Tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm

VẤN ĐỀ 10 Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có duy nhất nghiệm... Vấn đề 10 Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có duy nhất nghiệm.. Nghiệm của hệ bất

VẤN ĐỀ 10

Tìm m để hệ bất phương trình vô

nghiệm, có nghiệm, có duy nhất

nghiệm

Vấn đề 10

Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có duy nhất

nghiệm

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Hệ bất phương trình :

Hệ bất phương trình là một tập hợp gồm nhiều bất phương trình Nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn số nghiệm đúng đồng thời tất cả các bất phương trình của hệ

II Hệ bất phương trình tương đương :

Hai hệ bất phương trình (I) và (II) được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ (I) đều là nghiệm của hệ (II) và ngược lại :

III Để giải một hệ phương trình :

Ta thực hiện một số các phép biến đổi tương đương để đưa từ một hệ đã cho về một hệ mới tương đương với hệ đã cho đó Khi thực hiện các phép biến đổi ta thường sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

VD :

Nhân hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới tương đương với bất đẳng thức đã cho Với chiểu bất đẳng thức được thay đổi ngược lại

Lời khuyên

Để được biến đổi tốt trong quá trình giải các bất phương trình các em phải xem lại tất cả các tính chất của bất đẳng thức trước khi vào giải bất phương trình

IV Các hệ bất phương trình thường gặp :

Hệ bất phương trình bậc nhất

Hệ bất phương trình hỗn hợp (có thể chứa căn, logarit, mũ, các hàm số lượng giác …)

V Tìm m để hệ thỏa một yêu cầu nào đó

Chẳng hạn cho hệ có dạng sau :

(1)

D C

B A

Gọi S1 là tập nghiệm củabpt (1) và S2 là tập nghiệm của bpt (2)

• Hệ (E) có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ ∅

• Hệ vô nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 = ∅

• Hệ có duy nhất nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 = { } x0 với x0 là 1 giá trị nào đó

Từ đó ta thường gặp các Các bài toán có liên quan đến

Tìm m để hệ thoả :

1) Có nghiệm

2) Vô nghiệm ( tức là không có nghiệm chung)

3) Có nghiệm trên R

4) Có duy nhất nghiệm

5) Tập nghịêm này là con tập nghiệm kia

6) V.v…

B BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

≤+1

144

y x

y x

(Trung tâm đào tạo bồi dưỡng cán bộ y tế , năm 1998)

Giải Hệ ⇔

⎩

⎨

⎧

≥+

≤+

(2) -1y

x

(1) 14

Hay 4x + 4y ≥ 2 x+y

4 (*) Từ (2) và (*) ta suy ra : 4x + 4y ≥ 2 1

4− = 1 Kết hợp với (1) ta được 4x + 4y = 1

Vậy (*) xảy ra dấu bằng , nên 4x = 4y

Do đó 4x = 4y =

2

1 ⇒ x = y =

-2 1

b./ Giải hệ bất phương trình :

<

+ +

0 10 9 3

0 4 52 3 2

x x x

x x

(Đại học kinh tế quốc dân Hà Nội , năm 1998 – 1999)

Giải Bất phương trình ⇔

<

+ +

0 10 9 3

(1) 0 4 52 3 2

x x x

x x

15 1

y x

y x

y(-4) = 10 ; y(-1) = 1

Từ bảng biến thiên của y trên [-4 ; -1] ta thấy

(1) 1 8 6

9 5 2

2 2

2 2

m mx x

x x

x x

Định m để (1) và (2) không có nghiệm chung

a) Tìm m để hệ có nghiệm

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Phương pháp :

Tìm m để hệ có nghiệm ta có thể tìm m để hệ vô nghiệm Sau đó lấy phần bù của kết quả này

Hướng dẫn giải :

a) Ta có : tập nghiệm của bất phương trình (1 ) là S1 = (1 ; 3)

Bpt (2) có thể có tập nghiệm là : S2 = (1 – m ; 1 + m) (2a) hay

Hệ vô nghiệm khi 1 + m ≤ 1 hay 1 – m ≥ 3

⇔ m ≤ 0 hay m ≤ -2 ⇔ m ≤ 0 mà m > 0 (điều kiện trên) nên m thuộc rỗng Hợp các tập hợp trên lại ta được m = 0 thì hệ vô nghiệm nên

m ≠ 0 thì hệ có nghiệm

b) Để hệ có nghiệm duy nhất , xem xét sự tương giao của 2 tập hợp trong câu a) cho ta m ∈∅.(bạn đọc tự kiểm lại)

−

) 2 ( 0 m x

) 1 ( 0 36 x 13 x

2 2

2 4

Định m để hệ có nghiệm duy nhất

Giải Đặt t = x2 (t ≥ 0)

2 2

x

x

x

⇔ -3 ≤ x ≤ -2 hay 2 ≤ x ≤ 3 (2) ⇔ x2 – m2 ≥ 0

Do đa thức ở vế trái có 2 nghiệm là m và –m

• m < 0 : S2 = (-∞ ; m] ∪ [-m ; +∞)

Hệ có nghiệm duy nhất khi m = -3 hay –m = 3 ⇔ m = -3

• m > 0 : S2 = (-∞ ; –m) ∪ (m ; +∞)

Hệ có nghiệm duy nhất khi –m = -3 hay m = 3 ⇔ m= 3

Vậy: m = 3 ∨ m = -3 thì hệ có nghiệm duy nhất

(1) 0 12 2

x x

Sau đó tìm m để hệ có nghiệm

Giải (1) ⇔ -1 < x < 1 (hay tập nghiệm của bất phương trình là (1) là S1 = (-1 ; 1)

Dựa vào sự tương giao của 2 tập nghiệm

Hệ vô nghiệm ⇔

(1) 3x2

Hệ vô nghiệm nên ta nhận m = -1 (*)

• m ≠ -1 :

* m > -1 : x <

1

2 +

Bất phương trình (2) có duy nhất nghiệm x 1

3

= − và 1 ( 2; 1)

3

− ∉ − −Vậy hệ vô nghiệm Nên m 1

Ta có bảng xét dấu của f(x) là :

Để hệ vô nghiệm thì khả năng xảy ra :

Hợp (a) (b) (c) :

1 m 3 m

≥

− +

1 m

m y

xy 2 x 2

3 y xy 2 x 5

2 2

2 2

Giải Đặt

≥

− +

n y xy

2

x

3 y xy

2

x

2 2

2 2

−

≤ +

−

−

) 2 ( n y xy 2 x

) 1 ( 3 y xy 2 x

2 2

2 2

Sau khi nhân 2 vế của (2) với 3 và cộng từng vế với (1); ta được :

(x+2y)2 ≤ -3 + 3n Điều kiện cần để hệ có nghiệm là : -3 + 3n ≥ 0 ⇔ n ≥ 1

Thử lại : với n ≥ 1 ; để chứng minh hệ đãa cho có nghiệm , cchỉ cần

chứng minh hệ sau có nghiệm :

≥

− +

1 y xy 2 x 2

3 y xy 2 x 5

2 2

2 2

Tương tự cách làm trên ta đi đến (x+2y)2 ≤ 0 ⇔ x + 2y = 0

⇔ x = -2y Thế vào hệ trên ta được :

3 y 152

2 ⇔ y2 =

1

; 5

2

Vậy hệ đã cho nghiệm ⇔ n ≥ 1 ⇔

1 m

=+

a3y5x

3yx

=+

)2(a3y5x

)1(3yx

Đặt t = x , ta được :

a12t6t5

t2 + + 2 − + ≤ ; 2 ≤ t ≤ 3

Xét hàm : f(t) = t2 +5+ t2 −6t+12 ≤a ; 2 ≤ t ≤ 3

f’(x) =

12t6t

3t5

5 t ) 3 t ( 12 t 6 t t

2 2

2 2

+

− +

+

− + +

02

1xx

02

1xx

2

1x

Vì y Z∈ , nên ta lấy y = 0 hoặc y = 1

* Với y = 0 , ta có hệ :

1xx2

1

1x

)2(

)1(

Xét (2) : vì x Z∈ nên x chỉ có thể là 0 ; 1 ; 2

Kết hợp với (1) , ta lấy x = 0 ; x = 2

* Với y = 1 Tương tự ta được : x = 1

2yxy10x

m1

m1yxy2x

2 2

2 2

Giải

• Điều kiện cần : Đặt a =

m1

m1+

− ta có hệ sau:

a2y14xy4x2

yxy

10

x

ay7xy

2

x

2 2

2 2

2 2

2 2

Ta có : x2 +6xy+ y2 ≤−2a−2⇔(x+ y)2 ≤−2a−2

Bất phương trình trên có nghiệm khi −2a−2 ≥ 0 ⇔ a ≤ 1−

• Điều kiện đủ : Với a ≤ 1−

Xét hệ phương trình:

10

x

1y

xy

2

x

2 2

2 2

(

1yxy2x

2 2 2

3x2

1y2

3x

m

1 ≤− ⇔ <−+

−Kết luận : Hệ scó nghiệm ⇔ m ≤ 1−

06mx)5m2(x

0m6x)m32(x

2 2

2 2

+

06mx)

2 2

≥ +

≤< <

−

3mx

2mx

m3x

m

Rm2

371

7xy11yx152

2 2

(Đề Đại Học Dược Hà Nội ) Giải

Vì 15x2 + y2 =11xy−7 ⇒ 11xy = 15x2 + 2y2 + 7 > 0 ⇒ xy > 0 Đặt x = ky ( k > 0 ) , ta có :

(15k2 – 11k +2) y2 = 7− ⇒ 15k2 – 11k + 2 < 0 ⇒

5

2k3

1< < (1) Lại có x < y ⇒ ky – y < 0 ⇒ k – 1 < 0 ⇒ y > 0

Ghép với phương trình thứ ba , ta được :

− (2)

− +

+

≤ +

2 a ) 1 y ( x 2 y x

2 y x

−

≤

+

) y x ( 2 a )

−

≤ +

2) y x ( 2 a ) 1 y ( x 2

2 y x

−

−

≤

)3(1a)2y()

1

x

(

)2(x

2

y

2 2

(2) là miền nằm dưới đường thẳng y = 2 – x , (3) là đường tròn tâm I (1 ; 2) bán kính R = a + 1 ( a ≥ -1) Khoảng cách từ I đến đường thẳng y = 2 – x là :

d =

2

2 2

2 2 1

=

− +

Để hệ (2) , (3) có nghiệm ta phải có :

R ≥ d ⇔

2

2 1

−

0m7x)7m(x

0m2x)2m(x2 2

(Đề Học Viện Quan Hệ Quốc Tế ) Giải

+ + + <

−

0m7x

−

0)mx)(

7x(

0)mx)(

2x( ((12))Rõ ràng với m = 2 , m= 7 thì (I) vô nghiệm

m có nghiệm vì m < m− Vậy hệ bất phuơng trình đã cho có nghiệm ⇔ m < 0

04xx

2 3 2

(Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) Giải

x

x

04

= <−

<

−

010xxx)x(

1x4

2 3

3log2yx

24.34

4

1 y 1

y x

(Đề Đại Học Kinh Tế ) Giải

2

y

x

24

1

y

x

((12))Đặt u = x y 1

4 + − ; v = y 1

4

3 − (u , v > 0) Theo (2) : uv = x y 2 log 43

4.34

3 + − ≥ − = 1 và 2 ≥ u + v ≥ 2 uv ≥ 2 Như vậy u = v = 1 Do đó hệ (1) và (2) tương đương với :

−3

14

01yx1

2

3log1x

4

4 ⇔

3

1log1y

01yx

4

>

−

− +

+

− 2 5 log

m ) 5 x x ( log

4 log ) 1 x ( log ) 1 x ( log

5 x x 2

2

3 3

3

2

Giải Bất phương trình đầu của hệ được viết dưới dạng :

1 x log

1 x 2 log 2 ) 1 x ( log 2 )

3 3

1 2

2 5

−nên hệ được viết thành

−

− +

−

<

<

5 ) 5 x 2 x ( log

m )

5 x 2 x ( log

3 x 1

2 2

2 2Đặt t = log2(x2 – 2x + 5) ≡ f(x) thì phương trình của hệ trở thành g(t) ≡ t2 – 5t – m = 0

Mặt khác , f(x) đồng biến trong khoảng (1; 3) và có miền giá trị là khoảng :

(f(1) ; f(3)) = (2 ; 3) Vậy mỗi t = f(x) ∈( )2;3 tương ứng với duy nhất

x ∈ (1 ; 3)

Từ đó , hệ có hai nghiệm phân biệt ⇔ g(t) có các nghiệm t1 , t2 thoả

2 < t1 < t2 < 3

3xx(

2

1 x 3 x log

2 0,5

) 2 (

) 1 (

3x2log

01x

3x2

5 , 0

⇔ 0 <

1 x

3 x 2 +

− < 1 ⇔

2

3 < x < 4

( do x2 –2x + 3 = (x – 1)2 ≥ 2 > 1) Xét BPT (2) : ∆ = ( a + 1 )2 − 4 a = ( a − 1 )2 ≥ 0 , ∀ a

• Nếu a ≠ 1 , tam thức f(x) = x2 - (a+1)x + a có hai nghiệm phân

x1 =

2

1 a 1

; x2 =

2

1 a 1

; 2

<

−

− +

8 1 a 1 a 2

3 x

4 x2 1

• Nếu a > 1 ,hệ trên ⇔ a >

2 3

<

−

− +

3 a 1 1 a

8 ) a 1 ( 1 a

⇒ không tồn tại a

Suy ra khi a < 1 hệ (1) , (2) vô nghiệm ; còn khi a > 1 để hệ có

nghiệm thì x2 = a, phải lớn hơn

2

3

2

x m

x x

Tìm m để hệ có nghiệm

−

≥

−

0 4 1

1 3 2

2 2

x m

x x

Tìm m để hệ có nghiệm

Đề toán tham khảo

Đề thi giữa HKII – Khối 10-THPT Chuyên Lê Hồng Phong- 2001-2002

+++

123

23101

22

13

2

2 2

x x

x x x

x x x

0 2

) 1 (

0 2 3

2 2

2

m m x m x

x x

x m (

0 1 x2

2

vô nghiệm (Đại học giao thông vận tải năm 98)

+ +

−

0 m 7 x ) 7 m ( x

0 m 2 x ) 2 m ( x2 2

(Học viện quan hệ Quốc tế , khối D)

−

≤

− +

−

0 m m x ) 1 m 2 ( x

0 m 1 x 2 x

2 2

2

Bài 7

Cho hệ bất phương trình :

2 2

a) Tìm m để hệ có nghiệm

b) Tìm m để có nghiệm duy nhất

1) Mỗi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)

2) Mỗi nghiệm của (2) cũng là nghiệm của (1)

Đáp số :

2

< ≤