Tìm điều kiện để pt - bpt có nghiệm

Trong chương này chúng ta sẽ ñi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp như xác ñịnh tham số ñể phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm ñúng với mọi x thuộc tập D nào

CHƯƠNG VII BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN THAM SỐ

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan ñến tham số Có lẽ ñây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất Trong chương này chúng ta sẽ ñi nghiên cứu một số dạng toán

mà chúng ta thương hay gặp (như xác ñịnh tham số ñể phương trình có nghiệm, có

k nghiệm, nghiệm ñúng với mọi x thuộc tập D nào ñó… ) và phương pháp giải các dạng toán ñó

1 Phương pháp hàm số

Bài toán 1: Tìm ñiều kiện của tham số ñể phương trình f(x)=g(m) có nghiệm

trên D

Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm ⇔ hai ñồ thị của hai hàm số y=f x( ) và y=g m( ) cắt nhau Do ñó ñể giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số y=f x( )

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác ñịnh m ñể ñường thẳng y=g m( ) cắt ñồ thị hàm số y=f x( )

Chú ý : Nếu hàm số y=f x( ) liên tục trên D và

x D

∈

x D

M Max f (x)

∈

phương trình : f x( )=k có nghiệm khi và chỉ khi m≤ ≤k M

Ví dụ 1: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm

4 2

Giải:

1)Xét hàm số f (x)= x2 + + −x 1 x2 − +x 1 có tập xác ñịnh là D=R

Ta có:

f '(x)

f ' x 0 (2x 1) x x 1 2x 1 x x 1 (1)

không thỏa mãn Vậy phương trình f '(x)=0 vô nghiệm ⇒f '(x) không ñổi dấu trên R, mà f '(0) 1 0= > ⇒f (x)>0 x∀ ∈R⇒f (x) ñồng biến

Mặt khác:

x x

2x

→+∞

limf (x) 1

Bảng biến thiên:

x −∞ +∞

f(x)

1 -1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ − < <1 m 1 2) ðK: x≥0

Xét hàm số f (x)=4 x2 + −1 x với x∈ =D [0;+∞)

Ta có:

4

f '(x)

2 x

2 (x 1)

4

f '(x)

⇒ không ñổi dấu trên D, mà

4

2

2 8

= − < ⇒ < ∀ ∈

Mặt khác:

4

1

0 f (x) f (0) 1 x D

⇒ < ≤ = ∀ ∈ ⇒ phương trình có nghiệm ⇔ < ≤0 m 1

Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m ñưa về dạng

trên

Ví dụ 2: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm:

1) 4 x4 −13x+m + − =x 1 0

2) x x + x +12 =m( 5− +x 4−x )

Giải:

1) Phương trình 4 4

x 1

≤





x 1

≤



⇔

f (x)=4x −6x −9x với x≤1

3 x 2

1 x 2



=



 = −



Bảng biến thiên:

x −∞ −1 / 2 1 f’(x) + 0 –

f(x)

5

2

−∞ −11

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm 1 m 5 m 3

⇔ − ≤ ⇔ ≥ −

2) ðiều kiện: 0≤ ≤x 4

Khi ñó phương trình ⇔f (x)=(x x + x +12)( 5− −x 4−x )=m

(Vì 5− −x 4− ≠x 0)

Xét hàm số f (x)=(x x + x +12)( 5− −x 4−x ) với 0≤ ≤x 4

2 4 x 2 5 x

< − < − ⇒ − > ⇒ > ∀ ∈

Vậy f(x) là hàm ñồng biến trên [0;4]⇒2 3( 5 − =2) f (0)≤f (x)≤f (4) 12=

Suy ra phương trình có nghiệm ⇔2 3( 5− ≤ ≤2) m 12

Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong ñó một phương trình của hệ không chứa

tham số thì ta sẽ ñi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm ñược tập nghiệm x∈D (ñối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút ñược ẩn này qua ẩn kia Khi ñó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả

ta tìm ñược ở trên

Ví dụ 3: Tìm m ñể hệ sau có nghiệm:

2 4 5x x

2

1

2 (1)

2 3x mx x 16 0 (2)

−



Giải:

Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ ñi giải bất phương trình này

Ta có: 2x2 ≤25x 4− ⇔x2 ≤5x− ⇔4 x2 −5x + ≤ ⇔ ≤ ≤4 0 1 x 4

Hệ có nghiệm ⇔(2) có nghiệm x [1;4]∈

2

3x 16

x x

+

⇔ = Xét hàm số

2

3x 16

f (x)

x x

+

= với x [1;4]∈

có

2

3

3 x (x 16) 2

8 f (4) f (x) f (1) 19 x [1;4]

Vậy hệ có nghiệm ⇔ ≤ ≤8 m 19

Ví dụ 4: Tìm m ñể hệ sau có nghiệm:

2x x 1 2 x 1

2







Giải:

Ta có: (1)⇔72+ x 1+ (72(x 1)− − ≤1) 2007(1−x) (3)

• Nếu x>1⇒VT(3)> >0 VP(3)⇒(3) vô nghiệm

(3)

⇒ có nghiệm x ≤1

Suy ra hệ có nghiệm ⇔(2) có nghiệm x≤1

Ta có:

2

x 2

− +

− Xét hàm số f(x) với x ≤1, có:

2

2

Bảng biến thiên

x −∞ 2− 3 1 f’(x) + 0 –

f(x)

2−2 3

−∞ −2 Dựa vào bảng biến thiên ⇒ hệ có nghiệm ⇔ ≤ −m 2 2 3

Ví dụ 5: Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm:

2x y m 0 (1)

y xy 2 (2)

− + =





Giải:

Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước

y 2

x

y

≤









Thay vào (1) ta ñược:

2

− + − + = ⇔ = − =

(3)

Hệ có nghiệm ⇔(3) có nghiệm y≤2 Xét hàm số f(y) với y≤2

2

4

y

⇒ = > ⇒ ñồng biến trên các khoảng (−∞;0)∪(0;2]

ylim f (y) 4; lim f (y)y 0 ; lim f (y)y 0

→−∞ = → = −∞ → = +∞ Ta có bảng biến thiên:

y −∞ 0 2 f’(y) + +

f(y)

+∞ 2

4 −∞

⇒hệ có nghiệm ⇔ ∈ −∞m ( ; 2]∪(4;+∞)

Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác ñịnh số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý

Số nghiệm của phương trình f (x)=g(m) chính là số giao ñiểm của ñồ thị hai hàm

số y=f (x) và y=g(m) Do ñó phương trình có k nghiệm ⇔hai ñồ thị trên cắt nhau tại k giao ñiểm

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m ñể phương trình sau có ñúng hai nghiệm phân

biệt: x4 −4x3 +16x +m + 4 x4 − 4x3 +16x + m =6

Giải:

ðặt t= 4x4 −4x3 +16x+m, t≥0 Ta có phương trình :

4

t + − = ⇔ = ⇔t 6 0 t 2 x −4x +16x +m =2

⇔ − = − + − Xét hàm số f (x)=x4 −4x3 +16x −16

= −



=

Bảng biến thiên

x −∞ -1 2 +∞

f’(x) – 0 + 0 +

f(x) +∞ +∞

-27

Dựa vào bảng biến thiên ⇒phương trình có hai nghiệm phân biệt m 27 m 27 ⇔ − > − ⇔ < Ví dụ 7: Tìm m ñể phương trình : m x2 + = +2 x m có ba nghiệm phân biệt Giải: Phương trình 2 2 x m( x 2 1) x m x 2 1 ⇔ + − = ⇔ = + − (do 2 x + − > ∀2 1 0 x) Xét hàm số ( ) 2 2 2 2 2 2 x x 2 1 x x 2 f (x) f '(x) x 2 1 x 2 1 + − − + = ⇒ = + − + − ( ) 2 2 2 2 2 x 2 f '(x) f '(x) 0 x 2 x 2 x 2 1 − + = ⇒ = ⇔ = ± + + − Bảng biến thiên: x −∞ − 2 2 +∞

f’(x) – 0 + 0 –

f(x) +∞ 2

− 2 −∞

Dựa vào bảng biến thiên ⇒− 2< <m 2

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m ñể phương trình : mx2 + =1 cos x có ñúng một nghiệm x 0;

2

π

 

Giải:

Ta thấy ñể pt có nghiệm thì m≤0 Khi ñó:

Phương trình

2

x sin

2

−

 

 

 

Xét hàm số : f (t) sin t

t

= với t 0;

4

π

∈ 

cos t t tgt t.cos t sin t

−

−

4

π

∀ ∈ ⇒

  f(t) nghịch biến

Mà: f ( ) 2 2

4

π =

π và

2

t 0

x sin

2 x

2

→

π

= ⇒ < < ⇒ < < ∀ ∈

 

 

Vậy phương trình có ñúng một nghiệm x (0; )

2

π

∈ ⇔ 82 < −2m 1<

2

m

2

⇔ − < < −

π

Ví dụ 9: Tìm m ñể hệ phương trình :

2





phân biệt

Giải:

x 1

y

x

≤









(do x=0 không là nghiệm phương trình )

Thay vào phương trình thứ nhất ta ñược:

2

x

− +

Hệ có ba cặp nghiệm ⇔(a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x ≤1

Xét hàm số

2

Bảng biến thiên:

x

−∞ −1 1

2

− 0 1

3 1 f’(x) − 0 + 0 − − 0 + f(x)

+∞ 27

4

− −∞ 9

−7 −∞ 11

3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt

11

3

27

4



≤ − ≤



⇔

− ≤ − ≤ −



20

m 12 3

15

4



≤ ≤



⇔

−

− ≤ ≤



−

≤ ≤ ∪ − ≤ ≤ là những giá trị cần tìm

Ví dụ 10: Biện luận số nghiệm của phương trình sau:

2

m x + = + −1 x 2 m

Giải:

2

x 2

+

2

x + + >1 1 0)

Số nghiệm của phương trình chính là số giao ñiểm của ñồ thị hai hàm số y=m và

y=f (x)

Xét hàm số y=f (x), ta có:

2

2 2

x(x 2)

f '(x)

+ + + −

+ − + +

2

1

2

3



≥





2

2

x

x x

+

và

xlim f (x) 1

Bảng biến thiên

x

−∞ 4

3 +∞

f’(x) + 0 −

f(x)

5 4

1 − 1

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: • Nếu 5 m 4 m 1  >  ⇒  ≤ −  phương trình vô nghiệm • Nếu 5 m 4 1 m 1  =  ⇒  − < ≤  phương trình có một nghiệm • Nếu 1 m 5 4 < < ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý : Khi ñặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác ñịnh của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác ñịnh vừa tìm Cụ thể: * Khi ñặt t =u(x), x∈D, ta tìm ñược t∈Y và phương trình f (x, m)=0(1) trở thành g(t, m)=0 (2) Khi ñó (1) có nghiệm x∈D ⇔(2) có nghiệm t∈Y * ðể tìm miền xác ñịnh của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác ñịnh của t chính là miền giá trị của hàm u(x) ) * Nếu bài toán yêu cầu xác ñịnh số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị t∈Y thì phương trình u(x)=t có bao nhiêu nghiệm x∈D? Ví dụ 11: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm 1) x + 9− = −x x2 +9x+m 2) 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x) =m 3) m( x− +2 2 x4 2 −4)− x + =2 2 x4 2 −4 Giải: 1) ðiều kiện: 0≤ ≤x 9 Phương trình ⇔ +9 2 x(9−x) = − +x2 9x+ ⇔ − =m 2 m x(9−x)−2 x(9−x) ðặt t x(9 x) 0 t x 9 x 9 2 2 + − = − ⇒ ≤ ≤ = Ta có phương trình : 2− = − =m t2 2t f (t) (1)

Phương trình ñã cho có nghiệm ⇔(1) có nghiệm t [0; ]9

2

∈

Xét hàm số f(t) với t [0; ]9

2

∈ , có f '(t)= − >2t 2 0⇒f '(t)= ⇔ =0 t 1 Bảng biến thiên:

t

0 1 9

2 f’(t) − 0 +

f(t) 0

45 4 −1 Vậy phương trình có nghiệm 1 2 m 45 37 m 3

2) ðiều kiện: − ≤ ≤3 x 6

ðặt

2

2

−

Phương trình ñã cho trở thành:

2

2

2

−

2 x 3 2 6 x

3

2

⇒ = ⇔ − = + ⇔ = Ta có bảng biến thiên của t(x)

x

3

− 3

2 6 t’(x) + 0 −

t(x) 3 2

3 3 Dựa vào bảng biến thiên ⇒t [3;3 2]∈

⇒ (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm t [3;3 2]∈

Xét hàm số f (t)= −t2 2t với 3≤ ≤t 3 2, có f '(t)= − > ∀ ∈2t 2 0 t [3;3 2]

⇒ f(t) là hàm ñồng biến trên [3;3 2]

