a, CMR: S ABCD ≤ AC ( MN + MP + PQ + QM ) b, Xác định M, N, P, Q để chu vi MNPQ đạt giá trị nhỏ c, Xác định M, N, P, Q để S MNPQ đạt giá trị nhỏ đề 34 (76) Câu 1: Phân tích số 1328 thành tổng số nguyên x, y cho: x chia hết cho 23, y chia hết cho 29 Tính x, y x-y = 52 Câu 2: x5 x3 x Cho f(x) = − + 30 15 a, Phân tích f(x) thành tích b, Chứng tỏ f(x) nhận giá trị nguyên khác 17 với x ∈ Z Câu 3: Có số abc với ≤ a ≤ 6;1 ≤ b ≤ 6;1 ≤ c ≤ thoả mãn abc số chẵn Câu 4: Cho VABC , trung tuyến AM Gọi E, F điểm thuộc AB, AC cho ME = MF CMR: VABC tam giác cân đỉnh A trường hợp: a, ME, MF phân giác VAMB;VAMC b, ME, MF trung tuyến VAMB;VAMC đề 35 (77) Câu 1: a, Cho số a, b, c số khác Lª Anh TuÊn 28 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán b−a c−a a −b 2 CMR: (a − b)(a − c) + (b − c)(b − a) + (c − a)(c − b) = a − b + b − c + c − a b, Tìm x, y, z biết: x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz Câu 2: Giải PT: x +1 x + x + x + + = + 58 57 56 55 Câu 3: Tìm giá trị lớn 1 A = x3 + y + + y + z + + z + x + (x, y, z > 0; xyz = 1) Câu 4: Tìm nghiệm nguyên PT: x(x2+x+1) = 4y(y+1) Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a Lấy M ∈ AC, kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ BC Tìm vị trí M để S DEF nhỏ Câu 6: · Cho VABC có µA = 500; Bµ = 200 Trên phân giác BE ·ABC lấy F cho FAB = 200 Gọi I trung điểm AF, nối EI cắt AB K CK cắt EB M CMR: AI2 + EI2 = EA + (MF + EK ) Đề 36 (78) Câu 1: a, Cho a+b+c = a2 + b2 + c2 = 14 Tìm giá trị B = a4+b4+c4 b, Cho x > x2+ CMR: x5 + = x2 số nguyên x5 Câu 2: Cho a, b, c > CMR: a b3 c + + ≥ ab + bc + ca b c a Câu 3: Lª Anh TuÊn 29 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Cho a, b, c > a+b+c = 1 a b c Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (a + ) + (b + ) + (c + ) Câu 4: Xác định a, b cho f(x) = ax4+bx3+1 chia hết cho g(x) = (x-1)2 Câu 5: 1 Tìm nghiệm nguyên PT: x + y + z = Câu 6: CHo VABC , trung tuyến AM Qua D thuộc BC vẽ đường song song với AM cắt AB, AC E, F a, CMR: Khi D di động BC DE + DF có giá trị không đổi b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K CMR: K trung tuyến EF Đề 37 (79) Câu 1: Cho S = (n+1)(n+2) (n+n) CMR: Với n ∈ N S chia hết cho 2n Câu 2: Cho f(x) = x2+nx+b thoả mãn: f ( x) ≤ x ≤ Xác định f(x) Câu 3: Cho: ≤ a, b, c, d ≤ a (c − d ) + 3d CMR: ≤ b(d − c) + 3c ≤ Câu 4: Tìm số A có chữ số cho mệnh đề sau có mệnh đề đúng, mệnh đề sai: a, A chia hết cho b,A chia hết cho 23 Câu 5: c, A + số phương d, A – 10 số phương Cho tứ giác lồi ABCD CMR: AD.BC + DC.AB ≥ AC.BD Câu 6: Lª Anh TuÊn 30 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Cho VABC , O điểm nằm tam giác ABC, đường thẳng AO, BO, CO cắt cạnh VABC A1, B1, C1 OA OB OC Tìm vị trí O để: P = OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ 1 Đề 38 (80) Câu 1: a, Giải PT: a+b− x a+c− x b+c− x 4x + + + =1 c b a a +b+c b, Tìm số a, b, c, d, e biết: 2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e) Câu 2: Tìm nghiệm nguyên PT: 1+x+x2+x3 = y3 Câu 3: a, Với điều kiện x A tối giản, không tối giản A= x3 + x − x − ( x − 2) − ( x − 4) b, CMR: Nếu a2-bc = x; b2-ac = y; c2-ab = z; Thì ax + by + cz chia hết cho x+y+z Câu 4: Cho góc vuông xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vuông EFGH Ex cắt FG, GH M, N; Ey cắt FG, GH P, Q a, CMR: VNEP,VMMQ vuông cân b, Gọi R giao PN, QM Gọi I, K trung điểm NP QM Tứ giác EKRI hình gì? c, CMR: F, H, K, I thẳng hàng Câu 5: Cho VABC có diện tích S Trên AB lấy BB1 = AB Trên BC lấy CC1 = BC, AC lấy AA1 = AC Tìm tỷ số SVA B C SVABC theo S 1 đề 39 (81) Câu 1: a, Tìm số a, b, c, d biết: Lª Anh TuÊn 31 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd- d+ = b, CMR: Với n ∈ N; n > : A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + không số phương Câu 2: Tìm nghiệm nguyên PT: x7 – x5 +x4 – x3 – x2 + x = 1992 Câu 3: Cho x, y, z, t > Tìm giá trị nhỏ của: x y z y + z +t x + z +t x + y +t x + y + z + + + x y z t t A = y + z +t + x + z +t + x+ y +t + x + y + z + Câu 4: a, Cho a, b, c đôi khác CMR: Trong BĐT sau có BĐT sai (a+b+c)2 ≤ 9ab; (a+b+c)2 ≤ 9bc; (a+b+c)2 ≤ 9ac b, Cho n ∈ N; n > CMR: 1 1 1 (1 + + + ) ≥ ( + + + ) n +1 2n − n 2n Câu 5: Cho VABC , từ D AB kẻ Dx//BC cắt AC E, từ C kẻ Cy//AB cắt Dx F AC cắt BF I a, Chứng tỏ ta chọn vị trí D để BF phân giác góc Bµ b, CMR: Nếu D trung điểm AB CI = 2IE c, Với D điểm AB CMR: IC2 = IE.IA Đề 40 (82) Câu 1: uuuuuuux Tìm tổng Sn = + 77 + + 77 (n chữ số) Câu 2: CMR: S = 1+2+3+ +n (n ∈ N) có tận 0, 1, 3, 5, Câu 3: a, CMR: 12 + 22 + + n2 = b, CMR: Với n ∈ N thì: Lª Anh TuÊn n( n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) số nguyên 32 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Câu 4: CMR: Nếu n ∈ Z thì: n n3 n + + số nguyên tố 15 Câu 5: Cho a, b, c > a2 b2 c2 a b c + + CMR: 2 + 2 + 2 ≥ b +c c +a a +b b+c c +a a +b Câu 6: Cho VABC vuông cân A, M trung điểm BC Từ M vẽ góc 450, hai cạnh góc cắt AB, AC E, F a, Xác định vị trí E, F để SVMEF đạt giá trị lớn b, SVMEF lớn bao nhiêu? đề 41 (83) Câu 1: a, Cho a+b+c = CMR: ( a−b b−c c −a c a b + + )( + + )=0 c a b a −b b−c c −a b, CMR với x, y ∈ Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương Câu 2: Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 < xy + 3y -3 Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = 4x + x2 + Câu 4: Tìm x, y ∈ Z+ : x2 + (x+y)2 = (x+9)2 Câu 5: CMR: A = 10n + 18n -1 chia hết cho 27 (n ∈ N) Câu 6: Cho VABC , BC, CA, AB lấy M, N, P cho: BM CN AP = = = k ;(0 < k ≠ 1) kẻ đoạn AM, BN, CP MC NA PM Lª Anh TuÊn 33 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Tìm diện tích tam giác tạo đoạn AM, BN, CP Biết SVABC = S Câu 7: Tìm số nguyên x, y : x + y = Đề 42 (84) Câu 1: 1 xyz = 1; x + y + z < x + y + z Cho số x, y, z: CMR: Có số lớn Câu 2: Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời: x+y ≥ 25 y ≤ 2x+18 y ≥ x2+4x Câu 3: Giải PT: x − + x − = Câu 4: Cho số a, b, c thoả mãn: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2) Chứng minh rằng: Tồn tam giác mà có độ dài cạnh a, b, c Câu 5: Cho đường thẳng ox, oy vuông góc với nhau, cắt O Trên Ox lấy phía điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M điểm nằm đường trung trực AB MA, MB cắt Oy C, D Gọi E trung điểm CA; F trung điểm DB a, CMR: VMA,VBFO,VOEA đồng dạng tìm tỷ số đồng dạng b, CMR: OEFM hình bình hành c, Đường thẳng EF cắt Ox P CMR: P điểm cố định M di chuyển đường thẳng trung trực