nhị thức newton (tiếp)

Nhị thức Newton Dạng 11 Nhị thức Newton và khai triển đa thức Nhị thức Newton Nội dung  Dạng 11. Nhị thức Newton và khai triển đa thức • Dạng 11A. Tính hệ số của đa thức • Dạng 11B. Tìm hệ số lớn nhất của đa thức • Dạng 11C. Chứng minh hệ thức tổ hợp Nhị thức Newton Dạng 11A Tính hệ số của đa thức Nhị thức Newton Bài tập mẫu Tính số hạng không chứa x, khi khai triển biết rằng n thoả mãn Giải Áp dụng công thức , ta có Ta được giả thiết tương đương với n 3 2 P(x) x x   = +  ÷   + + + + = 6 7 8 9 8 n n n n n 2 C 3C 3C C 2C . ( ) 6 7 8 9 6 7 7 8 8 9 n n n n n n n n n n 7 8 9 8 9 9 n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 C 3C 3C C C C 2 C C C C C 2C C C C C + + + + + + + + + = + + + + + = + + = + = ( ) 9 8 n 3 n 2 15 k 30 5k 15 15 15 k k k k 3 3 6 15 15 k 0 k 0 (n 3)! 2(n 2)! n 3 C 2C 2 n 15 9!(n 6)! 8!(n 6)! 9 2 2 Khi : P(x) x C x C 2 x x x + + − − = = + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − −     = + = =  ÷  ÷     ∑ ∑ ®ã k k 1 k 1 n n n 1 C C C + + + + = Nhị thức Newton Bài tập mẫu (tt) Số hạng không chứa x tương ứng với Số hạng phải tìm là − = ⇔ = 30 5k 0 k 6. 6 = 6 6 15 C .2 320320. Nhị thức Newton Lưu ý:  Tính hệ số của số hạng x α (α là một số hữu tỉ cho trước) trong khai triển nhị thức Newton của ,ta làm như sau:  Viết số hạng chứa x α tương ứng với g(k) = α ; giải phương trình ta tìm được k. Nếu k ∈ N, k ≤ n , hệ số phải tìm là a k ; nếu k ∉ N hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x α , hệ số phải tìm bằng 0. n g(k) k k 0 P(x) a x = = ∑ [ ] ( ) ( ) n p x f x = Nhị thức Newton Bài tập tương tự Khi khai triển nhị thức Newton của , hãy tính hệ số của số hạng chứa x 10 , biết rằng n là số tự nhiên thoả mãn phần tử Giải Hệ thức Phương trình trên có nghiệm n = -10 (loại), n = 15 (nhận). Với n = 15, có Số hạng chứa x 10 , tương ứng với Ta được hệ số phải tìm là Đs: -6435.   = −  ÷   n 3 2 1 P(x) x x = 4 2 n n C 13C . ( ) ( ) ( ) ( ) = ⇔ = ⇔ = ⇔ − − = − − − − 4 2 2 n n n! 13.n! 1 13 C 13C n 5n 150 0 4! n 4 ! 2! n 2 ! 12 n 2 n 3 ( ) ( ) − − = = −     = − = = −  ÷  ÷     ∑ ∑ 15 k 15 15 15 k k 3 k 3 k 45 5k 15 15 2 2 k 0 k 0 1 1 P(x) x C x C 1 x x x − = ⇔ = 45 5k 10 k 7. ( ) − = − 7 7 15 1 C 6435. Nhị thức Newton Dạng 11B Tìm hệ số lớn nhất của đa thức Nhị thức Newton Bài tập mẫu Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức. Giải Do đó BĐT a n -1 ≤ a n đúng với n ∈ {1; 2; 3; 4} và dấu đẳng thức không xảy ra. Ta được a 0 < a 1 < a 2 < a 3 < a 4 và a 4 > a 5 > … > a 13 ( ) 13 13 12 0 1 13 Gi s P(x) 2x 1 a x a x . a = + = + + + ¶ ö ( ) ( ) − = − − − − − − − − = + = = ⇒ = = ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − − − ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∉ − ∑ 13 13 13 n n 13 n 0 n 13 n n 1 14 n n 13 n 1 13 n 1 14 n n 13 n n 1 n 13 13 P(x) 2x 1 C 2x Ta c : a C .2 a C .2 (n 1,2, .,13) Xét BPT (v i n s n): 2.13! 13! a a C .2 C .2 (n 1)!(14 n)! n!(13 n)! 2 1 14 n N 14 n n 3 ®­î í È è 4 9 n 4 13 V y :max(a ) a C .2 366080 = = = Ë Nhị thức Newton Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax + b) m thành đa một thức, ta làm như sau: Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT a n-1 ≤ a n với ẩn số n; hệ số lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT trên. [...]... (C ) +(C ) +(C ) 2 0 n 1 n 2 2 n Cn 2n ( ) + + C n n 2 = Cn ( ®pcm) 2n 2 + + ( C n n ) 2 Nhị thức Newton  Lưu ý • Xét đẳng thức (x + 1)n(1 + x)m = (x + 1)n+m Sử dụng nhị thức Newton để viết cả hai vế thành đa thức đối với x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong hai vế, bạn có thể viết ra nhiều hệ thức về tổ hợp và đó cũng là cách chứng minh chúng ... − 1)!(16 − n)! n!(15 − n)! 1 2 32 ≤ ⇔n≤ ∉N 16 − n n 3 Do đó BĐT an-1 ≤ an đúng với n ∈ {1; 2; 3;…; 10} và dấu đẳng thức không xảy ra Ta được a0 < a1 < a2 < … a10 và a10 > a11 > … a15 10 VËy : max(an ) = a10 = C13 210 = 292864 Nhị thức Newton Dạng 11C Chứng minh hệ thức tổ hợp Nhị thức Newton Bài tập mẫu ( ) +(C ) +(C ) 0 n Chứng minh rằng C 2 2 1 n 2 n 2 ( ) + + C n n 2 = Cn 2n Giải Ta cã : (x + 1)n.. .Nhị thức Newton Bài tập tương tự Gi¶ sö :P(x) = ( x + 2 ) 15 = a0 x15 + a1x14 + + a15 Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức P(x) = ( x + 2 ) 15 15 n = ∑ C15 x15 −n 2n Giải n=0 n n− Ta ®­îc : an = C15 2n ⇒ an−1 = C151.2n−1 (n = 1,2, ,15) Xét BPT (với ẩn số . Nhị thức Newton Dạng 11 Nhị thức Newton và khai triển đa thức Nhị thức Newton Nội dung  Dạng 11. Nhị thức Newton và khai triển đa thức • Dạng. đa thức • Dạng 11B. Tìm hệ số lớn nhất của đa thức • Dạng 11C. Chứng minh hệ thức tổ hợp Nhị thức Newton Dạng 11A Tính hệ số của đa thức Nhị thức Newton