Ôn Tập Hình Học 1. Kiến thức cần nắm Nếu a r (x;y) và b r (x’;y’) thì a r . b r = x.x’ + y.y’ Nếu a r (x;y) thì | a r | = 2 2 x y+ Nếu ( ; ) A A A x y và ( ; ) B B B x y thì 2 2 | | ( ) ( ) B A B A AB AB x x y y= = − + − uuur . cos( ; ) | |.| | a b a b a b = r r r r r r * Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(x A ;y A ) và nhận 1 2 ( ; )u u u= r làm VTCP là: 1 2 ( ) A A x x u t t R y y u t = + ∈ = + * Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(x A ;y A ) và nhận ( ; )n a b= r làm VTPT là: a(x – x A ) + b(y – y A ) = 0 hay ax + by + c = 0 với c = -ax A – by A * Nếu d: ax + by + c = 0 thì d có VTPT là ( ; )n a b= r và d có VTCP là ( ; )u b a= − r hoặc ( ; )u b a= − r * Muốn xét vị trị tương đối giữa 2 đường thẳng khi biết phương trình của nó thì lập hệ gồm các phương trình đã cho giải hệ dựa vào số nghiệm để kết luận vị trí tương đối. * Nếu d: ax + by + c = 0 và d’ : a’x + b’y + c’ = 0 thì góc giữa d và d’ tính theo công thức: 2 2 2 2 | . ' . ' | cos( , ') . ( ') ( ') a a b b d d a b a b + = + + * Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và A(x A ;y A ) thì khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ được tính bởi công thức: 2 2 | | ( , ) A A ax by c d A a b + + ∆ = + * Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có dạng: (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 * Phương trình 2 2 2ax -2by + c = 0x y + − là pt đường tròn 2 2 0a b c ⇔ + − > * Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b) bán kính R tại tiếp điểm M o (x o ;y o ) có dạng: (x o -a)(x-x o ) + (y o -b)(y-y o )=0 * Phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết : + Tiếp tuyến đi qua điểm + Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: ax+by+c=0 + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: ax+by+c=0 2.Đường tròn: Phương trình chính tắc của đường tròn tâm ( ) 0 0 ;I x y ; bán kính R: 2 2 2 0 0 ( ) ( ) .x x y y R- + - = Phương trình tổng quát: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = với điều kiện 2 2 a b c+ > là phương trình của đường tròn tâm ( ) ;I a b ; bán kính 2 2 R a b c= + - Đường thẳng : 0ax by cD + + = tiếp xúc với đường tròn ( ) ;I R khi và chỉ khi: ( ) ;d I RD = . 3. Elip: Phương trình chính tắc của elip: 2 2 2 2 1 x y a b + = . Trong đó: 2 2 2 a b c= + Bán kính qua tiêu: 1 c MF a x a = + ; 2 c MF a x a = - 2 tiêu điểm: ( ) 1 ;0F c- ; ( ) 2 ;0F c 4 đỉnh: ( ) 1 ;0A a- ; ( ) 2 ;0A a ; ( ) 1 0;B b- ; ( ) 2 0;B b Độ dài trục lớn: 1 2 2A A a= Độ dài trục bé: 1 2 2B B b= Tiêu cự: 1 2 2F F c= Tâm sai: ( ) 1 c e e a = < Phương trình hai đường chuẩn: 2 a a x e c = ± = ± 4. Bài tập Bài 1: Cho A(-1, -1) ; B(1, 3) ; C(5, -1) a) Tìm toạ độ chân đường cao AA’ của ∆ABC ? b) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của ∆ABC ? c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và bán kính ? d) Tính số đo góc C của ∆ABC ? ĐS: a)(2, 2) b)H(1, 1); G( 3 5 , 3 1 ) c)(2, 0) ; 10 d) 4 π Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M(-3; 1) và N(7; 5). a) Hãy viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm M và N. b) Hãy viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường trung trực đọan MN. Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC biết A(-2 ; -3) ; B(1; 4) và C(2; 5) a) Hãy viết phương trình tổng quát các cạnh AB, BC, CA b) Hãy viết phương trình tham số của các đường cao AH, BH, CH. Tìm tọa độ trực tâm H. c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy viết phương trình tổng quát của các đường trung tuyến AD, BE, CF. Hãy viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của các đọan AB, BC, CA. d) Tính chu vi và diện tích ∆ABC. Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC biết A(3 ; 1) ; B(-2; 4) và C(-3; 7) a) Hãy viết phương trình tham số và tổng quát các cạnh AB, BC, CA b) Hãy viết phương trình tổng quát của các đường cao AH, BH, CH. Tìm tọa độ trực tâm H. c) Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy viết phương trình tham số của các đường trung tuyến AD, BE, CI. Hãy viết phương trình tham số của các đường trung trực của các đọan MN, MI, NI. d) Tính chu vi và diện tích ∆ABC. Bài 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M(2; 5) và có hệ số góc k = -7 Bài 6: Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua N(-3; 2) và chắn hai trục tọa độ hai đọan có độ dài bằng nhau. Bài 7: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a) đi qua A( 2; 3) và song song với đường thẳng ∆: 5x + 1 = 0; b) đi qua B(5;-7)và vuông góc với đường thẳng ∆: x + 3y – 6 = 0. Tìm giao điểm của d và ∆ Bài 8: Cho hai đường thẳng 1 2 3 : 1 x t d y t = − = + và 2 1 2 ' : 3 ' x t d y t = − − = − a) Tìm tọa độ giao điểm M của d 1 và d 2 b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của - Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d 1 . - Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d 2 . Bài 9: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau a) d: x + y – 2 = 0 và d’: 2x + y – 3 = 0 b) d: 1 4 2 2 x t y t = − = + và d’: 2x + 4y – 10 = 0 c) 1 5 : 2 4 x t d y t = − − = + và 6 5 ': 2 4 x t d y t = − + = − d) 1 2 : x t y t = − + = − V và 2 4 ' : 2 ' x t y t = = − V Bài 10: Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm I(1; 5) và tiếp xúc với đường thẳng: 4x – 3y + 1 = 0 Bài 11: Cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng ∆ : 1 2 2 x t y t = − + = − . Tính khoảng cách từ A đến ∆. Bài 12: Tìm tâm ,bán kính của các đường tròn có phương trình sau: a. ( ) ( ) 2 2 1 4 9x y− + + = b. ( ) ( ) 2 2 5 8 16x y+ + − = c. ( ) ( ) 2 2 2 7 5x y+ + + = c. 2 2 2 4 1 0x y x y+ − + + = d. 2 2 8 6 11 0x y x y+ + − − = e. 2 2 10 14 10 0x y x y+ + − + = Bài 13: Viết phương trình đường tròn trong các trương hợp sau: a.Đường tròn tâm I(2;-7), bán kính R = 3 b. Đường tròn tâm I(-4;3),qua A(2;11) c. Đường tròn tâm I(1;3) và tiếp xúc với d:3x - 4y +5 = 0 d. Đường tròn đường kính AB. Với A(4;2) và B(5;-4) e. Đường tròn qua ba điểm A(1;2) ,B(5;2),C(1;-3) hoặc A(1;1); B(7;1); C(4;4) Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = a) Định tâm và tính bán kính của đường tròn (C). b) Qua A(1;0) hãy viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn đã cho và tính góc tạo bởi 2 tiếp tuyến đó. Bài 15: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 +8x -4y + 2 =0. a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(-1;5). c) Viết phương trình đường thẳng trung trực của AI (I là tâm của (C)). Bài 16: Cho A(1;-3) và đường thẳng d: 3x+4y-5=0. a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vng góc với d. b) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với d. Bài 17 : Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5). a) Viết phương trình tổng qt của đường cao kẻ từ A. b) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC. Bài 18: Cho ABC ∆ có ( 1;2), (2;0), ( 3;1)A B C− − a) Viết phương trình các cạnh của ABC∆ . b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ABC ∆ . c) Tính diện tích ABC∆ . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A. Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2). a) Viết ptts,pttq của đường thẳng AB. b) Viết pttq đường cao CH của tam giác ABC (H thuộc đường thẳng AB). Xác định tọa độ điểm H. c) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB. Bài 20: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1). a) Viết pt đthẳng AB. b) đường trung trực đọan thẳng AC c) Đtròn đkính BC d)Đtròn tâm B và qua C Bài 21: a) Cho đường thẳng d: x t y t 2 2 1 2 = − − = + và điểm A(3; 1). Tìm pttq của đường thẳng (∆) qua A và vng góc với d. b) Viết phương trình đường tròn có tâm B(3; –2) và tiếp xúc với (∆′): 5x – 2y + 10 = 0. Bài 22 : Cho đường tròn (C ): x y 2 2 ( 1) ( 2) 8− + − = a) Xác định tâm I và bán kính R của (C ) b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, song song với đường thẳng d: x – y – 1 = 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) vng góc với ∆ d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d Bài 23: Cho đường tròn có phương trình: x y x y 2 2 2 4 4 0+ − + − = a) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến song song với đt d có phương trình: x y3 4 1 0 − + = . Bài 8: Cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 ( 2) ( 4) 25x y− + + = a)Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) ; b)Viết ptrình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(- 1;0) c)Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5=0 Bài 24 : Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x y x y 2 2 4 6 3 0+ − + − = tại I(2; 1). Bài 25: Cho 1 : 2 4 0x y∆ + + = 2 : 3 6 0x y∆ − + = 1. Tính góc giữa 1 ∆ và 2 ∆ 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2) và hợp với 1 ∆ góc 0 60 . 3. Viết phương trình đường thẳng song song với 1 ∆ và có khoảng cách đến 2 ∆ bằng 1. ƠN TẬP ĐẠI SỐ: I- CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HỆ B ẤT PHƯƠNG TRÌNH . Bài 1 : Giải các bất phương trình sau: 1) 2 9 4 0x x− ≤ 2) 2 2 9 0x x− + > 3) 2 9 12 4 0x x− + ≤ 4)(- x 2 + 3x – 2)(x 2 – 5x + 6) ≥ 0 5) 34 23 2 2 +− +− xx xx > 0 6) 2 43 652 2 −〉 +− −− x xx 7) 2 1 1 4 2 3 5 6 x x x x x + − ≤ − − − + 8) 2 2 2 7 7 1 3 10 x x x x − + + ≤ − − − 9) 3 1 76 52 2 − 〉 −− − x xx x Bài 2 : Giải các bất phương trình sau: 1) x 2 + 2 3+x - 10 0≥ 2) 2 3 1 2x x x− + + < 3) 2 1 2 1x x > + − 4) 2 2 4x x x x+ − > − + Bài 5 : Giải các bất phương trình sau: 1) 2 5 6x x x− − > ; 2) )1(4)43)(5( −<++ xxx ; 3) 2 6 5 2 8x x x− + − + > 4) 2 243 2 < +++− x xx ; 5) 2 2 5 6 2 10 15x x x x− − + > + 6) 2 2 2 2 2 4 7 0x x x x− − + − + + > Bài 6 :Tìm tập xác định của hàm số 1) 2 1 2 3 5y x x x= − − − − 2) 2 2 1 2 3 13 4 x x y x x x − + − = − − + + Bài 3: Tìm m để hàm số sau có tập xác định là R a) 2 2 ( 1) ( 2) 1y m x m x= + − − + b) 2 1 ( 1) 2 y mx m x − = − + + c) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 3y m x m x m= + − − + − Bài 4: Tìm m để bất pt sau đúng với mọi số thực x: 2 2 2 2 2 )( 1) 2( 1) 3 0 )( 2) 2( 2)( 1) 4 0 )(2 ) (2 1) 2 0 a m x m x b m x m m x c m m x m x − − − + ≥ − − − − + > − − − − < Bài 5: Tìm m để bất pt sau vơ nghiệm a) x 2 – mx + m + 3 ≤ 0 b) (m+1)x 2 - 2mx + 2m > 0 c) (m 2 + 2m)x 2 + 2mx + 2 < 0 Bài 5: Cho phương trình : 2 ( 2) 2(2 3) 5 6 0m x m x m− + − + − = . Tìm m để: a) Ptrình vn; b) Ptrình có 2 nghiệm phân biệt; c) Ptrình có 2 nghiệm trái dấu; d) Pt có nghiệm; e) Pt có 2 nghiệm dương phân biệt; f) Pt có 2 nghiệm âm. Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm(vơ nghiệm) a) x 2 + (2m + 3)x + m – 2 = 0b)(m - 2)x 2 - 2mx + 2m – 3 = 0 c)(m -1)x 2 - 2(m + 1)x + 3(m-2) = 0 d) m x m x m 2 ( 2) 2(2 3) 5 6 0− + − + − = LƯỢNG GIÁC Bài 5: a) Tính giá trị lượng giác của góc α . Biết: 3 os 0 5 2 c π α α = < < ÷ b) Cho sinα = 3 5 ; và 2 π α π < < . Tính cosα, tanα, cotα. c) Cho sina =1/4 với 0<a<90 0 . Tìm các giá trị lượng giác của góc 2a, 4a. Bài 6: Tính giá trị lượng giác của góc α . Biết 4 sin 5 2 π α α π = < < ÷ Bài 7: a) Cho tan 3 α = , tính 2sin 3 os 4sin 5 os c A c α α α α + = − ; cota; sina; cosa. b) Cho cota = 1/3. Tính các giá trị lượng giác của cung a c) Cho 12 3 sin 2 13 2 a a π π − = < < ÷ . Tính cosa, tana, cota Bài 8: Cho sinx = 4 3 ( π π 〈〈x 2 ) tính a).Các gtlg khác của góc x b).Giá trị biểu thức sau A= 4sin 2 x – 3cos 2 x Bài 9: Cho cosx = 5 2 − ( 2 3 π π 〈〈x ) tính a).Các gtlg khác của góc x b).Giá trị biểu thức : A= xx xx tan5sin tan2sin5 − + Bài 10.Cho tanx = -2 ( π π 〈〈x 2 ) tính A= xx xx cossin cos3sin7 − + B= xx xx 22 cos2sin cossin3 − Bài 11: Chứng minh các đẳng thức sau 1/. xx x cossin 1cos2 2 + − = cosx –sinx 2/. ( ) xx xx cottan cos 1 sin 1 22 +=+ 2 3/. xx x cossin sin21 2 + − = cosx –sinx 4/. (cotx +1) 2 +(cotx -1) 2 = x 2 sin 2 5/. sin 2 x+tan 2 x+cos 2 x = x 2 cos 1 6/.cosx+sinx.tanx = xcos 1 7/. x x sin1 cos + +tanx = xcos 1 8/. xx x x x sin 2 cos1 sin cos1 sin = + + − 9/. xx 22 cot1 1 tan1 1 + + + =1 10/.sin 4 x +sin 2 x.cos 2 x+cos 2 x =1 11/. (1-sin 2 x) cot 2 x +1 –cot 2 x = sin 2 x 12/. yx yx yxx 22 22 222 cot.cot sin.sin sin.coscos = − 13/ x x x 4 4 2 sin cos 1 2cos − = − 14/ ( ) 2 2 2 4 cos 2sin cos 1 sinx x x x + = − . trình tham số và phương trình tổng quát của - Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d 1 . - Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d 2 . Bài 9: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau. 4y – 10 = 0 c) 1 5 : 2 4 x t d y t = − − = + và 6 5 ': 2 4 x t d y t = − + = − d) 1 2 : x t y t = − + = − V và 2 4 ' : 2 ' x t y t = = − V Bài 10: Tính. 2 2 7 5x y+ + + = c. 2 2 2 4 1 0x y x y+ − + + = d. 2 2 8 6 11 0x y x y+ + − − = e. 2 2 10 14 10 0x y x y+ + − + = Bài 13: Viết phương trình đường tròn trong các trương hợp sau: a.Đường tròn