Chuyên đề giải toán bằng máy tính casio

Xuất phát từ những kỹ năng đơn giản về sử dụng MTĐT BT để tính toán thông thường như tính giá trị của biểu thức số, tìmnghiệm của phương trình bậc 2 – 3, khai phương, hay tìm tỉ số lượng

ĐẶT VẤN ĐỀ PHẦN I

Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọngtâm của mỗi nhà trường Sử dụng MTĐT BT để giải toán cũng là một hoạt động phát triểntrí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh rất hiệu quả Xuất phát từ những kỹ năng đơn giản

về sử dụng MTĐT BT để tính toán thông thường như tính giá trị của biểu thức số, tìmnghiệm của phương trình bậc 2 – 3, khai phương, hay tìm tỉ số lượng giác của một góc

học sinh còn được rèn luyện lên một mức độ cao hơn đó là rèn tư duy thuật toán- một

thao tác tư duy cực kỳ cần thiết cho lập trình viên máy tính PC sau này - thông qua các bài

toán về tìm số, bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố, tìm ƯCLN hay bài toánphân tích đa thức thành nhân tử

Hiện nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học-kỹ thuật (KHKT) nhất là cácngành thuộc lĩnh vực công nghệ thông tin (CNTT), trong đó MTĐT BT là một thành quảcủa những tiến bộ đó MTĐT BT đã được sử dụng rộng rãi trong các nhà trường với tưcách là một công cụ hỗ trợ việc giảng dạy, học tập hay cả việc đổi mới phương pháp dạyhọc theo hướng hiện đại như hiện nay một cách có hiệu quả Đặc biệt, với nhiều tính năngmạnh như của các máy CASIO Fx-500MS, CASIO Fx-570MS trở lên thì học sinh cònđược rèn luyện và phát triển dần tư duy thuật toán một cách hiệu quả

Trong những năm gần đây, các cơ quan quản lý giáo dục cũng như các tổ chức kinh

tế tài trợ thiết bị giáo dục (nhất là các công ty cung cấp thiết bị điện tử và máy văn phòng)rất chú trọng việc tổ chức các cuộc thi giải toán trên MTĐT BT Từ năm 2001, BGD& ĐT

bắt đầu tổ chức cuộc thi “Giải toán trên MTĐT BT”- cho HS THCS - đến cấp khu vực; báo Toán tuổi thơ2 tổ chức thi giải toán bằng MTĐT BT qua thư - cho HS THCS- do tập đoàn CASIO tài trợ, báo Toán học & Tuổi trẻ tổ chức cuộc thi tương tự - cho cả HS

THCS và THPT- do tập đoàn SHARP tài trợ, nhằm góp phần phát huy trí lực của học sinh

và tận dụng những tính năng ưu việt của MTĐT BT để hỗ trợ học tốt các môn học khácnữa như Lý, Hoá, Sinh, Địa

Thực tế, qua 3 năm phụ trách bồi dưỡng HSG giải toán trên MTĐT BT, tôi nhậnthấy các em học sinh thực sự say mê tìm tòi, khám phá những công dụng của chiếc MTĐT

BT đơn giản nhưng vô cùng hữu ích này và vận dụng tốt trong quá trình học tập của mình

Từ những lý do trên, tôi mạnh dạn triển khai chuyên đề

“CASIO FX500MS VỚI VIỆC GIẢI TOÁN”

rộng ra toàn trường với mục đích là:

 Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản

nhất của MTĐT BT CASIO Fx-500MS, từ đó biết cách vận dụng các tínhnăng đó vào giải các bài toán tính toán thông thường rồi dần đến các bàitoán đòi hỏi tư duy thuật toán cao hơn

 Tạo không khí thi đua học tập sôi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý

thức tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình vàứng dụng những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống

 Tạo nguồn HSG cho các năm tiếp sau

NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP

I. GIỚI THIỆU CƠ BẢN VỀ MÁY FX-500MS.

1 Các phím thông thường :

- Có 3 loại phím:

+ Phím màu trắng: bấm trực tiếp

+ Phím màu vàng: bấm sau phím SHIFT

+ Phím màu đỏ: bấm sau phím ALPHA

- Các phím chức năng: (xem trong CATAlO giới thiệu máy).

- Cài đặt cho máy:

+ Ấn MODE nhiều lần để chọn các chức năng của máy

+ Ấn MODE 1 : Tính toán thông thường

+ Ấn MODE 2 : Tính toán với bài toán thống kê

+ Ấn MODE MODE 1 2 : Giải hệ phương trình bậc1, 2 ẩn

+ Ấn MODE MODE 1 3 : Giải hệ phương trình bậc1, 3 ẩn

+ Ấn MODE MODE 1  2 : Giải phương trình bậc 2

+ Ấn MODE MODE 1  3 : Giải phương trình bậc 3

+ Ấn SHIFT CLR 1  : Xoá giá trị ở các ô nhớ A,B

+ Ấn SHIFT CLR 2  : Xoá cài đặt trước đó (ô nhớ vẫn còn)+ Ấn SHIFT CLR 3  : Xoá tất cả cài đặt và các ô nhớ

- Phép gán vào các ô nhớ:

+ 10 SHIFT STO A : Gán 10 vào ô nhớ A

+ 12 SHIFT STO B : Gán 10 vào ô nhớ B

+ 0 SHIFT STO A : Xoá ô nhớ A

Chú ý: Các ô nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y, M là các biến nhớ mà khi gán giá trị mới

vào thì giá trị mới sẽ thay thế giá trị trước đó Còn riêng ô nhớ M-ngoài chức năng trên-Nócòn là 1 số nhớ độc lập, nghĩa là có thể thêm vào hoặc bớt ra ở ô nhớ này

2 Cách SD phím EXP : Tính toán với các số dạng a.10n

VD: 3.103 + 4.105 = ?

Ấn phím: 3 x EXP 3  4 x EXP 5  (Kết quả là 403 000)

PH

Ç N II

3. Cách SD phím Ans :

Kết quả tự động gán vào phím Ans sau mỗi lần ấn phím  hoặc SHIFT % hoặc

M hoặc SHIFT M hay SHIFT STO ( là 1 chữ cái)

VD: Tính giá trị của biểu thức:

3

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

sẽ nhận được kết quả của biểu thức

Phím Ans có tác dụng rất hữu hiệu với bài toán tính giá trị của biểu thức dạng phân

số chồng như VD trên

II. SỬ DỤNG CASIO FX-500MS ĐỂ GIẢI TOÁN NHƯ THẾ NÀO?

 (Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ hai)

 (Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ hai)

 (Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ hai)

 (Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ ba)

 (Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ ba)

 (Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ ba)

 (Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ tư)

VD2:

10 SHIFT STO A

100 SHIFT STO B DL1: ALPHA A  1 SHIFT STO A (A tăng thêm 1, được 11 và 11 nhớ vào A)DL2: ALPHA B  1 SHIFT STO B (B tăng thêm 1, được 101 và 101 nhớ vào B)

Lặp: # SHIFT #

 (A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A)

 (B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B)

 (A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A)

 (B tăng thêm 1, được 103 và 103 nhớ vào B)

* Chú ý:

VD3:

10 SHIFT STO A

100 SHIFT STO B

1000 SHIFT STO C DL1: ALPHA A  1 SHIFT STO A (A tăng thêm 1, được 11 và 11 nhớ vào A)DL2: ALPHA B  1 SHIFT STO B (B tăng thêm 1, được 101 và 101 nhớ vào B)DL3: ALPHA C  1 SHIFT STO C (C tăng thêm 1, được 1001 và 1001 nhớ vào C)

 (A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A)

 (B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B)

 (C tăng thêm 1, được 1002 và 1002 nhớ vào C)

 (A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A)

 (B tăng thêm 1, được 103 và 103 nhớ vào B)

 (C tăng thêm 1, được 1003 và 1003 nhớ vào C)

1 0,(01) 99

1 0,(001) 999







Ta có:

1 3 1 0,(3) 3.0,(1) 3.

4

1 3 9

5 6 (

7

4 : ) 25

2 08 , 1 ( 25

1 64 , 0

) 25 , 1 5

4 ( : 8 , 0

VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x 2 -11x – 2006 tại

*Gán 1 vào ô nhớ X: 1 SHIFT STO X

Nhập biểu thức đã cho vào máy: 20 ALPHA X x2  11 ALPHA X  2006 

(Ghi kết quả là -1 997)

*Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:  2 SHIFT STO X

Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả.

Gán 2 vào ô nhớ X: 2 SHIFT STO X

Gán -3 vào ô nhớ Y:  3 SHIFT STO Y

Nhập biểu thức đã cho vào máy như sau:

3 ALPHA Y ^ 3 

(Ghi kết quả là - 4 )

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

3 4



SHIFT STO X

3 2 7

 SHIFT STO Y Rồi dùng phím # # để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả

VD1:Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = 1+2+3+ +49+50.

Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50, có quy luật

là số sau lớn hơn số liền trước 1 đơn vị Ta phải lập một quy trình cho máy để sau một sốlần ấn dấu  ta thu được kết quả của biểu thức

1 → A

2 → B

A + B → A

B + 1 → B

Gán 1 vào ô nhớ A (A là biến chứa).

Gán 2 vào ô nhớ B (B là biến chạy).

Dòng lệnh 1Dòng lệnh 2

# SHIFT # 

Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu  đến khi

B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn  và đọc kq :(1

275) b) B = 1 1 1 1 1

1 2 3   49 50 ?

Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các phân số với tử số không đổi, mẫu là các số

tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50 Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần

ấn dấu  ta thu được kết quả của biểu thức

Nhận xét: Ta thấy biểu thức trên là một dãy các phép toán + và - xen kẽ các phân số

với tử số không đổi, mẫu là các căn bậc hai của các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50 Nếumẫu là CBH của STN lẻ thì dấu là +, còn mẫu là CBH của STN chẵn thì dấu là - Ta cũngphải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu  ta thu được kết quả của biểuthức

Cách lập tương tự như VD2, song ta phải chú ý đến dấu của từng số hạng

Dòng lệnh 2

# SHIFT #  Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu  đến khi

B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn  và đọc kết quả

Cách làm:Câua+b)

Và từ công thức Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un → Un = 2Un-1 - 3Un-2 +2Un-3

Theo CT truy hồi đó thì ta có:

+

U4 = 2U3 - 3U2 +2U1

U5 = 2U4 - 3U3 +2U2

U6 = 2U5 - 3U4 +2U3

Un =Un-1- 2Un-2 + 3

U4+U5+U6+ +Un = (U3+U4+U5+ +Un-1)-2(U2+U3+U4+ +Un-2) + (n-4).3

↔ Sn-(U1+U2+U3)= [Sn-(U1+U2+Un)] - 2[Sn-(U1+Un-1+Un)] +3(n-4)

Rút gọn và thay các giá trị đã biết của U1; U2; U3 vào ta được:

1

2

n n n



U n =U n-1 - 2U n-2 + 3

Áp dụng CT trên với n = 20 ta có được kq 20 19

20

2 3.20 4

272 2

Lấy phần nguyên c (số nguyên lớn nhất không vượt quá số đó) của kết quả thì đó chính là

thương của phép chia A cho B

Sau đó lập bt: A – c.B =

Kết quả này là số dư của phép chia

VD: Tìm thương và dư của phép chia (3 20 +1) cho (2 15 +1)?

Cách làm:

3 ^ 20  1 SHIFT STO A :

2 ^ 15  1 SHIFT STO B :

# SHIFT #  Lặp 2 DL trên, ấn dấu  và quan sát rồi

chọn các kết quả nguyên – đó là Ước

Nếu a không chia hết cho b, giả sử a = b.q + r

gọi d là ƯCLN của a và b, thế thì ta có a = d.a’; b = d.b’

thay vào (1) ta được d.a’= d.b’.q + r

hay d.a’ = d.(b’.q) + r

theo tính chất chia hết của một tổng thì r cũng chia hết cho d

thế nên ƯCLN (a;b) = ƯCLN(b;r)

Dựa vào nhận xét trên ta lập quy trình tìm ƯCLN(a;b) như sau:

a SHIFT STO A :

b SHIFT STO B :

-Nếu kết quả là phân số m

n thì B:n = (được kết quả là ƯCLN(a,b))-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách

Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức A – c.B → D

Bài toán trở về tìm ƯCLN(B,D)

Ta nhập vào máy biểu thức:

Cứ tiếp tục làm như vậy đến khi kết quả của dòng lệnh dạng

là một phân số thì chia mẫu cho mẫu sẽ được ƯCLN

VD1: Tìm ƯCLN(44 505; 25 413)

Cách làm:

44505 SHIFT STO A :

25413 SHIFT STO B :

Kết quả máy báo là một phân số m

n =345

197

Khi đó ta lấy mẫu số của phân số A

Bchia cho mẫu của phân sốm

Kết quả máy báo là một số thập phân 1,000815387

Ta đi tìm số dư: A – 1.B → A

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA B b

a

Kết quả máy báo là một số thập phân 1226,410928 (lấy phần nguyên là 1226)

Ta lại đi tìm số dư: B – 1226.A → B

Lặp lại dòng lệnh: ALPHA A a b ALPHA B  SHIFT a b

Kết quả máy báo là một số thập phân 2,43351908 (lấy phần nguyên là 2)

Ta tiếp tục đi tìm số dư: A – 2.B → A

Khi đó ta lấy mẫu số của phân số B

Achia cho mẫu của phân sốm

n

tức là A:n ( ALPHA A 6146  97)

Vậy ƯCLN(4 107 530 669; 4 104 184 169) = 97

5.5-Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số?

Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó không chia hết cho

mọi số nguyên tố không vượt quá a ”

Xuất phát từ cơ sở đó, ta lập 1 quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem số a cóchia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn a hay không!

Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ số 2), thế nên ta dùng phép chia a cho các

số lẻ không vượt quá a

Cách làm:

1 Tính a

2 Lấy phần nguyên b của kết quả

3 Lấy số lẻ lớn nhất c không vượt quá b

- Nếu tồn tại kq nguyên thì khẳng định a là hợp số

- Nếu không tồn tại kq nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố

VD1: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?

1 Tính 8191 được 90,50414355

2 Lấy phần nguyên được 90.

3 Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 89.

4 Lập quy trình:

89 → A

8191  A → B

A – 2 → A

2 Lấy phần nguyên được 316.

3 Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 315.

TH1: Nếu số a có ước nguyên tố là 2, 3 (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận biết).

Ta thực hiện theo quy trình:

Máy báo kq nguyên → ta nghi 2 (hoặc 3)là một SNT

Các kq vẫn là số nguyên thì mỗi lần như thế ta nhậnđược 1 TSNT là 2 (hoặc 3)

Tìm hết các TSNT là 2 hoặc 3 thì ta phân tích thươngcòn lại dựa vào trường hợp dưới đây

VD1: Phân tích 64 ra th a s nguyên t ?ừa số nguyên tố? ố nguyên tố? ố nguyên tố?

VD3: Phân tích 385 ra thừa số nguyên tố?

VD3: Phân tích 85 085 ra th a s nguyên t ?ừa số nguyên tố? ố nguyên tố? ố nguyên tố?

Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố Khi đó ta ấn AC # # rồi ghi SNT là 17

Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17

6.1- Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) cho (x-a).

Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư]

Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r Suy ra f(a) = o + r hay rf a( )

Nghĩa là: Để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất (x-a) ta chỉ việc

tính giá trị của đa thức tại a

Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với quy trình ấn như VD2

Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x 3 -5x 2 +11x-19 cho (x-2)?.

Mô hình sơ đồ Hoocner:

Quy trình:

1 → A

1 x A + (-5) = SHIFT b

a (Ghi kết quả -3)

x A + 11 = SHIFT a b (Ghi kết quả 5)

x A +(-19)= SHIFT a b (Ghi kết quả -9)

Vậy thương là 1x 2 – 3x + 5, dư là -9

6.2- Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.

4 Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a)

VD1: Phân tích đa thức f(x) = x 2 + x - 6 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x)

ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3

Khi đó ta viết được: x 2 + x - 6 = 1.(x-2)(x+3)

VD2: Phân tích đa thức f(x) = x 3 +3x 2 -13 x -15 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) tathấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1

Khi đó ta viết được: x 3 +3x 2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).

VD3: Phân tích đa thức f(x) = x 3 - 5x 2 +11 x -10 thành nhân tử?

Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) tathấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2

Nên ta biết được đa thức x 3 - 5x 2 +11 x -10 chia hết cho (x-2).

Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x 3 - 5x 2 +11 x -10 cho (x-2) ta có:

Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-2)

VD4:Phân tích đa thức f(x) = x 5 + 5x 4 – 3x 3 – x 2 +58x - 60 thành nhân tử?

Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).

Ta có Ư(60) = {1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:

Nhập vào máy đa thức:X 5 + 5X 4 – 3X 3 –X 2 +58X -60 rồi ấn dấu  máy báo kq -112

Gán tiếp: -2 → X / # /  / máy báo kq -108

Gán tiếp: -3 →X/ # /  / máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3) Khi đóbài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3)

Nghiệm nguyên là ước của 20

Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {1;2;4;5;10;20}

Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):

Nhập vào máy đa thức: x 4 +2x 3 -9x 2 +26x-20 rồi ấn dấu  máy báo kq -96

Gán tiếp: -2 → X / # /  / máy báo kq -148

Gán tiếp: -4 → X / # /  / máy báo kq -180

Gán tiếp: -5 → X / # /  / máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5).Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5)

8.1- Bài toán về dân số.

VD: Hiện nay, dân số 1 quốc gia là a người, tỷ lệ tăng dân số mỗi năm là m% Hỏi sau n

năm nữa thì số dân của quốc gia đó là bao nhiêu người?

Giải:

Sau 1 năm, dân số quốc gia đó là A1 = a + a.m = a(1+m)

Sau 2 năm, dân số quốc gia đó là A2 = a(1+m) + a(1+m) m = a(1+m)2

Sau n năm, dân số quốc gia đó là

Áp dụng:

a) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010, dân số nước ta

sẽ là bao nhiêu người Biết tỷ lệ tăng dân số trung bình là 1,2% /năm

b) Nếu năm 2020 dân số nước ta có khoảng 100 triệu người, hãy tính tỷ lệ tăng dsbình quân mỗi năm?

Áp dụng CT trên ta có A2010 = 76,3.(1+1,2%)9 = 84,94721606 (triệu người)

m   = 1,4%

8.2- Bài toán lãi suất ngân hàng.

VD1: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng) Biết lãi suất hàngtháng là m% Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?

Giải:

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m)

Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là: