Phan tich da thuc Hay tuyet Xem va dong gop y kien Cam on

T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh a... Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.[r]

phân tích đa thức thành nhân tử.

(Thùc hiƯn tiÕt)

A ThÕ nµo phân tích đa thức thành nhân tử ?

Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức v a thc khỏc

Bài toán

Trong cách biến đổi đa thức sau đây, cách phân tích đa thức thành nhân tử ?Tại cách biến đổi cịn lại khơng phải phân tích đa thức thành nhân tử ?

2x2 + 5x – = x(2x + 5) - (1) 2x2 + 5x – = x(2x + -

x ) (2) 2x2 + 5x – = 2(x2 +

2 x -

2 ) (3) 2x2 + 5x – = (2x - 1)(x - 3) (4) 2x2 + 5x – = 2(x -

2 )(x + 3) (5)

B Những phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử? - Phơng pháp đặt nhân tử chung

- Phơng pháp dùng đẳng thức - Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Một số phng phỏp khỏc nh :

- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phơng pháp thêm bớt hạng tử

- Phng phỏp giảm dần luỹ thừa số hạng có bậc cao - Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến)

- Phơng pháp hệ số bất định - Phơng pháp xét giỏ tr riờng

- Phơng pháp tìm nghiệm đa thức

Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung

 Nội dung phơng pháp đặt nhân tử chung ? Phơng pháp

này dựa tính chất phép tốn đa thức? Có thể nêu ra một cơng thức đơn giản cho phơng pháp không ?

 Nếu tất hạng tử đa thức có nhân tử chung đa thức biểu diễn đợc thành tích nhân tử chung với đa thức khác

 Phơng pháp dựa tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức

C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C + + F)

Phơng pháp: Tìm nhân tử chung. - Lấy ƯCLN hệ số

- Lấy biến chung có mật tất hạng tử - Đặt nhân tử chung ngoặc theo công thức AB + AC + + AF = A(B + C +… + F)

Chú ý:

- Phơng pháp áp dụng hạng tử đa thức có nhân tư chung

- Nhiều muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu số hạng cách đa số hạng vào ngoặc đa vào ngoặc đằng trớc có dấu cộng trừ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 3x2 + 12xy

b) 5x(y + 1) – 2(y + 1)

c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y). Gi¶i

b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y).

Phơng pháp 2: Dùng đẳng thức

 Nội dung phơng pháp dùng đẳng thức ?

Nếu đa thức vế đẳng thức đáng nhớ dùng đẳng thức để biểu diễn đa thức thành tích đa thức

 Phơng pháp dùng đẳng thức: - Nhận dạng đẳng thức

- Kiểm tra xem có phải đẳng thức khơng

 Chú ý: Nhiều phải đổi dấu áp dụng đợc đẳng thức. Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2 – 4x + b) 8x3 + 27y3 c) 9x2 – (x - y)2. Gi¶i

a) x2 – 4x + = (x - 2)2

b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)

c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x –x +y)(3x + x - y) = (2x + y)(4x - y)

VÝ dô 2

a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 HD: nhóm hạng tử đầu a3 + b3

= 3(x – z)(x- y)(z – y) b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3

= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) c, a3 + b3 + c3 – 3abc

= (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c)

= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) d, x3 + y3 – z3 + 3xyz

= (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) =

Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử

Nội dung phơng pháp nhóm nhiều hạng tử ?

Nhúm nhiều hạng tử đa thức cách hợp lí để đặt đợc nhân tử chung dùng đợc đẳng thức đáng nhớ

 Chó ý:

- Mét ®a thøc cã thĨ cã nhiỊu c¸ch nhãm

- Sau nhóm ta áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng đẳng thức để xuất nhân tử chung đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x2 – 2xy + 5x – 10y b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2

Gi¶i

a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y)

= x(x – y) + (x – 2y) = (x – y)(x + 5) b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2

= x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x – 3y)(x + 2y)

c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2)

= (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( 2x +y) = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y).

 Khi cần phân tích đa thức thành nhân tử, đợc dùng riêng rẽ từng phơng pháp hay dùng phối hợp phơng pháp ?

Có thể dùng phối hợp phơng pháp biết Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) a3 – a2b – ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 c) 27x3y – a3b3y. Gi¶i

a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b)

b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c+ 4)(c2 – 4c + 16). c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 – 3ab + a2b2).

KiÕn thøc N©ng cao.

