toán vd vdckhảo sát hàm số và ứng dụng

Nhóm tốn VD - VDC Năm học 2018-2019 Kỳ thi THPT Quốc gia từ năm 2016 – 2017, thi mơn Tốn chuyển từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm nên cách dạy, cách kiểm tra đánh giá, cách đề thay đổi Sự thay đổi nằm tồn chương trình mơn Tốn nói chung kỹ giải tốn nói riêng; học sinh dùng máy tính cầm tay kết dễ dàng Do việc đề theo hình thức trắc nghiệm hạn chế việc dùng máy tính cầm tay ưu tiên toán THPT Bước sang kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017- 2018 đánh giá đổi toàn nội dung đề Bộ Giáo Dục với mục tiêu hạn chế “ Casio hóa”, tăng cường câu hỏi Vận dụng Vận dụng cao nhằm phân hóa học sinh ngưỡng trung bình- khá- giỏi Lần đầu tiên, câu hỏi Vận dụng Vận dụng cao xuất nhiều “ nấm mọc sau mưa” phần Khảo sát Hàm số- phần trước coi gỡ điểm- điều gây khơng bất ngờ bỡ ngỡ học sinh người dạy Với mong muốn đưa hướng tư mở, lời giải hay đẹp cho toán ứng dụng Khảo sát Hàm số để giáo viên, học sinh tiếp cận gần với tốn khó đó, tập thể thầy chúng tơi sau nhiều tâm huyết xin trân trọng giới thiệu đến bạn đọc sách “ Chuyên đề Khảo sát Hàm số Vận Dụng- Vận Dụng Cao ”: Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Chuyên đề Tính đơn điệu hàm số Cực trị hàm số Max Tiệm cận Đồ thị hàm số Tương giao- Điều kiện tồn nghiệm Các toán tiếp tuyến- tiếp xúc Điểm đặc biệt đồ thị Các toán thực tế ứng dụng KSHS Chân thành gửi lời cảm ơn quý thầy cô dành thời gian tâm huyết cho sách này: Thầy Nguyễn Chiến Thầy Trương Quốc Toản Thầy Nguyễn Phương Thầy Nguyễn Ngọc Hóa Thầy Hồng Xn Bính Thầy Hồng An Dinh Thầy Trần Đình Cư Thầy Nguyễn Hồng Kim Sang Thầy Trần Hoàn 10 Thầy Nguyễn Hoàng Việt 11.Thầy Nguyễn Khải 12 Thầy Tạ Minh Đức Trân trọng Hà nội, ngày 28 tháng 08 năm 2018 Nhóm tác giả MỤC LỤC Trang SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ DẠNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f  x  DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN DẠNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f  x  DỰA VÀO ĐỒ THỊ y  f   x  , ĐỒ THỊ y  h  x   g  x  Xét tính đồng biến nghịch biến đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm f   x  Xét tính đồng biến nghịch biến đồ thị hàm số h  x   f  x   g  x  dựa vào đồ thị hàm f   x  DẠNG CHO BIỂU THỨC f '  x, m  TÌM m ĐỂ HÀM SỐ f u  x   ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 13 DẠNG XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN ; TRÊN CÁC KHOẢNG KHÁC 14 DẠNG XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA ĐƠN ĐIỆU THỎA MÃN NHỮNG ĐIỀU KIỆN CỤ THỂ 15 DẠNG ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 15 CHỦ ĐỀ: CỰC TRỊ HÀM SỐ 18 Dạng 1: Tìm m để hàm số bậc có hai điểm cực trị thoả mãn tính chất P 18 1.1 Ví dụ minh hoạ 18 1.2 Bài tập trắc nghiệm 18 Dạng 2: Tìm m để hàm số bậc có điểm cực trị lập thành tam giác thoả mãn tính chất P 20 2.1 Ví dụ minh hoạ 20 2.2 Bài tập trắc nghiệm 21 Dạng Tìm số điểm cực trị hàm hợp, hàm ẩn dựa vào bảng biến thiên hàm số y  f  x  , bảng xét dấu y  f   x  23 3.1 Ví dụ minh hoạ 23 3.2 Bài tập trắc nghiệm 23 Dạng 4: Tìm số điểm cực trị dựa vào đồ thị hàm số y f (x ); y f '(x ) 26 4.1 Ví dụ minh hoạ 26 4.2 Bài tập trắc nghiệm 27 Dạng 5: Tìm m để hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có k (hoặc có tối đa k điểm cực trị) 31 5.1 Ví dụ minh hoạ 31 5.2 Bài tập trắc nghiệm 32 Dạng 6: Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 33 6.1 Ví dụ minh