MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ THANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng, Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Vũ Thanh Tùng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: BIẾN PHÂN 1.1 BIẾN PHÂN THỨ NHÂT, PHƯƠNG TRÌNH EULER - LAGRANGE .4 1.2 BIẾN PHÂN THỨ HAI 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE .10 1.3.1 Các phương trình Euler-Lagrange 10 1.3.1 Các Lagrangian không 12 1.3.3 Ứng dụng 15 CHƯƠNG 2: CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 18 2.1 ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI 18 2.1.1 Điều kiện cưỡng 19 2.1.2 Nữa liên tục 21 2.2 TÍNH LỒI .19 2.3 NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER - LAGRANGE 27 2.4 TRƯỜNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 31 2.4.1 Tính lồi 31 2.4.2.Tính đa lồi .33 2.5 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM .37 2.5.1 Nhũng ước lượng đạo hàm cấp hai 38 2.5.2 Những nhận xét quy tắc cao .42 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN 45 3.1 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG PHI TUYẾN TÍNH 45 3.2 RÀNG BUỘC MỘT BÊN, BẤT ĐẲNG THÚC BIẾN PHÂN .49 3.3 ĐỊNH LÝ QUA NÚI 54 3.3.1 Các điểm tới hạn, biến dạng 54 3.3.2 Định lý qua núi .59 3.3.3 Ứng dụng phương trình eliptic tuyến tính .61 KẾT LUẬN 68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta biết: lý thuyết tổng quát cho phép giải phương trình đạo hàm riêng; với phương trình phi tuyến A[u ] = 0; đó, A[×] (1) ký hiệu tốn tử đạo hàm riêng (nói chung phi tuyến) cho, u ký hiệu ẩn hàm Tuy nhiên, nhiều trường hợp (chẳng hạn, với phương trình Hamilton – Jacobi luật bảo tồn), tốn tử phi tuyến A[×] biểu diễn kiểu “đạo hàm” phiếm hàm “năng lượng” I [×] thích hợp, (1) trở thành I '[u ] = Lúc này, thay giải phương trình (1) cách trực tiếp – việc khó, người ta quan tâm đến việc tìm “điểm tới hạn” phiếm hàm I [×] − việc dường dễ hơn, nhờ vào công cụ giải tích hàm phi tuyến: phép tính biến phân Rất nhiều toán – thực tế – đưa tốn “cực trị phiếm hàm” Có thể nói: Phép tính biến phân sử dụng rộng rãi lĩnh vực khác toán học, học kỹ thuật Vì lý đó, hướng dẫn thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, chọn “Một số vấn đề sở phép tính biến phân” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Chúng tơi mong muốn tìm kiếm nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ kiến thức cũ phép tính biến phân để trình bày lại kiến thức sở – theo cách hiểu – luận văn với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa Hy vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường cao đẳng, đại học Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: phép tính biến phân 3.2 Phạm vi nghiên cứu: khái niệm, định lý sở số toán liên quan Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại vấn đề lý thuyết cách logic, chi tiết hóa chứng minh tìm hiểu tốn, ví dụ minh họa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Mong muốn đề tài tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành toán việc tiếp cận với số vấn đề sở phép tính biến phân Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Euler-Lagrange, biến phân thứ hai hệ phương trình Euler-Lagrange Chương trình bày điều kiện cưỡng bức, tính nửa liên tục dưới, tính lồi, nghiệm yếu phương trình Euler-Lagrange, trường hợp hệ phương trình tính quy nghiệm Chương trình bày toán giá trị riêng phi tuyến, ràng buộc bên, bất đẳng thức biến phân, định lý qua núi ứng dụng phương trình elliptic nửa tuyến tính CHƯƠNG BIẾN PHÂN 1.1 BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE Giả sử U ⊂ tập mở, bị chặn với biên trơn, tập compact cho trước hàm trơn Ta gọi Kí hiệu Ta viết ℝ với Như biến sốdưới chỗ , biến chỗ Ta đặt Kí hiệu làm cho phần lí thuyết sau dễ hiểu Bây để xác hố ý tưởng nói lời mở đầu, ta giả sử phiếm hàm có dạng với hàm trơn ℝ thỏa mãn điều kiện biên (2) Giả sử thêm hàm trơn thỏa mãn điều kiện biên cần thiết: , điểm đạt cực tiểu phiếm hàm số tất hàm thỏa mãn (2) Khi đó, ta chứng minh tự động nghiệm phương trình đạo hàm riêng Để khẳng định điều này, trước tiên ta chọn tuỳ ý hàm