đề thi học sinh giỏi toán 8

Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a 8 + a 4 +1 b, a 10 + a 5 +1 Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A = 2 2 2 1 b c a   + 2 2 2 1 c a b   + 2 2 2 1 a b c   b, Cho biểu thức: M = 2 2 3 2 15 x x x    + Rút gọn M + Tìm x  Z để M đạt giá trị nguyên. Câu 3: a, Cho abc = 1 và a 3 > 36, CMR: 2 3 a + b 2 + c 2 > ab + bc + ca b, CMR: a 2 + b 2 +1  ab + a + b Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x 2 + 2xy + y 2 - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a+b) Câu 5: a, Tìm x,y,x  Z biết: x 2 + 2y 2 + z 2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0 b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3 Câu 6: Cho ABC V . H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D. a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc µ A và µ D của tứ giác ABDC. ĐỀ 2 Câu 1: a. Rút gọn biểu thức: A= (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1) ( 2 256 + 1) + 1 b. Nếu x 2 =y 2 + z 2 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y) 2 Câu 2: a. Cho 0 c z b y a x (1) và 2 z c y b x a (2) Tính giá trị của biểu thức A= 0 2 2 2 2 2 2  c z b y a x b. Tính : B = 222222222 b a c ca a c b bc c b a ab         Câu 3: Tìm x , biết : 3 1988 19 1997 10 2006 1·       xxx (1) Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M  đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a.BM  EF b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy. Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= (a+ b+ c) ( c b a 111  ). ĐÁP ÁN Câu 1: a. ( 1,25 điểm) Ta có: A= (2-1) (2+1) (2 2 +1) + 1 = (2 2 -1)(2 2 +1) (2 256 +1) = (2 4 -1) (2 4 + 1) (2 256 +1) = [(2 256 ) 2 –1] + 1 = 2 512 b, . ( 1 điểm) Ta có: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) 2 –16z 2 = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 z 2 (*) Vì x 2 =y 2 + z 2  (*) = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 (x 2 –y 2 ) = (3x –5y) 2 Câu 2: . ( 1,25 điểm) a. Từ (1)  bcx +acy + abz =0 Từ (2)            02 2 2 2 2 2 2 yz bc xz ac xy ab c z b y a x 424 2 2 2 2 2 2            xyz bcxacyabz c z b y a x b. . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0  a + b = - c  a 2 + b 2 –c 2 = - 2ab Tương tự b 2 + c 2 – a 2 = - 2bc; c 2 +a 2 -b 2 = -2ac  B = 2 3 2 2 2       ca ca bc bc ab ab Câu 3: . ( 1,25 điểm) (1)  0 1988 2007 1997 2007 2006 2007·       xxx  x= 2007 A Câu 4: a. ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM; B H là giao điểm của EF và BM   EMB =BKM ( gcg)  Góc MFE =KMB  BH  EF E M K b. ( 1,25 điểm)  ADF = BAE (cgc) AF  BE H Tương tự: CE  BF  BM; AF; CE là các đường cao của BEF  đpcm Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: D F C P = 1 +                      b c c b a c c a a b b a b c a c c b a b c a b a 311 Mặt khác 2 x y y x với mọi x, y dương.  P  3+2+2+2 =9 Vậy P min = 9 khi a=b=c. ĐỀ 3 Bài 1 (3đ): 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2 + 7x + 12 b) a 10 + a 5 + 1 2) Giải phương trình: 2 4 6 8 98 96 94 92 x x x x        Bài 2 (2đ): Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 2 2 3 3 2 1 x x P x     có giá trị nguyên Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng: a) ABM  đồng dạng ACN  b) góc AMN bằng góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC. Bài 4 (1đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2007 