hoạ 33 6.2 Bài tập trắc nghiệm 33 CHUYÊN ĐỀ MAX-MIN HÀM SỐ 35 Chủ đề: TIỆM CẬN (VD - VDC) 50 Dạng 1: Bài toán xác định số tiệm cận đồ thị hàm số cụ thể không chứa tham số 50 Dạng 2: Bài toán xác định tiệm cận đồ thị hàm số có bảng bảng biến thiên cho trước (5 câu) 51 Dạng 3: Cho bảng biến thiên hàm số f  x  Xác định tiệm cận đồ thị hàm hợp f  x  53   Loại 1: Hàm hợp y  g f  x  53   Loại 2: Hàm hợp y  g f  u  x   56 Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ SỐ TIỆM CẬN CHO TRƯỚC 57 Cơ sở lý thuyết 57 Phương pháp 57 Các ví dụ minh họa 58 Dạng5: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  a, y  b làm tiệm cận 59 Dạng 6: Bài toán tiệm cận diện tích, khoảng cách…và tốn tổng hợp 59 CHUYÊN ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 62 A CÁC DẠNG TOÁN 62 Dạng 1: Các toán đồ thị liên quan đến khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số 62 DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ĐỒ THỊ LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 69 Ví dụ: 71 BÀI TẬP ÁP DỤNG 73 DẠNG ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TỚI ĐẠO HÀM CẤP I, CẤP II 74 Phương pháp Sử dụng nhận xét kết hợp tất nhận xét: 74 Một vài ví dụ 75 Bài tập tương tự 77 III ĐỒ THỊ LIÊN QUAN TỚI NGUYÊN HÀM 79 Phương pháp 79 Các ví dụ 79 Bài tập tương tự 80 BÀI TẬP ÁP DỤNG 81 DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN MAX-MIN KHI BIẾT ĐỒ THỊ, ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ BBT 83 a) Phương pháp giải 83 b) Các ví dụ: 83 BÀI TẬP ÁP DỤNG 87 DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG 91 PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI ĐỒ THỊ 91 Phương pháp: 91 Các ví dụ mẫu: 91 BÀI TẬP ÁP DỤNG 94 DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TƯƠNG GIAO, TỊNH TIẾN 95 Phương pháp :Nắm vững cách xét số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị kết hợp số kiến thức liên quan 95 Ví dụ minh hoạ : 95 BÀI TẬP ÁP DỤNG 97 Câu 31 2x  x 1 [2D1-2] Cho hàm số y  2x  có đồ thị hình vẽ bên 102 x 1  m có hai nghiệm thực phân biệt 102 CHUYÊN ĐỀ: TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC 104 Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến điểm 104 Phương pháp 104 Các ví dụ mẫu 105 Bài tập tự luyện: 110 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc 111 Phương pháp 111 Các ví dụ mẫu 112 Bài tập tự luyện 117 Dạng 3: Tiếp tuyến qua 118 Phương pháp 118 Các ví dụ mẫu 119 Bài tập tự luyện 124 Dạng 4: Tiếp tuyến chung hai đường cong 125 Phương pháp 125 Các ví dụ mẫu 125 Bài tập tự luyện 134 Dạng 5: Bài toán tiếp xúc hai đồ thị 135 Phương pháp 135 Các ví dụ mẫu 135 Bài tập tự luyện 139 CHỦ ĐỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 140 A KIẾN THỨC CƠ BẢN 140 I Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong 140 II Bài tốn tìm điểm có tọa độ nguyên: 141 III Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng: 141 IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt liên quan đến hàm số y  ax  b có đồ thị  C  : 142 cx  d V Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: 144 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 146 Chuyên đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN THỰC TẾ 159 DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƯỜNG 159 DẠNG 2: BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 162 Câu 18: Chu vi tam giác 16 cm, biết độ dài cạnh tam giác a  cm Tính độ dài hai cạnh lại tam giác cho tam giác có diện tích lớn 166 DẠNG 3: BÀI TỐN LIÊN HỆ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH 167 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K x1 , x2  K  Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K x1  x2  f  x1   f  x2   Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K x1  x2  f  x1   f  x2  y y O a b x Hàm số đồng biến b x a O Hàm số nghịch biến Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K  Nếu hàm số đồng biến khoảng K f   x   0, x  K  Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f   x   0, x  K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K  Nếu f   x   0, x  K hàm số đồng biến khoảng K  Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến khoảng K  Nếu f   x   0, x  K hàm số khơng đổi khoảng K CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  dựa vào bảng biến thiên Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  dựa vào đồ thị y  f   x  , đồ thị y  h  x   g  x  Dạng Cho biểu thức f '  x, m  Tìm m để hàm số f u  x   đồng biến, nghịch biến Dạng Xác định giá trị tham số m để hàm số đơn điệu ; khoảng khác Dạng Xác định giá trị tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu thỏa mãn điều kiện cụ thể Dạng Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình DẠNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f  x  DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN Câu 1: [2D1-3] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: x f' x 0 f x 2018 2018 Hàm số g  x   f  x  2017   2018 nghịch biến khoảng sau đây? A Hàm số g  x  nghịch biến  2020;   B.Hàm số g  x  nghịch biến  2016; 2020  C Hàm số g  x  nghịch biến  1;3 D Hàm số g  x  nghịch biến  ; 2016  Câu 2: [2D1-3] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên: Xét hàm số g  x   f  x   Phát biểu sau đúng? A.Hàm số g  x  đồng biến khoảng  2;   B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;  C Hàm số g  x  đồng biến khoảng  1; a  D Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  ; 1 Câu 3: [2D1-3] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Xét hàm số g  x   f   x  Chọn phát biểu ? A.Hàm số g  x  đồng biến  ;1 B Hàm số g  x  nghịch biến  ;  C Hàm số g  x  đồng biến 1;3 D Hàm số g  x  nghịch biến  ;1 Câu 4: [2D1-4] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên: Xét hàm số g  x   f   x  3x  Phát biểu sau đúng?  3 A Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;   2 B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;3 C Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  ;0  D Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  3;   Câu 5: [2D1-4] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên: Xét hàm số g  x    f  x   Phát biểu sau đúng? A Hàm số g  x  đồng biến khoảng  b;   B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  ;0  C.Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;   D Hàm số g  x  đồng biến khoảng  a; b  DẠNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f  x  DỰA VÀO ĐỒ THỊ y  f   x  , ĐỒ THỊ y  h  x   g  x  Xét tính đồng biến nghịch biến đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm f   x  Phương pháp :  Tính đạo hàm hàm số f   u  x    u  x  f   u   Phần đồ thị hàm f   x  nằm Ox hàm đồng biến , Phần đồ thị hàm f   x  nằm Ox hàm nghịch biến , Phát triển :  Cho đường cong đồ thị hàm f   x   Chọn hàm hợp f  u  x   có đạo hàm xét tính biến thiên dựa vào đồ thị f   x  ý điểm đồ thị