Vậy phương trình có nghiệm 3 9 2m 18 6 2 6 2 9 m 3

2

−

3) ðiều kiện :x≥2

Ta thấy x =2 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình

cho 4x2 −4, ta ñược: 4 x 2 4 x 2

ðặt

4 4

4

4

4

⇔ > ⇔ >

−

Khi ñó (*) trở thành:

2

+

+

Phương trình ñã cho có nghiệm ⇔(3) có nghiệm t>1

Xét hàm số f(t) với t>1, có:

2

2

+ +

⇒ > = ∀ >

Vậy phương trình có nghiệm ⇔ >m 1

Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi ñặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác

ñịnh miền xác ñịnh của t Ở trên chúng ta ñã làm quen với ba cách tìm miền xác ñịnh của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác ñể tìm miền xác ñịnh của t Chẳng hạn:

Ở câu 2) ta có thể áp dụng BðT Côsi ñể tìm xác ñịnh của t :

2

2 (3+x)(6−x) ≤9⇒9≤ ≤t 18⇒3≤ ≤t 3 2

Ở câu 3 ñể tìm miền xác ñịnh ta có thể làm như sau:

− vì

1

x 2> ∀ > ⇒ >

Ví dụ 12: Tìm m ñể các phương trình

1) tan x2 +cot x2 +m(tan x+cot x)+3=0 có nghiệm

2) log x + log x+ −1 2m 1 0− = có nghiệm trên [1;3 3]

3)

m.9 − −(2m 1)6+ − +m.4 − =0 có nghiệm x thỏa mãn x 1

2

≥

Giải:

1) ðặt t=tan x+cot x⇒tan x2 +cot x2 = −t2 2 và | t | 2≥

Phương trình ñã cho trở thành:

2

t

+ + + = ⇔ = − (3) ( vì t≠0) Phương trình ñã cho có nghiệm ⇔(3) có nghiệm t thỏa mãn | t | 2≥

Xét hàm số

2

f (t)

t

+

= với | t | 2≥ , ta có:

2 2

t

−

Bảng biến thiên

t −∞ -2 2 +∞

f’(t) + +

f(t) -5/2 +∞

−∞ 5/2

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm | m | 5

2

2) ðặt t= log x23 +1⇒log x32 = −t2 1 Với 1 x≤ ≤3 3 ⇒1 t≤ ≤2

Phương trình ñã cho trở thành: t2 + =t 2m+2 (2)

Phương trình ñã cho có nghiệm trên [1;3 3]⇔(2) có nghiệm 1 t≤ ≤2

Xét hàm số f (t)= +t2 t với 1 t≤ ≤2, ta thấy f(t) là hàm ñồng biến trên [1;2] Suy ra 2=f (1)≤f (t)≤f (2)= ∀ ∈5 t [1;2]

Vậy phương trình có nghiệm 2 2m 2 5 0 m 3

2

⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤

3) ðặt u=2x2 −x⇒u '(x)=4x−1

Lập bảng biến thiên của u(x) ta u 0 x : x 1

2

Bất phương trình trở thành: m9u −(2m+1)6u +m4u =0

2

(trong ñó ta ñặt

u

3

2

 

2

2

t

− + (3) (do t=1 không là nghiệm PT)

Yêu cầu bài toán ⇔(3) có nghiệm t >1

Xét hàm số f (t) với t>1, có

2

−

Bảng biến thiên

t 1 +∞

f(t)

+∞

0 Vậy m>0 là những giá trị cần tìm

Ví dụ 13: Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm

(4m−3) x+ +3 (3m−4) 1− + − =x m 1 0 (1)

Giải: ðiều kiện : − ≤ ≤3 x 1

Phương trình ⇔m(4 x+ +3 3 1− + =x 1) 3 x+ +3 4 x − +1 1

3 x 3 4 1 x 1

m

4 x 3 3 1 x 1

Vì ( ) (2 )2

x +3 + 1−x =4 nên ta có thể ñặt:

2 2 2

2t



+ =





−



với 0≤ ≤t 1

Khi ñó (2) trở thành:

(1) có nghiệm ⇔(3) có nghiệm t [ 1;1]∈ −

Xét hàm số f(t) với t [0;1]∈ , có

2

+ +

Vậy phương trình có nghiệm 7 m 9

Chú ý : Chắc có lẽ các bạn sẽ thắc mắc vì sao lại nghĩ ra các ñặt như vậy ? Mới

nhìn vào có vẻ thấy các ñặt t ở trên thiếu tự nhiên Thực chất ra các ñặt ở trên ta ñã

bỏ qua một bước ñặt trung gian Cụ thể:

Từ ñẳng thức ( ) (2 )2

x+3 + 1−x =4 ta ñặt x 3 2sin





π α∈ ,

sau ñó ta lại tiếp tục ñặt t tan

2

α

= nên ta mới có:

2 2 2

2t

x 3 2

1 t

1 t

1 x 2

1 t



+ =





−



ðến ñây chắc

các bạn thấy cách ñặt ở trên hoàn toàn rất tự nhiên phải không?!