20072 x xx A   , ( x khác 0) ĐÁP ÁN Bài 1 (3đ): 1) a) x 2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1đ) b) a 10 + a 5 + 1 = (a 10 + a 9 + a 8 ) - (a 9 + a 8 + a 7 ) + (a 7 + a 6 + a 5 ) - (a 6 + a 5 + a 4 ) + (a 5 + a 4 + a 3 ) - (a 3 + a 2 + a ) + (a 2 + a + 1 ) = (a 2 + a + 1 )( a 8 - a 7 + a 5 - a 4 + + a 3 - a+ 1 ) (1đ) 2) 92 8 94 6 96 4 98 2        xxxx  ( 98 2  x +1) + ( 96 4  x + 1) = ( 94 6  x + 1) + ( 92 8  x + 1) (0,5đ)  ( x + 100 )( 98 1 + 96 1 - 94 1 - 92 1 ) = 0 (0,25đ) Vì: 98 1 + 96 1 - 94 1 - 92 1  0 Do đó : x + 100 = 0  x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài 2 (2đ): P = 1 2 5 2 1 2 5)24()2( 1 2 332 22        x x x xxx x xx (0,5đ) x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên thì 1 2 5  x phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ) => * 2x - 1 = 1 => x = 1 * 2x - 1 = -1 => x = 0 * 2x - 1 = 5 => x = 3 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5đ) Vậy x =   2;3;0;1  thì P có giá trị nguyên. Khi đó các giá trị nguyên của P là: x = 1 => P = 8 x = 0 => P = -3 x = 3 => P = 6 x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài 3 (4đ): 1) a) chứng minh  ABM đồng dạng  CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AN AM AC AB    AMN đồng dạng  ABC   AMN =  ABC ( hai góc tương ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H (0,25đ)  BAH =  CHA ( so le trong, AB // CH) mà  CAH =  BAH ( do Ax là tia phân giác) (0,5đ) Suy ra:  CHA =  CAH nên  CAH cân tại C do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) (0,5đ) Bài 4 (1đ): A = 2 22 2007 20072007.22007 x xx  = 2 22 2007 20072007.2 x xx  + 2 2 2007 2006 x x = 2007 2006 2007 2006 2007 )2007( 2 2   x x A min = 2007 2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ) ĐỀ 5 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức : M =             1 1 1 1 224 2 xxx x            2 4 4 1 1 x x x a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé nhất của M . Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên A = 3 83234 23   x xxx Bài 3 : 2 điểm Giải phương trình : a) x 2 - 2005x - 2006 = 0 b) 2x + 3x + 82 x = 9 Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh : a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi . b)  AEF ~  CAF và AF 2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi . Bài 5 : (1đ) Chứng minh : B = n 4 - 14n 3 + 71n 2 -154n + 120 chia hết cho 24 ĐÁP ÁN Bài 1 : a) M = ( )1)(1( 1)1)(1( 224 2422   xxx xxxx x 4 +1-x 2 ) = 1 2 1 11 2 2 2 244      x x x xxx b) Biến đổi : M = 1 - 1 3 2 x . M bé nhất khi 1 3 2 x lớn nhất  x 2 +1 bé nhất  x 2 = 0  x = 0  M bé nhất = -2 Bài 2 : Biến đổi A = 4x 2 +9x+ 29 + 3 4  x  A  Z  3 4  x  Z  x-3 là ước của 4  x-3 =  1 ;  2 ;  4  x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7 Bài 3 : a) Phân tích vế trái bằng (x-2006)(x+1) = 0  (x-2006)(x+1) = 0  x 1 = -1 ; x 2 = 2006 c) Xét pt với 4 khoảng sau : x< 2 ; 2  x < 3 ; 3  x < 4 ; x  4 Rồi suy ra nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 5,5 Bài 4 : a)  ABE =  ADF (c.g.c)  AE = AF  AEF vuông cân tại tại A nên AI  EF .  IEG =  IEK (g.c.g)  IG = IK . Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc nên hình EGFK là hình thoi . b) Ta có : KAF = ACF = 45 0 , góc F chung  AKI ~  CAF (g.g)  CFKFAF AF KF CF AF . 