f   x  giao với Ox Câu 1:Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục sau: Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ A Smin  B Smin  C Smin  D Smin  16 Câu 67: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  x  x  3 có đồ thị  C  Có điểm M thuộc đồ thị  C  thỏa mãn tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm A (khác M ) cắt Ox điểm B cho M trung điểm đoạn AB ? A D C B Câu 68: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Hỏi có điểm đường thẳng d : y  x  14 cho từ kẻ hai tiếp tuyến với  C  A điểm B điểm C điểm D điểm x2 có đồ thị  C  điểm A  0; a  Hỏi có tất x 1 giá trị nguyên a đoạn  2018;2018 để từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến đến Câu 69: [2D1-8.1-4] Cho hàm số y   C  cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh? A 2017 B 2020 D 2019 C 2018 x 1 có đồ thị  C  điểm A  a;  Gọi S tập hợp tất x 1 giá trị thực a để có hai tiếp tuyến  C  qua điểm A có hệ số góc k1 Câu 70: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  , k thỏa mãn k1  k2  10k12 k22  Tổng giá trị tất phần tử S A B C 5 D x  x  có ba điểm cực trị A, B, C  A  Oy  Gọi M , N điểm thuộc cạnh AB, AC cho đoạn thẳng MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Giá trị nhỏ nhất MN Câu 71: [2D1-8.1-3] Cho đồ thị hàm số: y  A B 12 C D x  x  có ba điểm cực trị A, B, C  A  Oy  Gọi M , N điểm thuộc cạnh AB, AC cho đoạn thẳng MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Gọi tung độ M N yM , yN Câu 72: [2D1-8.1-3] Cho đồ thị hàm số: y  Ta có tổng T  yM  yN : A  B C  D x3 có đồ thị  C  Tìm tọa độ điểm M  C  x 1 cho diện tích tam giác ABM , biết A 1;3 , B  1;3 ? Câu 73: :[2D1-8.1-3] Cho hàm số y  A M 1; 1 B M  3 ; 3 C M  0; 3 D M  2;5 x 3 có đồ thị  C  Có điểm M thuộc  C  cho x2 OM đường chéo hình chữ nhật có diện tích Câu 74: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  A B C D x 1 có đồ thị Tổng hoành độ điểm M thuộc  C  cho x 1 OM đường chéo hình chữ nhật có diện tích bằng: Câu 75: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  A B C D x 1 có đồ thị  C  hình vẽ Các điểm A, B, C, D nằm x 1 đồ thị  C  cho ABCD hình chữ nhật có diện tích Tính độ dài đoạn thẳng Câu 76: [2D1-8.1-4] Cho hàm số y  AB biết A, B hai điểm thuộc nhánh đồ thị  C  A 3 B 2 C D x3 có đồ thị  C  Tìm tọa độ điểm M  C  cho x 1 diện tích tam giác ABM , biết A 1;3 , B  1;3 ? Câu 77: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  A M 1; 1 B M  3 ; 3 C M  0; 3 D M  2;5 Câu 78: [2D1-8.1-3] Tìm điểm M đồ thị  C  : y  giá trị nhỏ nhất với A  0;1 , B  3; 2 A M  2;1 B M  2;  2x  cho diện tích tam giác MAB đạt x 1  1 C M  1;  2   7 D M  3;   2 Câu 79: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  x3  x  3x   C  Gọi A, B giao điểm đồ thị với 3 trục Ox Trên đồ thị  C  có điểm M nhìn AB góc vng A điểm B điểm C điểm D điểm 2x  Tìm điểm M nằm đồ thị hàm số biết tiếp x2 tuyến M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang điểm A, B cho cos ABI  , với 17 I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm số Câu 80: [2D1-8.1-3] Cho hàm số y  A M 1;1  3  5 B M  0;  M  4;   2  2  5 C M  4;   2 D M  3;3 Câu 81: [2D1-8.1-3] Tìm m để đồ thị  C  : y  x3  1  2m  x    m  x  m  có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x  y   góc  cho cos  A m   B m   26  m  C   m 1  m    D   m  2x 1 Trên  C  có điểm M mà tiếp tuyến với  C  x 1 M cắt trục Ox, Oy A, B cho tan OAB  Câu 82: [2D1-8.1-3] Cho  C  : y  A B