giao an boi duong hoc sinh gioi

Buổi 1 Ngày soạn 5 /9/2008 Ngày dạy Chuyên đề1: Toán cực trị I.Mục tiêu: HS nắm vững phơng pháp giải các dạng toán cực trị,có kỹ năng biến đổi thành thạo,các thao tác linh hoạt ,sáng tạo II.Tài liệu: -Tài liệu bồi dỡng hs giỏi lớp 8,9 phần cực trị Toán nâng cao đại số 8,9 Một số v/đ phát triển đại số 8,9 III.Nội dung Dạng 1: Tam thức bậc hai,biến đổi đa về dạng F(x)=A 2k (x)+a a F(x)=a là giá trị nhỏ nhất khi A(x)=0 F(x)=A 2k (x)-a a F(x)=a là giá trị lớn nhất khi A(x)=0 Bài tập: Tìm min,max biểu thức 1, a, 2x 2 -4x+5 b, 2x 2 +6x +5 c, x 4 +x 2 +1 2, a, -2x 2 +4x-5 b, -x 4 +x 2 +1 Dạng 2: Phân thức Ph ơng pháp: Đa về tìm miền giá trị ,tìm min ,max .Hoặc biến đổi đa về dạng 1 a .Phân thức tử hằng số 1. Tìm max a. A= 1 1 2 + x b.B= 2)1( 2 2 + x 2. Tìm min a. A= 2 1 2 x b.B= 2)1( 2 2 + x 3. Tìm min ,max: a, A= 2 1 43 x x + b, max B= 22 542 2 2 + + xx xx 4.Tìm min ,max A= 22 4 )1( 1 + + x x , B= 1 13 2 2 + ++ x xx Dạng 3: Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp: lập bảng xét dấu Vận dụng: a + bab + dấu bằng xảy ra khi ab 0 1.Tìm min A= 1 x + 2 x 2. Tìm min B= 12 x + 2 x 3. Tìm min 22 )2007()2006( + xx 4 . Tìm min 222 )2008()2007()2006( ++ xxx Dạng 5: Biểu thức hai biến Tìm min a. A= 22 )2()1( + yx -3 b. B= 2)1()1( 22 +++ xyx c. C=2x 2 + y 2 +4-2xy +2y HD: Câu c. đa về câu b. vận dụng HĐT (a-b-c ) 2 2 Buổi 2 Ngày soạn 13/9 / 2008 Ngày dạy Chuyên đề 2 : Bất đẳng thức I. Mục tiêu : Nắm vững phơng pháp chứng minh các bất đẳng thức đơn giản , vận dụng vào chứng minh các bất đẳng thức khác II .Nội dung : Bất đẳng thức cô si : a>0 ,b>0 abba 2 + Bất đẳng thức Bu nhi a Cốp x ki : x,y >0 ,a,b hằng số (ax + by ) 2 ))(( 2222 yxba ++ Bài tập : Chứng minh : 1, 0 1 1 + x x 2. Chứng minh a, b, c độ dài 3 cạnh đối diện góc A,B, C của ABC , CABB > C/M cb ca b a + + > HD: Tính cb ca b a + + Dựa vào BĐT tam giác 3 C/m a 2 + b 2 +c 2 bcacab ++ 4 . a, cho x>0 , y> 0 c/m yxyx + + 411 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? b , Tam giác ABC chu vi 2p= a+ b+ c chứng minh ) 111 (2 111 cbacpbpap ++ + + Dấu bằng xảy ra khi nào? Tam giác ABC có đặc điểm gì? ?a , Dựa vào BĐT nào? xyyx xyyx 1 2 11 2 + + yxyxyx yx + +++ 411 4) 11 )(( Dấu bằng xảy ra x=y b , p-a= 0 22 + = ++ acb a cba tơng tự p-b>0 ,p-c >0 3 áp dụng câu a : ; 411 ; 411 4 2 4 )()( 411 bapbpacpbp cbapbpapbpap + + = = + + Cộng từng vế ta đpcm Bài 5. Chứng minh BĐT a, 3344 abbaba ++ b , 2 1 22 + ba với 1 + ba HD: áp dụng phép biến đổi tơng đơng Bài tập : 1. Chứng minh 3344 baba ++ 2. 3 33 ) 2 ( 2 baba + + 3. a, b, c dơng a+b+c=1 c/m 9 111 ++ cba 4. a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác ab+ac+ bc )(2 222 bccaabcba ++<++ Buổi 3,4 : Ngày soạn 25/ 9/2008 Ngày dạy Chuyên đề 3 : toán chứng minh chia hết I Mục tiêu: Nắm vững phơng pháp toán chứng minh chia hết , vận dụng vào giải các bài tập thành thạo II Nội dung: Giáo viên hớng dẫn Hs 1. Ôn tập các dấu hiệu chia hết : 2. Tích các số nguyên liên tiếp chia hết cho số nào? 3. Tính chất đồng d: 4. Nhắc lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử? 5. Bài tập : 1. Chứng minh nếu n số nguyên lẻ thì A= n 3 -3n n +21 chia hết 6 Hd: A=(n 3 - n)+18 (3n 2 -3) = n(n -1)(n+1) +18 -3n (n 2 -1) 4 2. . Phơng pháp 1: Dùng tính chất chia hết Ví dụ1: Chứng minh rằng: a. Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 b. Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 c. Tích của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Giải: a.Tích của 2 số chẵn có dạng : 2n(2n+2) Khi đó 2n(2n+2)=4n(n+1) . Ta thấy n và n+1 là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 . Vậy n(n+1) 2M Do đó ( ) 4 1 8n n + M b. Tích của ba số nguuyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3, mà ƯCLN của 2 và 3 là 1 cho nên tích đó chia hết cho 6 c. Ta có 120=2 3 .3.5 . Trong 5 số nguyên liên tiếp phảI có 2 số chẵn liên tiếp nên tích đó chia hết cho 8 ,mà trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 một số chia hết cho 5 nên tích chia hết cho 3 và 5 Vậy tích của 5 số liên tiếp chia hết cho 120 Ví dụ 2: Chứng minh rằng : a 3 -13a 6M Giải: Ta có a 3 -13a=(a-1).a.(a+1)-12a Vì (a-1).a.(a+1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6, và 12 6aM Vậy: a 3 -13a 6M Ví dụ 3: Chứng minh rằng: n 4 -4n 3 -4n 2 +16n Với n chẵn và n>1 Giải: Nhận xét 384=3.128 với (3,128)=1 n chẵn và n>4 n=2k, k N , k>2 Đặt A=n 4 -4n 3 -4n 2 +16n=16k 4 -32k 3 -16k 2 +32k A=16k(k 3 -2k 2 -k +2 +2) A=16k(k-2)(k-1)(k+1) Ta thấy k,k-1,k-2 ,k+1 là 4 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho2 và một số chia hết cho 4 nên ( k-2).(k-1).k(k+1) M 8 128A M Mặt khác trong 3 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 (k-1).k(k+1) M 3 3A M 5 Vì (3,128)=1 nên A 384M n chẵn và n>4 Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho9 Giải: Ta có(n-1) 3 +n 3 +(n+1) 3 =3(n 3 +2n)=3(n 3 -n+3n)=3(n-1).n.(n+1)+9n 9M Ví dụ 5: Chứng minh rằng n 4 +6n 3 +11n 2 +6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n (Thi học sinh giỏi toàn quốc) Giải: Ta có n 4 +6n 3 +11n 2 +6n=n(n+1)(n+2)(n+3) .Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên n(n+1)(n+2)(n+3) M 8. Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 nên n(n+1)(n+2)(n+3) M 3 Vì (3,8)=1 ta có n 4 +6n 3 +11n 2 +6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n Một số bài tập t ơng tự 1.Chứng minh rằng: tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24 Tích 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720 2. Chứng minh với mọi m, n nguyên : a. n 2 (n 2 -1) M 12 b. n 2 (n 4 -1) M 60 c. m.n (m 4 -n 4 ) M 30 d. (n 5 -n) M 30 3. Chứng minh với mọi n nguyên: 3n 4 -4n 3 +21n 2 -10n M 24 2.2.2.2. Phơng pháp 2: dùng công thức khai triển Ta biết các dạng hằng đẳng thức: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) chia hết cho a-b a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +a.b+b 2 ) chia hết cho a-b a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) chia hết cho a+b Tổng quát: nên :a n -b n =(a-b )(a n-1 +a n-2 b+ +ab n-2 +b n-1 ) và a n +b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+ b n-1 ) a n -b n M a-b (a b) ,a n +b n chia hết a+b mọi n lẻ ,a n -b n chia hết cho a+b nế n chẵn (a+b) n =b n (mod a) Ví dụ 1: với n chẵn ,chứng minh 20 n +16 n -3 n -1 chia hết 323 Giải : Ta có 323=17.19 6 Biến đổi: 20 n +16 n -3 n -1=(20 n -1)+(16 n -3 n ) Ta thấy : (20 n -1)chia hết 20-1=19, và 16 n -3 n chia hết cho19 (1) Vậy 20 n +16 n -3 n -1 chia hết cho 19 Mặt khác: vì 20 n -3 n chia hết 20-3=17, và 16 n -1 chia hết 16+1=17 Vậy 20 n +16 n -3 n -1 chia hết cho 17 (2) Vậy 20 n +16 n -3 n -1 chia hết 19.17=323 Ví dụ 2: Chứng minh n tự nhiên a. 11 n+2 +12 2n+1 chia hết 133 b. 5 n+2 + 26.5 n +8 2n+1 chia hết 59 Giải: a.Ta có : 11 n+2 +12 2n+1 =121.11 n +12.144 n =(133-12).11 n +12.144 n =133.11 n +12(144 n -11 n ) chia hết 133 vì 144 n -11 n chia hết 144-11 b. 5 n+2 +26.5 n +8 2n+1 =5 n (25+26)+8.64 n =5 n (59-8)+8.64 n =59.5 n +8(64 n -5 n ) chia hết 59 Vì 59.5 n chia hết 59 và 64 n -5 n chia hết 64-5=59 2.2.2.3. Phơng pháp 3: Dùng định lý về chia có d Để chứng minh A (n) chia hết P ta xét mọi th về số d khi chia n cho P có thể d là : 0,1,2 hoặc 0, 1; 2; 3; 1 2 p (nếu p lẻ) Ví dụ1: C/m rằng nếu m M 3 thì 3 2m +3 m +1 M 13 Giảỉ: Vì m M 3 nên m=3k+1 hoặc m=3k+2 1. Nếu m=3k+1 thì 3 2m +3 m +1=3 6k+2 +3 3k+1 +1=9.27 2k +3.27 k +1=9+3+1=0(mod13) Vì 27 1(mod13) 2. Nếu m=3k+2 thì 3 2m +3 m +1=3 6k+4 +3 6k+2 +1=81.27 2k +9.27 K +1 81+9+1 0(mod13) Vậy m M 3 thì 3 2m +3 m +1 M 13 Ví dụ 2: Chứng minh rằng :Nếu n M 4 thì 1 n +2 n +3 n +4 n chia hết cho 5 Giải: * Nếu n lẻ thì 1 n +2 n +3 n +4 n =(1 n +4 n )+ (2 n +3 n ) vì (1 n +4 n ) M 1+4=5 và(2 n +3 n ) M (3+2)=5 vậy 1 n +2 n +3 n +4 n chia hết cho 5 * Nếu n chẵn n=4k+2;k N Do đó A k =1 2(2k+1) +2 2(2k+1) +3 2(2k+1) +4 2(2k+1) =(1 2k+1 +4 2k+1 )+(9 2k+1 +16 2k+1) ) 7 V× (1 2k+1 +4 2k+1 ) M 5 vµ (9 2k+1 +16 2k+1) ) M 5(v× 2k+1 lÎ víi k ∈ N) Nªn A k M 5 VËy NÕu n M 4 th× 1 n +2 n +3 n +4 n chia hÕt cho 5 Ngµy so¹n 11/9/2008 Ngµy d¹y: D¹y líp 9C,9D Buæi 5: Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn I .Môc tiªu:-Häc sinh n¾m v÷ng c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 8 -Rèn luyện kỹ năng giải pt nghiệm nguyên II.Hoạt động dạy học: 1.Ph ơng pháp phát hiện tính chia hết của ẩn: Bài 1. giải pt nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 ? 159 và 3x chia hết số nào? suy ra 17y phải chia hết cho số nào? HD: Đặt y= 3t (t thuộc Z) Suy ra x= 53- 17 t 2.Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình ớc số : Bài 2. Tìm nghiệm nguyên pt: xy x y =2 HD: Hãy tìm cách phân tích đa thức thành nhân tử ? và đa về phơng trình ớc số (x-1)(y-1)=3 , ? Tìm ớc của số nào? 3.Ph ơng pháp tách ra giá trị nguyên: Bài 3. Giải bài 2 bằng cách khác? ? Biểu diễn x theo y? x= 1 3 1 + y ? Để x nguyên thì 3 chia hết cho đa thức nào? ?Tìm ớc của 3? 