Ví dụ 14: Xác ñịnh mọi giá trị của tham số m ñể hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

2

3

2

log (x 1) log (x 1) log 4 (1) log (x 2x 5) m log 2 5 (2)

− +

+ − − >





Giải: ðiều kiện :x >1

x

Vậy hệ ñã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔(2) có hai nghiệm phân biệt 1< <x 3 ðặt t=log (x2 2 −2x+5)⇒2< < ∀ ∈t 3 x (1;3) và (2) trở thành

2

m

t

Từ cách ñặt t ta có: (x−1)2 =2t −4⇒ Với mỗi giá trị t∈(2;3) thì cho ta ñúng một giá trị x∈(1;3) Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt x∈(1;3)⇔(3) có 2 nghiệm phân biệt t∈(2;3)

Xét hàm số f (t)= −t2 5t với t∈(2;3) f '(t) 2t 5 f '(t) 0 t 5

2

Bảng biến thiên

t

2 5

2 3 f’(t) − 0 + f(t)

6

− 6−

25

4

−

⇒ (3) có 2 nghiệm phân biệt t (2;3) 25 m 6 6 m 25

∈ ⇔ − < − < − ⇔ < <

Ví dụ 14: Cho phương trình x6 +3x5 −6x4 −ax3 −6x2 +3x+ =1 0 (1) Tìm tất

cả các giá trị của tham số a, ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt

Giải: Vì x=0không phải là nghiệm phương trình Chia hai vế pt cho x3 ta ñược

x

x

= + ta có ñược phương trình:

t(t − +3) 3(t − − = ⇔ +2) 6t a t 3t − = +9t a 6 (2)

Từ cách ñặt t, ta có:x2 − + =tx 1 0 (3) ⇒∆ = − ≥ ⇔ ≥t2 4 0 t 2 Từ ñây ta có:

* Nếu t = ±2 thì phương trình (3) có một nghiệm

*Nếu t >2 thì với mỗi giá trị của t cho tương ứng hai giá trị của x

Nên (1) có ñúng hai nghiệm phân biệt ⇔(2) hoặc có ñúng hai nghiệm t=2 và t=-2 hoặc (2) có ñúng một nghiệm thỏa mãn |t|>2

TH 1: Nếu (2) có ñúng hai ngiệm t 2 2 a 6

22 a 6

= +



= ± ⇒ 

= +

 hệ vô nghiệm

TH 2: (2) có ñúng một nghiệm thỏa mãn |t|>2

Xét hàm số f (t)= +t3 3t2 −9t với t >2, có:f '(t)=3t2 + − =6t 9 3(t−1)(t+3)

Ta có bảng biến thiên:

t −∞ -3 -2 2 +∞

f’(t) + 0 - + f(t)

27 +∞

−∞ 22 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (2) có ñúng một nghiệm t >2

a 6 2 a 4

+ < < −

+ > >

Ví dụ 15: Tìm m ñể phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

m( 1+x − 1−x + =2) 2 1−x + 1+x − 1−x −1 (1)

Giải: ðiều kiện : x ≤1

≤ ≤



(1) trở thành:

2

− + +

+ (2)

Từ cách ñặt t

⇒ − =  ⇔ = ± −  ∀ ∈

⇒ với mỗi giá trị t∈(0;1] ta có hai giá trị x, còn t=0⇒x=0

Mặt khác:

2 2

⇒ (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔(2) có ñúng hai nghiệm t∈(0;1]

Xét hàm số f(t) với t [0;1]∈ , có:

2 2

− − +

+

Bảng biến thiên

t 0 5−2 1

f’(t) + 0 −

f(t)

1

2

1 3

2 5−

⇒(2) có hai nghiệm phân biệt t (0;1] 2 5 m 1

3

Vậy 2 5 m 1

3

− < ≤ là những giá trị cần tìm

Ví dụ 16: Biện luận số nghiệm của phương trình :

Giải:

(1)