2  d) Tứ giác EGFK là hình thoi  KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) . Bài 5 : Biến đổi : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n 3 +72n 2 -144n+120 Suy ra B  24 ================================ ĐỀ 6 Câu 1: ( 2 điểm ) Cho biểu thức: A= 1212 36 . 6 16 6 16 2 2 22              x x xx x xx x ( Với x  0 ; x  6  ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A với x= 549 1  Câu 2: ( 1 điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x 2 +y 2 +1  x. y + x + y ( với mọi x ;y) b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 2 2 23     x x x x Câu 3: ( 4 điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD . TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P . a) Tứ giác AMDB là hình gi? b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB . Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng. c)Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. d) Giả sử CP  DB và CP = 2,4 cm,; 16 9  PB PD Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Câu 4 ( 2 điểm ) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < 0 (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm. ĐÁP ÁN Câu 1 ( 2 điểm ) 1) ( 1 điểm ) ĐK: x  0; x  6  ) A = )1(12 )6)(6( . )6( 16 )6( 16 2              x xx xx x xx x =     )1(12 1 . 63666366 2 22 x x xxxxxx = x x x x 1 )1(12 1 . )1(12 2 2    2) A= 549 549 1 11    x Câu2: ( 2 điểm ) 1) (1 điểm ) x 2 +y 2 +1  x. y+x+y  x 2 +y 2 +1 - x. y-x-y  0  2x 2 +2y 2 +2-2xy-2x-2y 0  ( x 2 +y 2 -2xy) + ( x 2 +1-2x) +( y 2 +1-2y)  0  (x- y) 2 + (x-1) 2 + ( y- 1) 2  0 Bất đẳng thức luôn luôn đúng. 2) (2 điểm ) (1)  3mx-x>1+2m  (3m-1)x > 1+2m. (*) + Xét 3m-1 =0 → m=1/3. (*)  0x> 1+ 3 2  x   . + Xét 3m -1 >0 → m> 1/3. (*)  x> 1 3 21   m m + Xét 3m-1 < 0  3m <1 → m < 1/3 (*)  x < 1 3 21   m m . mà ( 2 )  2x > m  x > m/2. Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.                             0)1)(2( 3 1 0253 3 1 213 21 3 1 2 mm m mm m m m m m  m-2 =0  m=2. Vậy : m=2. Câu 3: (4 điểm ) [...]... 5 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x3 x2 x4 x3 x5 x 4 x 6 x5 8 1 1 1 4 1 x6 x2 8 x 6 x 2 8 x2 8 x 20 0 x 10 x 2 0 x 10 tho món iu kin phng trỡnh x 2 Phng trỡnh cú nghim : x = 10; x = -2 Bi 3.(2im) 2 2 2 x 1 x2 2 x2 2 x 2 x 2 x 1 M x2 2 x2 2 x M 2 2 x 1 x2 2 2 x 1 1 2 x2 2 1 8 2 x 1 nh nht M ln nht khi 2 x 2 2 2 Vỡ x 1 0x v x 2 0x 2 x... ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 khụng i b, Nhõn (1) vi (2) ta cú: AC ID OA OA IC BD OB OB m IC = ID ( theo gi thit) suy ra: AC OA 2 BD OB 2 C, Theo cụng thc tớnh din tớch tam giỏc vuụng ta cú; SAOB = 1 OA.OB m SAOB = 2 Suy ra: OA.OB = 8a 2 3 8a 2 3 OA OB = Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = ( gi thit) 16a 2 3 16a 2 3 2 a + a( CA + DB ) + CA DB = M CA DB = a2 ( theo cõu a) a(CA +DB) = 16a 2 - 2a2 3 16a... ymax= 1 1 Khi x= 2004 2004t 80 16 2 im a, Nhõn c 2 v ca phng trỡnh vi 2.3.4 ta c: (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 11.10.9 .8 V trỏI l 4 s nguyờn liờn tip khỏc 0 nờn cỏc tha s phI cựng du ( + )hoc du ( - ) Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 11 10 9 8 (1) V (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = (-11) (-10) (-9) ( -8) (2) T phng trỡnh (1) 12x -1... nhau ti O Ba cnh AB, BC, CA t l vi 4,7,5 a) Tớnh NC bit BC = 18 cm b) Tớnh AC bit MC - MA = 3cm c) Chng minh AP BN CM 1 PB NC MA P N Bi 1: a) x2+2x -8 = (x-2)(x+4) 0 x 2 v x - 4 (0,5) TX = x / x Q; x 2; x 4 0,2 b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1) 1,0 = 0 khi x=2; x= 1 0,2 M= 0 Thỡ x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0 x2+ 2x- 8 0 0,5 Vy M = 0 thỡ x = 1 0,3 c) M = ( x 2)( x 2 3)( x... minh rng tớch AC DB khụng i khi ng thng qua I thay i B, Chng minh rng CA OC 2 DB OB 2 8a 2 C, Bit SAOB = Tớnh CA ; DB theo a 3 P N Bi 1: 3 im a, Tớnh: Ta cú: a3 + a2c abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c abc + b2c)= (a + b) ( a2 ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 ab + b2 ) =0 ( Vỡ a+ b + c = 0 theo gi thit) 3 2 2 3 Vy:a +a c abc + b c + b = 0 ( pCM) b, 1,5 im Ta cú: bc(a+d) 9b c) ac(... chiu ta c: f 1 c a 2 b2 c2 3 3 3 a b c Vỡ a b c nờn: a 2 b 2 c 2 4 2 4 1 Du = xy ra khi a = b = c = 2 ========================= 9 Cõu 1 (1,5) Rỳt gn biu thc : A = 1 1 1 1 + + +.+ 2.5 5 .8 8.11 (3n 2)(3n 5) Cõu 2 (1,5) Tỡm cỏc s a, b, c sao cho : a thc x4 + ax + b chia ht cho (x2 - 4) Cõu 3 (2) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc 7 cú giỏ tr x x 1 2 nguyờn Cõu 4 Cho a,b,c l di ba cnh... ngoi tip tam giỏc l O Thỡ H,G,O thng hng P N Cõu 1 1 1 1 1 1 1 1 ( - + - +.+ ) 3 2 5 5 8 3n 2 3n 5 1 1 1 n 1 = ( )= 3 2 3n 5 6n 10 A= Cõu 2 Chia a thc x4 + ax + b cho x2 4 c a thc d suy ra a = 0 ; b = - 16 Cõu 3 7 Z x2 x +1 = U(7)= x x 1 2 1, 7 a cỏc phng trỡnh v dng tớch ỏp s x = 2,1, 3 Cõu 4 T gi thit a < b + c a2 < ab + ac Tng t b2 < ab + bc c2 < ca + cb Cng hai v bt ng thc ta c (pcm)... 3 a Gii h pt v DB = 3a CA = 3 a Hoc CA = 3a v DB = 3 ==================== 16a 2 3 8 Bi P 1( 2 Cho im) thc biu : x2 y2 x2 y2 x y 1 y x y1 x x 11 y 1.Rỳt gn P 2.Tỡm cỏc cp s (x;y) Z sao cho giỏ tr ca P = 3 Bi 2(2 im) Gii phng trỡnh: 1 1 1 1 1 2 2 2 x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20 x 11x 30 8 2 Bi 3( 2 im) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: M 2x 1 x2 2 Bi 4 (3 im) Cho hỡnh vuụng ABCD... 2)( x 2 3)( x 2 1) ( x 2 3)( x 2 1) ( x 2)( x 4) x4 0,3 Bi 2: a) Gi x-1, x, x+1 l 3 s t nhiờn liờn tip Ta cú: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242 (0,2) Rỳt gn c x2 = 81 0,5 Do x l s t nhiờn nờn x = 9 0,2 Ba s t nhiờn phi tỡm l 8, 9,10 0,1 b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) c thng n + 3 d 2 0,3 Mun chia ht ta phi cú 2 n(n-1) 2 n 0,2 Ta cú: n n-1 n(n-1) 0,3 1 0 0 loi -1 -2 2 2 1 2 -2 -6 -3 loi Vy n = -1;... iu phi chng minh Xy ra du ng thc khi v ch khi a = b = c 0,2 Bi 4: a) A B C N AN l phõn giỏc ca A Nờn NB AB NC AC 0,3 Theo gi thit ta cú 0,2 AB BC AC AB 4 Nờn 4 7 5 AC 5 NB 4 BC 9 5.BC NC 10(cm) NC 5 NC 5 9 0,5 b) BM l phõn giỏc ca B nờn MC BC MA BA 0,3 Theo gi thit ta cú: AB BC AC BC 7 4 7 5 BA 4 0,2 Nờn MC 7 MC MA 3 3.11 ac 11(cm) MA 4 MA MC 11 3 0,5 c) Vỡ AN,BM,CP l 3 ng . 92 8 94 6 96 4 98 2        xxxx  ( 98 2  x +1) + ( 96 4  x + 1) = ( 94 6  x + 1) + ( 92 8  x + 1) (0,5đ)  ( x + 100 )( 98 1 + 96 1 - 94 1 - 92 1 ) = 0 (0,25đ) Vì: 98 1 . ( theo giả thi t) suy ra: 2 2 OB OA BD AC  C, Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có; S AOB = 2 1 OA.OB mà S AOB = 3 8 2 a ( giả thi t) Suy ra: OA.OB = 3 8 2 a  . 4 4 5 5 6 8 x x x x x x x x             1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 5 8 x x x x x x x x                  1 1 1 6 2 8 x x         4 1 6 2 8 x x   