C D Câu 83: [2D1-8.1-3] Tọa độ điểm B  a; b  C  c; d  thuộc nhánh khác đồ thị hàm số y  3x  cho tam giác ABC vuông cân A  2;1 Khi a  b  c  d x 1 A B C 1 D 10 Chuyên đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN THỰC TẾ DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ QUÃNG ĐƯỜNG Câu 1: (THTT SỐ 673) Có hai cọc cao 10 m 30 m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24 m Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Hỏi ta phải đặt chốt vị trí đề tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất? Câu 2: A AM  m, BM  18 m B AM  m, BM  17 m C AM  m, BM  20 m D AM  12 m, BM  12 m Một ảnh hình chữ nhật cao 1,5m đặt cao 2m so với tầm mắt (tính từ mép hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí ( Góc BAC goi góc nhìn).? A Câu 3: 5m B m C 7m D 3m (ĐỒNG QUAN 1) Một kho hàng đặt ví trí A bến cảng cần chuyển tới kho C đảo, biết khoảng cách ngắn nhất từ kho C đến bờ biển AB độ dài CB  60 km khoảng cách điểm A, B AB 130 km Chi phí để vận chuyển toàn kho hàng đường 300.000 đồng/km, chi phí vận chuyển hàng đường thủy 500.000 đồng/km Hỏi phải chọn điểm trung chuyển hàng D (giữa đường đường thủy) cách kho A khoảng tổng chi phí vận chuyển hàng từ kho A đến kho C nhất? A 45km Câu 4: B 65km C 85km D 105km (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB  25 km , BC  20 km M , N trung điểm AD , BC Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đến C cách thẳng từ A đến điểm X thuộc đoạn MN lại thẳng từ X đến C Vận tốc ngựa phần ABNM 15km/h, vận tốc ngựa phần MNCD 30 km/h Thời gian nhất để ngựa di chuyển từ A đến C mấy giờ? A Câu 5: Câu 6: B 41 (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn nhất mà người là: A 569,5 m B.671,4 m C 779,8 m D 741,2 m (PHÚ XUYÊN) Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đò từ A đến điểm M bờ biển với vận tốc km / h đến C với vận tốc km /h (xem hình vẽ đây) Tính độ dài đoạn BM để người đến kho nhanh nhất C  29 D A Câu 7: 74 B 29 12 C 29 D (HÀ HUY TẬP) Có bể bơi hình chữ nhật rộng 50m , dài 200m Một vận động viên chạy phối hợp với bơi sau: Xuất phát từ điểm A , chạy đến điểm M bơi từ điểm M đến điểm B (như hình vẽ) Hỏi nên chọn điểm M cách A gần mét để đến B nhanh nhất (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết vận tốc chạy 4,8m/s , vận tốc bơi 2, 4m/s M A 50m 200m B A AM  171m Câu 8: C AM  179m D AM  181m Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với vận tốc hải lý/ giờ., tàu chạy vị trí tàu thứ nhất với vận tốc hải lý/ Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách hai tàu nhỏ nhất? A t  Câu 9: B AM  182m ( giờ) 17 B t  ( giờ) 17 C t  ( giờ) 17 D t  ( giờ) 17 Trên đoạn đường giao thơng có đường vng góc với O hình vẽ Một địa danh lịch sử có vị trí đặt M , vị trí M cách đường OE 125m cách đường Ox 1km Vì lý thực tiễn người ta muốn làm đoạn đường thẳng AB qua vị trí M, biết giá trị để làm 100m đường 150 triệu đồng Chọn vị trí A B để hồn thành đường với chi phí thấp nhất Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành đường bao nhiêu? A 1,9063 tỉ đồng B 2,3965 tỉ đồng C 2, 0963 tỉ đồng D tỉ đồng Câu 10: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ biển cho BB’ vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền nhất Khi C cách A đoạn bằng: đảo B biển 6km B' bờ biển A 6.5km 9km A B km C km D km Câu 11: Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ nhất với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? A d = 2,35 hải lý B d = 3,25 hải lý C d = 4,25 hải lý D d = 5,25 hải lý Câu 12: Chi phí nhiên liệu tầu chạy sông chia làm hai phần Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc 480 nghìn đồng Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương vận tốc, v  10 (km/giờ) phần thứ hai 30 nghìn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đường sông nhỏ nhất ( kết làm tròn đến số nguyên) A 10 (km/giờ) B 25 (km/giờ) C 15 (km/giờ) D 20 km/giờ) DẠNG 2: BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Câu 1: Ơng An muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 288cm3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu ông An biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp nhất Hỏi ơng An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể bao nhiêu? A 108 triệu đồng B 54 triệu đồng C 168 triệu đồng D 90 triệu đồng Câu 2: Bên cạnh hình vng ABCD có cạnh , có hình vuông đồng tâm với ABCD Biết bốn tam giác bốn tam giác cân “Hỏi tổng diện tích vuông bốn tam giác cân nhỏ nhất bao nhiêu?” A 6, 61 Câu 3: B 5,33 C 5,15 D 6,12 Cho tam giác ABC cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm cạnh BC , hai đỉnh P Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Giá trị lớn nhất diện tích hình chữ nhật a2 A Câu 4: a2 B a2 C a2 D Thầy Tâm cần xây hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 500 m Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ 500.000 đong / m2 Khi đó, kích thước hồ nước thể để chi phí thuê nhân công mà thầy Tâm phải trả thấp nhất: A Chiều dài 20m , chiều rộng 15m chiều cao 20 m B Chiều dài 20m , chiều rộng 10m chiều cao m C Chiều dài 10m , chiều rộng 5m chiều cao 10 m D Chiều dài 30m , chiều rộng 15m chiều cao Câu 5: 10 m 27 Một nông dân muốn rào lại bãi cỏ hình chữ nhật dọc sơng, cạnh dọc sơng khơng cần phải rào Ơng có 1000 m lưới sắt để rào Tính diện tích bãi cỏ lớn nhất mơ tả rào A 125 m2 Câu 6: B 1250 m2 C 12500 m2 D 125000 m2 [2D1-3.10-3] Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước a m thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Vậy để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật cho có diện tích lớn nhất giá trị lớn nhất tính theo a a2 A m Câu 7: a2 B m a2 C m a2 D m 12 Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 12 m , độ dài trục bé 8m Người ta dự định trồng hoa hình chữ nhật nội tiếp elip hình vẽ Hỏi diện tích trồng hoa lớn nhất là? B A A' AA'=12 BB'=8 B' A Câu 8: 576 m 13 B 48m2 C 62 m2 Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200m  200m B 300m  100m C 250m  150m Câu 9: D 46 m2 D Đáp án khác Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? 2a a A chiều rộng , chiều cao 4 4 B chiều rộng 2a a , chiều cao 4 4 C chiều rộng a(4   ) , chiều cao 2a(4   ) D chiều rộng a a , chiều cao (4   ) (4   ) S1 S2 2x Câu 10: Có tấm gỗ hình vng cạnh 200 cm Cắt tấm gỗ có hình tam giác vng, có tổng cạnh góc vuông cạnh huyền số 120cm từ tấm gỗ cho tấm gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn nhất Hỏi cạnh huyền tấm gỗ bao nhiêu? A 40cm B 40 3cm C 80cm D 40 2cm Câu 11: Bạn A có đoạn dây mềm dẻo không đàn hồi 20 m , bạn chia đoạn dây thành hai phần, phần đầu gấp thành tam giác Phần lại gập thành hình vng Hỏi độ dài phần đầu  m  để tổng diện tích hai hình nhỏ nhất? 120 180 60 40 m m m m B C D 94 94 94 94 Câu 12: Từ miếng tơn hình bán nguyệt có bán kính R  , người ta muốn cắt hình hữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất Diện tích lớn nhất có miếng tơn hình chữ nhật A A B C D Câu 13: Một miếng bìa hình tam giác ABC , cạnh 16 Học sinh Trang cắt hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa để làm biển trông xe cho lớp buổi ngoại khóa (với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q thuộc cạnh AC AB ) Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bao nhiêu? A 16 Câu 14: B D 34 C 32 (TTLT ĐH DIỆU HIỀN) Một người nông dân rào mãnh vườn hình chữ nhật có diện tích 10.000 m2 Biết bờ rào cạnh phía bắc phía nam giá 1500 / m , bờ rào cạnh phía đơng phía tây giá 6000 / m Để chi phí thấp nhất thì kích thước Đơng Tây, Bắc - Nam mãnh vườn A 50m ; 200m B 200m ; 50m C 40m ; 250m D 100m ; 100m Câu 15: Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ hai cạnh bên mét Khi hình thang cho có diện tích lớn nhất bằng? A 3  m2  B 3 m  C 3 m  D  m2  Câu 16: Thầy Hồng dự định xây bồn hoa có bề mặt hình tròn có đường kính AB  10m , ấn tượng thầy Hồng thiết kế có hai hình tròn nhỏ hình tròn lớn cách lấy điểm M A B dựng đường tròn đường kính MA MB Trong hai đường tròn nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đỏ, phần lại thầy trồng hoa hồng trắng Biết giá hoa hồng đỏ 5.000 đồng, hoa hồng trắng 4.000 đồng nhất 0.5 m2 trồng bơng hoa Hỏi chi phí thấp nhất để trồng hoa thầy bao nhiêu? A 752000 đồng B 706858 đồng C 702000 đồng D 622000 đồng Câu 17: Trong tam giác vng có tổng cạnh góc vng cạnh huyền a  a   , tam giác có diện tích lớn nhất A Câu 18: a2 B a2 C a2 D a2 Chu vi tam giác 16 cm, biết độ dài cạnh tam giác a  cm Tính độ dài hai cạnh lại tam giác cho tam giác có diện tích lớn nhất A 5cm, 5cm B 3cm, 7cm C 2cm, 8cm D 4cm, 6cm Câu 19: Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhấttrong số hình chữ nhật có diện tích 48 m2 A Câu 20: 84 m B 50 m C 48 m D 45 m  cm  Người ta cắt đoạn dây thành hai đoạn có độ dài x  cm  uốn thành đường tròn đoạn lại uốn thánh hình vng  a  x  0 Một sợi dây kim loại dài a Tìm x để hình vng hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất a 2a 4a a A x  B x   cm   cm  C x   cm  D x   cm   4  4  4  4 Câu 21: Từ bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh khu đất theo hình chữ nhật với số vật liệu cho trước 100 m thẳng hàng rào Khi khu đất rào có diện tích lớn nhất chiều dài chiều rộng hình chữ nhật A 50 m , 25 m B 35 m , 35 m C 75 m , 25 m D 50 m , DẠNG 3: BÀI TỐN LIÊN HỆ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH Câu 1: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90  cm  Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn nhất thùng mà bạn A làm là: 91125 A  cm3  A 4 B C D Câu 2: 91125 cm3   2 108000  13500  P Q  cm  B  cm3  N M C Ta có miếng tơn phẳng hình vng với kích thước a(cm) , ta muốn cắt bốn góc bốn hình vng cạnh x (cm) để uốn thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Phải cắt để hình hộp tích lớn nhất? A x Câu 3: a B x a C x a D x a Từ tấm tơn hình tròn có đường kính 60 cm Người ta cắt bỏ hình quạt S tấm tơn đó, gắn mép vừa cắt lại với để nón khơng có nắp (như hình vẽ) Hỏi cách làm người ta tạo nón tích lớn nhất bao nhiêu? S S A 1800 3. (cm3 ) B 2480 3. (cm3 ) C 2000 3. (cm3 ) D 1125 3. (cm3 ) Câu 4: Một đĩa tròn thép trắng có bán kính R Người ta phải cắt đĩa theo hình quạt, sau gấp lại thành hình nón để làm phễu Cung tròn hình quạt bị cắt phải độ để thể tích phễu lớn nhất? A Câu 5: 66o B 294o C 12,56o 2, 8o D Để làm máng xối nước, từ tấm tôn kích thước 0,9m  3m người ta gấp tấm tơn hình vẽ biết mặt cắt máng xối (bởi mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tấm tơn Hỏi x (m) thể tích máng xối lớn nhất? x 3m 0,3m xm x 0,3m 0,9m 3m (a) Tấm tôn A x  0,5m Câu 6: (c) Mặt cắt C x  0, 4m D x  0, 6m Cho tấm nhơm hình vng cạnh m hình vẽ Người ta cắt phần tô đậm tấm nhôm gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x (m), cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Giá trị x để khối chóp nhận tích lớn nhất A x  Câu 7: (b) Máng xối B x  0, 65m 0,3m 0,3m 2 B x  C x  D x  Người ta cần xây hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 1000 m3 Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá để xây xung quanh hồ 500.000 đồng/m2, giá để đổ bê tông đáy hồ 375.000 đồng/ m Số tiền nhất để xây bể là: A 225.000.000 đồng B 1.150.900.000 đồng C 7.500.150.000 đồng D 117.189.900.000 đồng Câu 8: Để làm cốc thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm tích thật (thể tích đựng được) 480πcm3 thì người ta cần nhất cm3 thủy tinh? A 75, 66 cm3 B 71,16  cm3 C 85, 41 cm3 D 84, 64 cm3 Câu 9: Một kênh dẫn nước theo góc vng có bề rộng 3, m (như hình vẽ) Cho bốn luồng (thẳng) có độ dài 6, m ; 8,3 m ; 8, m ; 9, m trôi tự kênh Hỏi số luồng trơi tự qua góc kênh bao nhiêu? 3m m 3m A Câu 10: C D Bên khối gỗ đồ chơi dạng hình chóp tích V người ta đục khối họp chữ nhật cho mặt khối hộp nằm mặt đáy khối chóp, đỉnh lại khối hộp nằm cạnh bên khối chóp (như hình vẽ) Thể tích lớn nhất khối hộp A Câu 11: B V B V C 4V D 8V 27 Anh Minh muốn xây dựng hố ga khơng có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật tích chứa 3200cm3 , tỉ số chiều cao chiều rộng hố ga Xác định diện tích đáy hố ga để xây hố tiết kiệm nguyên vật liệu nhất A 170cm2 Câu 12: B 160cm2 C 150cm2 D 140cm2 Một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có AB  40 m , AD  8m Người ta muốn lát đường từ A đến C sau: Chọn điểm M AB lát gạch AM , sau lát tiếp đoạn MC Biết chi phí AM 60.000 đồng/mét; MC 100.000 đồng/mét Tính chi phí thấp nhất để lát đường A 3.200.000 đồng B 3.040.000 đồng C 2.448.000 đồng D 4080.000 đồng Câu 13: Một sợi dây kim loại dài 1m , cắt thành đoạn Đoạn dây thứ nhất có độ dài l1 uốn thành hình vng, đoạn dây thứ nhất có độ dài l2 uốn thành đường tròn Tính tỷ số k  để tổng diện tích hình vng hình tròn nhỏ nhất  A k  B k  C k  24     D k  l1 l2 2 Câu 14: Một người nơng dân có tấm lưới thép B40 , tấm dài a  m  Ông muốn rào mảnh vườn dọc theo bờ sơng có dạng hình thang cân ABCD (có đáy CD trùng với bờ sơng khơng phải rào) Diện tích vườn lớn nhất rào bao nhiêu? 3a 3a 2 3a 2 A a  m  B C D m  m2  m     4 Câu 15: [2D1-4] Một đoạn dây thép dài 150cm uốn thành khung có dạng hình vẽ A 2 5x 5x C D A 6x F E Khi x thay đổi, tìm x để diện tích hình phẳng thu đạt giá trị lớn nhất A 25 cm 4 B 100 cm 4 C 10 cm 4 D 50 cm 4 ... x2   Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K x1  x2  f  x1   f  x2  y y O a b x Hàm số đồng biến b x a O Hàm số nghịch biến Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng... đạt cực tiểu x  A Hàm số f ( x) đạt cực đại x  C Hàm số g ( x) cực trị Câu Cho hàm số y f (x ) có đạo hàm ( ) Đồ thị hàm số f (x ) hình ; vẽ y O -1 x -1 -2 Hỏi đồ thị hàm số y  g ( x)  f... Xét hàm số g  x   f  x   Phát biểu sau đúng? A .Hàm số g  x  đồng biến khoảng  2;   B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;  C Hàm số g  x  đồng biến khoảng  1; a  D Hàm số