Phan tich da thuc . Hay tuyet. Xem va dong gop y kien .Cam on

Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến phân tích đa thức thành nhân tử. (Thực hiện trong 6 tiết) A. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Bài toán 1. Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x 2 + 5x 3 = x(2x + 5) - 3 (1) 2x 2 + 5x 3 = x(2x + 5 - x 3 ) (2) 2x 2 + 5x 3 = 2(x 2 + 2 5 x - 2 3 ) (3) 2x 2 + 5x 3 = (2x - 1)(x - 3) (4) 2x 2 + 5x 3 = 2(x - 2 1 )(x + 3) (5) B. Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử? - Phơng pháp đặt nhân tử chung. - Phơng pháp dùng hằng đẳng thức. - Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. Một số phơng pháp khác nh : - Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử. - Phơng pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất. - Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến). - Phơng pháp hệ số bất định. - Phơng pháp xét giá trị riêng. - Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức. Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phơng pháp này dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phơng pháp này không ? Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn đợc thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác. Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức. Công thức : AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Phơng pháp: Tìm nhân tử chung. - Lấy ƯCLN của các hệ số. - Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử. Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 1 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến - Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức AB + AC + + AF = A(B + C + + F) Chú ý: - Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. - Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số hạng vào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 3x 2 + 12xy. b) 5x(y + 1) 2(y + 1). c) 14x 2 (3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y). Giải a) 3x 2 + 12xy = 3x(x + 4y). b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2). c) 14x 2 (3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y) = 14x 2 (3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) = (3y - 2) (14x 2 + 35x - 28y). Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ? Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: - Nhận dạng các hằng đẳng thức. - Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không. Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 4x + 4. b) 8x 3 + 27y 3 . c) 9x 2 (x - y) 2 . Giải a) x 2 4x + 4 = (x - 2) 2 b) 8x 3 + 27y 3 = (2x + 3y)(4x 2 6xy + 9y 2 ) c) 9x 2 (x - y) 2 = [3x (x y)][3x + (x - y)] = (3x x +y)(3x + x - y) = (2x + y)(4x - y). Ví dụ 2 a, (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 HD: nhóm 2 hạng tử đầu a 3 + b 3 = 3(x z)(x- y)(z y) b, (x 2 +y 2 ) 3 + (z 2 - x 2 ) (y 2 + z 2 ) 3 = 3(x 2 + y 2 )(y 2 + z 2 )(x z)(x + z) c, a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b) 3 + c 3 3ab(a +b + c) = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 ab ac bc) Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 2 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến d, x 3 + y 3 z 3 + 3xyz = (x + y) 3 z 3 3xy( x + y z) = . Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ? Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ. Chú ý: - Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm - Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 2xy + 5x 10y. b) x(2x 3y) 6y 2 + 4xy. c) 8x 3 + 4x 2 y 3 y 2 Giải a) x 2 2xy + 5x 10y = ( x 2 2xy) + ( 5x 10y) = x(x 2 y) + 5 (x 2y) = (x 2 y)(x + 5) b) x(2x 3y) 6y 2 + 4xy = x(2x 3y) + (4xy - 6y 2 = x(2x 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x 3y)(x + 2y) c) 8x 3 + 4x 2 y 3 y 2 = (8x 3 - y 3 ) + (4x 2 y 2 ) = (2x -y)( x 2 + xy + y 2 ) + (2x y)( 2x +y) = (2x -y)( x 2 + xy + y 2 + 2x +y). Phơng pháp 4: Phối hợp nhiều phơng pháp Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ từng phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ? Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) a 3 a 2 b ab 2 + b 3 b) ab 2 c 3 + 64ab 2 c) 27x 3 y a 3 b 3 y. Giải a) a 3 a 2 b ab 2 + b 3 = a 2 (a b) b 2 (a - b) = (a - b)(a 2 - b 2 ) = (a - b) 2 (a + b). b) ab 2 c 3 + 64ab 2 = ab 2 (c 3 +64) = ab 2 (c 3 + 4 3 ) = ab 2 (c + 4)(c 2 4c + 16). c) 27x 3 y a 3 b 3 y = y(27x 3 a 3 b 3 ) = y(3 - ab) (9x 2 3ab + a 2 b 2 ). Kiến thức Nâng cao. Phơng pháp 5: Phơng pháp tách Khi phân tích đa thức : ax 2 + bx + c thành nhân tử Cách 1: Tách ax 2 + bx + c = a x 2 + b 1 x + b 2 x + c Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 3 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến Với b = b 1 + b 2 và b 1 .b 2 = a.c Cách 2: Tách ax 2 + bx + c = X 2 - B 2 Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2x 2 3x + 1. b) 6x 2 + x 2 c) x 2 2x - 3 Giải a) 2x 2 3x + 1 = 2x 2 2x x + 1 = 2x(x 1) (x 1) = (x 1)(2x 1). b) 6x 2 + x 2 = 6x 2 + 4x 3x 2 = 2x(3x + 2) (3x + 2) = (3x + 2) (2x 1) c) x 2 2x - 3 = x 2 + x 3x 3 = Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 2x 3 b) x 2 10x + 16 Giải a)x 2 2x 3 = x 2 2x + 1 4 = (x- 1) 2 2 2 = (x 3)(x+1) b)x 2 10x + 16 = x 2 10x + 25 9 = (x 5) 2 3 2 = (x 8)(x 2) Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) y 4 + 64. b) x(y 2 z 2 ) + y(z 2 x 2 ) + z(x 2 y 2 ) c) a 2 b 2 (b a) + b 2 c 2 (c b) a 2 c 2 ( c a) Giải a) y 4 + 64 = y 4 +16y 2 + 64 - 16y 2 = (y 2 + 8) 2 - (4y) 2 = (y 2 + 8 - 4y) (y 2 + 8 + 4y). b) x(y 2 z 2 ) + y(z 2 x 2 ) + z(x 2 y 2 ) = x( y 2 x 2 + x 2 z 2 ) + y(z 2 x 2 ) + z(x 2 y 2 ) = x( y 2 x 2 ) + x(x 2 z 2 ) - y(x 2 -z 2 ) - z( y 2 x 2 ) = (y 2 - x 2 ) ( x z) + (x 2 z 2 )(x y) = (y x)( x z) (y +x x z) c) a 2 b 2 (b a) + b 2 c 2 (c b) a 2 c 2 ( c a) = a 2 b 2 (b- c + c a) + b 2 c 2 (c b) a 2 c 2 ( c a) = = (b c) (a c)(b- a) (ab + bc + ca) Phơng pháp 7: Đặt biến phụ Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 4 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích Ví dụ 1: A , (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x( x 2 + 4x + 8) + 2x 2 B , (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) -5 C , ( x 2 2x + 2) 4 20x 2 (x 2 2x + 2) 2 + 64 x 4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x 12 F , (x 2 + x)(x 2 + x + 1) 2. Giải A.Đặt y = x 2 + 4x + 8 rồi dùng phơng pháp tách phân tích Kết quả: A = (x 2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B. đặt y = x 2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.Đặt y = x 2 2x + 2 C = (x 2 + 2)(x 2 4x + 2)(x 2 6x + 2)(x 2 + 2x + 2) D = (x 2 + 8x + 7)( x 2 + 8x + 15) + 15 = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F. (x 2 + x)(x 2 + x + 1) 2. (*) Đặt(x 2 + x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) 2 = y 2 + y - 1 1 = (y 2 - 1) + (y 1) = (y + 1)(y 1) + (y 1) = (y 1)(y + 2). (**) Thay trở lại vào (**) ta có : (x 2 + x - 1) )(x 2 + x + 2). Vậy(x 2 + x)(x 2 + x + 1) 2 = (x 2 + x - 1) )(x 2 + x + 2). Ví dụ 2: a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) 24 b. 4(x 2 + 15x + 50)(x 2 + 18x + 72) 3x 2 c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y 2 z 2 HD: c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y 2 z 2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y 2 z 2 = 4 (x 2 +xy+xz)(x 2 +xy +xz +yz)+ y 2 z 2 (Đặt t = x 2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y 2 z 2 = (2t + yz) 2 Ví dụ 3: Giải phơng trình a. (2x 2 + x) 2 4(2x 2 + x) + 3 = 0 b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) 24 = 0 HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt về dạng PT tích a. (t - 1)(t- 3) = 0 *. t = 1 2x 2 + x = 1 (x +1)(2x-1)= 0 *. t = 3 2x 2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0 Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 5 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến Phơng pháp 8: Phơng pháp xét giá trị riêng Kiến thức: 1. x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0 2. x = a là nghiệm của đa thức f(x) => f (x) (x a)M Lợc đồ Hoor ne . Sơ đồ Hoóc - ne Nếu đa thức bị chia là a 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 , đa thứ chia là x - a ta đợc thơng là b 0 x 2 + b 1 x + b 2 . Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có: a 0 a 1 a 2 a 3 a b 0 = a 0 b 1 = ab 0 + a 1 b 2 = ab 1 + a 2 r = ab 2 + a 3 Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử. Đối với tam thức bậc hai dạng ax 2 + bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích đợc thành nhân tử hay không thờng dùng phơng pháp sau: - Tính = b 2 4ac. - Nếu 0 thì phân tích đợc. - Nếu < 0 thì không phân tích đợc. Ví dụ 1: f(x) = x 3 x 2 - 4 Lần lợt kiểm tra với ớc của 4 là 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4. f(-1) = (-1) 3 - (-1) 2 - 4 = - 4 => x= -1 không phải là nghiệm. f(1) = (1) 3 - (1) 2 - 4 = - 4 => x = 1 không phải là nghiệm. f(2) = 2 3 - 2 2 - 4 = 0. f(-2) = -16 => x = - 2 không phải là nghiệm. f(4) = 44 => x = 4 không phải là nghiệm. f(- 4) = - 48 => x = - 4 không phải là nghiệm. Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x 2). Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x 2)(x 2 x + 2). Ví dụ 2: Phân tích f(x) = x 3 2x 4 Giải Ta có f(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) => f (x) (x 2)M => f(x) = (x - 2)(x 2 + 2x + 2) Ví dụ 3: g(x) = 4x 3 7x 2 x 2 = (x - 2)(4x 2 + x +1) Ví dụ 4 : H(x) = x 3 x 2 14x + 24 Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 nhân cộng a 6 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến = (x-2)(x - 3)(x + 4) Ví dụ 5 P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y). P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y). Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa thức P không thay đổi. Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k là hằng số). => P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x). Đúng với mọi x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biến x, y, z tuỳ chọn sao cho (x - y)(y - z)( z - x) 0). Ta đợc: k = -1 Vậy P = x 2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z 2 (x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x) = (y - x)(y - z)( z - x). Ví dụ 6 A = x(y 2 z 2 ) + y(z 2 x 2 ) + z(x 2 y 2 ) Giải +.Nếu x = y => A = 0 => A M (x - y) +.Vì vai trò của x,y,z nh nhau =>A M (y-z); (z-x) =>A M (x - y)(y-z)(z-x) +.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bậc của (x - y)(y-z)(z-x) là 3 => A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1 Vậy A = (x - y)(y-z)(z-x) Ví dụ 7 P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1 Phơng pháp 9: Phơng pháp hệ số bất định Ví dụ 1: Phân tích : x 3 15x 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai Giải Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì x 3 15x 18 = (x+ a)(x 2 + bx + c) x 3 15x 18 = x 3 + (a+b)x 2 + (ab+ c)x + ac Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta đợc: a b 0(1) ab c 15(2) ac 18(3) + = + = = Từ (3)chọn a = 3; thì c = -6; b = -3 thoả mãn (2) Vậy: x 3 15x 18 = (x + 3) (x 2 3x 6) Ví dụ 2 Phân tích : x 3 19x - 30 thành đa thức bậc nhất và bậc hai Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 7 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến Giải Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì x 3 19x - 30 = (x + a) (x 2 + bx + c) x 3 19x - 30 = x 3 + (a + b)x 2 + (ab+ c)x + ac Đồng nhất 2 đa thức ta có a b 0(1) ab c 19 (2) ac 30(3) + = + = = Từ (3) chọn a = 2 thì c =- 15; b = -2 thoả mãn (2) Vậy x 3 19x - 30 = (x +2)(x 2 2x - 15) Ví dụ 3 x 4 6x 3 + 12x 2 14x + 3. Giải Ta thấy x 1; 3= không là nghiệm của đa thức đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ, nên đa thức có dạng Để phân tích đa thức này thành thừa số thì phải có dạng: (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) = x 4 +(a+c)x 3 + (ac + b +d)x 2 +(ad + bc)x + bd. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta đợc hệ điều kiện: = =+ =++ =+ 3 14 12 6 bd bcad dbac ca 143 8 6 =+ = =+ ca ac ca = = = = 1 4 3 2 d c b a Vậy đa thức x 4 6x 3 + 12x 2 14x + 3 = (x 2 - 4x + 1)(x 2 - 2x + 3). Cách 2 x 4 6x 3 + 12x 2 14x + 3 = x 4 4x 3 2x 3 + x 2 + 8x 2 + 3x 2 2x - 12x + 3 = x 2 (x 2 - 4x + 1) - 2x(x 2 - 4x + 1) + 3(x 2 - 4x + 1) = (x 2 - 4x + 1)(x 2 - 2x + 3). Ví dụ 4 a. x 3 + 4x 2 + 5x +2 b. 2x 4 3x 3 7x 2 + 6x + 8 Giải a.ta có x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thức => x 3 + 4x 2 + 5x +2 M (x+1);(x+2) => x 3 + 4x 2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) b = 1 b.Ta có x = 2; x = -1 là nghiệ của đa thức => 2x 4 3x 3 7x 2 + 6x + 8 M (x+1);(x-2) => 2x 4 3x 3 7x 2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x 2 + a x+ b) Đồng nhất 2 đa thức ta có a = -1; b =- 4 Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 8 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến Phơng pháp 10: Phơng pháp hạ bậc Ví dụ 1: a) a 5 + a +1. Giải a) a 5 + a +1= a 5 + a 4 a 4 + a 3 a 3 + a 2 a 2 + a + 1 = (a 5 + a 4 + a 3 ) ( a 4 +a 3 + a 2 ) + ( a 2 + a + 1) = a 3 ( a 2 + a + 1) a 2 ( a 2 + a + 1) + ( a 2 + a + 1) = ( a 2 + a + 1) (a 3 a 2 + 1). C. ứng dụng Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn đa thức. I. Tìm x Ví dụ 1. Giải các phơng trình sau: a) 2(x + 3) x(x + 3) = 0 b) x 3 + 27 + (x + 3)(x 9) = 0 c) x 2 + 5x = 6. Giải a) 2(x + 3) x(x + 3) = 0 (x + 3)(2 x) = 0 [ 02 03 = =+ x x [ 2 3 = = x x S ={-3; 2}. b) x 3 + 27 + (x + 3)(x 9) = 0 (x + 3)(x 2 - 3x + 9) + (x + 3)(x 9) = 0 (x + 3)(x 2 - 3x + 9) + (x + 3)(x 9) = 0 (x + 3)(x 2 - 3x + 9 + x 9) = 0 (x + 3)(x 2 - 2x) = 0 x(x + 3)(x - 2) = 0 02 03 0 = =+ = x x x 2 3 0 = = = x x x S ={-3; 0; 2}. c) x 2 + 5x = 6 x 2 + 5x 6 = 0 x 2 - x + 6x 6 = 0 (x 2 - x) + (6x 6) = 0 x (x - 1) + 6(x 1) = 0 (x + 6)( x 1) = 0 [ 01 06 = =+ x x [ 1 6 = = x x S = {-6; 1}. Ví dụ 2. Giải các phơng trình sau a. (x 2 + 2x) 2 x 2 2x 2 = 0 b. x 4 x 3 x 2 x 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x 2 +1)= 0] c. x 3 2x 2 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ] Ví dụ 3. Tìm các cặp số (x; y) thoả mãn a. x 2 + y 2 = 0 b. (x-1) 2 + (y+2) 2 = 0 Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 9 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến c. 4x 2 + y 2 2(2x+y 1) = 0 d. x 2 + 2y 2 + 2y(1-x) = -1 e. 2x 2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0 HD: Đa về dạng A 2 + B 2 = 0 A 0 B 0 = = e.(x -y) 2 + x 2 (y +1) 2 = 0 2 x y 0 x 0 = = hoặc x y 0 y 1 0 = + = Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình a.x+ xy + y + 2 = 0 b. x + y = xy c. x 2 + 21 = y 2 HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const) => X, Y Ư(a) Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình a. x 2 + 21 = y 2 b.