Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân

1 M U Lý chn ti Chỳng ta u bit: khụng cú lý thuyt tng quỏt cho phộp gii mi phng trỡnh o hm riờng; nht l vi cỏc phng trỡnh phi A[u ] = 0; tuyn (1) ú, A[ì] ký hiu toỏn t o hm riờng (núi chung l phi tuyn) ó cho, cũn u ký hiu n hm Tuy nhiờn, nhiu trng hp (chng hn, vi phng trỡnh Hamilton Jacobi v cỏc lut bo ton), toỏn t phi tuyn A[ì] cú th biu din c nh l mt kiu o hm ca mt phim hm nng lng I [ì] thớch hp, v (1) tr thnh I '[ u ] = Lỳc ny, thay vỡ gii phng trỡnh (1) mt cỏch trc tip mt vic khú, ngi ta quan tõm n vic tỡm cỏc im ti hn ca phim hm I [ì] - mt vic dng nh l d hn, nh vo cỏc cụng c ca gii tớch hm phi tuyn: phộp tớnh bin phõn Rt nhiu bi toỏn trờn thc t c a v bi toỏn cc tr ca phim hm Cú th núi: Phộp tớnh bin phõn c s dng rng rói cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc, c hc v k thut Vỡ lý ú, di s hng dn ca thy Nguyn Duy Thỏi Sn, tụi chn Mt s c s phộp tớnh bin phõn lm ti nghiờn cu cho lun thc s khoa hc ca mỡnh Mc ớch v nhim v nghiờn cu Chỳng tụi mong mun tỡm kim c nhiu ti liu t cỏc ngun khỏc nhau, nghiờn cu k cng cỏc ti liu ú, c gng lnh hi y cỏc kin thc c v mi v phộp tớnh bin phõn cú th trỡnh by li cỏc kin thc c s theo cỏch mỡnh hiu lun ny vi cỏc chng minh chi tit v cỏc vớ d minh Hy vng lun cú th c s dng nh mt ti liu tham kho b ớch cho sinh viờn cỏc trng cao ng, i hc i tng v phm vi nghiờn cu 3.1 i tng nghiờn cu: phộp tớnh bin phõn 3.2 Phm vi nghiờn cu: cỏc khỏi nim, cỏc nh lý c s v mt s bi toỏn liờn quan Phng phỏp nghiờn cu C bn s dng phng phỏp nghiờn cu ti liu (sỏch, bỏo v cỏc ti liu trờn internet cú liờn quan n ti ca lun vn) thu thp thụng tin nhm h thng li cỏc lý thuyt mt cỏch logic, chi tit húa cỏc chng minh v tỡm hiu cỏc bi toỏn, cỏc vớ d minh í ngha khoa hc v thc tin ca ti Mong mun ti s l ti liu b ớch cho sinh viờn ngnh toỏn vic tip cn vi Mt s c s phộp tớnh bin phõn Cu trỳc lun Lun gm phn m u, kt lun, ti liu tham kho v chng Chng gii thiu bin phõn th nht, phng trỡnh EulerLagrange, bin phõn th hai v h phng trỡnh Euler-Lagrange 3 Chng trỡnh by iu kin cng bc, tớnh na liờn tc di, tớnh li, nghim yu ca phng trỡnh Euler-Lagrange, trng hp h phng trỡnh v tớnh chớnh quy ca nghim Chng trỡnh by v bi toỏn giỏ tr riờng phi tuyn, rng buc mt bờn, bt ng thc bin phõn, nh lý qua nỳi v ng dng phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh 4 CHNG BIN PHN 1.1 BIN PHN TH NHT, PHNG TRèNH EULERLAGRANGE Gi s U l mt m, b chn vi biờn trn, l mt compact v cho trc mt hm trn Ta gi Kớ hiu ỏ ch bi ( ), v = ( , , )= Ta vit , , v ìì ( ,, , , ,, ) vi