trơn xét hàm giá trị thực (3) Vì điểm cực tiểu phiếm hàm , dễ dàng ta thấy có cực tiểu Do 10 (4) Đạo hàm gọi biến phân thứ ta tính tốn cách tường minh cách viết Do Cho , từ (4) suy Cuối cùng, có tính compact nên ta lấy tích phân phần thu Vì đẳng thức với hàm thử , ta kết luận nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Đây phương trình Euler-Lagrange liên quan với phiếm hàm lượng định nghĩa (1) Nhận thấy (6) phương trình đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính dạng phân tán Tóm lại, cực tiểu trơn phiếm hàm nghiệm phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (6) đảo lại ta tìm nghiệm (6) cách tìm cực tiểu (1) Ví dụ 1(Ngun lý Dirichlet) Cho Khi ; phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm 47 Sự làm sáng tỏ bất đẳng thức biến phân Để đạt nhìn sâu sắc bất đẳng thức biến phân (27), ta thừa nhận mà khơng chứng minh , , với điều kiện trơn Do tập mở, Biên tự tập đóng Biên tự cho toán giá trị biên Ta nhận thấy thật (28) Để thấy điều này, chọn hàm thử Khi đủ nhỏ Từ (26) ta có Bất đẳng thức với tất số dương số âm đủ nhỏ, ta có với Vì nghiệm yếu (28); từ định lý quy tuyến tính chứng tỏ Mà thỏa 48 Nhưng , ta lấy tích phân phần để suy với hàm khơng âm Vì (29) Bằng việc quan sát (28), (29) ta tóm tắt kết luận (30) Nhận xét Tập gọi biên tự Nhiều toán thú vị ứng dụng tốn học liên quan đến phương trình đạo hàm riêng với biên tự Như tốn mà viết lại bất đẳng thức biến phân trở nên tương đối dễ dàng để nghiên cứu, đăc biệt bất đẳng thức (30) khơng có đề cập rõ ràng biên tự Các ứng dụng xuất toán điều khiển thời gian dừng tối ưu chuyển động Brownian, thủy học nước ngầm, định lý dẻo, v.v 3.3 ĐỊNH LÝ QUA NÚI Cho đến ta nghiên cứu toán xác định cực tiểu phiếm hàm lượng khác nhau, phụ thuộc vào ràng buộc, phát phương trình Euler-Lagrange phi tuyến thích hợp mà thỏa mãn Đối với phần ta ý đến vấn đề tìm kiếm thêm nghiệm phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange, việc tìm điểm tới hạn khác Nói chung điểm tới hạn không cực tiểu mà “điểm yên ngựa” phiếm hàm 3.3.1 Các điểm tới hạn, biến dạng 49 sau biểu thị cho không gian Hilbert thực với chuẩn tích vơ hướng ( , ) Cho phiếm hàm phi tuyến tính Định nghĩa Ta nói I khả vi tồn cho (1) Phần tử tồn Khi ta viết Định nghĩa Ta nói tồn với , ánh xạ liên tục Nhận xét Ta trình bày lý thuyết bên , để chứng minh ta giả thiết thêm (2) liên tục Lipschitz tập bị chặn Kí hiệu (i) kí hiệu tập hàm thỏa mãn (2) (ii) Nếu ta viết , Các định nghĩa (i) Nếu ta nói điểm tới hạn (ii) Nếu ta nói giá trị tới hạn Bây ta muốn chứng tỏ khơng mức tới hạn ta biến đổi tập vào tập với Ý tưởng để giải phương trình vi phân thường thích hợp Ta cần vài điều kiện compact có số chiều vơ hạn Định nghĩa 50 Một phiếm hàm thỏa mãn điều kiện compact Palais-Smale dãy cho (i) bị chặn (ii) , compact trước Định lý (Định lý biến dạng) Giả sử thỏa mãn điều kiện compact Palais-Smale Khi với đủ nhỏ tồn số hàm cho ánh xạ thỏa mãn (i) (ii) (iii) (iv) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tồn số cho (4) với Chứng minh phản chứng Giả sử (4) sai với tồn dãy phần tử (5) 51 với (6) Theo điều kiện Palais-Smale, có dãy phần tử với Nhưng nên từ (5) (6) ta có Vì , mâu thuẫn với giả thiết (3) Chọn thỏa Ta viết , Vì bị chặn tập bị chặn nên ta kiểm tra ánh xạ bị chặn số dương tập bị chặn Vì vậy, hàm thỏa mãn (8) Đặt (9) Cuối cùng, ta xác định ánh xạ (10) Nhận xét bị chặn Bây với ta xét phương trình vi phân thường Vì liên tục Lipschitz bị chặn tập bị chặn nên có nghiệm nhất, tồn Ta viết để diễn đạt phụ thuộc nghiệm 52 với t vị trí ban đầu Hạn chế ta , ta thấy ánh xạ , định nghĩa khẳng định (i) (ii) thỏa mãn Bây ta tính Đặc biệt khẳng định (iii) Chọn điểm (13) Ta muốn chứng minh (14) cách kiểm tra khẳng định (iv) Nếu với ta thực hiện; cho thay Khi Vì kết tính tốn (12) thu Mà từ (9) (4) có nghĩa Nói theo cách khác, từ (9) (4) thu Khi bất đẳng thức từ (15) ta có 53 Ước lượng cố (14) hoàn thành việc chứng minh 3.3.2 Định lý qua núi Tiếp theo ta dùng kỹ thuật hấp dẫn “min-max’’, sử dụng biến dạng xây dựng để suy tồn điểm tới hạn Định lý ( Định lý qua núi) Giả sử thỏa mãn điều kiện Palais-Smale Và giả sử (i) (ii) Tồn số (iii) Tồn phần tử với Định nghĩa Khi giá trị tới hạn I Chứng minh Rõ ràng (16) Giả sử không giá trị tới hạn , (17) Khi chọn số đủ nhỏ 54 Theo định lý biến dạng 1, tồn số đồng với (19) Và (20) Bây ta chọn thỏa mãn Theo (20), thuộc Nhưng (21) có nghĩa Từ suy 3.3.3 Ứng dụng phương trình elliptic nửa tuyến tính Để minh họa tính có ích định lý qua núi , ta nghiên cứu toán bờ tuyến tính : Ta giả sử hàm trơn , với vài ta có (23) , số Ta giả sử (24) với vài số , Ta đưa giả thiết cuối cho số (25) 55 Mà (25) ý nói rõ ràng nghiệm tầm thường (22) Ta muốn tìm nghiệm khác Định lý (Sự tồn tại) Bài toán bờ (22) có nghiệm yếu Chứng minh Định nghĩa với Ta dự định áp dụng định lý qua núi vào phiếm hàm Ta đặt với chuẩn tích vơ hướng Khi Trước tiên ta khẳng định (27) Để thấy điều , lưu ý với Do khả vi , với Vì Tiếp theo ta cần kiểm tra số hạng Nhớ lại từ định lý Lax-Milgram rằngvới phần tử tốn có nghiệm Ta viết cho (28) ánh xạ đẳng cự Đặc biệt lưu ý phiếm hàm tuyến tính định nghĩa thuộc vào (Ta lạm dụng kí hiệu nói ) Tiếp theo nhận xét 56 Bây ta chứng minh (29) Để thấy điều , lưu ý Vì với , theo (23) số hạng lại R thỏa mãn Vì nên bất đẳng thức Sobolev chứng tỏ Do từ (28) ta thấy cần thiết Cuối ta lưu ý với Nhưng 57 ta sử dụng (23) Do liên tục Lipschitz tập bị chặn Vì ta chứng minh khẳng định (27) Bây ta kiểm tra điều kiện Palais-Smale Để chứng minh điều ta giả sử , với (31) bị chặn (32) Theo điều nêu (33) Do với ta có với đủ lớn Ở ta đặt để tìm với với đủ lớn Đặc biệt, cho ta thấy với đủ lớn Nhưng từ (31) ta có với vài số nên từ (34), (24) ta suy 58 Vì nên ta thấy bị chặn Do tồn dãy với yếu , mà khẳng định Nhưng , từ Vì (33) có nghĩa (35) Cuối ta kiểm tra giả thiết Định Lý Qua Núi Rõ ràng Bây ta giả sử với chọn Khi Mà giả thiết (25) cho nên Theo (36) với điều kiện đủ nhỏ Bây ta chọn hàm Viết với chọn Khi với đủ lớn Ta kiểm tra tất giả thiết Định Lý Qua Núi Vì phải tồn hàm với Đặc biệt với ta có 59 nghiệm yếu (22) 60 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu số vấn đề sở phép tính biến phân, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: • Tổng quan hệ thống đầy đủ khái niệm ví dụ ứng dụng biến phân phương trình Euler-Lagrange hệ phương trình • Euler-Lagrange Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm nghiệm yếu, • Lagrange không, số nhân Lagrange, bổ đề liên quan Chứng minh chi tiết làm rõ số định lý, đặc biệt định lý qua núi ứng dụng định lý phương trình eliptic tuyến tính Trong q trình thực đề tài luận văn có nhiều cố gắng nhiên hạn chế định trình độ khoa học thân, thời gian thực kinh nghiệm nghiên cứu nên khó tránh thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý chân thành quý thầy côvà bạn đọc để nghiên cứu phát triển luận văn sau 61 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] TS Đào Huy Bích (2002), Phép Tính Biến Phân, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Trần Đức Long (2004), Bài Giảng Giải Tích, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng anh [3] C Carathéodory (1982), The Caluculus of Variation and Partial Differential Equations of First Order, Chelsea [4] D Kinderlehrer & G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, Academic Press [5] F Jonh, Partial Differential Equations, Springer [6] M Giaquinta & S Hildebrandt (1996), Calculus of Variations, Vol 1-2, Springer [7] O.A Ladyzhenskaya (1968), V.A Solonnikov & N.N Uraltseva, Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Academic Press [8] V P Mikhailov (1978), Partial Differential Equations, Mir ... với số vấn đề sở phép tính biến phân Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Euler-Lagrange, biến phân. .. tốn học, học kỹ thuật Vì lý đó, hướng dẫn thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, chọn Một số vấn đề sở phép tính biến phân làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học 7 Mục đích nhiệm vụ nghiên... mặtDiện cực tích tiểu mặt có độ cong trung bình u Một mặt cực tiểu 1.2 BIẾN PHÂN THỨ HAI Biến phân thứ hai phiếm hàm hàm tính tốn dựa phép tính biến phân thứ Ta bắt đầu nhận xét quan trọng cực tiểu