AB d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME hình gì? Đề 43 (85) Câu 1: Cho a, b, c ba số phân biệt thoả mãn: a b c + + =0 b+c c+a a +b Lª Anh TuÊn 34 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán a b c CMR: (b − c)2 + (c − a)2 + (a − b) = Câu 2: x a y b z c Cho a, b, c ≠ a + b + c = x + y + z = + + = CMR: xa2 + yb2 + zc2 = Câu 3: Giải PT: a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680 b, x2 + x + = x2 + 2x + x + 2x + Câu 4: Cho a, b, c thoả mãn: 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c CMR: abc ≤ Câu 5: Cho a, y, z ≥ x, y , z ∈ Z thoả mãn: a+by ≤ 36 2x+3z ≤ 72 CMR: Nếu b x+y+z nhận giá trị lớn 36 Câu 6: Cho hình vuông OCID có cạnh a AB đường thẳng qua I cắt tia OC, OD A, B a, CMR: CA.DB có giá trị không đổi (theo a) CA OA2 = b, DB OB c, Xác định vị trí A, B cho DB = 4CA d, Cho SVAOB = 8a Tính CA + DB theo a Đề 44 (86) Câu 1: Cho a > b > So sánh A, B: + a + a + + a n −1 + b + b + + b n −1 ;B = A= + a + a + + a n + b + b + + b n Câu 2: a, Cho x+y+z = Lª Anh TuÊn 35 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán CMR: 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) b, Cho a, b, c ≠ Tính giá trị M = x2003+y2003+z2003 Biết z, y, z: x2 + y2 + z x2 y z = + + a + b2 + c2 a b2 c2 Câu 3: a, Cho a, y, z ≥ CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≥ b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; abc > CMR: Cả số dương Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 – 10x10 +10 Câu 5: Với giá trị A PT: x − a + = x + có nghiệm Câu 6: Cho VABC đường thẳng d//BC cắt AB, AC D, E a, CMR: Với điểm F BC có SVDEF không lớn SVABC b, Xác định vị trí D, E để SVDEF lớn Đề 45 (88) Câu 1: a, Cho 1 1 + + = a b c abc CMR: 1 1 + n+ n = n (với n số nguyên dương lẻ; a, b, c ≠ 0) n a b c a + bn + c n b, Cho abcd = Tính giá trị: M= 1 1 + + + abc + ab + a + bcd + bc + b + acb + cd + c + abd + ad + d + Câu 2: Cho a, b > ab a + b2 Tìm giá trị nhỏ nhất: P = 2 + a +b ab Câu 3: a, Cho a, b ∈ Q a, b không đồng thời không Lª Anh TuÊn 36 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán a2 b2 c2 + + >1 CMR: a + b2 + c2 + b, Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1 CMR: − ≤ ab + bc + ca ≤ Câu 4: Tìm nghiệm nguyên PT: a, xy – = x + y b, 3xy + x – y = Câu 5: Giải PT: x4+3x3+4x2+3x+1 = Đề 47 (90) Câu 1: Cho a, b, c ≠ ; a3+b3+c3 = 3abc a b b c c a Tính giá trị biểu thức: P = (1 + )(1 + )(1 + ) Câu 2: a, Tìm giá trị lớn M = 3x + x + 10 x2 + 2x + b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2+26y2-10xy+14x-76y +59 Câu 3: Cho a+b+c+d = CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd ≤ b, Cho số dương a, b, c nhỏ CMR: có mệnh đề sau sai: a(1-b) > 1 ; b(1-c) > ; c(1-a) > 4 Câu 4: a, Tìm x, y ∈ Z : x2 + (x+1) = y4 + (y+1)4 b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) CMR: 4N+1 số phương với n ∈ Z+ c, Tìm nghiệm nguyên dương PT: x2 – (x+y)2 = -(x+y)2 Câu 5: Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)3 Câu 6: Lª Anh TuÊn 37 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Cho O trực tâm VABC (có góc nhọn) Trên OB, OC lấy B1, C1 cho: ·AB C = ·AC B = 900 1 CMR: AB1 = AC1 Đề 49 (92) Câu 1: a, CMR: Nếu (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2 x = y = z b, Cho x2-y = a; y2-z = b; z2-x = c Tính P = x3(z-y2)+ y3(x-z2)+ z3(y-x2)+xyz(xyz-1) Câu 2: Tìm x để: P = Câu 3: CMR: x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 đạt giá trị nhỏ x2 + x + 1 1 + + + + > với n ∈ N ; n > n n +1 n −1 n Câu 4: Tìm nghiệm nguyên dương PT: 2(x+y+z) + y = 3xyz Câu 5: Cho VABC , trung tuyến AD Gọi G trọng tâm VABC , cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC M, N CMR: AB AC + =3 AM CM Câu 6: Cho VABC , hình chữ nhật MNPQ thay đổi cho: M ∈ AB; N∈ AC; P∈ BC, Q∈ BC Tìm tập hợp tâm O hình chữ nhật MNPQ Đề 50 (93) Câu 1: a, Cho x+y=a; x2+y2=b; x3+y3= c CMR: a3-3ab+2c = b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau với x x + 2x a b cx + d = + + x −1 x +1 x −1 x +1 Câu 2: Lª Anh TuÊn 38 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Cho a, b, c ≠ Giải PT: x−a x−b x −c 1 + + = 2( + + ) bc ac ab a b c Câu 3: a, Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: a b c + + [...]... trước b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4 Câu 7: Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ VBCF đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ VABE đều CMR: D, E, F thẳng hàng Đề 14 (56) Câu 1: Lª Anh TuÊn 11 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 x x− y y2 1 x − ) : ( + ): Cho A = ( 2 2 3 2 y + xy x + xy x − xy x+ y y a, Tìm TXĐ của A b, Tìm x, y để A > 1 và y 0 và x2+ CMR: x5 + 1 = 7 x2 1 là số nguyên x5 Câu 2: Cho a, b, c > 0 CMR: a 3 b3 c 3 + + ≥ ab + bc + ca b c a Câu 3: Lª Anh TuÊn 29 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1 1 a 1 b 1 c Tìm giá trị nhỏ nhất:... ox tại P Chứng minh P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường trung trực của AB Câu 5: Lª Anh TuÊn 21 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, Mẫu số là tổng các chữ số của tử số đề 26 ( 68) Câu 1: x− y Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 Tính: x + y Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn: abc = 1 và a b c a2 c2 b2 + + = + + b2... hàng Câu 5: Cho VABC có diện tích là S Trên AB lấy BB1 = AB Trên BC lấy CC1 = BC, trên AC lấy AA1 = AC Tìm tỷ số SVA B C và SVABC theo S 1 1 1 đề 39 (81 ) Câu 1: a, Tìm các số a, b, c, d biết: Lª Anh TuÊn 31 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán 8 a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd- d+ 2 = 0 5 b, CMR: Với mọi n ∈ N; n > 0 thì : A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + 1 không là số chính phương Câu 2: Tìm nghiệm nguyên ... Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán Cho VABC , O điểm nằm tam giác ABC, đường thẳng AO, BO, CO cắt cạnh VABC A1, B1, C1 OA OB OC Tìm vị trí O để: P = OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ 1 Đề 38 (80 ) Câu... AA’ Đề ( 48) Câu 1: a 13 169 −27 Cho x + y = ( x + z )2 = ( z − y )(2 x + y + z ) x+z 2a − 12a + 17 a − Tính giá trị biểu thức A = a−2 Lª Anh TuÊn Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán. .. hình vuông cạnh BC vẽ VBCF đều, phía hình vuông cạnh AB vẽ VABE CMR: D, E, F thẳng hàng Đề 14 (56) Câu 1: Lª Anh TuÊn 11 Trêng THCS VÜnh Khóc Bộ đề thi học sinh giỏi toán x x− y y2 x − ) : ( +