giới thiệu hệ thống phi tuyến

Một số đặc tính động học đặc trưng của hệ phi tuyến 4.. • Điểm cân bằng equilibrium là hằng số và duy nhất• Tính điều khiển được controllability và tính quan sát được observability được

1 Hệ thống tuyến tính vs Hệ thống phi tuyến

2 Mô hình toán hệ thống phi tuyến

3 Một số đặc tính động học đặc trưng của hệ phi tuyến

4 Điểm cân bằng và ổn định điểm cân bằng

5 Một số khâu phi tuyến thông dụng

Định nghĩa: Hệ thống tuyến tính là hệ thống thỏa mãn nguyên lý xếp chồng

( )

m m n n

()

(

)()

()

(

t Du t

Cx t

y

t Bu t

Ax t

x

• Điểm cân bằng (equilibrium) là hằng số và duy nhất

• Tính điều khiển được (controllability) và tính quan sát được

(observability) được xác định trực tiếp từ

và

• Đặc điểm cục bộ = đặc điểm toàn cục (ví dụ như tính ổn định)

• Dễ dàng phân tích trong miền tần số

Công cụ toán học: Đại số tuyến tính

• Hệ thống phi tuyến không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng:

- Hiện tượng bão hòa của cơ cấu chấp hành

- Sự tồn tại các hàm sin, cosin trong lĩnh vực robot

- Sự tồn tại của hiện tượng trễ (hysteresis) trong đáp ứng,

• Có thể tồn tại nhiều điểm cân bằng

• Tính điều khiển được và quan sát được rất khó để xác định

chứng minh

• Việc phân tích trong miền tần số rất khó khăn (đôi khi là không thể)

Đặc điểm hệ thống phi tuyến:

• Đặc điểm cục bộ ≠ đặc điểm toàn cục

• Hệ thống phi tuyến thể hiện đa dạng các đặc tính động học (ví dụ như

dao động tự kích, hiện tượng phân nhánh, hỗn loạn,…)

thiết kế bộ điều khiển (mỗi hệ thống có phương pháp điều khiển riêng)

Công cụ toán học: Vi phân và Lyapunov

Phương trình vi phân phi tuyến

l: chiều dài con lắc

m: khối lượng con lắc

θ: góc quay của con lắc

g: gia tốc trọng trường

k: hệ số ma sát (giả thiết ma sát cản tỷ lệ với vận tốc chuyển động của con lắc)

Phương trình chuyển động (định luật Newton)

Phương trình vi phân phi tuyến

( ) C ( )C

R C

L C

i i

v h

i dt

dv C

E v

v

Rh dt

v

dh L dt

dv RC dt

+ +

2

Phương trình vi phân phi tuyến

Giả thiết lực mà sát là tuyến tính và tỷ lệ với vận tốc

Phương trình chuyển động (với lò xo cứng)

F y

y a

k dt

dy c dt

d m

y

= +

+

2 2

Hệ phương trình trạng thái phi tuyến

Trong đó: là các tín hiệu vào:

là các biến trạng thái

n

x x

x

n

u u

u

n t x u f

u x t f u

x t f u

Hệ phi tuyến dừng (autonomous, time-invariant)

) , (

u x g y

u x f x

),(

x t g y

x t f x

Hệ phương trình trạng thái phi tuyến

Ví dụ 4: Con lắc

= > Hệ dừng, không bị kích thích

= > Hệ dừng, bị kích thích

Hiện tượng dao động (oscillator)

trong đó,

Hệ thống được gọi là có khả năng dao động (tự dao động hoặc dao động cưỡng

bức) nếu với một trạng thái ban đầu x(0) thì quỹ đạo của hệ thỏa mãn x(t) = x(t+T)

Ví dụ: Hệ dao động Van der Pol

quỹ đạo tương lai; nhạy với điều kiện đầu; không có tính chu kỳ,

1 3

2 3

1 2

1 2

1

) (

x x

x x

x x

x x

x x

Hiện tượng phân nhánh (bifurcation)

Sự phân nhánh là sự thay đổi trong điểm cân bằng,

quỹ đạo chu kỳ (periodic orbit), tính ổn định khi có

một tham số biến thiên (tham số phân nhánh)

13.6

-4 -3.5

-3 -3.9 -3.8 -3.7 -3.6 -3.5

id iq

15 20

25 30

35 0

20 -15 -10 -5 0 5 10

Chu trình kín khi μ = 14,1 < μ h .

Đối với hệ dừng, điểm cân bằng là nghiệm của phương trình

) ,

( x =

f

Đối với hệ phi tuyến, có thể tồn tại một điểm cân bằng cô lập (isolated equilibrium)

hoặc có thể tồn tại nhiều điểm cân bằng cô lập (multiple isolated equilibrium)

Điểm cân bằng

=>

Điểm cân bằng

Ví dụ 7: Xác định điểm cân bằng của hệ Tunnel-diode

=>

Xét hệ phi tuyến dừng, không bị kích thích

Giả thiết x e là điểm cân bằng của hệ, nghĩa là f(x e) = 0 Cần phân tích ổn

định của hệ tại điểm cân bằng

( )

( x f x x g x f

a) Là ổn định (stable) nếu khi hệ bị một tác động tức thời (như nhiễu) làm

cho hệ bật ra khỏi vị trí cân bằng tới một vị trí tùy ý x(0) nào đó thuộc

lân cận Θ của gốc tọa độ thì hệ có khả năng tự quay về một lân cận Θ’ khác cũng của gốc

b) Là ổn định tiệm cận (asymptotically stable-AS) nếu hệ là ổn định tại

x e = 0 với mọi trạng thái x(0) thuộc lân cận Θ và

Lân cận Θ này của gốc gọi là miền ổn định

c) Là ổn định tiệm cận toàn cục (global asymptotically stable-GAS)

nếu hệ ổn định tiệm cận và miền ổn định Θ là toàn bộ không gian trạngthái Rn

) 1

= x x dt

Điểm cân bằng: x ( x2 − 1 ) = 0  xe1 = − 1 ; xe2 = 0 ; xe3 = 1

Chiều mũi tên chỉ chiều tăng của t

• Hệ không ổn định tiệm cận tại xe1

• Hê không ổn định tiệm cận tại xe3

• Hệ ổn định tiệm cận tại xe2, miền ổn định tiệm

cận là

) 1 ( 2 −

= x x dt

dx

Ví dụ 8: Xét hệ phi tuyến không bị kích thích

Điểm cân bằng: x ( x2 − 1 ) = 0  xe1 = − 1 ; xe2 = 0 ; xe3 = 1

Chiều mũi tên chỉ chiều tăng của t

• Hệ không ổn định tiệm cận tại xe1

• Hê không ổn định tiệm cận tại xe3

• Hệ ổn định tiệm cận tại xe2, miền ổn định tiệm

cận là

Khâu bão hòa

Khâu rơ le ba vị trí

Khâu khuếch đại có vùng chết

Khâu khuếch đại bão hòa có trễ

Viết phương trình trạng thái mô tả hệ thống

2 Cho mạch điện với cuộn cảm phi tuyến như hình vẽ Giả sử rằng cuộn cảm phi

tuyến được mô tả bởi i L = LΦ L +μ Φ 3

L, trong đó Φ L là từ thông của cuộn cảm, L và μ

là các hằng số.

a) Chọn Φ L và vC là các biến trạng thái,

viết phương trình trạng thái của hệ

b) Tìm điểm cân bằng của hệ khi is = 0