Nh vy " " l bin s di õy c th l bin s c th ch bi =( = = ,, ,, ) ( ) Ta cng t Kớ hiu ny s lm cho phn lớ thuyt sau d hiu Bõy gi chớnh xỏc hoỏ ý tng ó núi li m u, ta gi s rng phim hm []cú dng (1) vi cỏc hm trn (2) [ ] ( ( ), ( ), ) tha iu kin biờn = trờn , Gi s thờm rng mt hm trn biờn cn thit: = trờn , v l im t cc tiu ca phim hm [] s tt c cỏc hm minh rng no ú tha iu kin tha (2) Khi ú, ta chng t ng l mt nghim ca mt phng trỡnh o hm riờng no ú khng nh iu ny, trc tiờn ta chn tu ý hm trn ( ) v xột hm giỏ tr thc (3) Vỡ = trờn ( ) [ + ] ( ) l mt im cc tiu ca phim hm [] v + , d dng ta thy () cú mt cc tiu ti = Do ú (0) = (4) = o hm trờn c gi l bin phõn th nht v ta tớnh toỏn nú mt cỏch tng minh bng cỏch vit (5) Do ú ( )= ( )= ( + + Cho = 0, t (4) suy rng = (0) = , + ( ( ( + + , , ) , ) , ) , + , ) , + + ( , , ) Cui cựng, vỡ cú tớnh compact nờn ta cú th ly tớch phõn tng phn v thu c = (0) = ( ( , , )) + ( , , ) Vỡ ng thc ny ỳng vi mi hm th , ú ta kt lun nghim ỳng phng trỡnh o hm riờng phi tuyn (6) ( ( , , )) + = ( , , ) õy l phng trỡnh Euler-Lagrange liờn quan vi phim hm nng lng [] c nh ngha bi (1) Nhn thy rng (6) l mt phng trỡnh o hm riờng cp hai ta tuyn tớnh dng phõn tỏn Túm li, mi cc tiu trn ca phim hm [] l mt nghim ca phng trỡnh o hm riờng Euler-Lagrange (6) vỡ th o li ta cú th tỡm c mt nghim ca (6) bng cỏch tỡm cỏc cc tiu ca (1) 1.2 BIN PHN TH HAI Bin phõn th hai ca phim hm [] ti hm c tớnh toỏn da trờn phộp tớnh ca bin phõn th nht T iu ny ta nhn xột rng vỡ cú cho mt cc tiu i vi phim hm [] , nờn ta cn phi (0) 0, () c nh ngha bi (3)nh trờn T (5) ta cú th tớnh ( )= , +2 Ly ( ( ( + + + + , + , + , ) , + , ) , ) = 0, ta thu c bt ng thc ỳng vi mi hm (0) = ( +2 , , ) ( , , , ) ( + 1.3 H PHNG TRèNH LAGRANGE , , ) 1.3.1 Cỏc phng trỡnh Euler-Lagrange Gi s cho trc hm trn Lagrange ì Kớ hiu Ta vit vi = ( , , )= ( ì , , v Vỡ 1.1 hm (7) = ì ì ,, , ,, ú , ,, ì liờn qua vi phim hm [ ] ( ( ), ( ), ) , ) ( ) vi cỏc hm trn ( , c nh ngha l ), tha iu kin biờn = l cho trc T ú, ta cú ( )= l ma trn gradient ca ti x trờn , , = ì Bõy gi ta chng t rng bt kỡ cc tiu trn ca phim hm [] c ly cỏc hm bng =( trờn , ) , ta cn phi gii mt h cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn tớnh no ú Do ú ta chn =( Vỡ ó cú , ) ( ) [ + ( ; ), v vit ] (0) = T iu ny ta suy ng thc nh trờn = (0) = ( , , ) + ( Vỡ ng thỳc ny cú giỏ tr vi mi cỏch chn , , ) ly tớch phõn tng phn ta c ( ( = , , )) + ( = 1, ) ( , , ) ,, nờn Núi chung h phng trỡnh o hm riờng ta tuyn tớnh bao gm cỏc phng trỡnh Euler-Lagrange vi cỏc phim hm [] c nh ngha bi (7) 1.3.2 Cỏc Lagrangian khụng nh ngha H phng trỡnh Euler-Lagrange (14) ( ( , , )) + ( = 1, ( ) Hin nhiờn c gii bi tt c hm L c gi l mt Lagrangian khụng , , )=0 Khi ú hm nh lý 1.( Cỏc Lagrangian khụng v cỏc iu kin biờn) Cho L l mt Lagrangian khụng Gi s , ( , ) cho (15) Khi ú (16) Kớ hiu Nu trờn [ ]= [ ] l mt ma trn vuụng n x n Ta kớ hiu cof ma trn ng nhõn t m ta b i ( , ) (1) l hai hm ( ) , ú thỡ (cof ) = ( ) bng nh thc ca ma trn ( 1) ì ( 1)-thu c bng vic b i hng th k v ct th i ca ma trn B (Nhng hng khụng phõn k) 10 Cho : l mt hm trn Khi ú (cof ( = 1, , ) ), =0 nh lý (Cỏc nh thc l nhng Lagrangian khụng ) Hm nh thc ( ) = ( 1.3.3 ng dng ì ) l mt Lagrangian khụng nh lý ( nh lý im c nh Brouwer) Gi s (0; 1) (0; 1) l hm liờn tc, ú Khi ú, im (0; 1) l qu cu n v úng cú mt im c nh m cú ngha l tn ti mt (0; 1) vi ( ) = 11 CHNG CC TIU HểA PHIM HM NNG LNG TNH CHNH QUY CA NGHIM 2.1 IU KIN CNG BC, TNH NA LIấN TC DI Ta cú phim hm [ ] (1) ( ( ), ( ), ) tha c nh ngha cho cỏc hm thớch hp w: = (2) nờn cú mt cc tiu , trờn 2.1.1 iu kin cng bc Ta cho rng 1< (3) Khi ú ta gi s tn ti cỏc hng s > 0, ( , , ) | | , , (4) Vỡ th [ ] (5) vi < l c nh | | Vỡ vy [ ] ( ) Thụng thng ta gi (5) l iu kin cng bc trờn phim hm [] T phn ny n cui lun ta dựng { , ( ) = trờn theo ngha vt} 12 kớ hiu cho lp cỏc hm c tha nhn ny T (4) ta chỳ ý rng phim hm [ ] c nh ngha ( nhng nú cú th bng +) vi mi 2.1.2 Na liờn tc di tha Ta thy rng mc dự mt hm liờn tc iu kin cng bc thỡ tht s t ti infimum ca nú, thụng thng tớch phõn phim hm [] s khụng nh vy hiu ny ta t inf [ ] wẻ A v chn cỏc hm Ta gi { } [ ( = 1, ) cho ] l mt dóy gim Ta s chng t rng vi dóy ca { } hi t v mt cc tiu thc Tuy nhiờn, i vi iu ny, ta cn vi tớnh compact, v , nờu trờn l hin nhiờn vỡ ( ) cú s chiu vụ hn Tht vy, nu ta s dng bt ng thc cng bc (5) thỡ ta ch cú th kt lun rng dóy cc tiu nm mt b chn ca , ( ) Nhng iu ny khụng cú ngha l tn ti mt dóy hi t , ( ) Do ú ta hng n topo yu Vỡ ta gi s < < cho ( ) l phn x nờn ta kt lun rng tn ti mt dóy { } v mt hm , ( ) tha 13 yu ( ; ) yu ta vit gn (8) nh sau (9) ( ) Hn na, nú ỳng vi vỡ th , yu = ( ) theo ý ngha v vt v Núi mt cỏch khỏc, t (7) v (9) ta khụng th suy rng [ ] = lim (10) jđƠ v ú ngha l l mt cc tiu Vn õy l khụng cú hu khp ni, nú cú th xy trng hp b chn nhng gradient v mc s cng ngy cng nhanh Núi túm li, nhn xột chớnh rng ta khụng cn cụng thc y ca (10) Thay vo ú ta ch cn dựng (11) [ ] lim inf Khi ú t (7) ta suy [ ] m nhng m t (6) ta li cú [ ] Vỡ vy cho nờn tht s l mt cc tiu nh ngha Cho [] l mt phim hm trờn M [ ] lim inf [ yu , ( ) , ( ) vi iu kin l ] 14 , Khi ú ta núi []l( dóy) cỏc na liờn tc di yu ( ) 2.2 TNH LI Ta nhc li bt ng thc ta ó thu c ( , , , ) ỳng nh l mt iu kin cn vi bt kỡ ( , ) l mt cc tiu trn nh lý 1( Tớnh na liờn tc di yu) nh lý (S tn ti cc tiu) nh lớ 3(Tớnh nht ca cc tiu) 2.3 NGHIM YU CA PHNG TRèNH EULER- LAGRANGE nh ngha Ta núi l mt nghim yu ca bi toỏn b (37) i vi phng trỡnh Euler-Lagrange nu nh vi mi , ( ( ) , , ) + ( , , ) =0 nh lý (Nghim ca phng trỡnh Euler-Lagrange) Gi s L tho cỏc iu kin mnh (35), (36) v cho [ ] = [ ] Khi ú u l mt nghim yu ca phng trỡnh 15 ( ( , , )) + = ( , , ) = trờn 2.4 TRNG HP H PHNG TRèNH 2.4.1 Tớnh li Bõy gi ta chp nhn li kớ hiu i vi hp cỏc h phng trỡnh 1.3 v lu ý n cõu hi tn ti cỏc cc tiu ca phim hm [ ] ( ( ), ( ), ) c nh ngha cho cỏc hm thớch hp ì ì ì c cho trc , ú Ta tha nhn bt ng thc li ( , , ) | | (43) vi cỏc hng s ={ ú > 0, , ( 0, v cng t ( ; ) = trờn c cho trc ì , , ) theo ngha vt} nh lý (S tn ti ca cc tiu) nh lý (Tớnh nht ca cc tiu) nh lý (Nghim ca h Euler-Lagrange) 2.4.2 Tớnh a li B (Tớnh na liờn tc yu ca cỏc nh thc) nh lý (Na liờn tc di ca cỏc phim hm a li) 16 nh lý (S tn ti cỏc cc tiu, cỏc phim hm a li) 2.5 TNH CHNH QUY CA NGHIM (1) vi (2) Gi s phim hm [] cú dng [ ] ( ) Ta cng ly ( ) , = 2, v gi s cng cú iu kin mnh ( ) (| | + 1)( ) Khi ú bt kỡ cc tiu l mt nghim yu ca phng trỡnh o hm riờng Euler-Lagrange (3) m (4) vi mi ( ) ( ) ( ) = = 2.5.1 Nhng c lng o hm cp hai Ta chng t nu ( ) l mt nghim yu ca phng trỡnh o hm riờng phi tuyn tớnh (3) thỡ tht s tiờn ca tt c iu ú ta gi s (5) | ( )| Ta gi s thờm rng cho ( ) ( ) u li u, vỡ th tn ti mt hng s >0 17 (6) | | ( ) , ( , ) Rừ rng õy l mt s dng tng t phi tuyn tớnh ca iu kin eliptic u i vi phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh nh lý 1(o hm cp hai i vi cỏc cc tiu) 2.5.2 Nhng nhn xột trờn quy tc cao hn Tip theo ta s chng t rng nu l kh vi vụ hn thỡ ú nú l Tng t vi lý thuyt quy lut phỏt trin cho phng trỡnh o hm riờng eliptic cp hai, nú cú v t nhiờn c gng m rng c tớnh t phn trc thu c nhng c tớnh hn na ( ) vi khụng gian Sobolev cao hn = 3,4, bt u vi iu ú ta chn mt hm {1, , }, v ng nht thc (4) t gin ta ly Ta bit vỡ tng phn tỡm c (13) Tip theo ta vit ) = v ( ) vi m n ( ) nờn ta cú th ly tớch phõn ( , (14) (15) = ( )( , = 1, , ) 18 Chn bt kỡ ta thy rng (16) ( ) , ( ) iu ny thỡ núi rng vi mi Khi ú t (13)-(15) sau mt phộp xp x =0 ( ) l mt nghim yu ca phng trỡnh o hm riờng eliptic cp hai tuyn tớnh (17) =0 , Nhng t (17) ta khụng th ỏp dng lý thuyt u n kt lun rng trn, lý l t (15) v ch (15) ta cú th suy rng ( )( , = 1, , ) Tuy nhiờn tớnh c lp DeGiorgi v Nash khng nh mt nh lớ sõu sc hn rng bt kỡ nghim ca (17) phi tht s c liờn tc a phng Hoolder i vi vi s m thỡ ta cú , ( ) v vỡ th Tr li nh ngha (15) Nu trn thỡ ta bit , > Do ú nu ( ) , ( )( , = 1, , ) Khi ú (3) v nh lý ca Schauder tht s khng nh rng , ( ) Nhng ú Schauder ý núi , ( ) , ( ) v mt phiờn bn c tớnh ca Cui cựng chỳng ta cú th tip tc cỏi gi l argument bootstrap suy ( ) l , ( ) vi = 1, , v vỡ vy 19 CHNG MT S CH LIấN QUAN 3.1 BI TON GI TR RIấNG PHI TUYN TNH Trc tiờn ta nghiờn cu nhng bi toỏn vi cỏc rng buc tớch phõn chi tit ta xột bi toỏn v phim hm nng lng gim (1) Trờn mi hm [ ] = trờn vi iu kin biờn l (2) ú [ ] | | nhng cng l thuc vo ( ) l mt hm trn cho trc T õy ta s vit (3) = 0, = Bõy gi gi s | ( )| (| | + 1), v vỡ th | ( )| (| | + 1) (4) vi vi hng s ( ) Ta cng gii thiu lp thớch hp cú th chp nhn c { V gi s rng m ( ) [ ] = 0} liờn thụng, b chn v cú mt biờn trn nh lý (S tn ti ca cc tiu cú rng buc) 20 Nhn xột Vỡ l nghim yu ca bi toỏn giỏ tr biờn phi tuyn tớnh ( )trong trờn = =0 (11) , ú l nhõn t Lagrange tng ng vi rng buc tớch phõn [ ] = (12) Mt bi toỏn ca dng (11) i vi cỏc n ( , ), vi 0, l mt bi toỏn giỏ tr riờng phi tuyn tớnh 3.2 RNG BUC MT BấN, BT NG THC BIN PHN Bõy gi ta nghiờn cu cỏc phộp tớnh ca cỏc bi toỏn bin phõn vi im no ú, cỏc rng buc mt phớa trờn cỏc giỏ tr ca ( )vi mi rừ rng ta xột cỏc bi toỏn ca s cc tiu cho phim hm nng lng s tt c cỏc hm ú { | [ ] | , cú liờn quan ti ( ) hu khp ni }, c gi l hm ngng,l mt hm trn cho trc Do ú chp nhn li A bao gm cỏc hm rng buc mt bờn hoc mt phớa m rng l mt hm trn cho trc nh lý (S tn ti ca cc tiu) nh lý (Bin phõn c trng ca cc tiu) ( ) tha Ta cng gi s 21 3.3 NH Lí QUA NI 3.3.1 Cỏc im ti hn, s bin dng nh ngha Ta núi I kh vi ti nu tn ti [ ]= [ ]+( , (1) cho ) + ( ) ( nu nú tn ti l nht Khi ú ta vit [ ] = Phn t ) nh ngha [ ] tn ti vi mi , v ỏnh Ta s trỡnh by lý thuyt bờn di ỳng nu ( ; ), Ta núi x ( ; ) nu l liờn tc Nhn xột nhng cỏc chng minh s c sp xp hp lý nht thỡ ta gi thit thờm (2) Kớ hiu (i) l liờn tc Lipschitz trờn b chn ca kớ hiu l cỏc hm (ii) Nu thỡ ta vit ( ; ) tha (2) { [ ] }, { [ ] = , [ ] = 0} Cỏc nh ngha (i) Nu [ ] = thỡ ta núi (ii) Nu thỡ ta núi l mt im ti hn l mt giỏ tr ti hn 22 nh ngha Mt phim hm Palais-Smale nu mi dóy { v (i) { [ ]} (ii) [ ]0 ( ; ) tha iu kin compact } l b chn cho , l compact trc nh lý (nh lý bin dng) 3.3.2 nh lý qua nỳi nh lý ( nh lý qua nỳi) Gi s tha iu kin Palais-Smale V cng gi s (i) [0] = 0, (ii) Tn ti cỏc hng s , [ ] v (iii) Tn ti mt phn t nh ngha Khi ú > , >0 = , vi [ ] { [0,1]; (0) = 0, (1) = } = inf