Phơng pháp 5: Phơng pháp tách

Khi phân tích đa thức : ax2 + bx + c thành nhân tử

Cách 1: Tách ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c Víi b = b1+ b2 b1.b2 = a.c

Cách 2: Tách ax2 + bx + c = X2 - B2 VÝ dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 2x2 – 3x + 1. b) 6x2 + x – 2 c) x2 – 2x - 3

Gi¶i

a) 2x2 – 3x + = 2x2 – 2x – x + = 2x(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(2x – 1) b) 6x2 + x – = 6x2 + 4x – 3x – = 2x(3x + 2) – (3x + 2)

= (3x + 2) (2x – 1) c) x2 – 2x - = x2 + x – 3x – =

VÝ dơ 2: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử.

a) x2 2x – 3

b) x2 – 10x + 16

Gi¶i

a)x2 – 2x – = x2 – 2x + – = (x- 1)2 – 22 = (x – 3)(x+1)

b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – = (x – 5)2 – 32 = (x – 8)(x 2)

Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tö. a) y4 + 64.

b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a)

Gi¶i

a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) - (4y)

= (y2 + - 4y)(y2 + 8 + 4y).

b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

= x( y2 – x2) + x(x2 – z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2)

= (y2- x2) ( x – z) + (x2 – z2)(x – y) = (y – x)( x – z) (y +x – x – z) c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a)

=

= (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca)

Phơng pháp 7: Đặt biÕn phơ

 Trong đa thức có biểu thức xuất nhiều lần ta đặt biểu thức làm biến phụ đa đa thức đơn giản Sau phân tích đa thức nhân tử lại thay biến cũ vào tiếp tục phân tích

VÝ dô 1:

A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) -5

C , ( x2 – 2x + 2)4 – 20x2(x2 – 2x + 2)2 + 64 x4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15

E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 F , (x2 + x)(x2 + x + 1) 2. Giải

A.Đặt y = x2 + 4x + råi dïng ph¬ng pháp tách phân tích Kết quả: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)

B đặt y = x2 + 3x +1

B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.Đặt y = x2 2x + 2

C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2) D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15

= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F (x2 + x)(x2 + x + 1) – (*)

Đặt(x2 + x) = y Thì (*) trë thµnh: y(y + 1) – = y2+ y - – = (y2 - 1) + (y – 1)

= (y+ 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y+ 2) (**)

Thay trë l¹i vµo (**) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). VÝ dô 2:

a (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24

b 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2

HD:

c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2

= (x2 +xy+xz)(x2 +xy +xz +yz)+ y2z2 (Đặt t = x2 +xy+xz)

= 4t (t + yz) + y2z2 = (2t + yz)2

VÝ dô 3: Giải phơng trình

a (2x2 + x)2 – 4(2x2 + x) + = 0 b (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24 =

HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt vỊ d¹ng PT tÝch

a  (t - 1)(t- 3) =

* t =  2x2 + x =  (x +1)(2x-1)= 0 * t =  2x2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0

Phơng pháp 8: Phơng pháp xét giá trị riêng Kiến thức:

1 x = a nghiệm đa thức f(x) f(a) = x = a nghiệm đa thức f(x) => f (x) (x a) 

Nếu đa thức bị chia a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thứ chia x - a ta đợc thơng b0x2 + b1 x + b2 Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có:

a0 a1 a2 a3

a b0 = a0 b1 = ab0 + a1 b2 = ab1 + a2 r = ab2 + a3

 Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử.

Đối với tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c, muốn xét xem đa thức có phân tích đợc thành nhân tử hay khơng thờng dùng phơng pháp sau:

- TÝnh  = b2 – 4ac

- Nếu  phân tích đợc

- Nếu  < khơng phân tích đợc

VÝ dơ 1: f(x) = x3 –x2 - 4

Lần lợt kiểm tra với íc cđa – lµ 1, - 1, 2, - 2, - 4, f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - = - => x= -1 nghiÖm. f(1) = (1)3- (1)2 - = - => x = nghiệm. f(2) = 23 - 22 - = 0.

f(-2) = -16 => x = - nghiệm f(4) = 44 => x = nghiÖm f(- 4) = - 48 => x = - nghiệm

a thc có nghiệm x = đa thức chứa thừa số (x – 2) Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x2 – x + 2).

VÝ dô 2:

Ph©n tÝch f(x) = x3 – 2x – 4 Gi¶i

Ta cã f(2) = => x = nghiệm đa thức f(x) => f (x) (x 2) 

=> f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2)

VÝ dô 3: g(x) = 4x3 – 7x2 – x – 2 = (x - 2)(4x2 + x +1)

VÝ dô 4 : H(x) = x3 – x2 – 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4)

VÝ dô 5

P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y).