(x + 1)y 2x = 8 HD: a. (y- x)(y+ x) = 21 > 0 y +x > y x > 0 y x 7 y x 3 + = = hoặc y x 21 y x 1 + = = II.Tính giá trị biểu thức Phơng pháp : Thu gọn biểu thức Tìm giá trị của biến thay vào Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A = (x 2 + 2) 2 (x+ 2)(x - 2)(x 2 + 4) với x = -1/2 +. Rút gọn A = 4x 2 + 20 +.Thay A = 21 Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức. a) A = 9x 2 +42x + 49 với x = 1 A = (3x + 7) 2 = 100 b) B = 2 2 1 5x - 2xy + y 25 với x= 1 5 : y = - 5 B = 2 1 5 5 x y ữ = 0 c) C = 3 2 2 3 x x y xy y + + + 8 4 6 27 với x = - 8; y = 6 C = d) D = 3 2 x + 15x + 75x + 125 với x = - 10 D = e) E = 3 2 x - 9x + 27x - 27 với x = 13 E = g) G = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x + x +1 với x = - 2 G = 2 -3x + 7x - 4 h) H = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x với x = 1 Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228 10 [...] .. . ( x - 8 ) = 0 Ví dụ 3 : Cho x y = 7 Tính A = x(x + 2) + y( y - 2)- 2xy + 37 B = x2(x + 1) y2 (y - 1) + xy 3xy(x y + 1) 95 ( = (x -y) 3 + (x -y) 2 - 95 = 297 ) Ví dụ 4: a) Cho x + y = 7, tính giá trị của biểu thức M = (x + y) 3 + 2x2 + 4xy + 2y2 M = (x + y) 3 + 2(x + y) 2 = 441 b) Cho x - y = - 5, tính giá trị của biểu thức N = (x - y) 3 - x2 + 2xy - y2 N = (x - y) 3 - (x - y) 2 = - 150 Ví dụ 5 Chứng minh .. . = x2 + xy 7 x - 7y với x= 7 3 4 và y= 2 Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 - (a + b)xy + aby2 b) ab(x2 + y2 ) + xy(a2 + b2) c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy x + y c) (x - z)2 - y2 + 2y 1 d) x3 + y3 + 3y2 + 3y + 1 Bài 5 Tính giá trị biểu thức sau: A = x2 - 5x 2xy + 5x + y2 + 4 ,.. . 4z2 b) x4 - 2x3 + 2x - 1 c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 d) x3 + 4x2 + 5x + 2 Bài 8 Tính giá trị biểu thức sau: a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biết x - y= 1 b) B = x2(x +1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x y +1), biết x - y= 7 Bài 9 Cho x = y = z = 0 Chứng minh rằng x3+ x 2y - y2 x xyz + y3 = 0 Bài 10 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0 Bài 11 Phân .. . + y2 + 4, biết x y = 1 B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x y + 1), biết x y = 7 Bài 6 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (1 + x2)2 - 4x(1 x + x2) b) x2 - y2 - 2yz - z 2 Giáo viên: Trần văn Hùng 11 0914 960 228 2 5 Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 - m2 + 2mn - n2 Bài 7 Phân tích đa thức thành nhân tử a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x4 - 2x 3.. . A = y( x2 - y2 )(x2 + y2 ) - y( x4 - y4 ) A=0 d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B=2 1 3 1 2 1 2 2 e) M = + 2x ữ 4x - x + ữ 8x ữ M= 3 9 27 27 3 D Bài tập áp dụng Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (3x 1)2 - (5x + 3)2 b) (2x + y - 4z)2 - (x + y - z)2 c) ( x2 + xy)2 - (x2 xy - 2y2 )2 d) x4 - x2-2x-1 Bài 2 Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y với x=88 và y= -7 6.. . a) Tìm x để 2 x 2 + 10 x + 12 = 0 x3 4 x b) Tìm các số nguyên x để x 4 16 x 4 4 x 3 + 8 x 2 16 x + 16 có giá trị nguyên Bài 19 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y 1 b) x2 + 4y2 - 4xy - z2 + 6z - 9 Bài 20 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến: (x + y z - t)2 - (z + t x - y) 2 Giáo viên: Trần văn Hùng 12 0914 960 228 Giáo án tự chọn .. . của đa thức g(x) = x2 + cx + d Bài 13 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 - 8)2 + 36 b) 81x4 + 4 c) x5 + x + 1 Bài 14 Phân tích đa thức thành nhân tử A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y 35 C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 Bài 15 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 . 3y) 6y 2 + 4xy = x(2x 3y) + (4xy - 6y 2 = x(2x 3y) + 2y( 2x - 3y) = (2x 3y) (x + 2y) c) 8x 3 + 4x 2 y 3 y 2 = (8x 3 - y 3 ) + (4x 2 y 2 ) = (2x -y) (. 2xy + 5x 1 0y. b) x(2x 3y) 6y 2 + 4xy. c) 8x 3 + 4x 2 y 3 y 2 Giải a) x 2 2xy + 5x 1 0y = ( x 2 2xy) + ( 5x 1 0y) = x(x 2 y) + 5 (x 2y) = (x 2 y) (x