Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác.. Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?. Một số phơ
Trang 1phân tích đa thức thành nhân tử.
(Thực hiện trong 6 tiết)
A Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức và đa thức khác
Bài toán 1
Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ?
2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1)
2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5
-x
3 ) (2) 2x2 + 5x – 3 = 2(x2 +
2
5
x - 2
3 ) (3) 2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)
2x2 + 5x – 3 = 2(x -
2
1 )(x + 3) (5)
B Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?
- Phơng pháp đặt nhân tử chung
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
Một số phơng pháp khác nh :
- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
- Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
- Phơng pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất
- Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến)
- Phơng pháp hệ số bất định
- Phơng pháp xét giá trị riêng
- Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung
Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phơng pháp
này dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phơng pháp này không ?
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn đợc thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác
Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức
Công thức : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)
Phơng pháp: Tìm nhân tử chung.
- Lấy ƯCLN của các hệ số
- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử
- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức
AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F) + AF = A(B + C + … + AF = A(B + C +… + F) + F)
Chú ý:
- Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung
- Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số hạng vào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ
Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 3x2 + 12xy
b) 5x(y + 1) – 2(y + 1)
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 2281
Trang 2c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y).
Giải
a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y)
b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y)
= 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)
= (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y)
Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức
Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
- Nhận dạng các hằng đẳng thức
- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không
Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức.
Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 4x + 4 b) 8x3 + 27y3 c) 9x2 – (x - y)2
Giải
a) x2 – 4x + 4 = (x - 2)2
b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x –x +y)(3x + x - y)
= (2x + y)(4x - y)
Ví dụ 2
a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
HD: nhóm 2 hạng tử đầu a3 + b3
= 3(x – z)(x- y)(z – y)
b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3
= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z)
c, a3 + b3 + c3 – 3abc
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
d, x3 + y3 – z3 + 3xyz
= (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) =
Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ
Chú ý:
- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm
- Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp
dùng hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới
Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 – 2xy + 5x – 10y b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy c) 8x3 + 4x2 – y3 –
y2
Giải
a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y)
= x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x – 2 y)(x + 5)
b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2
= x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y)
= (2x – 3y)(x + 2y)
Trang 3c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2)
= (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( 2x +y)
= (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y)
Phơng pháp 4: Phối hợp nhiều phơng pháp
Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ từng phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ?
Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết
Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) a3 – a2b – ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 c) 27x3y – a3b3y
Giải
a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b)
b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c+ 4)(c2 – 4c + 16)
c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 – 3ab + a2b2)
Kiến thức Nâng cao.
Phơng pháp 5: Phơng pháp tách
Khi phân tích đa thức : ax2 + bx + c thành nhân tử
Cách 1: Tách ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c
Với b = b1+ b2 và b1.b2 = a.c
Cách 2: Tách ax2 + bx + c = X2 - B2
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x2 – 3x + 1
b) 6x2 + x – 2
c) x2 – 2x - 3
Giải
a) 2x2 – 3x + 1 = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x – 1)
= (x – 1)(2x – 1)
b) 6x2 + x – 2 = 6x2 + 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x + 2)
= (3x + 2) (2x – 1)
c) x2 – 2x - 3 = x2 + x – 3x – 3 =
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 – 2x – 3
b) x2 – 10x + 16
Giải
a)x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 = (x- 1)2 – 22 = (x – 3)(x+1)
b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – 9 = (x – 5)2 – 32 = (x – 8)(x – 2)
Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) y4 + 64
b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a)
Giải
a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) 2 - (4y) 2
= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 2283
Trang 4b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
= x( y2 – x2) + x(x2 – z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 –
x2)
= (y2- x2) ( x – z) + (x2 – z2)(x – y)
= (y – x)( x – z) (y +x – x – z)
c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a)
= a2b2(b- c + c – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) =
= (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca)
Phơng pháp 7: Đặt biến phụ
Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đa về đa thức đơn giản Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích
Ví dụ 1:
A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2
B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) -5
C , ( x2 – 2x + 2)4 – 20x2(x2 – 2x + 2)2 + 64 x4
D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15
E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
F , (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2
Giải
A.Đặt y = x2 + 4x + 8 rồi dùng phơng pháp tách phân tích
Kết quả: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)
B đặt y = x2 + 3x +1
B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)
C.Đặt y = x2 – 2x + 2
C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2)
D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
F (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2 (*)
Đặt(x2 + x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) – 2 = y2+ y - 1 – 1
= (y2 - 1) + (y – 1)
= (y+ 1)(y – 1) + (y – 1)
= (y – 1)(y+ 2) (**)
Thay trở lại vào (**) ta có : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2)
Vậy(x2 + x)(x2 + x + 1) – 2 = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2)
Ví dụ 2:
a (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24
b 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2
c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2
HD:
c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2
= 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy +xz +yz)+ y2z2
(Đặt t = x2 +xy+xz)
= 4t (t + yz) + y2z2
= (2t + yz)2
Ví dụ 3: Giải phơng trình
a (2x2 + x)2 – 4(2x2 + x) + 3 = 0
b (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24 = 0
HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt về dạng PT tích
a (t - 1)(t- 3) = 0
Trang 5* t = 1 2x2 + x = 1 (x +1)(2x-1)= 0
* t = 3 2x2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0
Phơng pháp 8: Phơng pháp xét giá trị riêng
Kiến thức:
1 x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0
2 x = a là nghiệm của đa thức f(x) => f (x) (x a)
Lợc đồ Hoor ne
Sơ đồ Hoóc - ne
Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thứ chia là x - a ta đợc thơng
là b0x2 + b1 x + b2 Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có:
Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử.
Đối với tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích đợc thành nhân tử hay không thờng dùng phơng pháp sau:
- Tính = b2 – 4ac
- Nếu 0 thì phân tích đợc
- Nếu < 0 thì không phân tích đợc
Ví dụ 1: f(x) = x3 –x2 - 4
Lần lợt kiểm tra với ớc của – 4 là 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4
f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 không phải là nghiệm.
f(1) = (1)3- (1)2 - 4 = - 4 => x = 1 không phải là nghiệm
f(2) = 23 - 22 - 4 = 0
f(-2) = -16 => x = - 2 không phải là nghiệm
f(4) = 44 => x = 4 không phải là nghiệm
f(- 4) = - 48 => x = - 4 không phải là nghiệm
Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x – 2)
Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x2 – x + 2)
Ví dụ 2:
Phân tích f(x) = x3 – 2x – 4
Giải
Ta có f(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thức f(x)
=> f (x) (x 2)
=> f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2)
Ví dụ 3: g(x) = 4x3 – 7x2 – x – 2
= (x - 2)(4x2 + x +1)
Ví dụ 4 : H(x) = x3 – x2 – 14x + 24
= (x-2)(x - 3)(x + 4)
Ví dụ 5
P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y)
P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y)
Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa thức P không thay đổi
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
nhân
cộng a
5
Trang 6Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x) (k là hằng số).
=> P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x) Đúng với mọi x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị riêng,
chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biến x, y, z tuỳ chọn sao cho (x - y)(y - z)( z - x) 0) Ta đợc: k = -1
Vậy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x)
= (y - x)(y - z)( z - x)
Ví dụ 6
A = x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
Giải
+.Nếu x = y => A = 0 => A (x - y)
+.Vì vai trò của x,y,z nh nhau
=>A (y-z); (z-x)
=>A (x - y)(y-z)(z-x) +.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bậc của (x - y)(y-z)(z-x) là 3
=> A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z
Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1
Vậy A = (x - y)(y-z)(z-x)
Ví dụ 7
P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)
HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1
Phơng pháp 9: Phơng pháp hệ số bất định
Ví dụ 1: Phân tích : x3 – 15x – 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai
Giải
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì
x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c)
x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac
Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta đợc:
a b 0(1)
ab c 15(2)
ac 18(3)
Từ (3)chọn a = 3; thì c = -6; b = -3 thoả mãn (2)
Vậy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6)
Ví dụ 2
Phân tích : x3 – 19x - 30 thành đa thức bậc nhất và bậc hai
Giải
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì
x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c)
x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac
Đồng nhất 2 đa thức ta có
a b 0(1)
ab c 19(2)
ac 30(3)
Từ (3) chọn a = 2 thì c =- 15; b = -2 thoả mãn (2)
Vậy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15)
Ví dụ 3
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải
Ta thấy x 1; 3 không là nghiệm của đa thức
đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ,
Trang 7 nên đa thức có dạng Để phân tích đa thức này thành thừa số thì phải có dạng:
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x2 +(ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta đợc hệ điều kiện:
3 14 12 6
bd
bc ad
d b
ac
c a
3 14
6
c ac c
1 4 3 2
d c b a
Vậy đa thức x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3)
Cách 2
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + 3
= x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)
= (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3)
Ví dụ 4
a x3 + 4x2 + 5x +2
b 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8
Giải
a.ta có x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thức
=> x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2)
=> x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b)
b = 1
b.Ta có x = 2; x = -1 là nghiệ của đa thức
=> 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 (x+1);(x-2)
=> 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b)
Đồng nhất 2 đa thức ta có a = -1; b =- 4
Phơng pháp 10: Phơng pháp hạ bậc
Ví dụ 1:
a) a5 + a +1
Giải
a) a5 + a +1= a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1
= (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1)
= a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1)
= ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1)
C ứng dụng
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán
về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn đa thức
I Tìm x
Ví dụ 1 Giải các phơng trình sau:
a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
c) x2 + 5x = 6
Giải
a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 (x + 3)(2 – x) = 0
0 2
0 3
x
x
2
3
x
x
S ={-3; 2}
b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0 (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0
(x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0
(x + 3)(x2 - 3x + 9 + x – 9) = 0
(x + 3)(x2 - 2x) = 0
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 2287
Trang 8 x(x + 3)(x - 2) = 0
0 2
0 3 0
x x
x
2 3 0
x x
x
S ={-3; 0; 2}
c) x2 + 5x = 6 x2 + 5x – 6 = 0
x2 - x + 6x – 6 = 0
(x2 - x) + (6x – 6) = 0
x (x - 1) + 6(x – 1) = 0
(x + 6)( x – 1) = 0
0 1
0 6
x
x
1
6
x
x
S = {-6; 1}
Ví dụ 2 Giải các phơng trình sau
a (x2 + 2x)2 – x2 – 2x – 2 = 0
b x4 – x3 – x2 – x – 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0]
c x3 – 2x2 – 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ]
Ví dụ 3 Tìm các cặp số (x; y) thoả mãn
a x2 + y2 = 0
b (x-1)2 + (y+2)2 = 0
c 4x2 + y2 – 2(2x+y – 1) = 0
d x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1
e 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0
HD:
Đa về dạng A2 + B2 = 0 A 0
B 0
e.(x -y)2 + x2(y +1)2 = 0 x y 02
hoặc x y 0
y 1 0
Ví dụ 4 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
a.x+ xy + y + 2 = 0
b x + y = xy
c x2 + 21 = y2
HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const)
=> X, Y Ư(a)
Ví dụ 5 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
a x2 + 21 = y2
b.(x + 1)y – 2x = 8
HD: a (y- x)(y+ x) = 21 > 0
y +x > y – x > 0
y x 3
y x 1
II.Tính giá trị biểu thức
Phơng pháp : Thu gọn biểu thức
Tìm giá trị của biến thay vào
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức
A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) với x = -1/2
+ Rút gọn A = 4x2 + 20
+.Thay A = 21
Ví dụ 2 Tính giá trị biểu thức.
a) A = 9x2 +42x + 49 với x = 1 A = (3x + 7)2= 100
Trang 9b) B = 2 1 2
5x - 2xy + y
25 víi x=
1 5
: y = - 5 B =
2
1 5 5
= 0 c) C =
8 4 6 27 víi x = - 8; y = 6 C =
d) D = x + 15x + 75x + 125 3 2 víi x = - 10 D =
e) E = x - 9x + 27x - 273 2 víi x = 13 E =
g) G = x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x + x +13 3 víi x = - 2
G = -3x + 7x - 42
h) H = x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x víi x = 1 2 2
H =x -1 x - 8 = 03 3
VÝ dô 3 : Cho x – y = 7 TÝnh
A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37
B = x2(x + 1) – y2 (y - 1) + xy – 3xy(x –y + 1) – 95
( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 )
VÝ dô 4:
a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441 b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150
VÝ dô 5
Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) P = 0
b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) Q = - 8
c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) A = 0
d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B = 2
2 27
D Bµi tËp ¸p dông
Bµi 1 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (3x – 1)2 - (5x + 3)2
b) (2x + y - 4z)2 - (x + y - z)2 c) ( x2 + xy)2 - (x2 – xy - 2y2)2 d) x4 - x2-2x-1
Bµi 2 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y víi x=88 vµ y=-76 b) B = x2 + xy – 7 x - 7y víi x=
4
3
7 vµ y=
5
2
2
Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 - (a + b)xy + aby2
b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
Bµi 4 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy – x + y
c) (x - z)2 - y2 + 2y – 1 d) x3 + y3 + 3y2 + 3y + 1
Gi¸o viªn: TrÇn v¨n Hïng 0914 960 2289
Trang 10Bài 5 Tính giá trị biểu thức sau:
A = x2 - 5x – 2xy + 5x + y2 + 4, biết x – y = 1
B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x – y + 1), biết x – y = 7
Bài 6 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (1 + x2)2 - 4x(1 – x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z 2
c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 - m2 + 2mn - n2
Bài 7 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x4 - 2x3 + 2x - 1
c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 d) x3 + 4x2 + 5x + 2
Bài 8 Tính giá trị biểu thức sau:
a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biết x - y=1
b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x – y +1), biết x - y=7
Bài 9 Cho x = y = z = 0 Chứng minh rằng x3+ x2y - y2x – xyz + y3 = 0
Bài 10 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì.
2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0
Bài 11 Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8
Bài 12 Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho đa thức:
f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 là bình phơng đúng của
đa thức g(x) = x2 + cx + d
Bài 13 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 - 8)2 + 36
b) 81x4 + 4 c) x5 + x + 1 Bài 14 Phân tích đa thức thành nhân tử
A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20
B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y – 35
C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2
Bài 15 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12
b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
Bài 16 Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0
a)
2 7 3
2 5 3
2 2
x x
x
x b)
2 4
2 2
) 3 ( ) 4 (
) 12 7 (
x x
x x
2
4 4
3 2 4 2
2 4
3 2
2 2
x
x x x
x x
x x
x x
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức đợc xác định
b) Tính giá trị của A biết 2x 1 3
4
12 10 2
3
2
x x
x
b) Tìm các số nguyên x để
16 16 8
4
16
2 3 4
4
x x
x x
Bài 19 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y – 1 b) x2 + 4y2 - 4xy - z2 + 6z - 9
Bài 20 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
các biến: (x + y – z - t)2 - (z + t – x - y)2