Ta thấy thay x y, y z, z x đa thức P khơng thay đổi Do đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x) (k số)

=> P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x) §óng víi mäi x, y, z, nên ta cho biến x, y, z giá trị riêng,

chng hn x = 2, y = 1, z = (giá trị riêng biến x, y, z tuỳ chọn cho (x - y)(y - z)( z - x)  0) Ta đợc: k = -1

VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x) = (y - x)(y - z)( z - x)

VÝ dô 6

A = x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) Gi¶i

+.NÕu x = y => A = => A  (x - y)

+.V× vai trò x,y,z nh

nh

ân céng

=>A  (y-z); (z-x)

=>A  (x - y)(y-z)(z-x)

+.Vì có bậc cao bậc (x - y)(y-z)(z-x) => A = k (x - y)(y-z)(z-x) với x, y, z Cho x = 0; y = 1; z = thay vào => k =

VËy A = (x - y)(y-z)(z-x)

VÝ dô 7

P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)

HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1

Phơng pháp 9: Phơng pháp hệ số bất định

VÝ dơ 1: Ph©n tÝch : x3 – 15x 18 thành đa thức bậc bậc hai Gi¶i

Giả sử đa thức đợc phân tích x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c)

 x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac

Đồng đa thức vế ta đợc:

a b 0(1) ab c 15(2) ac 18(3)

  



  

  

Tõ (3)chän a = 3; c = -6; b = -3 thoả mÃn (2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6)

VÝ dô 2

Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thành đa thức bậc bậc hai Gi¶i

Giả sử đa thức đợc phân tích x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c)

 x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac

Đồng đa thức ta có

a b 0(1) ab c 19(2) ac 30(3)

  



  

  

Tõ (3) chän a = c =- 15; b = -2 thoả mÃn (2) VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15)

VÝ dô 3

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Gi¶i

Ta thấy x 1; không nghiệm đa thức

đa thức nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ,

nên đa thức có dạng

Để phân tích đa thức thành thừa số phải có dạng:

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x2 +(ad + bc)x + bd. Đồng đa thức với đa thức cho, ta đợc hệ điều kiện:

{ac+ab++cd==612

ad+bc=−14

bd=3



¿ ¿ ¿

a+c=−6

ac=8

a+3c=−14

¿ ¿

 { a=−2

b=3

c=−4

d=1

VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3).

C¸ch 2

= x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3).

VÝ dô 4

a x3 + 4x2 + 5x +2

b 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8

Gi¶i

a.ta cã x = - 1; x = -2 nghiệm đa thức => x3 + 4x2 + 5x +2  (x+1);(x+2)

=> x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) b =

b.Ta cã x = 2; x = -1 nghiệ đa thức => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 (x+1);(x-2)

=> 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b) §ång nhÊt ®a thøc ta cã a = -1; b =-

Phơng pháp 10: Phơng pháp hạ bậc Ví dụ 1:

a) a5 + a +1 Gi¶i

a) a5 + a +1= a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) = ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1) C ứng dụng

Việc phân tích đa thức thành nhân tử có ích cho việc giải toán tìm nghiệm đa thức, chia đa thức, rút gọn đa thức

I Tìm x

Ví dụ Giải phơng trình sau:

a) 2(x + 3) – x(x + 3) = b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = c) x2 + 5x = 6.

Gi¶i a) 2(x + 3) – x(x + 3) =  (x + 3)(2 – x) = 

x+3=0

2− x=0

¿



x=−3

x=2

¿

S ={-3; 2}

b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) =  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) =  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) =  (x + 3)(x2 - 3x + + x – 9) =

 (x + 3)(x2 - 2x) =  x(x + 3)(x - 2) =



x=0

x+3=0

x −2=0

¿ ¿ ¿



x=0

x=−3

x=2

¿ ¿ ¿

S ={-3; 0; 2}

 x (x - 1) + 6(x – 1) =  (x + 6)( x – 1) = 

x+6=0

x −1=0

¿



x=−6

x=1

¿

S = {-6; 1} VÝ dô Giải phơng trình sau

a (x2 + 2x)2 – x2 – 2x – = 0

b x4 – x3 – x2 – x – = [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0]

c x3 – 2x2 – 9x +18 = [(x-3)(x+3)(x-2) = ] VÝ dụ Tìm cặp số (x; y) thoả mÃn

a x2 + y2 = 0

b (x-1)2 + (y+2)2 = 0

c 4x2 + y2 – 2(2x+y – 1) = 0

d x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1

e 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0 HD:

Đa dạng A2 + B2 =

A B      

e.(x -y)2 + x2(y +1)2 =

2

x y

x

 

  



 hc

x y y

 

 

  

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phơng trình a.x+ xy + y + =

b x + y = xy c x2 + 21 = y2

HD: Biến đổi dạng X.Y = a (const) => X, Y  Ư(a)

VÝ dô Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình a x2 + 21 = y2

b.(x + 1)y – 2x =

HD: a  (y- x)(y+ x) = 21 >

 y +x > y – x >



y x y x

 

 

 

 hc

y x 21 y x

 

 

II.Tính giá trị biểu thức

Phơng pháp : Thu gọn biểu thức

Tìm giá trị biến thay vào Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức

A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = -1/2 + Rót gän A = 4x2 + 20

+.Thay A = 21

Ví dụ Tính giá trị biểu thức.

a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = A = (3x + 7)2= 100

b) B =

2

5x - 2xy + y

25 víi x= 

: y = - B =

2 5 x y     

  = 0

c) C =

3 2

x x y xy y

+ + +

e) E = x - 9x + 27x - 273 víi x = 13 E =

g) G =         

3 3

x -1 - 4x x -1 x +1 + x -1 x + x +1

víi x = -

G = -3x + 7x - 42

h) H =       

2

x -1 x - x + x +1 + 2x + x

víi x =

H =   

3

x -1 x -

= VÝ dô : Cho x – y = TÝnh

A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37

B = x2(x + 1) – y2 (y - 1) + xy – 3xy(x –y + 1) – 95 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 )

VÝ dô 4:

a) Cho x + y = 7, tính giá trị biểu thøc

M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441. b) Cho x - y = - 5, tính giá trị biểu thøc

N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 VÝ dụ 5

Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) P = 0

b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) Q = - 8 c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) A = 0 d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B = 2

e) M =

2

1 1

+ 2x 4x - x 8x

3 27

     

  

     

      M =

2 27 D Bµi tập áp dụng

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) (3x 1)2 - (5x + 3)2 b) (2x + y - 4z)2 - (x + y - z)2 c) ( x2 + xy)2 - (x2 – xy - 2y2)2 d) x4 - x2-2x-1

Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y víi x=88 vµ y=-76 b) B = x2 + xy – x - 7y víi x= 73

4 y= 22

5

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 - (a + b)xy + aby2 b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)

c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy – x + y c) (x - z)2 - y2 + 2y – d) x3 + y3 + 3y2 + 3y + 1 Bµi Tính giá trị biểu thức sau:

A = x2 - 5x – 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x – y = 1

B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x – y + 1), biÕt x – y = 7. Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (1 + x2)2 - 4x(1 – x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z 2

c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 - m2 + 2mn - n2 Bài Phân tích đa thức thành nhân tö

c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + d) x3 + 4x2 + 5x + 2 Bài Tính giá trị biểu thøc sau:

a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biÕt x - y=1

b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x – y +1), biÕt x - y=7 Bµi Cho x = y = z = Chøng minh r»ng x3+ x2y - y2x – xyz + y3 = 0

Bµi 10 Chøng minh r»ng a, b, c ba cạnh tam giác 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0.

Bài 11 Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8 Bµi 12 Tìm hệ số a,b,c,d cho đa thức:

f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + bình phơng của đa thức g(x) = x2 + cx + d

Bµi 13 Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 - 8)2 + 36

b) 81x4 + c) x5 + x + 1 Bài 14 Phân tích đa thức thành nhân tử

A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y – 35 C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 Bµi 15 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24

Bài 16 Tìm giá trị x để phân thức sau

a) 3x

2

+5x −2

3x2−7x

+2 b)

x2−7x+12¿2 ¿

x −3¿2

x −4¿4−¿ ¿ ¿ ¿

Bµi 17 Cho biĨu thøc: A= [x2

+ 4x

2

x2−4].[ x+2

2x −4+

2−3x x3−4x

x2−4

x −2]

a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức đợc xác định b) Tính giá trị A biết |2x −1|=3

Bài 18 a) Tìm x để 2x

2

+10x+12

x3−4x =0

b) Tìm số nguyên x để x

4

−16 x4−4x3

+8x2−16x+16 cã gi¸ trị nguyên

Bài 19 Phân tích đa thức thành nh©n tư a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y – b) x2 + 4y2 - 4xy - z2 + 6z - 9