Tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm

259 VẤN ĐỀ 10 Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có duy nhất nghiệm. 260 Vấn đề 10 Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có duy nhất nghiệm. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Hệ bất phương trình : Hệ bất phương trình là một tập hợp gồm nhiều bất phương trình. Nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp các giá trò của ẩn số nghiệm đúng đồng thời tất cả các bất phương trình của hệ. II. Hệ bất phương trình tương đương : Hai hệ bất phương trình (I) và (II) được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ (I) đều là nghiệm của hệ (II) và ngược lại : III. Để giải một hệ phương trình : Ta thực hiện một số các phép biến đổi tương đương để đưa từ một hệ đã cho về một hệ mới tương đương với hệ đã cho đó. Khi thực hiện các phép biến đổi ta thường sử dụng các tính chất của bất đẳng thức. VD : Nhân hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới tương đương với bất đẳng thức đã cho. Với chiểu bất đẳng thức được thay đổi ngược lại. Lời khuyên Để được biến đổi tốt trong quá trình giải các bất phương trình các em phải xem lại tất cả các tính chất của bất đẳng thức trước khi vào giải bất phương trình . IV. Các hệ bất phương trình thường gặp : Hệ bất phương trình bậc nhất. Hệ bất phương trình bậc hai. 261 Hệ bất phương trình hỗn hợp. (có thể chứa căn, logarit, mũ, các hàm số lượng giác …) V. Tìm m để hệ thỏa một yêu cầu nào đó . Chẳng hạn cho hệ có dạng sau : Hệ (E) : ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > (2) (1) DC BA Gọi S 1 là tập nghiệm củabpt (1) và S 2 là tập nghiệm của bpt (2). • Hệ (E) có nghiệm ⇔ S 1 ∩ S 2 ≠ ∅ • Hệ vô nghiệm ⇔ S 1 ∩ S 2 = ∅ • Hệ có duy nhất nghiệm ⇔ S 1 ∩ S 2 = { } 0 x với x 0 là 1 giá trò nào đó . Từ đó ta thường gặp các Các bài toán có liên quan đến Tìm m để hệ thoả : 1) Có nghiệm 2) Vô nghiệm ( tức là không có nghiệm chung) 3) Có nghiệm trên R . 4) Có duy nhất nghiệm. 5) Tập nghòêm này là con tập nghiệm kia 6) V.v… 262 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 a./ Giải hệ bất phương trình : ⎩ ⎨ ⎧ −≥+ ≤+ 1 144 yx yx (Trung tâm đào tạo bồi dưỡng cán bộ y tế , năm 1998) Giải Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≥+ ≤+ (2) -1yx (1) 144 yx Dễ thấy là : ( ) 044 2 ≥− yx ⇒ 4 x + 4 y ≥ yx 4.42 Hay 4 x + 4 y ≥ 2 yx+ 4 (*) Từ (2) và (*) ta suy ra : 4 x + 4 y ≥ 2 1 4 − = 1 Kết hợp với (1) ta được 4 x + 4 y = 1 Vậy (*) xảy ra dấu bằng , nên 4 x = 4 y Do đó 4 x = 4 y = 2 1 ⇒ x = y = - 2 1 b./ Giải hệ bất phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >−−+ <++ 01093 045 23 2 xxx xx (Đại học kinh tế quốc dân Hà Nội , năm 1998 – 1999) Giải Bất phương trình ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >−−+ <++ 01093 (1) 045 23 2 xxx xx Ta có : (1) ⇔ -4 < x < -1 ⇔ x ∈ [-4 ; -1] Xét hàm số y = x 3 + 3x 2 – 9x – 10 trên [-4 ; -1] y’ = 3x 2 + 6x – 9 = 3(x 2 + 2x – 3) y’ = 0 ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒−= −=⇒= 173 151 yx yx y(-4) = 10 ; y(-1) = 1 Từ bảng biến thiên của y trên [-4 ; -1] ta thấy 263 y = x 3 + 3x 2 - 9x – 10 > 0 ∀x ∈ [-4 ; -1] Vậy nghiệm của bất phương trình là –4 < x < -1 Bài 2 Cho hệ bất phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <−+− > +− +− (2) 012 (1) 1 86 952 22 2 2 mmxx xx xx Đònh m để (1) và (2) không có nghiệm chung Hướng dẫn : (1) ⇔ x < 2 hay x > 4 (2) có S = (m –1 ; m + 1) (1) và (2) không có nghiệm chung khi S 1 ∩ S 2 là rỗng ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≤+ ≥− 3 3 41 21 m m m m ⇔ m = 3 Bài 3 Cho hệ 22 1 0 (1) 3 210 (2) x x xxm − ⎧ < ⎪ − ⎨ ⎪ −−+≤ ⎩ a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Phương pháp : Tìm m để hệ có nghiệm ta có thể tìm m để hệ vô nghiệm .Sau đó lấy phần bù của kết quả này. Hướng dẫn giải : a) Ta có : tập nghiệm của bất phương trình (1 ) là S 1 = (1 ; 3) Bpt (2) có thể có tập nghiệm là : S 2 = (1 – m ; 1 + m) (2a) hay (1 + m ; 1 – m ) (2b) Vấn đề ở chỗ chúng ta chưa biết được giữa 1 – m và 1 + m số nào lớn hơn nên ta xét. Hiệu số : A = 1 – m – (1 + m) = -2m • m < 0 : S 2 = [1 + m ; 1 – m ] Hệ vô nghiệm khi S 1 ∩ S 2 là rỗng 264 ⇔ 1 – m ≤ 1 hay 1 + m ≥ 3 ⇔ m ≥ 0 hay m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2 mà m < 0 (điều kiện trên) do đó m thuộc rỗng • m = 0 :S 2 = {} 1 Dễ thấy S 1 ∩ S 2 là rỗng nên m= 0 nhận. • m > 0 :S 2 = [1 – m ; 1 + m] Hệ vô nghiệm khi 1 + m ≤ 1 hay 1 – m ≥ 3 ⇔ m ≤ 0 hay m ≤ -2 ⇔ m ≤ 0 mà m > 0 (điều kiện trên) nên m thuộc rỗng . Hợp các tập hợp trên lại ta được m = 0 thì hệ vô nghiệm nên m ≠ 0 thì hệ có nghiệm b) Để hệ có nghiệm duy nhất , xem xét sự tương giao của 2 tập hợp trong câu a) cho ta m ∅ ∈ .(bạn đọc tự kiểm lại). Bài 4 Cho hệ bất phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− ≤+− )2(0mx )1(036x13x 22 24 Đònh m để hệ có nghiệm duy nhất Giải Đặt t = x 2 (t ≥ 0) (1) ⇔ t 2 – 13t + 36 ≤ 0 ⇔ 4 ≤ t ≤ 9 ⇔ 4 ≤ x 2 ≤ 9 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− ≥∨−≤ 33 22 x xx ⇔ -3 ≤ x ≤ -2 hay 2 ≤ x ≤ 3 (2) ⇔ x 2 – m 2 ≥ 0 Do đa thức ở vế trái có 2 nghiệm là m và –m • m < 0 : S 2 = (-∞ ; m] ∪ [-m ; +∞) Hệ có nghiệm duy nhất khi m = -3 hay –m = 3 ⇔ m = -3 • m > 0 : S 2 = (-∞ ; –m) ∪ (m ; +∞) Hệ có nghiệm duy nhất khi –m = -3 hay m = 3 ⇔ m= 3 Vậy: m = 3 ∨ m = -3 thì hệ có nghiệm duy nhất 265 Bài 5 Tìm m để hệ sau vô nghiệm : () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <+ <− (2) 21m (1) 01 2 2 x x Sau đó tìm m để hệ có nghiệm. Giải (1) ⇔ -1 < x < 1 (hay tập nghiệm của bất phương trình là (1) là S 1 = (-1 ; 1) (2) ⇔ x < 1 2 2 +m hay S 2 = (- ∞ ; 1 2 2 + m ) Dựa vào sự tương giao của 2 tập nghiệm Hệ vô nghiệm ⇔ 1 2 2 + m ≤ -1 ⇔ m 2 + 3 ≤ 0 ⇔ m ∈ ∅ Hệ có nghiệm ⇔ 1 2 2 + m > 1 ⇔ m 2 + 3 > 0 ⇔ m ∈ R Bài 6 Tìm m để hệ sau có nghiệm : () ⎩ ⎨ ⎧ −<+ ≤− (2) 2x1m (1) 3x2x 2 Hướng dẫn : (1) ⇔ x 2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 3 Tập nghiệm (1) : S 1 = [-1 ; 3] (2) ⇔ (m + 1)x < -2 • m = -1 : (2) ⇔ 0 < -2 ⇔ m ∈ ∅ ⇔ S 2 = ∅ 266 Hệ vô nghiệm nên ta nhận m = -1 (*) • m ≠ -1 : * m > -1 : x < 1 2 + − m : S 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −∞− 1 2 ; m Dể hệ vô nghiệm thì 1 1 2 −≤ + − m ⇔ m ≤ 1 ⇒ -1 < m ≤ 1 (2a) * m < -1 : x > 1 2 + − m : S 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞ + − ; 1 2 m Để hệ vô nghiệm thì 3 1 2 ≥ + − m ⇔ m ≥ 3 5 − Kết luận : - 3 5 ≤ m < -1 (2b) Cuối cùng : hợp (2a) , (2b) và (*) ta được : - 3 5 ≤ m ≤ 1 Bài 7 Đònh m để hệ bpt sau vô nghiệm : 2 22 x3x20(1) x(m1)x2mm0(2) ⎧ ++< ⎪ ⎨ −−− +≤ ⎪ ⎩ Giải (1) 2 x 1⇔− < <− (2). Đặt f(x) VT= Ta có : 22 m2m18m4m∆= − + + − 22 9m 6m 1 (3m 1) 0 m R=−+=−≥∀∈ Do ∆ chỉ có 2Khả Năng là dương hoặc bằng 0. Ta xét : (*) TH1 : 1 0m 3 ∆= ⇔ = 267 Bất phương trình (2) có duy nhất nghiệm 1 x 3 = − và 1 (2;1) 3 − ∉− − Vậy hệ vô nghiệm. Nên 1 m 3 = thỏa YCĐB (a) (*) TH2 : 1 0m 3 ∆> ⇔ ≠ Ta có bảng xét dấu của f(x) là : Để hệ vô nghiệm thì khả năng xảy ra : 12 12 12 12 21xx 1xx(*) xx 21 xx 2(*) −<−< < −< < ⎡⎡ ⇔ ⎢⎢ <<−<− <<− ⎣⎣ (*) 12 1x x−< < 2 f( 1) 0 1 m 1 2m m 0 11 mm 33 Sm12 10 22 ⎧⎧ ⎪⎪ −> + −− + > ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔≠ ⇔≠ ⎨⎨ ⎪⎪ −+ ⎪⎪ >− > ⎪⎪ ⎩⎩ 2m(m 1) 0 0 m 0 11 mm 33 m10 m 1 − <<< ⎧⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔≠ ⇔≠ ⎨⎨ ⎪⎪ +> >− ⎪⎪ ⎩⎩ 1 0m1\ (b) 3 ⎧⎫ ⇔< < ⎨⎬ ⎩⎭ (**) 12 xx 2<<− ⇔ 2 f( 2) 0 4 2(m 1) 2m m 0 11 mm 33 Sm1 20 20 22 ⎧⎧ ⎪⎪ − >+−−+> ⎪⎪ ⎪⎪ ≠⇔≠ ⎨⎨ ⎪⎪ − ⎪⎪ +< +< ⎪⎪ ⎩⎩ 2 1 m2 2m 3m 2 0 2 11 mm 33 m140 m 3 − ⎧ < < ⎧ ⎪ −++> ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⇔≠ ⇔≠ ⎨⎨ ⎪⎪ −+ < <− ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⇔ m ∈ ∅ (c) 268 Hợp (a) (b) (c) : 1 m 3 m 1 0m1\ 3 ⎡ = ⎢ ⎢ ⎢ ∈∅ ⎢ ⎧ ⎫ ⎢ << ⎨ ⎬ ⎢ ⎩⎭ ⎣ ⇔ 0 < m < 1 Bài 8 Tìm tất cả các giá trò của tham số m để hệ bất phương trình sau đây có nghiệm : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤++ ≥−+ 1m m yxy2x2 3yxy2x5 22 22 Giải Đặt 1 m m − = n . Ta có hệ : ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤++ ≥−+ nyxy2x2 3yxy2x5 22 22 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤++ −≤+−− )2(nyxy2x2 )1(3yxy2x5 22 22 Sau khi nhân 2 vế của (2) với 3 và cộng từng vế với (1); ta được : (x+2y) 2 ≤ -3 + 3n Điều kiện cần để hệ có nghiệm là : -3 + 3n ≥ 0 ⇔ n ≥ 1 Thử lại : với n ≥ 1 ; để chứng minh hệ đãa cho có nghiệm , cchỉ cần chứng minh hệ sau có nghiệm : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤++ ≥−+ 1yxy2x2 3yxy2x5 22 22 Tương tự cách làm trên ta đi đến (x+2y) 2 ≤ 0 ⇔ x + 2y = 0 ⇔ x = -2y . Thế vào hệ trên ta được : [...]... hệ bất phương trình : ⎧ x 2 + 2x + (m − 1) ≤ 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪ x − 4x + 6(m + 1) < 0 ⎩ a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m để có nghiệm duy nhất Đáp số : a) -5/3 < m ≤ 0 b) m = 0 Bài 8 Đònh m để hệ sau đây vô nghiệm : ⎧x 2 − 2x − 3 < 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪2m x − 9 > (5m − 3)x ⎩ Bài 9 Cho hai bất phương trình : ⎧x 2 − 4x + 3 < 0 (1) ⎪ ⎨ 2 ⎪3x + 2(3 − m)x + 5 − 2m < 0 (2) ⎩ Đònh m sao cho : 1) Mỗi nghiệm của (1) cũng là nghiệm. .. xét : Có thể nhẩm nghiệm, thấy f(x) có một nghiệm là một và nghiệm kia là a Kí hiệu : x1 < x2 thì khi a > 1 ta có x1 = 1 ; x2 = a còn khi a < 1 ta có x1 = a ; x2 = 1 Suy ra khi a < 1 hệ (1) , (2) vô nghiệm ; còn khi a > 1 để hệ có nghiệm thì x2 = a, phải lớn hơn 3 2 277 C BÀI TẬPTƯƠNG TỰ Bài 1 ⎧x 2 − 2x ≤ 3 Cho hệ : ⎨ ⎩(m + 1)x < −2 Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2 ⎧2 x 2 − 3x ≥ −1 ⎪ Cho hệ : ⎨ Tìm m để. .. Cho f(x) = m(m + 3)x+2 mx + 2 Đònh m để bất phương trình f(x) > mx2 có tập nghiệm là R (2,5đ) Bài 4 ⎧ 2 ⎪x − 1 ≤ 0 vô nghiệm ⎪(m − x 2 )( x + m) < 0 ⎩ Tìm m để hệ : ⎨ (Đại học giao thông vận tải năm 98) 278 Bài 5 ⎧x 2 − (m + 2) x + 2m < 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪ x + ( m + 7) x + 7 m < 0 ⎩ Tìm m sao cho hệ sau có nghiệm : (Học viện quan hệ Quốc tế , khối D) Bài 6 Tìm m để hệ sau có nghiệm : ⎧x 2 − 2 x + 1 − m ≤ 0 ⎪ ⎨... m ⎪3x 2 + 10 xy − 5 y 2 ≤ −2 ⎩ Giải 1− m • Điều kiện cần : Đặt a = ta có hệ sau: 1+ m 2 2 ⎧ ⎧x 2 + 2xy − 7 y 2 ≥ a ⇔ ⎨− 22x − 4xy + 14 y ≤ −2a ⎨ 2 2 2 ⎩3x + 10 xy − 5 y ≤ −2 ⎩3x + 10 xy − 5y ≤ −2 Ta có : x 2 + 6xy + 9 y 2 ≤ −2a − 2 ⇔ ( x + 3y) 2 ≤ −2a − 2 Bất phương trình trên có nghiệm khi − 2a − 2 ≥ 0 ⇔ a ≤ − 1 • Điều kiện đủ : Với a ≤ − 1 Xét hệ phương trình: 2 ⎧x 2 + 2xy − 7 y 2 = −1 ⎧ 2 ⇔ ⎨x +... 2 − 3x ≥ −1 ⎪ Cho hệ : ⎨ Tìm m để hệ có nghiệm ⎪(m + 1)x 2 − 4 ≤ 0 ⎩ Đề toán tham khảo Đề thi giữa HKII – Khối 10-THPT Chuyên Lê Hồng Phong- 2001-2002 Bài 1 Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau : (5đ) a) x −x−4 ≥ 2x x−3 2 ⎧ 2x + 3 x + 1 ⎪ x + x+2 ≤2 ⎪ b) ⎨ 2 ⎪− 1 < 10 x − 3 x − 2 < 1 ⎪ − x 2 + 3x − 2 ⎩ Bài 2 Đònh m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm : (2,5đ) ⎧ x 2 + 3x + 2 < 0 ⎪... 5 y = −2 ⎩( x + 3y) = 0 ⎡⎧ 3 ⎢⎪x = − 2 ⎢⎨ 1 ⎢⎪ y = 2 ⎧4 y = 1 2 ⇔ ⎨ ⇔ ⎢⎩ x = −3y ⎧ ⎢ x=3 ⎩ ⎢⎪ 2 ⎢⎨ 1 ⎢⎪ y = − 2 ⎣⎩ Điều đó chứng tỏ hệ có nghiệm 1− m Chuyển vế m : a ≤ − 1 ⇔ ≤ −1 ⇔ m < −1 1+ m Kết luận : Hệ scó nghiệm ⇔ m ≤ − 1 271 Bài 12 Tìm tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : ⎧x 2 + (2 − 3m 2 ) x − 6m 2 < 0 ⎨ 2 2 ⎩x − (2m + 5) x + m + 6 ≥ 0 (Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội ) Giải ⎧− 2 < x 0 (Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) Giải ⎧ x 2 + 5x + 4 < 0 − 4 < x < −1 ⎧ ⇔ ⎨ 3 2 ⎨ 3 x + 3x 2 − 9x − 10 > 0 ⎩f ( x ) = x + 3x − 9x − 10 > 0 ⎩ Ta có : f’(x) = 3 (x2 + 2x –... 2 = 2 2 Để hệ (2) , (3) có nghiệm ta phải có : R≥d⇔ Bài 15 a +1 ≥ 2 1 ⇔a≥ − 2 2 Với những giá trò nào của m thì hệ bất phương trình sau có nghiệm : ⎧ x 2 − ( m + 2) x + 2 m < 0 ⎨ 2 ⎩ x + ( m + 7) x + 7 m < 0 (Đề Học Viện Quan Hệ Quốc Tế ) Giải ⎧ x 2 − ( m + 2) x + 2 m < 0 ⇔ (I) ⎧( x − 2)( x − m) < 0 ⎨ 2 ⎨( x + 7)( x + m) < 0 x + ( m + 7) x + 7 m < 0 ⎩ ⎩ Rõ ràng với m = 2 , m= 7 thì (I) vô nghiệm ... 3 ⎪ ⎨ 2 ⎪5y ≤ 1 ⎩ ⇔ y2 = ⎛ 2 ⎝ 5 Hệ rõ ràng có nghiệm : ⎜ − ⎜ ; 1 ⎞ ⎟; ⎟ 5⎠ Vậy hệ đã cho nghiệm ⇔ n ≥ 1 ⇔ 1 5 ⇔ y= ± 1 5 ⎛ 2 1 ⎞ ⎜ ;− ⎟ ⎜ ⎟ 5⎠ ⎝ 5 m 1 ≥1⇔ ≥0 ⇔m>1 m −1 m −1 Bài 9 Tìm tất cả các giá trò của tham số a để hệ sau có nghiệm (x ; y) thoả mãn điều kiện : x≥4 : ⎧ x + y =3 ⎪ ⎨ ⎪ x+5 + y+3 ≤ a ⎩ Giải ⎧ x + y = 3(1) ⎪ ⎨ ⎪ x + 5 + y + 3 ≤ a ( 2) ⎩ Ta có : Từ (1) ⇒ y = 3− x Vì y ≥ 0 ⇒ 3 − x ≥ 0... hoặc y = 1 * Với y = 0 , ta có hệ : 1 ⎧ 2 1 ⎧ 2 (1) ⎪ x − 2x < ⎪ ⇔ ⎨ x − 2x < 2 ⎨ 2 ( 2) ⎪− 1 < x < 3 ⎪ x −1 < 2 ⎩ ⎩ Xét (2) : vì x ∈ Z nên x chỉ có thể là 0 ; 1 ; 2 270 Kết hợp với (1) , ta lấy x = 0 ; x = 2 * Với y = 1 Tương tự ta được : x = 1 Vậy : ⎧x = 0; ⎧x = 2 ; ⎧x = 1 ⎨y = 0 ⎨y = 0 ⎨y = 1 ⎩ ⎩ ⎩ Bài 11 Tìm tất cả các giá trò của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : 1− m ⎧ 2 ⎪x + 2 . 10 Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có duy nhất nghiệm. 260 Vấn đề 10 Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có duy nhất nghiệm. A. TÓM. Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Phương pháp : Tìm m để hệ có nghiệm ta có thể tìm m để hệ vô nghiệm .Sau đó lấy phần bù của kết quả này. Hướng dẫn giải : a) Ta có. Hệ bất phương trình : Hệ bất phương trình là một tập hợp gồm nhiều bất phương trình. Nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp các giá trò của ẩn số nghiệm đúng đồng thời tất cả các bất phương