GT 12 - Chương II - Bài 3 : Lôgarit

Chương II : Bài 3 Biên soạn : Phạm Quốc Khánh Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008 click I - KHÁI NiỆM LÔGARIT Tìm x để : 1 1 ) 2 8 ) 2 ) 3 81 ) 5 4 125 x x x x a b c d= = = = 3 ) 2 8 2 2 3 x x a x= ⇔ = ⇔ = 2 2 1 1 ) 2 2 2 2 4 2 x x b x −   = ⇔ = = ⇔ = −  ÷   4 ) 3 81 3 3 4 x x c x= ⇔ = ⇔ = 3 3 1 1 ) 5 5 5 3 125 5 x x d x −   = ⇔ = = ⇔ = −  ÷   Cho số a dương , phương trình : a b α = Đưa đến bài toán ngược nhau • Biết α tính b ( Tính lũy thừa với số mũ thực) • Biết b tính α ( Dẫn đến khái niệm mới là : lấy lôgarit của 1 số ) 1. Định nghĩa : Cho 2 số dương a và b , với a ≠ 1 . Số α thõa mãn đẳng thức a α = b , được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b. log a b a b α α = ⇔ = Ví dụ 1 : a) Tính : 1 3 2 1 log 4 ; log 27 1 2 ) log 4 2a = − b) Có các số x , y nào để 3 x = 0 và 2 y = -3 Vì sao ? 3 1 ; log 3 27 = − b) Không có x , y nào ? Chú ý : Không có lôgarit của số âm và số 0 click 2. Tính chất : Cho 2 số dương a và b , a ≠ 1 . Ta có các tính chất sau đây : ( ) log log 1 0 log 1 log a a a b a a a b a α α = = = = Hãy chứng minh các công thức trên Ví dụ 2 : Tính : 3 2.log 5 1 2 ) 3 ; ) log 8a b ( ) 3 3 2 2.log 5 log 5 2 ) 3 3 5 25a = = = 3 1 1 2 2 1 ) log 8 log 3 2 b −   = = −  ÷   Làm bài tại lớp : Tính : 5 2 1 log 1 3 log 7 1 ) 4 ; ) 25 c d    ÷   1 KQ : ) ) 9 49 c d II - QUY TẮC TÍNH LÔGARIT Cho b 1 = 2 3 ; b 2 = 2 5 . Tính : log 2 b 1 + log 2 b 2 ; log 2 (b 1 b 2 ) . Và so sánh các kết quả 3 5 2 1 2 2 2 2 log log log 2 log 2 3 5 8b b+ = + = + = ( ) ( ) 3 5 8 2 1 2 2 2 log log 2 .2 log 2 8b b = = = Vậy ta có : log 2 b 1 + log 2 b 2 = log 2 (b 1 b 2 ) KQ : 2 click 1. Lôgarit của một tích : Định lý 1 : Cho 3 số dương a ; b 1 ; b 2 với a ≠ 1 . Ta có : ( ) 1 2 1 2 log log log a a a b b b b= + Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit Chứng minh : Đặt m = log a b 1 ; n = log a b 2 Ta có m + n = log a b 1 + log a b 2 (1) Mặt khác b 1 = a m ; b 2 = a n nên b 1 b 2 = a m . a n = a m + n do đó m + n = log a (b 1 b 2 ) (2) Từ (1) và (2) có log a (b 1 b 2 ) = log a b 1 + log a b 2 Ví dụ 3 : Tính : 6 6 log 9 log 4+ ( ) 2 6 6 6 6 log 9 log 4 log 9.4 log 6 2+ = = = Chú ý : Định lý 1 còn mở rộng cho tích n số dương b 1 , b 2 , … , b n > 0 với a ≠ 1 ( ) 1 2 1 2 log . log log . log a n a a a n b b b b b b= + + + Ví dụ minh họa : Tính : 1 1 1 2 2 2 1 3 log 2 log log 3 8 + + click 2. Lôgarit của một thương : Cho b 1 = 2 5 ; b 2 = 2 3 . Tính : log 2 b 1 - log 2 b 2 ; log 2 (b 1 / b 2 ) . Và so sánh các kết quả Định lý 2 : Cho 3 số dương a ; b 1 ; b 2 với a ≠ 1 . Ta có : 1 1 2 2 log log log a a a b b b b   = −  ÷   Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit Đặc biệt a > 0 , b > 0 với a ≠ 1 . Ta có : 1 log log a a b b   = −  ÷   Chứng minh định lý 2 tương tự định lý 1 . Ví dụ 4 : Tính : 7 7 log 49 log 343− 7 7 7 7 49 1 log 49 log 343 log log 343 7 − = = 7 log 7 1= − = − click 3. Lôgarit của một lũy thừa : Định lý 3 : Cho 2 số dương a ; b với a ≠ 1 . Với mọi α , Ta có : log .log a a b b α α = Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số Đặc biệt a > 0 , b > 0 với a ≠ 1 . Ta có : 1 log log n a a b b n = Chứng minh : Đặt β = log a b thì b = a β Do đó b α = (a β ) α = a αβ Nên αβ = log a b α hay α .log a b = log a b α Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức : 1 7 2 5 5 1 ) log 4 ) log 3 log 15 2 a b − Giải : 1 2 7 7 2 2 2 2 2 ) log 4 log 2 log 2 7 7 a = = = 5 5 5 5 1 ) log 3 log 15 log 3 log 15 2 b − = − 5 5 3 1 log log 15 5 = = 1 2 5 1 log 5 2 − = = − click III - ĐỔI CƠ SỐ Gọi a = 4 ; b = 64 ; c = 2 . Tính : log a b ; log c a ; log c b . Và tìm ra hệ thức liên hệ kết quả log a b = log 4 64 = log 4 4 3 = 3 log c a = log 2 4 = log 2 2 2 = 2 log c b = log 2 64 = log 2 2 6 = 6 tìm ra hệ thức liên hệ kết quả log a b . log c a = log c b Định lý 4 : Cho 3 số dương a ; b ; c với a ≠ 1 và c ≠ 1 . Ta có : log log log c a c b b a = Đặc biệt b ≠ 1 . Ta có : 1 log log a b b a = α ≠ 0 có : 1 log .log a a b b α α = Chứng minh : Theo tính chất của lôgarit và định lý 3 ta có : ( ) log log log log .log a b c c a c b a b a= = Với a ≠ 1 nên log c a ≠ 0 . Do đó : c a c log b log b = log a click IV - VÍ DỤ ÁP DỤNG : Ví dụ 6 : Tính : 1 27 4 log 2 log 15 ) 2 ) 3a b Giải : 2 4 2 2 2 1 a) log 15= log 15 = log 15 = log 15 2 Vậy có : 2 log 15 2 = 15 3 -3 1 3 3 3 27 1 1 b) log 2 = log 2 = - log 2= log 3 2 Vậy có : 1 3 3 27 1 log 2 log 2 3 1 3 = 3 = 2 Ví dụ 7 : Cho α = log 2 20 . Hãy tính log 20 5 theo α . Giải : Ta có : ( ) .5 2 2 2 = log 20 = log 2 α 2 2 2 = log 2 +log 5 2 = 2+log 5 Vậy : 2 log 5 = - 2 α Do đó : 2 20 2 log 5 α - 5 log 5= = log 20α click Ví dụ 8 : Rút gọn biểu thức : 1 9 3 3 1 log 7 2.log 49 log 7 A = + − Giải : ( ) ( ) -1 2 1 2 2 -1 3 3 3 A= log 7 +2.log 7 - log 7 3 3 3 3 = -log 7+2log 7 +2log 7 = 3log 7 Ví dụ 9 : So sánh các số : log 2 3 và log 6 5 . Giải : Đặt : 2 6 = log 3 = log 5 α β Vậy : 1 2 3 2 1 α α = > ⇒ > 1 6 5 6 1 β β = < ⇒ < Suy ra : 2 6 = log 3 > = log 5 α β Ví dụ trắc nghiệm : Tập xác định của hàm số : 2 log 1 x y x − = − là : A (- ∞ ; 1) ∪ (2 ; + ∞) B (1 ; 2) C R \ {1} D R \ {1 ; 2} click V - LÔGARIT THẬP PHÂN – LÔGARIT TỰ NHIÊN : 1. Lôgarit thập phân : Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 và ký hiệu : 10 log log lgb b b= = 2. Lôgarit tự nhiên : Người ta chứng minh được dãy số (U n ) với 1 1 n n U n   = +  ÷   là một số vô tỉ là e ≈ 2 ,718 281 828 459 045 1 lim 1 n n e n →+∞   = +  ÷   Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e và ký hiệu : log ln e b b= Chú ý : • Người ta còn dọc : ln b là lôgarit Nêpe của b (do thói quen) • Muốn tính lôgarit cơ số khác 10 và e bằng máy tính thì dùng pp đổi cơ số Ví dụ : 2 lg3 log 3 1,584962501 lg 2 = ≈ 3 ln 0,8 log 0,8 0,203 114 013 ln3 = ≈ − click [...]...Các ví dụ trắc nghiệm : * Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau : A C ln x > 0 ⇔ x > 1 B log 1 a > log 1 b ⇔ a > b > 0 3 3 D log 2 x < 0 ⇔ 0 < x < 1 log 1 a = log 1 b ⇔ a = b > 0 2 2 Hãy Click vào ô A ; B ; C ; D tìm kết quả Củng cố và bài tập về nhà : * Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 68 sách giáo khoa GT1 2-2 008 click Chúc vạn sự như ý ! . Ví dụ 8 : Rút gọn biểu thức : 1 9 3 3 1 log 7 2.log 49 log 7 A = + − Giải : ( ) ( ) -1 2 1 2 2 -1 3 3 3 A= log 7 +2.log 7 - log 7 3 3 3 3 = -log 7+2log. có : 2 log 15 2 = 15 3 -3 1 3 3 3 27 1 1 b) log 2 = log 2 = - log 2= log 3 2 Vậy có : 1 3 3 27 1 log 2 log 2 3 1 3 = 3 = 2 Ví dụ 7 : Cho α = log 2 20 . Hãy