max [ ( )] l mt giỏ tr ti hn ca I 23 3.3.3 ng dng phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh minh tớnh cú ớch ca nh lý qua nỳi , bõy gi ta nghiờn cu bi toỏn b na tuyn tớnh : (22) = ( )trong =0 trờn Ta gi s l hm trn , v vi vi 1< ta cú (23) ú (24) | ( )| (1 + | | ), | ( )| (1+| | l hng s Ta cng gi s ( ) ú ( ) (25) +2 < )( ), ( ) vi vi hng s < , ( ) Ta a gi thit cui cựng cho cỏc hng s < | | | ( )| | | ( ) M (25) ý núi (0) = vỡ th rừ rng l l mt nghim tm thng ca (22) Ta mun tỡm mt nghim khỏc nh lý (S tn ti) Bi toỏn b (22) cú ớt nht mt nghim yu 24 KT LUN Qua mt thi gian tỡm hiu, tip cn v nghiờn cu mt s c s phộp tớnh bin phõn, lun ó hon thnh v t c mc tiờu nghiờn cu ca ti vi nhng kt qu c th sau: ã Tng quan v h thng y cỏc khỏi nim v cỏc vớ d v ng dng ca bin phõn i vi phng trỡnh EulerLagrange v h phng trỡnh Euler-Lagrange ã Trỡnh by mt cỏch y v chi tit cỏc khỏi nim nghim yu, Lagrange khụng, s nhõn Lagrange, cỏc b liờn quan ã Chng minh chi tit v lm rừ mt s nh lý, c bit nh lý qua nỳi v ng dng ca cỏc nh lý ny phng trỡnh eliptic na tuyn tớnh [...]... bc (5) thỡ ta ch cú th kt lun rng dóy cc tiu nm trong mt tp con b chn ca , ( ) Nhng iu ny khụng cú ngha l tn ti mt dóy con hi t trong , ( ) Do ú ta hng n topo yu Vỡ ta gi s 1 < < sao cho ( ) l phn x nờn ta kt lun rng tn ti mt dóy con { } v mt hm , ( ) tha 13 yu trong ( ; ) yu trong ta vit gn (8) nh sau (9) ( ) Hn na, nú ỳng vi vỡ th , yu trong = trong ( ) theo ý ngha v vt v Núi mt cỏch khỏc,... yu ca phng trỡnh sao 15 ( ( , , )) + = ( , , ) = 0 trong trờn 2.4 TRNG HP H PHNG TRèNH 2.4.1 Tớnh li Bõy gi ta chp nhn li kớ hiu i vi tp hp cỏc h phng trỡnh trong 1.3 v lu ý n cõu hi tn ti cỏc cc tiu ca phim hm [ ] ( ( ), ( ), ) c nh ngha cho cỏc hm thớch hp ì ì ì c cho trc , trong ú Ta tha nhn bt ng thc li ( , , ) | | (43) vi cỏc hng s ={ trong ú > 0, , ( 0, v cng t ( ; ) = trờn c cho... l khụng cú hu khp ni, nú cú th xy ra trong trng hp b chn trong khi nhng gradient v mc s cng ngy cng nhanh khi Núi túm li, nhn xột chớnh rng ta khụng cn cụng thc y ca (10) Thay vo ú ta ch cn dựng (11) [ ] lim inf Khi ú t (7) ta suy ra [ ] m nhng m t (6) ta li cú [ ] Vỡ vy cho nờn tht s l mt cc tiu nh ngha Cho [] l mt phim hm trờn M [ ] lim inf [ yu trong , ( ) , ( ) vi iu kin l ] 14 , Khi... (11) , trong ú l nhõn t Lagrange tng ng vi rng buc tớch phõn [ ] = 0 (12) Mt bi toỏn ca dng (11) i vi cỏc n ( , ), vi 0, l mt bi toỏn giỏ tr riờng phi tuyn tớnh 3.2 RNG BUC MT BấN, BT NG THC BIN PHN Bõy gi ta nghiờn cu cỏc phộp tớnh ca cỏc bi toỏn bin phõn vi im no ú, cỏc rng buc mt phớa trờn cỏc giỏ tr ca ( )vi mi rừ rng ta xột cỏc bi toỏn ca s cc tiu cho phim hm nng lng trong s tt c cỏc hm trong. .. dng trong phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh minh ha tớnh cú ớch ca nh lý qua nỳi , bõy gi ta nghiờn cu bi toỏn b na tuyn tớnh : (22) = ( )trong =0 trờn Ta gi s l hm trn , v vi vi 1< ta cú (23) trong ú (24) | ( )| (1 + | | ), | ( )| (1+| | l hng s Ta cng gi s 0 ( ) trong ú ( ) (25) +2 2 < )( ), ( ) vi vi hng s < , ( ) Ta a ra gi thit cui cựng cho cỏc hng s 0 < | | | ( )| | | ( ) M (25) ý núi... nú l Tng t vi lý thuyt quy lut phỏt trin cho phng trỡnh o hm riờng eliptic cp hai, nú cú v t nhiờn c gng m rng c tớnh t phn trc thu c nhng c tớnh hn na ( ) vi trong khụng gian Sobolev cao hn = 3,4, bt u vi iu ú ta chn mt hm {1, , }, v trong ng nht thc (4) t gin ta ly 0 Ta bit vỡ tng phn tỡm c (13) Tip theo ta vit ) = 0 v ( ) vi m n ( ) nờn ta cú th ly tớch phõn ( , (14) (15) = ( )( , =... kin compact } l b chn sao cho , l compact trc trong nh lý 1 (nh lý bin dng) 3.3.2 nh lý qua nỳi nh lý 2 ( nh lý qua nỳi) Gi s tha món iu kin Palais-Smale V cng gi s (i) [0] = 0, (ii) Tn ti cỏc hng s , [ ] v (iii) Tn ti mt phn t nh ngha Khi ú > , >0 = , vi [ ] 0 { [0,1]; (0) = 0, (1) = } = inf max [ ( )] l mt giỏ tr ti hn ca I 23 3.3.3 ng dng trong phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh minh... l (2) trong ú 1 2 [ ] | | nhng cng l thuc vo ( ) l mt hm trn cho trc T õy ta s vit (3) = 0, = Bõy gi gi s | ( )| (| | + 1), v vỡ th | ( )| (| | + 1) (4) vi vi hng s ( ) Ta cng gii thiu lp thớch hp cú th chp nhn c { V gi s rng tp m ( ) [ ] = 0} liờn thụng, b chn v cú mt biờn trn nh lý 1 (S tn ti ca cc tiu cú rng buc) 20 Nhn xột Vỡ l nghim yu ca bi toỏn giỏ tr biờn phi tuyn tớnh ( )trong trờn... ] m nhng m t (6) ta li cú [ ] Vỡ vy cho nờn tht s l mt cc tiu nh ngha Cho [] l mt phim hm trờn M [ ] lim inf [ yu trong , ( ) , ( ) vi iu kin l ] 14 , Khi ú ta núi []l( dóy) cỏc na liờn tc di yu trong ( ) 2.2 TNH LI Ta nhc li bt ng thc ta ó thu c ( , , , ) 0 ỳng nh l mt iu kin cn vi bt kỡ ( , ) l mt cc tiu trn nh lý 1( Tớnh na liờn tc di yu) nh lý 2 (S tn ti cc tiu) nh lớ 3(Tớnh duy nht ca cc... im no ú, cỏc rng buc mt phớa trờn cỏc giỏ tr ca ( )vi mi rừ rng ta xột cỏc bi toỏn ca s cc tiu cho phim hm nng lng trong s tt c cỏc hm trong ú { 1 | 2 [ ] | , cú liờn quan ti tp ( ) hu khp ni trong }, c gi l hm ngng,l mt hm trn cho trc Do ú tp chp nhn li A bao gm cỏc hm món rng buc mt bờn hoc mt phớa m rng l mt hm trn cho trc nh lý 3 (S tn ti ca cc tiu) nh lý 4 (Bin phõn c trng ca cc tiu)