4. Ph ơng pháp xét số d của từng vế : Bài 4. Chứng minh pt sau không có nghiệm nguyên a. x 2 y 2 =1998 b. x 2 + y 2 = 1999 ? Nx x 2 , y 2 chia cho 4 d bao nhiêu? suy ra x 2 y 2 chia cho 4 4. Ph ơng pháp sắp thứ tự của ẩn: Bài 5. Tìm x , y, z nguyên dơng 3 111 =+ yx HD: G/s yx ta có 3 11 < y nên y>3 Do 1 yx nên yx 11 nên 6 y 9 64 y từ đó tìm x? 6.Ph ơng pháp sắp thứ tự của ẩn: Bài 6 : Giải pt nghiệm nguyên: 1 111 =++ xzyzxy HD: Giả sử 1 zyx ta có 1 2 3 z suy ra z=1 Từ đó tìm x , y theo bài 5 H ớng dẫn học ở nhà : Làm các bài tập * Tìm nghiệm nguyên pt : 1. 2x + 13y = 156 2. 3xy +x y =1 3. 3x 2 4y 2 =13 4. 4 111 =+ yx Ngày soạn 11/9/2008 Ngày dạy: Dạy lớp 9C,9D Buổi 6 , 7: Chứng minh các hệ thức hình học Tóan về tính diện tích các hình I.Mục tiêu: Hs chứng minh đợc các hệ thức hình học thông qua các định lý TALET, tam giác đồng dạng Vận dung các công thức tính diện tích các hình II. Tiến trình baì học: Kiểm tra: 1.Các TH đồng dạng của tam giác? 2. Phát biểu đ/l Talet? 3. Nêu các công thức tính diện tích các hình Bài tập: Bài 1. (Đề thi HSG huyện 2006-2007) 10 [...]... BC 2 = KA.KH = KB.KC ( ) = KB KH 2 4 12 Bài 9: Cho ABC có góc B tù ,M, N thuộc BC BM=CN c/m AB +AC > AM +AN HD: K thuộc tia đối của tia MA , MK =AN Xét ANC và KMB , góc ANC > góc KMB suy ra AC > KB ABK : AB+BK > AK=AM + MK = AM +AN Ngày soạn : Rút gọn biểu thức căn bậc hai Buổi 8: I.Mục tiêu: Học sinh nắm vững rút gọn biểu thức căn bậc hai , tìm đ/k xđ Rèn luyện kỹ năng phân tích thành nhân tử để rút... AH2+HC2 suy ra AB2+AC2=2AH2+ HB2+HC2=2(AM2-HM2)+(BM2- HM2)+ (HM2+MC2)= 2AM2+ BC 2 Hớng dẫn học ở nhà: Làm btập Bài 7: Cho ABC có 3 góc nhọn , trực tâm H , các đờng cao AM, BN , CL C/m AM HN HL + + =1 AN BN CL a b AM BN CL + + 9 HM HN HN HD: Dựa S miền đa giác HM S HN S HL S HBC HCA HAB a AM = S , BN = S , CL = S suy ra đpc/m ABC ABC ABC b áp dụng (a+ b+ c) 1 1 1 ( + + ) 9 a b c Bài 8: Cho ABC có 3... b =2ac, HD: ? Vận dụng kt nào? A 2 , , 2 ,2 ,2 , , a = (b + c ) =b + c +2b c c2 = c, 2 +h2 , b2 = h2 + b, 2 c b 2 2 2 , a +c - b =2ac Bài 3: (Đề thi huyện 2005-2006) ABC cân C , AC =k , AB p/giác MC , AN ,BP Gọi S, S1 dtích ABC , MNP C/m a b c, B S 1 2 =( k + ) S1 k S S1 4 b, H C a 11 D HD: AC CN CH = =k = AB NB MH CH + MH CM =1+ k = k +1 MH MH AB CB NC + NB 1 = = = 1+ ON CN CN k b ( k+ 1 )2 k (1)... trị nguyên của x để biểu thức y đạt giá trị nguyên ? Tìm đkxđ ? Đặt nhân tử chung? Rút gọn A Ngày soạn 5 / 11 /2008 Ngày dạy 8 / 11 /2008 Buổi 9,10: Phơng pháp giải các loại phơng trình I.Mục tiêu: Học sinh nắm vững phơng pháp giải các phơng trình : Phơng trình chứa ẩn ở mẫu , phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , phơng trình bậc cao , II Hoạt động dạy học: 1.Phơng trình chứa ẩn ở mẫu : ? Nêu cách . > AM +AN HD: K thuộc tia đối của tia MA , MK =AN Xét ANC và KMB , góc ANC > góc KMB suy ra AC > KB ABK : AB+BK > AK=AM + MK = AM +AN Ngày. Ngµy d¹y: D¹y líp 9C,9D Buæi 5: Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn I .Môc tiªu:-Häc sinh n¾m v÷ng c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 8 -Rèn luyện kỹ năng giải