Tóm tắt kiến thức Hình học 10

Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra NI = KM DK NI Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu hoặc điểm cuối thì chúng có chung điểm cuối hoặc điểm đầu... Chứng m

Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng

+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được

kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB)

+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a b x y, , , ,

(Chú ý: ABBA)

+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0

Ví dụ: MM AA, ,

+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB≠ 0, đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB Còn vectơ

không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó

+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ

+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau

D B

A

C

K I

N

M D

A

C

B

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1 Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng

Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB BA ,

Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm

Gọi  là giá của a

Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM// 

Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // 

Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a

Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau

EF=1

2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hànhEF CD

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD Điểm I

là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN

Chứng minh: AM NC DK, NI

Giải

Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành

AMNC

Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm

của MD DK=KM Tứ giá IMKN là hình bình hành,

suy ra NI = KM DK NI

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có

chung điểm cuối (hoặc điểm đầu)

-3-

Giả sử AB AC Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC

(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)

Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a Dựng điểm M sao cho:

a) AM = a ;

b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |

Giải

Giả sử  là giá của a Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// 

(nếu A thuộc  thì d trùng ) Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:

AM1=AM2=| a |

Khi đó ta có:

a) AM = a 1

b) AM =1 AM cùng phương với a 2

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là điểm đối

xứng của B qua O Chứng minh: AHB C'

Giải

BÀI TẬP §1

Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và

điểm cuối là các đỉnh tam giác?

Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phươngavà b Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ

đó

Bài 3: Cho ba vectơ a,b,ccùng phương và đểu khác véctơ không Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng

Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng

hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng

Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình và tìm

trên hình vẽ các véctơ bằng PQ,QR,RP

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a) Tìm các vectơ cùng phương với AB;

a



A

O D

d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB

Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

Bài 9: Cho tứ giác ABCD

Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC

Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu AB DC thì ADBC

Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

-5-

O D

HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B

b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C

c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng

+ cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C + Ngược hướng thì theo b)

Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng

AM  BA , MN  DA , NP  DC , PQ  BC Chứng minh AQ0

HD: Ta có AM BA NP; DC AB

 AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)

Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)

-6-

Từ (1)&(2) AQ AQ0

-7-

1 Cho ABC Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0

2 Cho tứ giác ABCD

a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

CMR :



M Q =

NP

3 Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA

a/ Xác định các vectơ cùng phương với M N 

5 Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ



CI =



DA CMR : a/ I là trung điểm AB và DI =



CB b/



KP =



PN b/ Hình tính tứ giác AKBN

c/ CMR :



AL = 0



Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ

 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB+BC =AC

 Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB+AD =AC

AB = - BA + vectơ đối của 0 là 0

+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IAIB0

+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA GB GC  0

CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD

b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AMAN AC

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC 

Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O

a) Chứng minh rằng vectơ OA OB OC ; OE đều cùng phương OD

b) Chứng minh AB và EC cùng phương

Giải

a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của

ngũ giác đều Ta có OA OB OM , trong đó M là đỉnh

hình thoi AMBO và M thuộc d Tương tự OCOE ON

Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau

1) Biến đổi vế này thành vế kia

2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng

3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh

Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì

ABADCB CD DBDB

Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải

Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F

M D (với M là 1 điểm tùy ý)

6 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB

BB ,

'

CC CMR :



'

AA +

'

BB +

'

CC =

'

BA +

'

CB +

'

AC

8 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB AD  theo a

9 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a



AD  FC   EB =



CD  EA  FBc/

-12-

BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính BC + AB  ; AB - AC  theo a

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm Tìm tập hợp điểm M , N thỏa

OB

Bài 8 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là

điểm đối xứng của A qua C với một điểm O bất kỳ, ta có:

' '

OA OC

b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '

Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB  = CA - CB 

-13-

PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1) Định nghĩa: Cho a≠0, 0≠k  ta có c =ka (gọi là phép một số thực với 1 vectơ) Khi đó: + c cùng phương a

5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai a,b khác 0 và không cùng phương Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m,

