ÔN TOÁN 10

TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC CÁC BÀI TỐN ƠN THI HKII VÀ THI VÀO LỚP 10 Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD (O) (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) F, tia DA cắt đường tròn (O) E CE DF cắt M a) Chứng minh: EFC = EDC b) Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp c) Qua A kẻ đường thẳng song song với OO’ cắt CE DF M K Chứng minh HEFK nội tiếp d) Gọi I trung điểm CD N điểm đối xứng A qua I Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD Hướng dẫn giải: a) Chứng minh FED = FCD Ta có: + CED = 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) + CFD = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) Suy ra: CED = CFD ( = 900 ) ⇒ Tứ giác CEFD nội tiếp (2 đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) ⇒ EFC = EDC (2 góc nội tiếp chắn cung EC đt (CEFD)) @ b) Chứng minh OEFO’ nội tiếp Ta có: + O trung điểm AC (AC đk (O)) + O’ trung điểm AD (AD đk (O’)) Suy OO’ đường trung bình tam giác ACD ⇒ OO′ // CD ⇒ EO′O = EDC (đồng vị) Mà EFC = EDC ( cmt ) , nên EO′O = EDC Suy tứ giác OEFO’ nội tiếp (góc ngồi góc đối diện) @ GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC c) Chứng minh tg HEFK nội tiếp Vì HK // OO’(gt) OO’ //CD (cmt) nên KH // CD, suy EHK = ECD (1) (đồng vị) Tứ giác EFDC nội tiếp (cmt) ta có: EFK + ECD = 180o (2) Từ (1) (2), suy ra: EHK + EFK = 180o ⇒ tứ giác EFKH nội tiếp (hai góc đối bù nhau) @ d) Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Vì N điểm đối xứng A qua I nên I trung điểm AN Tứ giác ADNC có hai đường chéo AN CD cắt trung điểm I đường nên hình bình hành Suy ND // CA NC // AD ( ) ( Mà CA ⊥ MD CFD = 90o , AD ⊥ MC DEC = 90o ) Nên ta có: ND ⊥ MD, NC ⊥ MC ⇒ MCN = MDC = 90o Tứ giác MCND có MCN + MDN = 90o + 90o = 180o nên tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) Suy N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD @ Bài 2: Cho đường tròn (O; R) có dây BC = R Vẽ đường tròn (M) đường kính BC Lấy điểm A ∈ ( M ) ( A (O)) AB, AC cắt (O) D E Vẽ đường cao AH tam giác ABC, AH cắt DE I a) Chứng minh AD AB = AE AC b) Chứng minh I trung điểm DE c) AM cắt DE K Chứng minh IKMH nội tiếp AH d) Tính DE tỉ số theo R AK e) Tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE lớn Hướng dẫn giải: a) Chứng minh AD AB = AE AC Ta có tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn (O) nên ADE = ACB Xét ΔADE ΔACB có: + ADE = ACB ( cmt ) GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC + Góc A chung Suy ΔADE ∼ ΔACB ( g g ) AD AE = ⇒ AD AB = AE AC AC AB b) Chứng minh I trung điểm DE ⇒ Ta có : BAC = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (M)) Và AHB = 90o ( AH ⊥ BC ) Suy DAI = ACB ( phụ với ABC ) Mà ADI = ACB ( cmt ) Suy ADI = DAI ⇒ tam giác ADI cân I Suy ID = IA.(1) Chứng minh tương tự ta có IE = IA (2) Từ (1) (2) suy ID = IE hay I trung điểm DE c) Chứng minh tứ giác IKMH nội tiếp Ta có MA = MC ( A, C thuộc (M)) suy tam giác MAC cân M ⇒ MAC = ACM Ta có AEK = ABC Từ đó: KAE + AEK = ABC + ACB = 900 ⇒ AKE = 90o ⇒ IKM = 90o Xét tứ giác IKMH có IHM + IKM = 900 + 90o = 180o nên tứ giác nội tiếp (2 góc đối bù nhau) AK d) Tính DE AH Vẽ đường kính CF đường tròn (O), ta có FBC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tam giác vng BCF ta có: sin BFC = BC R 3 = = ⇒ BFC = 60o CF 2R Tứ giác BDCE nội tiếp đường tròn (O) nên ta có ADC = BFC = 60o DE AD AD Ta có ΔADE ∼ ΔACB ( cmt ) ⇒ = ⇒ DE = BC BC AC AC AD = cot g ADC = cot g 60o = Trong tam giác vng ADC có AC 1 = R = R 3 Xét tam giác ADK tam giác ACH có : Suy ra: DE = BC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC ⎧ ADK = ACH ( cmt ) ⎪ ⎨ o ⎪⎩ DKA = AHC ( = 90 ) Suy ΔADK ∼ ΔACH ( g g ) AK AD = = AH AC e) Tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE lớn nhât ⇒ S ⎛ AD ⎞ Ta có ΔADE ∼ ΔACB ⇒ ADE = ⎜ ⎟ = ⇒ S ADE = S ABC S ACB ⎝ AC ⎠ 3 1 R 3R AH BC ≤ AM BC = R = 2 2 Nên S ADE ≤ R Dấu “ = “ xảy AH = AM ⇔ H ≡ M ⇔ A điểm cung BC đường tròn (M) Vậy diện tích tam giác ADE lớn R A điểm cung BC đường tròn (M) Mà S ABC = Bài 3: Cho hình vng ABCD cố định E điểm di động cạnh CD ( khác C D) Tia AE cắt đường thẳng BC F Tia Ax vng góc với AE A cắt đường thẳng DC K BD cắt KF I a) Chứng minh: CAF = CKF Chứng minh: IDF = IEF Chứng minh tamg giác KAF vuông cân Chứng minh I trung điểm KF Gọi M giao điểm BD AE Chứng minh IMCF nội tiếp ID f) Chứng minh điểm E thay đổi cạnh CD tỉ số khơng đổi Tính tỉ số CF Hướng dẫn giải: b) c) d) e) a) Chứng minh: CAF = CKF Ta có KAF = 90o ( AK ⊥ AF ) KCF = 90o (ABCD hình vng), GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC suy KAF = KCF ( = 90o ) ⇒ tứ giác ACFK tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Do đó: CKF = CAF b) Chứng minh: IDF = IEF Tứ giác ACKF nội tiếp nên ta có: AFK = ACK mà ACK = 45o , BDC = 45o (ABCD hình vng) suy ra: AFK = BDC ( = 45o ) Do tứ giác IDEF tứ giác nội tiếp (góc ngồi góc đỉnh đối diện), suy IDF = IEF c) Chứng minh tamg giác KAF vuông cân Tam giác AKF vuộng A (gt) có AFK = 45o ⇒ AKF = 45o nên tam giác vuông cân A d) Chứng minh I trung điểm KF Xét tứ giác ABFI có: + AFI = 450 ( cmt ) + ABI = 45o (ABCD hình vng) Suy ABFI tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Khi đó: AFI + ABI = 180o ⇒ AFI = 180o − ABI = 180o − 90o = 90o ⇒ AI ⊥ KF Tam giác AKF cân có AI đường cao nên trung tuyến, suy I trung điểm KF e) Chứng minh IMCF nội tiếp Xét tam giác BAM tam giác BCM có: + AB = BC (ABCD hình vng) + ABM = CBM (ABCD hình vng) + BM chung Suy ΔBAM = ΔBCM ( c.g c ) BAM = BCM Mà BAM = BIF (ABFI nội tiếp) Nên BCM = BIF Suy tứ giác IMCF nội tiếp (Góc ngồi góc đỉnh đối diện) ID f) Chứng minh tỉ số khơng đổi CF Ta có: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC ⎧⎪ ADB = 45o ⇒ ADI = 180o − ADB = 135o ⎨ o o o ⎪⎩ ACB = 45 ⇒ ACF = 180 − ACF = 135 ⇒ ADI = ACF Xét tam giác ADI tam giác ACF có: + ADI = ACF + AID = AFC (ABFI nội tiếp) DI AD = CF AC AD Trong tam giác vng cân ADC có : = sin ACD = sin 45o = AC Suy ΔADI ~ ΔACF ( g.g ) ⇒ Do đó: DI = không đổi CF Bài 4: Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C hai tiếp điểm) Vẽ CD ⊥ AB D cắt (O) E Vẽ EF ⊥ BC F EH ⊥ AC H Gọi M giao điểm DF BE, N giao điểm HF CE a) Chứng minh tứ giác EFCH, EGBD nội tiếp b) Chứng minh EF = ED.EH c) Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp d) Chứng minh MN ⊥ EF Hướng dẫn giải: a) Chứng minh tứ giác EFCH, EGBD nội tiếp Ta có: o ⎪⎧ EFC = 90 ( EF ⊥ BC ) ⎨ o ⎪⎩ EHF = 90 ( EH ⊥ AC ) ⇒ EFC + EHC = 180o Suy tứ giác HEFC nội tiếp (hai góc đối bù nhau) Chứng minh tương tự ta có tứ giác EFBD nội tiếp GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Chứng minh EF = ED.EH Ta có: + EFH = ECH (1) (Tứ giác EFCH nội tiếp) + EDF = EBF (2) (Tứ giác EFBD nội tiếp) + ECH = EBF (3) (Góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) ( Từ (1), (2) (3) ta có: EFH = EDF = EFH = EDF ( ) Chứng minh tương tự ta có: EFD = EHF = ECF = EBD ) Xét tam giác EHF tam giác EFD ta có: ⎧⎪ EHF = EFD ( cmt ) ⎨ ⎪⎩ EFH = EDF ( cmt ) EH EF = ⇒ EF = ED.EH EF ED c) Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp Theo câu b ta có: ⇒ ΔEHF ~ ΔEFD ( g g ) ⇒ ⎧⎪ EFN = EBC ⎨ ⎪⎩ EFM = ECB ⇒ EFN + EFM + MEN = EBC + ECB + MEN ⇔ MFN + MEN = 180o Suy tứ giác EMFN nội tiếp (hai góc đối bù nhau) d) Chứng minh MN ⊥ EF Tứ giác EMFN nội tiếp nên ta có: EMN = EFN Mà EFN = EBC ( cmt ) ⇒ EMN = EBC mà hai góc đồng vị nên ta có MN // BC Mà EF ⊥ BC ( gt ) ⇒ EF ⊥ MN Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường kính CD ( khơng vng góc với AB) AC AD cắt tiếp tuyến B (O) M N Gọi I trung điểm AD a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Chứng minh AI AN = R c) Chứng minh CDM = CNM d) Gọi K trung điểm MN Chứng minh AK ⊥ CD e) Gọi F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Tính KF theo R Suy F thuộc đường thẳng cố định đường kính CD thay đổi Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp Ta có I trung điểm dây cung AD, suy OI ⊥ AD (liên hệ đk dây cung) ⇒ OIN = 90o MN tiếp tuyến (O) B, suy OB ⊥ MN ⇒ OBN = 90o Tứ giác OINB có OIN + OBN = 180o nên tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) b) Chứng minh AI AN = R Xét tam giác AIO tam giác ABN có: + Góc BAN chung + AIO = ABN ( = 90o ) Suy ΔAIO ~ ΔABN ⇒ AI AO = ⇒ AI AN = AO AB = R AB AN c) Chứng minh CDM = CNM Ta có ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: ABC = CMN (cùng phụ với CBM ) Mà ABC = ADC (góc nội tiếp chắn cung AC) Nên ta có: ADC = CMN Do tứ giác CDNM nội tiếp (góc ngồi góc đối diện) d) Chứng minh AK ⊥ CD MN Gọi P giao điểm AK CD Ta có MAN = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Tam giác AMN vuông A ( MAN = 90o ) có AK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MN nên ta có: AK = MN = KN Suy tam giác KAN cân K ⇒ KAN = ANK Ta có ADC = AMN (cmt) Do đó: KAN + ADC = AMN + ANM = 90o , suy APD = 90o ⇒ AK ⊥ CD e) Tính KF theo R Suy F thuộc đường thẳng cố định đường kính CD thay đổi Tứ giác CDNM nội tiếp điểm C, D, N, M nằm đường tròn Mà (F) đường tròn ngoại tiếp tam giác CNM,do C, D, N, M thuộc (F) Ta có K trung điểm MN, O trung điểm CD suy FK ⊥ MN , FO ⊥ CD Tứ giác AOFK có: + AO // FK (cùng vng góc với MN) + AK // OF (cùng vng góc với CD) Suy AOFK hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song), suy FK = AO = R Vì KF ⊥ MH (tại K) FK = R nên F thuộc đường thẳng d song song với MN cách MN khoảng R (d khác phía A đt MN) Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA cắt AH D a) Chứng minh BC trung trực AD Suy CD tiếp tuyến (B) b) Gọi I điểm đối xứng B qua AH Đường thẳng AI cắt CD E Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp c) Gọi F hình chiếu A lên BD Chứng minh BD DF = DE DC Suy CEBF tứ giác nội tiếp d) Cho AB = a, AC = 2a Tính diện tích tam giác DEH theo a Hướng dẫn giải: a) Chứng minh BC trung trực AD Suy CD tiếp tuyến (B) Ta có BA = BD (A, D thuộc (B)) suy tam giác BAD cân B Mà BH GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC đường cao nên đường trung trực AD Do BC đường trung trực AD Xét ΔBDC ΔBAC có: + BD = BA + BC chung + CD = CA (C thuộc đường trung trực AD) Suy ΔBDC = ΔBAC ( c.c.c ) ⇒ BDC = BAC = 90o ⎧⎪CD ⊥ BD suy CD tiếp tuyến đường tròn (B) Ta có: ⎨ ⎪⎩ D ∈ ( B ) b) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp Xét tứ giác ABDI có: + H trung điểm AD + I trung điểm BI (I đối xứng với B qua H) Suy ABHI hình bình hành, từ ta có AI //BD ⇒ AEC = BDC = 90o Tứ giác AHEC có AHC = AEC ( = 90o ) nên tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau.) c) Chứng minh BD DF = DE DC Suy CEBF tứ giác nội tiếp Xét ΔDBH ΔDAF có: + Góc ADB chung + BHD = AFD ( = 90o ) Suy ΔDBH ~ ΔDAF ( g g ) ⇒ BD DH = ⇒ BD.DF = DH DA (1) DA DF Xét ΔDEA ΔDHC có: + Góc ADE chung + DHC = AED ( = 90o ) DE DA = ⇒ BE.DC = DH DA (2) DH DC Từ (1) (2) suy DB.DF = DE.DC Xét tam giác BDE tam giác BCF có : + Góc BDE chung BD DE = + ( DB.DF = DE.DC ) DC BF Suy ΔDEA ~ ΔDHC ( g g ) ⇒ ⇒ ΔBDE ~ ΔBCF ( c.g c ) ⇒ DEB = BFC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 10 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC ( ) 1 DKA + CKA = DKC = 90o 2 Do K thuộc đường tròn đường kính OI Từ ta có: OKI = AKO + IKA = Bài 8: Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đường tròn cho ) OA = 3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) với B, C hai tiếp điểm a) Chứng minh tứ giác OBAC tứ giác nội tiếp b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn (O) điểm D khác B Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) E khác D Chứng minh AB = AE AD c) Chứng minh: BC CE = AC BE (X) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD AC theo R Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác OBAC tứ giác nội tiếp Ta có OB ⊥ AB, OC ⊥ AC (AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O)) Suy ra: OBA = OCA = 90o Tứ giác OBAC có OBA + OCA = 90o + 90o = 180o nên tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) b) Chứng minh AB = AE AD Xét ΔABE ΔADB có: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 13 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC + góc BAD chung + ABE = ADB (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) AB AE Suy ΔABE ~ ΔADB ⇒ = ⇒ AB = AD AE AD AB c) Chứng minh: BC CE = AC BE Ta có ECB = BDA (góc nội tiếp chắn cung BE) Và EAC = BDA (so le trong) Suy EAC = ECB Xét tam giác ACE tam giác CBE có: + EAC = ECB (cmt) + ACE = CBE (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) AC CE = ⇒ AC.BE = CB.CE Suy ΔACE ~ ΔCBE ⇒ CB BE d) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD AC theo R Gọi K giao điểm CO BD, H giao điểm OA BC Ta có BD // AC BD // AC , OC⊥ AC ⇒ CO ⊥ BD K, CK khoảng cách hai đường thẳng BD AC Ta tính CK Vì AB, AC hai tiếp tuyến (O) nên ta có OA vng góc với BC H H trung điểm BC Tam giác ABO vng B có: AB = OA2 − OB = R − R = R ⇒ AB = 2.R OB AB 2 = R ⇒ BC = BH = R OA 3 Xét tam giác COH CBK có: + Góc OCH chung AH AO = OB AB ⇒ AH = + CHO = CKB ( = 90o ) 2 R R CH CO CH CB 16 3 = ⇒ CK = = = R Suy ΔCHO ~ ΔCBK ( g.g ) ⇒ CK CB CO R Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm K đường tròn b) Chứng minh OA ⊥ DE 14 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ http://truonglangtoi.wordpress.com Sưu tầm biên soạn TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC c) Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) M N, cắt đường thẳng BC F (D nằm E M) Chứng minh FE FD = FN.FM d) Cho BAC = 60o Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn Xét tứ giác BEDC có: BEC = BDC (90o CE BD hai đường cao tam giác ABC) nên BEDC tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) b) Chứng minh OA ⊥ DE Vẽ tia tiếp tuyến Ax đường tròn (O) Khi ta có: xAB = ACB (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) Mặt khác AED = ACB (BEDC nội tiếp) Do xAB = AED mà hai góc vị trí đồng vị nên Ax//ED Hơn OA ⊥ Ax (Ax tiếp tuyến (O)) Suy OA ⊥ DE c) Chứng minh FE FD = FN.FM Xét ΔFBE ΔFDC có: + AEB = ACD (tứ giác BEDC nội tiếp) + Góc BFE chung Suy ΔFBE ~ ΔFDC ( g g ) ⇒ FB FE = ⇒ FE.FD = FB.FC (1) FD FC Vì tứ giác BNMC nội tiếp (O) nên ta có FBN = FMC Xét ΔFBN FMC có: + Góc BFN chung + FBN = FMC (cmt) FB FN = ⇒ FM FN = FB.FC (2) FM FC Từ (1) (2) ta có FE.FD = FN FM Suy ΔFBN ~ ΔFMC ( g g ) ⇒ d) Cho BAC = 60o Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 15 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Tứ giác ADHD có: EHD + AEH + ADH + EAD = 360o ⇔ EHD + 60o + 90o + 90o = 360o ⇒ EHD = 120o ⇒ BHC = EHD = 120o Ta có: BOC = 2.BAC (góc tâm hai lần góc nội tiếp chắn cung) = 120o Tứ giác BHOC có BHC = BOC ( = 120o ) nên tứ giác nội tiếp (hai đỉnh nhìn cạnh hai góc nhau) Suy hình tròn ngoại tam giác BHC hình tròn ngoại tiếp tam giác BOC Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp (BHOC) Ta có IO = IB = IC suy ΔIBO = ΔICO ( c.c.c ) ⇒ IOB = IOC Mà IOB + IOC = BOC = 120o ⇒ IOB = 60o Tam giác BIO cân I có góc IOB = 60o nên tam giác đều.Suy IB = OB = R Vậy diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng: S( I ) = π IB = π R Bài 10: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn b) Hai tia BE CF cắt đường tròn (O) M D Chứng minh OA ⊥ NM EF //MN c) Gọi D điểm đối xứng H qua I chứng minh D thuộc đường tròn (O) d) Chứng minh diện tích tam giác AHI hai lần diện tích tam giác AOI Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn Tứ giác BFEC có BFC = BEC (BE CF hai đường cao tam giác ABC) nên tứ giác nội tiếp(hai đĩnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Ta có BEC = 90o nên suy BC đường kính (BFCE), tâm I đường tròn trung điểm BC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 16 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Chứng minh OA ⊥ NM EF //MN Vẽ tia tiếp tuyến Ax (O)suy OA ⊥ Ax xAN = ACN (1)(góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) Ta có ANM = ABM (góc nội tiếp chắn cung AM) Và ABM = ACN (góc nội tiếp chắn cung EF (BFEC)) Suy ANM = ACN (2) Từ (1) (2) ta có xAN = ANM mà hai góc vị trí so le nên Ax // MN, OA ⊥ Ax nên suy OA ⊥ MN Ta có MNC = MBC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Và EFC = MBC (tứ giác BFEC nội tiếp) Suy MNC = EFC mà hai góc vị trí đồng vị nên ta có MN//EF c) Chứng minh D thuộc đường tròn (O) Tứ giác HCDB có I trung điểm BC (cmt) I trung điễm HD (D điểm đối xứng H qua I) nên HCDB hình bình hành Do đó: CD //BH BD //CE Suy ACD = AEB (đồng vị) = 90o Và ABD = AFC (đồng vị ) = 90o Tứ giác ABDC có ABD + ACD = 90o + 900 = 1800 nên tứ giác nội tiếp (Hai góc đối bù nhau) Do D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay D thuộc (O) d) Chứng minh diện tích tam giác AHI hai lần diện tích tam giác AOI Ta có ACD = 90o nên AD đường kính (O) suy O trung điểm AD S AD Ta có AID = (cùng chiều cao hạ từ I) S AIO AO Và S AHI =2 = S ADI (cùng chiều cao hạ từ A đáy HI = IH) Do ta có S AHI = S AIO Bài 11: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh AE AB = AD AC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 17 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC c) Vẽ phân giác BAC cắt BC F, cắt (O) M Chứng minh AH // OM d) Tiếp tuyến A đường tròn cắt đường thẳng BC K Chứng minh: KF = KB.KC e) Đường thẳng DE cắt KC N Chứng minh CN AK = CK.ND f) Cho BAC = 60o ACB = 45o Tính AD, AC theo R Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp Tứ giác BEDC có BEC = BDC (BD CE hai đường cao tam giác ABC) nên tứ giác nội tiếp(hai đĩnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Ta có BEC = 90o nên suy BC đường kính (BEDE), tâm I đường tròn trung điểm BC b) Chứng minh AE AB = AD AC Xét ΔAEC ΔADB có: + Góc BAC chung + AEC = ADB ( = 90o ) Suy ΔAEC ~ ΔADB ( g g ) ⇒ AE AB = ⇒ AE AB = AD AC AD AC c) Chứng minh AH // OM Ta có BAM = CAM ( gt ) ⇒ BM = CM ⇒ MB = MC Hơn ta có OB = OC Do OM đường trung trực BC, suy OM ⊥ BC (1) Vì H giao điểm hai đường cao BD CE nên H trực tâm tam giác ABC, suy AH đường cao tam giác ABC, đó: AH ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ta có AH//OM d) Chứng minh: KA2 = KB.KC Xét tam giác KAB tam giác KCA có: + Góc AKC chung GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 18 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC + KAB = KCA (Góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung BC) KA KB = ⇒ KA2 = KB.KC Suy ra: ΔKAB ~ ΔKCA ( g g ) ⇒ KC KA e) Chứng minh CN AK = CK.ND Ta có AED = ABC (tứ giác BEDC nội tiếp) KAB = ACB (cmt) suy AED = KAB mà hai góc vị trí so le trong, ta có AK // ND Ta có DN //AK, áp dụng hệ định lý Thalet cho tam giác CAK ta có: CN DN = ⇒ CN AK = DN CK CK AK f) Cho BAC = 60o ACB = 45o Tính AD, AC theo R Ta có AOB = ACB = 90o (góc tâm lần góc nội tiếp chắn cung) Suy tam giác AOB vuông cân O ⇒ AB = OA2 + OB = R ⇒ AB = R Tam giác ADB vng cân D nên ta có: AD 1 R = cos BAD = cos 60o = ⇒ AD = AB = AB 2 BD AB R = sin BAD = sin 60o = ⇒ BD = = AB 2 Tam giác BDC có BDC = 90o DCB = 45o suy DBC = 45o ⇒ ΔBDC vuông cân D ⇒ DC = DB = Từ ta có: AC = AD + DC = R R R + = 2 ( R 2+ ) Bài 12: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C điểm cung AB, M điểm di động cung BC AM cắt BC K Vẽ CI vng góc với AM I cắt AB D a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiêp Suy số đo góc OID b) Chứng minh OI tia phân giác góc COM OI MB d) Khi M điểm cung BC Tính diện tích tứ giác ACIO theo R AM e) Nếu K trung điểm BC Tính BM c) Chứng minh hai tam giác CIO CMB đồng dạng Tính tỉ số: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 19 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiếp Ta có AC = BC ( gt ) suy CA = CB, tam giác ACB cân C Mặt khác có CO trung tuyến nên đường cao, suy COA = 90o Xét tứ giác ACIO có COA = CIA ( = 90o ) nên tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kể nhìn cạnh góc vng) Suy OID = CAO Ta giác OAC có OC = OA COA = 90o nên tam giác vuông cân, suy CAO = 45o Vậy OID = 45o b) Chứng minh OI tia phân giác góc COM Ta có: COI = CAI (tứ giác ACIO nội tiếp) Và CAI = COM (góc nội tiếp nửa góc tâm chắn cung CM) Suy ra: COI = COM , OI phân giác góc COM OI c) Chứng minh hai tam giác CIO CMB đồng dạng Tính tỉ số: MB Ta có CBM = CAM (2 góc nội tiếp chắn cung CM) Và CAI = COI (ACIO nội tiếp) Suy CBM = COI Chứng minh tương tự ta có: BCM = OCI Xét ΔCIO ΔCBM có: ⎧⎪COI = CBM ( cmt ) ⎨ ⎪⎩OCI = BCM ( cmt ) ΔCIO ~ ΔCMB ( g g ) d) Khi M điểm cung BC Tính diện tích tứ giác ACIO theo R GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 20 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Gọi H trung điểm OM BC Ta có MB = MC, OB = OC suy OM đường trung trực BC Khi OM ⊥ BC H H trung điểm BC OB R = =R Trong tam giác vng cân OBC có: BC = o sin OBC sin 45 OA.OB R2 R AH BC = OA.OB ⇒ AH = = = BC R Do MH = OM − OH = R − Khi S MCB ( R R 2− = 2 ( ) ) ( ) R 2− R2 − 1 = MH BC = R = 2 2 Ta có: ( ) 2 R2 − SCIO ⎛ OC ⎞ ⎛ R ⎞ 1 ΔCIO ~ ΔMCB ( cmt ) ⇒ =⎜ = ⇒ SCIO = S MCB = ⎟ = S MCB ⎝ BC ⎠ ⎜⎝ R ⎟⎠ 2 Và S AOC R2 = OA.OC = 2 ( ) ( ) 2 −1 R2 + R2 R Từ ta có: S ACIO = S AOC + SCIO = + = 4 AM e) Nếu K trung điểm BC Tính BM Gọi G giao điểm AM CO Trong tam giác ABC có AK CO trung tuyến cắt G nên G trọng tâm tam giác ACB Do CO = 3GO Ta có AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tam giác ΔMAB ΔOAG có: ⎧⎪ MAB chung ⎨ o ⎪⎩ AMB = AOG ( = 90 ) MA MB MA AO CO = ⇒ = = =3 OA OG MB GO GO Bài 13: Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường tròn Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (O) (B, C hai tiếp điểm) a) Chứng minh OA vng góc với BC ⇒ ΔMAB ~ ΔOAG ( g g ) ⇒ GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 21 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Vẽ cát tuyến AMN đường tròn (O) (M nằm A N) Gọi E trung điểm NM Chứng minh điểm A, O, E, C thuộc đường tròn Xác định tâm K đường tròn c) Tia CE cắt (O) I Chứng minh BI // MN d) Tìm vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Hướng dẫn giải a) Chứng minh OA vng góc với BC Ta có OB = OC (B, C thuộc (O)) AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy OA đường trung trực BC, OA ⊥ BC b) Chứng minh điểm A, O, E, C thuộc đường tròn Vì E trung điểm MN nên OE ⊥ MN (liên hệ đường kính dây cung) Xét tứ giác AEOC có: + AEO = 90o ( OE ⊥ AE ) + ACO = 90o (AC tiếp tuyến (O)) Suy AEO + ACO = 90o + 90o = 180o nên AEOC tứ giác nội tiếp Vậy điểm A, E, O, C thuộc đường tròn Hơn AEO = 90o nên AO đường kính trung điểm K AO tâm (AEOC) c) Chứng minh BI // MN Ta có ABO = 90o ( AB tiếp tuyến (O)) B thuộc đường tròn đường kính AO Từ ta có ABC = AEC (góc nội tiếp chắn cung AC (K)) GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 22 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Mặt khác ABC = BIC (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung) Do BIE = AEC , mà hai góc vị trí đồng vị nên ta có BI//AN d) Tìm vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Vẽ BE, IF vng góc với AN Khi ta có BIFE hình chữ nhật, suy BE = IF 1 Khi S AIN = IF AN = BE AN = S ABN (1) 2 Vẽ NH vng góc với AB (H thuộc AB) Khi S ABN = NH AB (2) Vẽ đường kính BN’, ta có NH ≤ NB ≤ N ′B (3) Từ (1), (2) (3) ta có S AIN ≤ AB.BN ′ không đổi Dấu “=” xảy N ≡ N ′ Vậy AN ≡ AN ′ diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn Bài 14: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Đường cao BE tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) K Kẻ KD vng góc với BC D a) Chứng minh điểm K, E, D, C thuộc đường tròn Xác định tâm đường tròn b) Chứng minh KB phân giác góc AKD c) Tia DE cắt đường thẳng AB I Chứng minh KI ⊥ AB d) Qua E kẻ đường thẳng vng góc với OA, đường thẳng cắt AB H Chứng minh CH // KI a) Chứng minh điểm K, E, D, C thuộc đường tròn Xét tứ giác KEDC có: + KEC = 90o (BE đường cao tam giác ABC) + KDC = 90o ( KD ⊥ CD ) Suy KEC = KDC ⇒ tứ giác KEDC nội tiếp hay điểm K, E, D, C thuộc đường tròn Hơn KEC = 90o nên CK đường kính GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 23 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QN ƠN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC đường tròn suy tâm trung điểm CK b) Chứng minh KB phân giác góc AKD Ta có AKB = ACB ( góc nội tiếp chắn cung AB (O)) Và BKD = ACB (2 góc nội tiếp chắn cung DE (EKCD)) Suy AKB = BKD ⇒ DB phân giác góc AKD c) Chứng minh KI ⊥ AB Ta có IAK = KCB (tứ giác AKCB nội tiếp (O)) Và IEK = KCD (tứ giác EKCD nội tiếp) Suy IAK = IEK ⇒ tứ giác IAEK nội tiếp Khi ta có: AIK + AEK = 180o ⇒ ΑΙΚ = 180o − AEK = 90o ⇒ KI ⊥ AB d) Chứng minh CH // KI Vẽ tiếp tuyến Ax (O), ta có: OA ⊥ Ax (1) xAB = ACB (2) (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) Mà OA ⊥ EH nên từ (1) ta có Ax // EH ⇒ xAH = AHE (3) (so le trong) Từ (2) (3) ta có AHE = ACB suy tứ giác HECB nội tiếp (góc ngồi góc đối diện) ⇒ BHC = BEC = 90o ⇒ CH ⊥ AB Bài 15: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH ⊥ BC H, vẽ MI ⊥ AC I a) b) c) d) Chứng minh IHM = ICM Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K Chứng minh MK ⊥ BK Chứng minh hai tam giác MIH MAB đồng dạng Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh KMEF nội tiếp Suy ME ⊥ EF Hướng dẫn giải: a) Chứng minh IHM = ICM Tứ giác MIHC có MIC = MHC = ( 90o ) nên tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Suy IHM = ACM GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 24 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Chứng minh MK ⊥ BK Ta có KAM = MCB (tứ giác AMCB nội tiếp (O)) Và MIK = MCB (tứ giác MIHC nội tiếp) Suy KAM = KIM ⇒ tứ giác KAIM nội tiếp Khi ta có: AKM + AIM = 180o ⇒ ΑΚM = 180o − AIM = 90o ⇒ MK ⊥ AK c) Chứng minh hai tam giác MIH MAB đồng dạng Ta có MAB + MCB = 180o (AMCB nội tiếp) Và MIH + MCB = 180o (MIHC nội tiếp) Suy MAB = MIH Ta có MBA = ACM (góc nội tiếp chắn cung AM (O)) Mà IHM = ACM (cmt) nên MBA = MHI Xét tam giác MAB tam giác MIH ta có: ⎧⎪ MAB = MIH ( cmt ) ⎨ ⎪⎩ MBA = MHI ( cmt ) Suy ΔMAB ~ ΔMIH ( g g ) d) Chứng minh KMEF nội tiếp Suy ME ⊥ EF MA AB = MI IH Mà AB = 2AF (F trung điểm AB) IH = 2IE (I trung điểm IH) MI AF AF Nên = = MA IE IE Ta có ΔMAB ~ ΔMIH ⇒ ⇒ ΔMAF ~ ΔMIE ( c.g c ) ⇒ MEI = MFA Xét tứ giác MKFE có MFK = MEK nên tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) Suy MEF + MKA = 180o ⇒ MEF = 180o − MKF = 90o ⇒ ME ⊥ EF Bài 16: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) D điểm thuộc cạnh AC Vẽ DE ⊥ BC E a) Chứng minh tứ giác ADEB nội tiếp Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Vẽ đường tròn tâm D bán kính DE cắt (O) F, BF cắt AD I, BD cắt AE K Chứng minh tứ giác AKIB nội tiếp c) Chứng minh: BI.BF = BK.BD GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 25 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC d) Trung tuyến AM tam giác ABC cắt BF N Chứng minh NA = NF Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ADEB nội tiếp Xét tứ giác ADEB có BAD + BED = 90o + 90o = 180o nên tứ giác nội tiếp đường tròn (hai góc đối bù nhau) Hơn BAD = 90o nên BD đường kính đường tròn trung điểm J BD tâm b) Chứng minh tứ giác AKIB nội tiếp Ta có BFD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (J)) Xét tam giác BDF BDE có: + BFD = BED ( = 90o ) + BD chung + DF = DE Suy ΔBDF = ΔBDE (cạnh huyền góc nhọn) ⇒ BDF = BED Mà BED = DAE (góc nội tiếp chắn cung DE (I)) Nên ta có: DAE = DBF ⇒ tứ giác AI KB nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) c) Chứng minh: BI.BF = BK.BD Vì tứ giác AIKB nội tiếp nên BAI + BKI = 180o ⇒ BKI = 180o − BAI = 90o Xét tam giác BKI tam giác BFD có: ⎧⎪ BKI = BFD ( = 90o ) ⎨ ⎪⎩ IBD chung BK BI = ⇒ BK BD = BI BF BF BD d) Chứng minh NA = NF ⇒ ΔBKI ~ ΔBFD ⇒ Tứ giác AFDB có BAD = BFD = 90o nên tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhình cạnh hai góc nhau) ⇒ AFN = ADB GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 26 http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Mà ADB = DBC + ACB (góc ngồi tổng hai góc khơng kề tam giác DBC) Suy AFN = DBC + ACB = FBD + ACB (1) (vì DBC = FBD ) Tam giác ABC vng A có AM đường trung tuyến nên ta có AM = BC = MC Suy tam giác MAC cân M ⇒ MAC = ACB (2) Tứ giác AFDB nội tiếp nên ta có FAD = FBD (3) Từ (2) (3) suy MAC + FAD = ACB + FBD ⇔ FAN = ACB + FBD ( ) Từ (1) (4) ta có AFN = FAN ⇒ ΔNAF cân N GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm biên soạn 27 http://truonglangtoi.wordpress.com ... đỉnh đối diện), suy IDF = IEF c) Chứng minh tamg giác KAF vuông cân Tam giác AKF vuộng A (gt) có AFK = 45o ⇒ AKF = 45o nên tam giác vuông cân A d) Chứng minh I trung điểm KF Xét tứ giác ABFI có:... (ABCD hình vuông) + BM chung Suy ΔBAM = ΔBCM ( c.g c ) BAM = BCM Mà BAM = BIF (ABFI nội tiếp) Nên BCM = BIF Suy tứ giác IMCF nội tiếp (Góc ngồi góc đỉnh đối diện) ID f) Chứng minh tỉ số không đổi... Sưu tầm biên soạn http://truonglangtoi.wordpress.com TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC suy KAF = KCF ( = 90o ) ⇒ tứ giác ACFK tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề