Chuyên Đề PT, BPT Mũ Và Logarit

Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 1 A. Các kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit 2. Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit 3. Các phơng trình, bất phơng trình cơ bản: Với m > 0, 0 < a 1 thì: a x = m x = log a m a x > m log ;( 1) log ;(0 1) a a x m a x m a > > > < < a x 0 với mọi x R Với mọi số thực m và 0 < a 1 thì: log a x = m x = a m log a x > m ; 1 0 ; 0 1 m m x a a x a a > > < < < < B. Một số phơng pháp giải phơng trình, Hệ phơng trình Bất PHơNG TRìNH mũ, lôgarit 1) Phơng pháp đa về cùng cơ số Với 0 < a 1 thì: a f(x) = a g(x) f(x) = g(x); a f(x) > a g(x) f(x) > g(x) nếu a > 1 f(x) < g(x) nếu 0 < a <1 log a f(x) = log a g(x) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x > > = log a f(x) > log a g(x) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x > > > ; nếu a > 1 log a f(x) > log a g(x) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x > > < ; nếu 0 < a < 1. Ví dụ 1. Giải PT: 2 x+1 .5 x = 2.10 2x+5 (1) LG: (1) 10 x = 10 2x+5 x = 2x +5 x = - 5. Ví dụ 2. Giải PT: log 3 (2x+1) - 1 3 log (1 )x (2) LG: Đkiện 2x+1 > 0 và 1- x > 0 1 1 2 x < < (2) log 3 (2x+1) = 2 1 3 1 1 log 2 1 2 0 1 1 x x x x x + = + = x = 0; x = 2 (Loại) PT có nghiệm duy nhất x = 0. Ví dụ 3. Giải BPT: log 5 (4 x +144) 4log 5 2 < 1+ log 5 (2 x-2 +1) (3) LG: Đkiện: x R (3) log 5 (4 x +144) < log 5 80(2 x-2 +1) 4 x -20.2 x +64 < 0 4 < 2 x < 16 2< x < 4. Ví dụ 4. Giải BPT: 1 1 1 ( 5 2) ( 5 2) x x x + + (4) Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 2 LG: Do 1 5 2 ( 5 2) + = , (4) ( ) 1 1 1 1 5 2 ( 5 2) 1 0 5 2 1 1 x x x x x do x + < < + x 1 hoặc -2 x < -1. 2) Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 5. Giải PT: 3.49 x + 2.14 x 4 x = 0 (5) HD: Chia hai vế của PT cho 4 x rồi đặt t = 7 2 7 . : log 3 2 x KQ x = ữ Ví dụ 6. Giải PT: 5 x - 3 5 x = 20 (6) LG: Đkiện x 0, do phơng trình chứa căn, đặt t = 5 1 x (5) t - 125 t -20 = 0 t 2 20t -125 = 0 t = - 5 (L), t = 25 (TM) t = 25 2 5 25 5 2 4. x x x = = = = Ví dụ 7. Giải BPT: 4 x 2.5 2x < 10 x HD: Chia hai vế cho 10 x , ta đợc 2 5 2. 1 5 2 x x < ữ ữ , Đặt t = 2 , 0 5 x t > ữ . BPT 2 2 0 t t t < Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2 2 5 2 0 2 log 2 5 x x < < > ữ , (Chú ý do cơ số < 1). Ví dụ 8. Giải BPT: 2 2 2 6 4 3 log 2 logx x + > (8) HD: Đkiện 0 < x 1/2 và 1 Đặt t = log 2 x , t 0 (8) 2 1 1 3 5 2 0 3 (1 ) 0 2 t t t t t t < < + + > + < < ; Suy ra tập nghiệm của (8) là : ( ) 3 1 1 ; 1; 4 . 2 2 ữ * Dạng ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x A a b B a b c+ + = nếu (a+ b )(a- b ) =1, nên đặt t = ( ) ( )f x a b+ * Dạng au 2f(x) +b(uv) f(x) +cv 2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v 2f(x) , đặt t = ( )f x u v ữ 3) Phơng pháp logarit hoá Ví dụ 9. Giải PT: 2 3 8 6 x x x+ = (9) LG: Đkiện x -2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có 3 3 3 2log 2 3 log 2 1 log 2 ( 1) 1 0 2 2 x x x x x + = + + = ữ + + x = 1 hoặc x = -(1+log 3 2). Ví dụ 10. Giải BPT: 2 log 4 32 x x + < (10) LG: Đkiện x > 0. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có : (log 2 x +4)log 2 x < 5, Đặt t = log 2 x; PT t 2 + 4t-5 < 0 -5 < t < 1 -5 < log 2 x < 1 2 -5 < x < 2. 4) Phơng pháp sử dụng tính chất của hàm số Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 3 Chú ý : a > 1, thì a f(x) > a b f(x)>b ; log a f(x) > log a b f(x) > b >0 0<a<1, thì a f(x) > a b f(x)<b ; log a f(x) > log a b 0<f(x) < b. Ví dụ 11. Giải PT: 3 x = 3 log 5 x (11) LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phơng trình (11) Với x > 1 thì 3 x > 3 1 = 3 và - log 5 x < log 5 1 = 0 3 x > 3 log 5 x. Với x < 1 thì 3 x < 3 1 = 3 và - log 5 x > log 5 1 = 0 3 x < 3 log 5 x. Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phơng trình. Ví dụ 12. GPT: 3 x + 2 x = 3x +2 LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất) Xét hàm số: f(x) = 3 x + 2 x 3x+2 ta có : f(x) = 3 x ln3 + 2 x ln2 3 f(x) = 3 x ln 2 3+2 x ln 2 2 > 0 với mọi x R hàm số f(x) đồng biến trên R. Mặt khác hàm số f(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0 PT f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x 0 (-1; 1). Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có phơng trình có không quá 2 nghiệm. Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 0; x = 1. 5) Hệ phơng trình, hệ bất phơng trình mũ và lôgarit Chú ý : Ta cũng dùng các phơng pháp giải hệ phơng trình , hệ bất phơng trình nh đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit. Ví dụ 13 (ĐH K B-2005). Giải HPT: 2 3 9 3 1 2 1 (1) 3log (9 ) log 3 (2) x y x y + = = LG: Đkiện x > 0 và 0 < y 2 (2) 3(1+ log 3 x) 3log 3 y = 3 log 3 x = log 3 y x = y. Thay x = y vào phơng trình (1) ta có phơng trình (1) (x-1)(2-x) = 0 x = 1 ; x = 2. Từ đó HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2). Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: 3 2 1 2 5 4 (1) 4 2 (2) 2 2 x x x x y y y + = + = + LG: Từ PT(2) 2 x = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta đợc PT : y 3 -5y 2 +4y = 0 y = 0, y = 1, y = 4 . Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4). 6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó) Ví dụ 15. (ĐH NT-1996). Tìm nghiệm dơng của PT: 2 2 log 3 log 5 .x x x + = HD: Biến đổi PT về dạng: 2 2 2 log log log 2 3 5 . x x x + = Đặt t = log 2 x, PT 2 t + 3 t = 5 t . Bằng phơng pháp hàm số có nghiệm t = 1 x = 2. x - x 0 + f(x) - 0 + + + f(x) Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 4 Ví dụ 16. (ĐH KA-2002). Cho PT: 2 2 3 3 log log 1 2 1 0x x m + + = (16) (m là tham số) 1. Giải PT khi m =2. 2. Tìm m để PT (16) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 3 1;3 HD: Đkiện x > 0, Đặt t = 2 3 log 1x + 1 ta có PT t 2 +t-2m-2 = 0 (*) (16) có nghiệm thuộc 3 1;3 (*) có nghiệm thuộc [1; 2]. Xét hàm số f(t) = t 2 +t trên [1; 2] ta đợc PT (16) có nghiệm 3 1;3 m [0 ; 2] Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a: log ( ) 4 ( ) . a ax x ax (17) HD: Điều kiện a > 0, a 1, x > 0. Với 0 < a < 1. Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT (1+log a x)log a x 4(1+log a x) (log a x+1) (log a x-4) 0 -1 log a x 4 a 4 x a -1 . Với a > 1, Biến đổi nh trên với chú ý cơ số > 1 ta đợc (log a x+1)(log a x-4) 0 4 1 log 1 0 log 4 a a x x a x x a < Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x + + = + HD: Đkiện x > 0, đặt t = log 2 x x = 2 t , ta có PT: 2 (2 2) 2 (2 2) 1 2 t t t t + + = + Nhân cả hai vế với (2 2) t + sau đó biến đổi ta có: [ (2 2) t + -4 t ][ (2 2) t + -1] = 0 t = 0 x = 1. Ví dụ 19. Giải PT: 3 2 1 3 2 2 8 2 2 log (4 4 4) x x x x + + = + (19) HD: Ta có 4x 2 4x+4 = (2x-1) 2 + 3 3 log 3 (4x 2 -4x+4) 1, VP 8 Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT 8 (19) 3 2 1 3 2 2 2 2 8 8 8 log (4 4 4) x x x x + + = = + giải hệ ta có nghiệm của PT là x = 1 2 Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất: ln(1 ) ln(1 ) (1) (2) x y e e x y y x a = + + = HD: Đkiện x > -1, y > -1 Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: e x+a - e x +ln(1+x) ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0. hệ có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm duy nhất x > -1. Xét hàm số f(x) = e x+a - e x +ln(1+x) ln(1+a+x) ĐPCM. Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 5 C. Bài tập tổng hợp I. Các bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học từ năm 2002 đến 2008 Bài 1. (K-A. 2008) Giải PT: log 2x-1 (2x 2 +x-1) + log (x+1) (2x-1) 2 = 4. ĐS: x = 2; x = 5/4 Bài 2. (K-B.2008) Giải BPT: 2 0,7 6 log log 0 4 x x x + < ữ + . ĐS: x (-4; -3) (8; + ) Bài 3. (K-D.2008) Giải BPT: 2 1 2 3 2 log 0 x x x + ữ . ĐS: x (2 2;1) (2;2 2 2 ) + Bài 4. (K-A.2007) Giải BPT: ( ) 3 1 3 2log (4 3) log 2 3 2x x + + . ĐS: x 3 ;3 4 Bài 5. (K-B.2007) Giải BPT: ( 2 -1) x + ( 2 +1) x - 2 2 = 0. ĐS: x = 1; x = -1 Bài 6. K-D.2007) Giải BPT: 2 2 1 log (4 15.2 27) log 0 4.2 3 x x x + + + = ữ . ĐS: x = log 2 3 Bài 7. (K-A.2006) Giải PT: 3.8 x +4.12 x -18 x -2.27 x = 0. ĐS: x = 1 Bài 8. (K-B.2006) Giải BPT: log 5 (4 x +144)-4.log 5 2 < 1+ log 5 (2 x-2 +1). ĐS: x (2; 4) Bài 9. (K-A.2004) Giải HPT: 1 4 4 2 2 1 log ( ) log 1 25 y x y x y = + = . ĐS: (x; y) = (3; 4) Bài 10. (K-D.2003) Giải PT: 2 2 2 2 2 3 x x x x + = . ĐS: x= -1; x =2 Bài 11. (K-B.2002) Giải BPT: log x (log 3 (9 x -72)) 1. ĐS: log 9 73 < x 2 II. Các bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học trớc năm 2002 Bài 1. (HVQHQT-1999) Giải PT: 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x + + + + + + = + .ĐS: x {-5; -1; 1; 2} Bài 2. (ĐHQG-KD.2000) Giải PT: 8.3 x + 3.2 x = 24 +6 x . ĐS: x = 1; x = 3 Bài 3. (ĐHQG-KB.1998) Giải PT: 125 x +50 x = 2 3x+1 . ĐS: x = 0 Bài 4. (ĐHQG-1997) Giải PT: 3 (5 21) 7.(5 21) 2 x x x + + + = . ĐS: x = 0 ; x = 5 21 2 log 7 + Bài 5. (ĐH YHN-2000) Giải PT: 3 3( 1) 1 12 2 6.2 1 2 2 x x x x + = . ĐS: x= 1 Bài 6. (ĐHTL 2000) Giải PT: 2 2 2 1 2 2 2 9.2 2 0 x x x x + + + + = . ĐS: x = -1; x = 2 Bài 7. (ĐHTCKT-1997) Giải PT: 25 x -2(3-x)5 x + 2x -7 = 0. ĐS: x = 1 Bài 8. (ĐH NT-1997) Giải PT: 2 x+1 4 x = x-1. ĐS: x =1 Bài 9. (ĐHSP HN- 2001) Giải PT: 3 x + 5 x = 6x+2. ĐS: x = 0; x =1 Bài 10. (ĐHNNHN-2000) Cho phơng trình: (m+3).16 x + (2m-1).4 x +m +1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. ĐS: 3 1 4 m < < Bài 11. (ĐHQG TPHCM.1996) Cho phơng trình: (2+ 3 ) x + (2- 3 ) x = m . Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. m > 2 Bài 12. (ĐH NT -1998) Tìm m để phơng trình sau: 2 | 4 3| 4 2 1 1 5 x x m m + = + ữ . Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 6 có 4 nghiệm phân biệt ĐS: m (-1 ; 1)\ {0} Bài 13. (QGHN- 1995) Giải HPT: 2 2 2 2 ( )( 2) 2 x y y x xy x y = + + = . ĐS: (1; 1); (-1 ; -1) Bài 14. (ĐHGT -1998) Giải BPT: 3 1 1 3 ( 10 3) ( 10 3) x x x x + + + < . ĐS: x (-3; - 5 ) (1; 5) Bài 15. (ĐH Dợc HN -1997) Giải BPT: 2 2 2 2 1 2 4 .2 3.2 .2 8 12 x x x x x x x + + + > + + . ĐS: x (- 2 ; -1) ( 2; 3) Bài 16. (ĐHQG HN-1996) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phơng trình : 2 2 sin s 8 8 1 x co x + = +cos2y. ĐS: (x; y) = ( ; ) 2 2 k m + Bài 17. (ĐHQG HN-1999) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất PT sau có nghiệm: 2 2 2 sin s sin 2 3 .3 x co x x m + . ĐS: m 4 Bài 18. (ĐHSP TPHCM-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất PT sau có nghiệm : 1 4 .2 3 2 0 x x m m + + . ĐS: m 1 Bài 19. (ĐH BKHN-1999) Giải PT: 2 log10 log log100 4 6 2.3 x x x = . (Chia 4 logx )ĐS: x = 10 -2 Bài 20. (ĐH THHN-1994) Giải PT: 82 3log log 2. 2. 5 0 x x x x + = . ĐS: x = 1/ 2 ; x=2 Bài 21. (ĐH SPHN-1994) Giải PT: 2 2 3 3 log ( ) log ( ) 3x x x x + + = . ĐS: x = 3 Bài 22. (ĐHSPHN-1990) Giải PT: 2 2 2 5 5 1 log (1 ) log (1 ) 2.log ( ) 5 2x x x + + = + . ĐS: 1 11 1 (3 29) 2 + + Bài 23. (ĐH Mỏ ĐC -1993) Giải BPT: 2 5 log (1 2 ) 1 log ( 1)x x < + + . ĐS: 2 1 5 2 x < < Bài 24. (ĐH Luật HN-1997) Giải BPT: 2 3 2 3 2 log ( 1) log ( 1) 0 3 4 x x x x + + > . ĐS: -1 <x< 0; x > 4 Bài 25. (ĐH YHN-1997) Giải BPT: 2 2 log 64 log 16 3 x x + . ĐS: x 1 3 1 ( ; 2 ] (1; 4] 2 Bài 26. (ĐH BKHN 2000) Giải PT: log 4 (x+1) 2 +2 = 3 3 2 log 4 log (4 )x x + + . x {2,2 24 } Bài 27. (ĐH SPHN-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mọi x [0; 2] đều thoả mãn bất phơng trình 2 2 2 4 log 2 4 log ( 2 ) 5x x m x x m + + + . ĐS: m [2; 4] Bài 28. (ĐH Mỏ ĐC -1999) Giải hệ: 2 2 4 4 4 2 4 4 4 log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log 1 x y x x y x xy y y x y + + = + + + + = ữ . ĐS: (a ; a), a > 0; (2; 1) Bài 29. (ĐH SPHN-1991) Giải hệ: 2 2 4 4 log log 1 log log 1 y x y x y = = . ĐS: (8; 2); (2; 1 2 ) Chuyªn ®Ò : Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit 7 Bµi 30. (§H SPNN-1998) Gi¶i hÖ: 2 2 2 2 log log log ( ) log ( ) log .log 0 x y xy x y x y  = +  − + =  . §S: (2; 1), 2 ( ; 2) 2 . . Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 1 A. Các kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit 2 hợp với các phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit. Ví dụ 13 (ĐH K B-2005). Giải HPT: 2 3 9 3 1