PP: Dựa vào định nghĩa vectơ ka và các tính chất

1) Cho aAB và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho :

OM  a ON   a

Giải

Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O  giá của a thì d là giá của a)

 Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a|, OM và a cùng hướng khi đó OM 3a

3AI; GI=

1

3AI AG=2GI

-14-

 Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|a|, ON và a ngược hướng nên ON  4a

2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=1

5AB Tìm k trong các đẳng thức sau:

b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a+3b , a2b

Giải

a) 5a=(1)(5a)=((1)5) a= (5) a

b) (2a +3 b )= (1)( 2a +3 b )= (1) 2a+(1)3 b =(2)a+(3) b =2a3 b

c) Tương tự

2 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương

1) Cho  ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và

I là giao điểm của AD và EF Đặt u AE v;  AF Hãy phân tích các vectơ AI AG DE DC, , , theo hai vectơ u v,

+ Nếu ABkCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD

1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=1

3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

C

A

MN AC Theo giả thiết BC AM

Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành

 M không thuộc AC MN//AC

4 Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số

1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD Chứng minh:

-16-

K I

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

2) Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: IA2IB0

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :

1 AC

Bài 8: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2

1 

AC b/

Bài 11: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC Gọi K là trung

điểm của MN Phân tích AK theo AB và AC

Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho

5JB = 2JC

a) Tính AI AJ theo AB AC, ,

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI và AJ

Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB + 3

Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là

điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm

Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các

trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui

b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC

Bài 20: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :

-18-

a/ MA MB b/ MAMB MC O  c/ |     Cd/       C 

-19-

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1.Trục tọa độ

 Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng

1 Ký hiệu trục (O; i) hoặc x’Ox

O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ

 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục

+ Cho điểm M nằm trên trục (O; i) Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM mi Số m gọi là

tọa độ của m đối với trục (O; i) (nó cũng là tọa độ của OM )

+ Cho vectơ u trên trục (O; i) Khi đó có duy nhất số x sao cho uxi Số x gọi là tọa độ của vectơ u đối với trục (O; i)

 Độ dài đại số của vectơ trên trục

Cho A,B nằm trên trục (O; i) Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = ai Ta gọi số a là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho

Kí hiệu: a= AB Như vậy AB = AB i

Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau Vectơ đơn vị trên Ox là

i , vectơ đơn vị trên Oy là j Ký hiệu Oxy hoặc (O; i; j)

+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung

+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ

 Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

Đối với hệ trục (O; i; j), nếu a=xi +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a

i

'

 Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M  OM =(x ; y)

Khi đĩ, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)

+ x gọi là hồnh độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M

3) Cho hai điểm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì M(xM ; yM) có toạ độ là:

k

kx x

3) Xác định tọa độ của vectơ c, biết:

a) c=a+3b; với a(2;1), b(3;4) Tính độ dài của c

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho BM (3;0)

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA(1;1)

Đáp án: a) AB(2; 2),BA  ( 2; 2) b) M(4;3) c) N(2;0)

6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5 Chọn hệ trục tọa độ (A;i j, ), trong đó i và AD cùng hướng,

j và AB cùng hướng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của BC và trung điểm M của CD

7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc BAD600 Chọn

hệ trục tọa độ (A;i j, ), trong đó i và AD cùng hướng Tìm tọa độ các véctơ AB BC CD AC, , ,

8) Cho tam giác ABC Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và

AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác

Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1)

9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D

Đáp án: D(3;0)

10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)

a) Xác định tọa độ của AB Tính AB

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC

d) A’ là điểm đối xứng của A qua B Tìm tọa độ A’

Đáp án: a) AB=(12;5) b) I(7;11/2) c)

11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3)

21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3) Chứng minh đường thẳng AB//CD

Đáp án: ta có CD 2AB AB và CD song song hoặc trùng nhau

-23-

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

HD: a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC

b) G(1;4) 25) Cho tam giác ABC đều cạnh a Chọn hệ tọa độ (O;i j, ), trong đó O là trung điểm BC, iOC,

jOA

a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

E c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G

26) Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ tọa độ (O;i j, ), trong đó O là tâm của lục giác đều, iOD,

jEC Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6

d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD

28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB

a) Tìm tọa độ của A, B

b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B

c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)

29) Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) và c =(7; 2)

a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a - 3 b + c

b) Tìm tọa độ của vectơ x thỏa x + a = b - c

c) Tìm các số m ; n thỏa c = m a + n b

30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng

31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5) Chứng minh A, B, C thẳng hàng

BÀI TẬP THÊM

1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5

a/ Tìm tọa độ của AB

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2M A + 5



M B = 0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1

2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho M A +



M B M C =  0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA   3



NB =



NC 3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA  2 M B = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB

1 = AB2

b/ Gọi I là trung điểm AB CMR : IC.IDIA2

c/ Gọi J là trung điểm CD CMR : AC.ADAB.AJ



= 2

1i

+ j

 ; c



=  i

+ 2

3j

 ; d



= 3 i

 ; e = 4 j

 6/ Viết dưới dạng u

= x i

+ y j

, biết rằng : u

= 2a + b



c/ w

= 4a

2

1b



8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , 



AC ,



BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM = 2



AB  3



AC d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN + 2

a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1)

a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC

b/ Gọi D(3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

11/ Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó

12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại

M

13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C

b/ Tính diện tích ABC

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ CMR : ABC vuông cân

d/ Tính diện tích ABC

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao

-25-

Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?

a) AB  AC  AB  AC

b) Vectơ AB  AC vuông góc với vectơ AB  CA

Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?

a) AC  BC  DC

b) DB  m DC  DA

Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho

CA k BB BC

k

AA '  , '  Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA Chứng

minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ v  MA  MB  2 MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M Hãy dựng điểm D sao cho CD  v

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng

của A qua O

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành

b) Chứng minh :

OH OC OB OA

HO HC

HB HA

HO HD

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH  3 OG Từ đó kết luận gì về 3 điểm

G, H, O

Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh :

a) BB '  C ' C  DD '  0

b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

ÔN TẬP CHƯƠNG I THÊM

1/ Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM



AD + 2



AB)

M C = 0

5/ Cho ABC và 1 điểm M tùy ý

a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho M D =

M B = M A  M B d/ M A + 



M B = M A  + M B e/ M A + 



M B = M A + 



M C8/ Cho ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2

9/ Cho ABC Gọi D là điểm xác định bởi AD =

IC

IB

và AIAM

10/ Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2)

a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B

b/ Tính chu vi và diện tích  OAB

c/ Tìm tọa độ trong tâm  OAB

d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các

tỉ số nào ?

e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E Tìm tọa độ điểm E

f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành

-28-

Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0 0 đến 180 0 )

1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM =  và M(x0;y0) Khi đó ta định nghĩa:

sin của góc  là y0; ký hiệu sin = y0

côsin của góc  là x0; ký hiệu cos = x0

* Dấu của các tỉ số lượng giác:

2 Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 1800)

sin( 1800 ) = sin

cos ( 1800) =  cos

tan (1800) = tan (  900)

cot ( 1800 ) =  Cot  ( 0 < < 1800)

3 Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc

2

2, tan 450=1, cot 450 = 1

b Sin 1200 =

2

3, cos 1200 = -

2

1, tan1200 = - 3, cot1200= -

33

c

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức

A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600

Giải:

A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) = 0

4 Góc giữa hai vectơ

A B O



b Kí hiệu là: (a,



b)

Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 500

5 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc

HD: sin1350 = sin(1800450)= sin450

2/ Cho tam giác cân ABC có BC=150 Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A

A  BC  sinA= sin(1800300) 3/ Tính giá trị các biểu thức sau:

A= asin0o + bcos 0o + c sin 90o ;

B= acos90o + bsin 90o + c sin180o;

C= a2 sin90o + b2cos 90o + c.cos18Oo;

4/Tính giá trị của biểu thức sau :

A= 3  sin2 90o + 2cos2 90o 3tan245o;

B= 4 a2 sin2 90o  3(a.tan245o )2+ 2a.cos45o

5/ Tính giá trị các biểu thức sau:

A= sinx + cosx khi x = 0o, 45o, 60o

B= 2sinx+ cos2x khi x = 60o, 45o, 30o

C= sin2 x + cos2x khi x = 30o, 45, 30o,60o,90o,145o

b) Cho góc  mà cos= 

3

1 Tính sin, tan,và cot c) Cho tanx= 2 2 Tính cotx, sinx và cosx

d) Cho cot = 1

2

 Tính tan, sin và cos

8/ Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) ( sin + cos)2 = 1 + 2sin.cos

b) ( sin cos)2 = 1  2sin.cos

c) sin4x  cos4x = 2sin2x 1

c) sin4x + cos4x = 1 - sin2x cos2x

d) sinx.cosx( 1+ tanx )( 1 + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx

9/ Đơn giản các biểu thức:

A = cosy + siny tany; Đáp số: A=1/cosy

B = 1cosb 1cosb Đáp số: B= sinb (vì sinb>0)

tan 0 a<90sin

| cos | tan 90 <a 180

a a

a) cos2120+cos278o+ cos210+cos278o Đáp số: a) 2; b= 2

b) sin23o+sin215o+ sin275o+ sin287o

11/ Đơn giản các biểu thức:

A = sin( 90o x ) cos( 180ox ) Đáp số: A=cos2x

B = cos( 90o x ) sin ( 180ox ) Đáp số: B= sin2x

Bài 7 : Biết rằng sin15o = 6 - 2

4 Tính các tỉ số lượng giác của góc 15

o

BÀI TẬP 1 Bài 1 : Tính các hàm số lượng giác (sin,cos,tg,cotg) của các góc sau

C = 3-sin900 +2cos2600-3tg2450 Kq2 C =

-21

0 0

0

37sin56

137cot

34cot53cos53





)tg g

(

g ) (

Kq2 D = 0

0 0

0

144cos

54cos36cot

322

Bài 5 : cho tg=2 3 Tính sin,cos,cotg; Kq2 cos=

2)13(

1



Bài 6 : Cho cotg=2 2 với 00 <<900 tính sin,cos,tg Kq2 sin=

31

Bài 7 : Cho sin=

tgα gα



cot

cot

Kq2 A =

91

sincos

sin 3 2 sin 2

2 cos 5 2 sin





71

d) cos=

3

2 , tính D =

g tg

cossin2

cos 

Kq2 F = 20

Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau

A =(1+cos)cotg2(1-cos) Kq2 A = cos2

B = cos2a +cos2acotg2a Kq2 B = cotg2a

sinsin

tgy tgx

cotcot 



Kq2 E = tgxtgy

F = (sin+cos)2-1-2sincos Kq2 F = 0

G = cos100 + cos200+ cos300+…+ cos1700 + cos1800 Kq2 G = -1

)090(cot

)090(cot)090

g

Kq2 H = -1

I = cos200 + cos400 +…+ cos1600 + cos1800 Kq2 I = -1

J = sin(900-) + sin(1800-)-cos+sin Kq2 J = 2sin

K = 2sin-3cos(900-)+tg900-)+2cotg(1800-)+2sin-3cotg

Kq2 K = sin-4cotg

L = sin2100+sin2200+sin2300+…+sin2700+sin2800+sin2900 Kq2 L = 5

M = cos2150+cos2250 + cos2450 + cos2650+cos2750 Kq2 M =

25

-33-

Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau

a) sin6 + cos6 = 1 - 3sin2cos2

coscos

cot

2sin

2

tg g

cos1

2cos2sin

cot

22

cos

g)

x x

x x

x

sin

2cos

1

cos1cos

x x

x

x x

cot4

cos2

cos2

sin

4sin2

sin2

x x

x

sin

2sin

cos1cos

1

2sin

a

cos

1sin





a g a tg

sin

2)cos1(1sin

2coscot

1

2sin

13

sin

sin

x x

x

x tgx

x g x

x

x x

x

x

2cot1

2cot1sincos

cossin

3cos

cossin 

x

cossin

1

cos2

1cos

1

s) sin2x(1cotgx)cos2x(1tgx)  sinxcosx

1

12

cos1cos

1

sin1sin

x x

x x

cos.sin212)cos(sin

2cos.2sin4

x

x x

4

s in 2

s in 2

cos

4 cos 2

cos 2

Bài 13 : Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc (độc lập với x )

A = cos6x+2sin6x+sin4xcos2x+4sin2xcos2x-sin2x

B =

x x

tg x x

x x

11)090(2sin

)090cos(

)0180(2sin2

x x

x x

x x

cossin

3cos3

sincos

sin

3cos3

a A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600)

b B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350

Bài 2: Đơn gian các biểu thức:

a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640

b) B= 2 Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan  cot(1800- ) (Với 00< <900)

Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin2x +cos2x = 1 ( 00 x  1800)

b)Tính sinx khi cosx = 3

5c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 2

3d) Chứng minh rằng 1 + tan2 x = 12

Bài 4 : Tính giá trị biểu thức:

A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700

B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350

Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng

a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC

b) cos(A + C) + cos B = 0

c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0

Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G Tính góc giữa

a) AB và AC b) AB và BC c) AG và BC

-35-

d) GB và GC c) GA và AC

7/ Cho ABC Chứng minh rằng :

a/ sinA = sin(B + C) b/ cosA = cos(B + C) c/ sin

2

B

A

= cos2

C

d/ sin2

A = cos

= cosC

-36-

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ

1/ Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a b , được xác định bởi:

),cos(

'+'.+

'+'

y x y x

yy xx

5/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng  thay đổi,

luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B

Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: PM/(O)

PM/(O) = MO2 – R2 =MA MB Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì PM/(O) = MT2

→

b vuông góc

a a

cos

GA BC=0 vì GABC

Ví dụ 3: Trong Mp(Oxy) cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1)

a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N

b)Tính cos của góc MON

Giải

a) p  ox => P( xp,0)

MP = NP <=> MP2 = NP2

<=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12Vậy P (

4

3,0) b) OM=(-2,2),ON=(4,1)

Cos MON = cos( OM , ON)=

17.8

1.2+4.2-

=34

3-

a/ Tính AB



AC rồi suy ra góc A b/ Tính CA 



CB c/ Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = 3 Tính CD 

BD c/ Tính (AB + 



AD  AB ) 4/ Cho ABC đều có cạnh bằng a và I là trung điểm BC Tính các tích :

a/ Tính AB



AC b/ Tính BC

c/ Tính độ dài trung tuyến AM

d/ Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi 2IA  IB = 0

a/ CMR ABC vuông tại A

b/ Tính BA



BC c/ Tính cosB

7/ Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5)

a/ CMR ABC vuông

b/ Tính AB



AC c/ Tính cosA

8/ Cho a

= (4; 3) , b



= (1; 7) a/ Tính a

.b

b/ Tính góc giữa 2 vectơ a

2

3

; 4

-1 b) 3 510/ Cho ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120o

2 

AC ; 2

-3 b) 5 3 6

Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4) Tam giác ABC là tam giác gì

Câu 9:Cho (O,5), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16

C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4) Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC:

-40-

Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a Kết quả nào đúng

a) AB AC = a2 b) AB AD = a2 c) AC BD = 2a2 d) AB CD = 0

Câu 15:Cho (O,30), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96

Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông tại C thì giá trị của m là :

a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7

Câu 20: Cho a =(m2 -2m+2 ; 3m-5), b =(2;1) Tìm giá trị của m để a b

Câu 22: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm:

* Phương tích của G với đường tròn đường kính BC

-2

a 2

* Phương tích của A với đường tròn đường kính BC

Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a:

* Phương tích của A với đường tròn đường kính CD

4 c) a

B.Tư luận

Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1)

a) Chứng minh rằng tam giác vuông

b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp

c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác