Luận văn thạc sĩ toán học phép tính vi phân trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chi[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Mã số: Toán Giải Tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜNG HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Tìm hiểu về phép tính vi phân khơng gian Banach ” thực hiện với sự hướng dẫn của PGS TS Ngũn Bích Huy, khơng chép của bất cứ Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các ng̀n sách, tạp chí được liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về ḷn văn của Thành phớ Hờ Chí Minh, tháng 06 năm 2018 Học viên thực hiện CHANTHAVONG Ladda LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Ngũn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để hoàn thành bài luận này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới các Thầy khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phớ Hờ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình đợ chun mơn śt quá trình học cao học Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Khoa học Cơng nghệ và phịng Sau đại học, phịng Tổ chức hành chính, phịng Kế hoạch - Tài Trường đại học Sư phạm TP Hờ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho suốt quá trình học tập và làm luận văn Và cảm ơn các bạn Học viên K26 đã chia sẻ với rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới quý thầy cô, anh chị và các bạn! CHANTHAVONG Ladda MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU .1 Chương ĐẠO HÀM 1.1 Sự khả vi .2 1.2 Định lý số giá giới nội và ứng dụng .9 1.2.1 Định lý số giá nội 1.2.2 Một số ứng dụng 11 1.3 Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor 18 1.3.1 Ánh xạ đa tuyến tính 18 1.3.2 Đạo hàm bậc hai 20 1.3.3 Đạo hàm bậc cao 23 1.3.4 Công thức Taylor 26 1.3.5 Đạo hàm cấp cao của một số ánh 29 1.4 Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn 40 Chương CỰC TRỊ 46 2.1 Cực trị địa phương 46 2.2 Cực trị có điều kiện .50 2.2.1 Trường hợp riêng 50 2.2.2 Cực trị với ràng buộc phiếm hàm 53 2.2.3 Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát 54 2.3 Bài toán biến phân 57 2.3.1 Trường hợp một biến Phương trình Euler 57 2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến Phương trình Euler – Lagrange 64 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 MỞ ĐẦU Khái niệm đạo hàm là khái niệm sở nhất và quan trọng nhất của Toán học nói riêng và khoa học nói chung Nó có mặt những bài toán đơn gian nhất các bài toán phức tạp nhất Đạo hàm được định nghĩa ban đầu cho hàm số một biến số, sau đó cho hàm số nhiều biến số Do sự phát triển nội tại của Toán học đề nghiên cứu những bài toán mới phát sinh quá trình phát triển của khoa học – công nghệ mà khái niệm đạo hàm và các vấn đề liên quan đã được mở rộng cho các ánh xạ tác động các không gian Banach và rộng là các không gian tô pô tuyến tính Đến đã hình thành mợt lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân khơng gian Banach Lí thuyết này tìm được những ứng dụng sâu sắc và bản lí thuyết phương tình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển, Tới ưu hoá, Toán kinh tế, Việc tìm hiểu về phép tính vi phân khơng gian Banach giúp học viên bổ sung cho những kiến thức mới hiện đại; thấy được phương pháp hình thành và phát triển những khái niệm Toán học tổng quát sở những khái niệm cũ, riêng biệt Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thớng các vấn đề bản nhất của phép tính vi phân không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, cơng thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và cơng thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân, Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên cao học Khi học bợ mơn phép tính vi phân không gian hữu hạn chiều và không gian Banach 2 Chương ĐẠO HÀM 1.1 Sự khả vi Trong chương này, ta xét  E,  E  ,  F ,  F  là các không gian Banach một trường K ( K là R hoặc C ) Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E chứa điểm x và f :D F 1) Ta nói f khả vi theo Frechet hay F  khả vi tại x tờn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F cho với mọi h  E mà x  h  D thì: f  x  h  f  x  Ah  h E 1    h  , với  xác định một lân cận của 0E có giá trị F , im   h   0F h0E 2) Ta nói f khả vi theo Gateaux hay G  khả vi tại x tờn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F cho im t 0 f  x  th   f  x   A  h  , h  E t  2 Mệnh đề 1.1 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F 1) Ánh xạ tuyến tính liên tục A thoả mãn 1 hoặc   , tồn tại, sẽ nhất, đặt f '  x   A và gọi là đạo hàm của f tại x 2) Nếu f khả vi theo Frechet tại x  D f liên tục tại x Chứng minh 1) Ta chứng minh cho trường hợp là F  khả vi Giả sử A1 , A2 là ánh xạ tuyến tính liên tục thoả mãn 1 Với mọi u  E và t  cho x  tu  D, ta có: f  x  tu   f  x   A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu  , với im 1  h   im 2  h   0F h0E h0E Do A1 , A2 tuyến tính và t  nên: A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu   A1  u   A2  u   u E 2  tu   1  tu   Cho t  0, ta có: A1  u   A2  u  , u  E Vậy A1  A2 2) Từ 1 và tính liên tục của A suy ra: im f  x  h   f  x  h0E Vậy f liên tục tại x Từ 1 và A là tuyến tính, ta có: im t 0 f  x  th   f  x   im A  h   t 0 t  t t  h   th   A  h  Do đó f khả vi theo Gateaux tại x Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F Nếu f khả vi tại mọi x  D , ta nói f khả vi D hay f khả vi Khi đó ánh xạ f ' : D  L  E, F  f '  x   L  E, F  biến mỗi x  D thành đạo hàm của f tại x , được gọi là ánh xạ đạo hàm của f Ghi chú Nếu E  R , mọi ánh xạ tuyến tính A: R  F có dạng A  t   tw, với w  F , w  A 1 Ta đờng nhất ánh xạ tuyến tính A với A 1  w là vectơ F Khi đó với I là khoảng mở R , f : I  F , f khả vi tại t  I tồn tại phần tử w  F cho với h  R, t  h  I thì: f  x  h   f  t   hw  h    h  , im   h   F hay h 0 im h 0 f  x  h  f t   w  f ' t  h Mệnh đề Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở và f : D  F i) Nếu f là ánh xạ hằng f khả vi và f '  x   0L E ,F  , x  D ii) Nếu f là thu hẹp D của ánh xạ tuyến tính liên tục f khả vi và: f '  x   f , x  D Chứng minh i) Hiển nhiên ii) Do f tuyến tính liên tục nên f  x  h  f  x  f h  h E   h  , với   h   F , h  E Định lý 1.1 (Công thức đạo hàm của ánh xạ hợp) Cho E , F , G là không gian Banach, U là tập mở E , V là tập mở F và f : U  V , g : V  G Giả sử f khả vi Frechet tại x và g khả vi Frechet tại y  f  x  g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  ' Chứng minh Đặt k  h   f  x  h   f  x  Với h  E cho x  h U và f  x  h   V Do g khả vi tại f  x  nên g  f  x  h    g  f  x    g '  f  x    k  h    k  h  F    k  , im   k   0G k 0F Do f khả vi tại x nên: k  h   f '  x  h   h E   h  , im  h   0F h0E Suy g  f  x  h    g  f  x     g '  f  x   f '  x    h   h E  g '  f  x     h    k  h  F    k  Ta cần chứng minh:   k  h F im  g '  f  x     h      k  h    0G h  E hE   Điều này suy từ các đánh giá: k  h F  f '  x  h E   h E   h Khi h  0E , im k  h   0F và h0E nên F k h h F  f '  x   h F bị chặn E im   k  h    0G h0E Vậy g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  ' Nhận xét Nếu f khả vi Gateaux tại x và f khả vi theo Frechet tại y  f  x  g f khả vi Gateaux tại x và g f   x   g '  f  x  f '  x  ' Từ về sau không nói thêm, ta hiểu sự khả vi là theo Frechet Định nghĩa Cho F1 , F2 , , Fn là các không gian Banach Đặt F  F1  F2   Fn Mỗi y  F , y   y1 , y2 , , yn  , yi  Fi , i  1, 2, , n , Đặt y F  y1 F1  y2 F2   y n Fn Khi đó  F ,  F  là không gian Banach Cho E , Fi , i  1, n là các không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F1  F2   Fn Khi đó f  x    f1  x  , f  x  , , f n  x   đó fi : D  Fi , i  1, 2, , n là ánh xạ thành phần thứ i của f Ánh xạ f là tuyến tính, liên tục và chỉ các ánh xạ fi là tuyến tính, liên tục i  1, n Định lý 1.2 Cho E, F1 , F2 , , Fn là các không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F1  F2   Fn , f   f1 , f , , f n  Khi đó f khả vi tại x và chỉ các ánh xạ thành phần f1 , f2 , , fn khả vi tại x Hơn nữa: f '  x  h    f1'  x  h  , f 2'  x  h  , , f n'  x  h   , đó f '  x   L  E, F  với F  F1  F2   Fn , f i '  x   L  E , Fi  , i  1, 2, , n , nghĩa là f i '  x  là thành phần thứ i của f '  x  Chứng minh Giả sử f khả vi tại x Với i  1, 2, , n , đặt pi : F1  F2   Fn  Fi định bởi pi  y1 , y2 , , yn   yi , pi là phép chiều thành phần thứ i pi là ánh xạ tuyến tính liên tục và fi  pi f Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, fi khả vi tại x và f i '  x   pi'  f  x   f '  x   pi f '  x  Vậy f i '  x  là thành phần thứ i của f '  x  Ngược lại, giả sử f1 , f2 , , fn khả vi tại x Với h  E mà x  h  D ta có:  f1  x  h   f1  x    f1'  x  h   h E  1  h       f  x  h  f  x     '    f n  x  h   f n  x    f n  x  h   h E  n  h    f1'  x  h   1  h          h E    ,  f1'  x  h   n  h     với fi '  L  E, Fi  , im i  h   0Fi , i  1, 2, , n h0E Đặt:  fi '  x   1  h       A    ,   h     A  L  E , F  ,  xác định lân cận E  f n'  x    n  h     im   h   0F và h0E Vậy f khả vi tại x và f '  x   A   f1'  x  , f 2'  x  , , f n'  x   Ví dụ 1.1 Xét không gian Banach E  C  a, b , R  với chuẩn x     sup x  t  : t   a, b Cho f :  a, b    a, b   R  R liên tục, f  f  t , s, x  Cho F : E  F định bởi: b với x  E và t   a, b , F  x  t    f  t , s, x  s  ds a a) Khi đó F liên tục E b) Nếu f (đạo hàm riêng theo biến thứ 3) liên tục  a, b    a, b   R x F khả vi và với x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với f t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b  x a b h  E F  x  h  t    ' Chứng minh a) Cho trước x  E và   Do f liên tục đều  a, b   a, b    x  1, x  1 nên tồn tại   0,   1 cho:  t, s, u   t ' , s' , u '    , t , s, t ' , s' a, b và u, u '    x  1, x  1 thì: f  t , s , u   f  t ,' s ' , u '    b  a 1 Với t , t '   a, b , t  t '   ta có: b F  x  t   F  x   t '    f  t , s, x  s    f  t ' , s, x  s   ds  a  b  a  b  a 1  Vậy F  x  liên tục  a , b  và F  x   E Với h  E , h     1, ta có: t   a, b  , b F  x  h  t   F  x  t    f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s   ds  a  b  a  b  a 1  Suy ra: F  x  h   F  x     Vậy F liên tục tại x b) Cho trước x  E và   Do f x liên tục đều  a, b   a, b    x  1, x  1 nên tồn tại   0,   1 cho: t, s, u   t ' , s' , u'    , t, s, t ' , s' a, b và u, u '    x  1, x  1 thì: f f  với mọi t , s   a, b   t , s, u    t , s, v   x x b  a 1 Do định lí Lagrange tờn tại    0,1 , (  phụ thuộc vào s và t ) cho: f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s    f  t , s, x  s    h  s    h  s  x Khi đó với mọi t   a, b  , f t , s, x  s   h  s  ds  x a b F  x  h  t   F  x  t    f      f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s     t , s, x  s   h  s   ds x  a  b h  b  a  f  f      t , s, x  s    h  s     t , s, x  s   h  s   ds     h  x x b  a 1  a  b Từ a), ánh xạ A : E  E định bởi : Với h  E , f t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b , là ánh xạ tuyến tính liên tục x a b A  h  t    Vậy F khả vi tại x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với h  E f t , s, x  s    h  ds, x a b F  x  h  t    ' t   a, b  Ví dụ 1.2 Cho D  R n là tập mở và f : D  Rm , f  x    f1  x  , , f m  x   với f i : D  R, i  1, m Khi đó f khả vi tại a và chỉ fi khả vi tại a , i  1, m Ánh xạ tuyến tính f '  a  : R n  R m có ma trận biểu diễn các sở tắc của R n , R m với hàng thứ i là f  a    fi  a  , , i   , i  1, m  x  x n   1  Chứng minh Do định lí 1.2, ta có f khả vi tại a và chỉ mà hàm fi khả vi tại a Giả sử fi khả vi tại a Ánh xạ fi '  a  : R n  R tuyến tính nên tờn tại a1 , , an  R cho: n f1'  a  h     k hk , h   h1 , , hn   R n k 1 và n fi  a  h   f i  a     k hk  h    h  , im   h    h  k 1 Rn Cho h  te j với e1 , , en  là sở tắc của Rn , ta có im fi  a  te j   fi  a  t 0 t j hay fi  a    j , j  1, n x j Do f '  a  h    f1'  a  h  , , f m'  a  h   , h  R n nên ta suy f '  a  là ma trận có hàng thứ là 1 1.2 Định lý số gia giới nội và ứng dụng 1.2.1 Định lý số gia giới nội Định nghĩa Cho E là không gian định chuẩn.Với a, b  E , ta kí hiệu  a, b  1  t  a  tb / t  0,1  a, b   1  t  a  tb / t   0,1 Định lý Cho E , F là các không gian định chuẩn, D là tập mở E , a, b  E cho  a, a  h   D Giả sử f : D  F thỏa mãn i) Thu hẹp của f  a, a  h  liên tục ii) f là G  khả vi tại mọi x   a, a  h  Khi đó 10 f  a  h  f  a  F  h E sup x a , a  h  f '  x Chứng minh Đặt y  f  a  h   f  a  ,ta có thể coi y   Áp dụng một hệ quả của định lý Hahn – Banach ta tìm được phiếm hàm G  F  cho G  1, G  y   y Xét phiếm hàm g : F  R, g  x   Re G  x  ; ta có g là phiếm hàm thỏa mãn g  x  y   g  x   g  y  , g   x    g  x  ,   R và g  G Xét phiếm hàm  :  0,1  R,   t   g  f  a  th   Ta có   liên tục  0,1 giả thiết i)   khả vi  0,1 và  '  t   g  f '  a  th  h  Áp dụng định lý Lagrange cho hàm   0,1 ta tìm được sớ c   0,1 cho  1       '  c   g  f '  a  ch  h   g  h  f '  a  ch   h sup x a , a  h  f '  x Vì  1      g  y   G  y   y nên ta có điều phải chứng minh Hệ quả Giả sử ta có các giả thiết của định lý số gia nội và A  L  E , F  Khi đó f  a  h  f  a   Ah F  h  sup x a , a  h  f '  x  A Chứng minh Xét ánh xạ g : D  F , g  x   f  x   A  x  Ta thấy các điều kiện của định lý số gia giới nội cho ánh xạ g Do đó g  a  h   g  a   h  sup x a , a  h  g'  x Chú ý rằng: g a  h  g a  f a  h  f a  Ah , g '  x  f '  x   A , điều phải chứng minh x   a, a  h  ta có 11 1.2.2 Một số ứng dụng a) Giới hạn của dãy ánh xạ khả vi Ta nhắc lại rằng tập D không gian E gọi là tập liên thông không tồn tại hai tập mở O1 , O2 E cho: D  O1  , D  O2  , D  O1  O2 , D  O1  O2   Mệnh đề 2.3 Cho E là không gian Banach và D là tập mở E Nếu D là tập liên thơng với mọi x, y  D , tờn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 , , Bk chứa D cho: x  B1 , Bi  Bi 1  , i  1, 2, , k  , y  Bk  4 Chứng minh: Ta định nghĩa quan hệ D sau: Với x, y  D , ta nói và chỉ tồn tại một số quả cầu mở B1 , B2 , , Bk thoả mãn   Khi đó là quan hệ tương đương D nghĩa là: và Với x  D , đặt là lớp tương đương của x Khi đó: x , với x, y  D x  y   hoặt x  y D xD Ta chứng minh x là tập mở Thật vậy; với y  x nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 , , Bk thoả mãn   Khi đó, với z  Bk hay z  x Suy ra: Bk  x nên Vậy x là tập mở Cố định x  D , ta khẳng định x  D và vậy mệnh đề được chứng minh Giả sử D \ x   Đặt O1  x và O2  y yD \ x y  D \ x   nên O2 là tập mở khác rỗng và ta có: D  O1  O2 , O1  O2   y mở với mọi 12 Ta gặp mâu th̃n với tính liên thơng của D Như vậy: x  D Hệ quả 2.2 Cho D là tập mở liên thông E Khi đó với mọi x, y  D tồn tại đường gấp khúc  gồm các đoạn  x, x1  ,  x1 , x2  , ,  xk 1 , y  chứa D , nối x và y Định lý 2.4 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông E và f :D F Giả sử f khả vi và f '  x   0L E , F  , với mọi x  D Khi đó f là ánh xạ hằng D Chứng minh Cố định x0  D Với x  D , Hệ quả 2.2, tồn tại đường gấp khúc  chứa D , nối x0 và x Gọi các đỉnh liên tiếp của  là x0 , x1 , , xk 1 , xk  x Trên đoạn  x0 , x1  áp dụng lý giá trị trung bình, ta có: f  x1   f  x0  F  x1  x0 E  sup f '  z  , z  x0 , x1   Suy ra: f  x0   f  x1  Làm tương tự với các đoạn  xi , xi 1  , i  1, 2, , k  , ta có: f  x0   f  x1    f  x  Vậy f là ánh xạ hằng Định lý 2.5 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông E Với mọi tập bị chặn K của D , dãy các ánh xạ đạo hàm f  ' n n , f n' : D  L  E , F  hội tụ đều về ánh xạ g : D  L  E , F  K và tồn tại a  D cho dãy các phần tử  f  a   hội tụ n n Khi đó tồn tại ánh xạ f : D  F khả vi D cho dãy  f n  n hội tụ về f D và f '  x   g  x  , với mọi x  D 13 Chứng minh: Do D mở và a  D , tồn tại r  cho quả cầu mở B  a, r   D Với mọi x  B  a, r  , đoạn  a, x   B  a, r  và dãy ánh xạ đạo hàm f  hội tụ đều về ' n n g B  a , r  Với mọi n, p  N , ta có:  f  x   f  a    f  x   f  a  n p n p n n F    x  a E sup f n' p  y   f n'  y  , y  a, x  Do  fn  a  n hôi tụ F và dãy  f n' n hội tụ đều về g B  a, r  nên  f  x  n n là dãy bản B  a, r  Do F là không gian Banach nên  f n  n hội tụ đều B  a, r  về ánh xạ ghi là f Do  f n  n liên tục B  a , r  nên f liên tục B  a , r  Ta chứng minh f khả vi và x  B  a, r  f '  x  g  x x  B  a, r  với mọi Với cố định và h  E cho x  h  B  a, r  , ta có: f  x  h   f  x   g  x  h  E  f  x  h   f  x   f n  x  h   f n  x   f n  x  h   f n  x   f n'  x  h  Với   cho trước, f  ' n n F F  f n'  x  h   g  x  h  F hội tụ đều về g B  a, r  nên tồn tại n0  N cho: với n  n0 và p  N thì: sup f ' n p  y   f n'  y  f n'  y   g  y    , y  B  a, r     và , y  B  a , r  Từ định lý giá trị trung bình, suy ra:  f  x  h   f  x    f  x  h   f  x  n p n p n n F  h E  sup f ' n p  y   f n'  y  Cho p   , ta có: f  x  h   f  x    fn  x  h   fn  x  Mặt khác, do: F    , y  B  a, r   h E , n  n0  h E 14 f n  x  h   f n  x   f n'  x  h  F  h F  n  h  với im n  h   0F h0E nên tồn tại   cho với h  E , h E   , ta có: f  x  h   f  x   g  x  h  F  h E Điều này chứng tỏ f khả vi tại x và f '  x   g  x  với mọi x  B  a, r  Với x  D bất kỳ, D là tập mở liên thông E nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 , , Bk chứa D thoả mãn   , a  B1 , x  Bk lấy x1  B1  B2 Lặp lại chứng minh bằng cách thay a bởi x1 và B  a, r  bởi B2  f n  n hội tụ đều B2 về ánh xạ vẫn là f (do giới hạn là nhất nên chúng bằng B1  B2 , Sau một số hữu hạn bước, ta có dãy  f n  n hội tụ đều về f Bk ), f khả vi và f '  x   g  x  Định lý được chứng minh b) Đạo hàm riêng và khả vi Định nghĩa Cho E1 , E2 , , En , f là không gian Banach Đặt: E  E1  E2   En với chuẩn định bởi: x E  x1 E1  x2 E2   xn En với x  E ,  x1 , x2 , , xn  , x1  Ei , i  1, 2, , n , Khi đó  E,  E  là không gian Banach Cho D là tập mở E và f : D  F Với a  D , a   a1 , a2 , , an  , xem ánh xạ i : Ei  E định bởi: Với x1  Ei , i  xi    a1 , , 1 , xi , 1 , , an  i liên tục , đơn ánh và i'  xi    O, , O, I ; O, , O  Ta có i liên tục i1  D  là tập mở Ei với I i là ánh xạ đồng nhất Ei Ánh xạ f i : i 1  D   F được gọi là ánh xạ riêng của f theo biến xi tại a f i  xi   f  a1 , , 1 , xi , 1 , , an  , xi  i1  D  15 Nếu ánh xạ riêng theo biến xi tại , f i khả vi tại , đạo hàm '  f i    được gọi là đạo hàm riêng của f theo biến xi tại a , ký hiệu Di f  a  Khi đó Di f  a   L  Ei , F  Mệnh đề 2.4 Cho E  E1  E2   En với Ei , i  1, 2, , n là không gian Banach, F là không gian Banach và D là tập mở E Cho f : D  F , a  D , a   a1 , a2 , , an  Nếu f khả vi tại a ánh xạ riêng f i khả vi tại với mọi i  1, 2, , n và với h  E , h   h1 , h2 , , hn  thì: n f '  a  h    Di f  a  hi  i 1 Chứng minh Với i  1, 2, , n , đặt pi : E  Ei định bởi: pi  x1 , , xi , , xn   xi , pi là phép chiếu lên Giả sử f khả vi tại a Do i khả vi Ei và i'  xi    0, , 0, I i , 0, ,  nên ánh xạ riêng f i khả vi tại và  f i     f '  a  i' ' Mặt khác ta có: n  i 1 ' i pi  I E ( ánh xạ đồng nhất E ) Suy n n i 1 i 1 ra: f '  a    f '  a  i' pi   Di f  a  pi Vậy: n f '  a  h    Di f  a  hi  i 1 ... biến phân, Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh vi? ?n Đại học và học vi? ?n cao học Khi học bợ mơn phép tính vi phân không gian hữu hạn chiều và không gian Banach. .. ánh xạ tác động các không gian Banach và rộng là các không gian tô pô tuyến tính Đến đã hình thành mợt lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân khơng gian Banach Lí thuyết này tìm... đề bản nhất của phép tính vi phân không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, cơng