phân tích hệ phi tuyến bậc 2

Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Nội dung Phân tích mặt phẳng pha Phân tích định tính hệ thống tuyến tính bậc Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích mặt phẳng pha Mơ tả hệ phi tuyến dừng bậc Gọi x(t) = (x1(t), x2(t)) nghiệm hệ với điều kiện đầu x0 = (x10,x20) • Đường biểu diễn biến thiên x(t) xuất phát từ x0 với t ≥ mặt phẳng x1-x2 gọi quỹ đạo (trajectory, orbit) • Mặt phẳng x1-x2 gọi mặt phẳng pha (phase plane) hay mặt phẳng trạng thái (state plane) • Tập hợp tất quỹ đạo (từ điều kiện đầu khác nhau) gọi quỹ đạo pha (phase portrait) Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích mặt phẳng pha Trường vector (vector field) f(x) = (f1(x), f2(x)) tiếp tuyến với quỹ đạo x dễ thấy Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích mặt phẳng pha Phương pháp xây dựng quỹ đạo pha Phương pháp tách biến Phương pháp đường đẳng tà Sử dụng phần gói phần mềm pplane chạy môi trường Matlab Link download: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/61636-pplane https://drive.google.com/drive/folders/1O55CfZBI4GEEkIiWmSq2Vyth_jzncc BX?usp=sharing Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích mặt phẳng pha Thông tin thu từ quỹ đạo pha • Điểm cân điểm mà đồ thị x(t) khơng có chiều mũi tên chiều tăng t • Điểm cân ổn định tiệm cận quỹ đạo thuộc lân cận có hướng tiến • Hệ có dao động có quỹ đạo tạo thành vòng khép kín dao động ỗn định quỹ đạo lân cận hướng vòng tròn khép kín • Hệ xuất hiện tượng hỗn loạn có quỹ đạo bị chặn khơng kết thúc điểm cân hay vòng tròn khép kín Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích mặt phẳng pha Một số ví dụ quỹ đạo pha (sử dụng pplane) Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống tuyến tuyến Xét hệ thống tuyến tính bậc 2: x = Ax Nghiệm x(t) có dạng: Trong đó: Jr ma trận Jordan A, M ma trận không suy biến thỏa mãn M-1AM=Jr Tùy thuộc vào trị riêng (λ1, λ2) A, Jr có dạng sau • (λ1, λ2) thực phân biệt • (λ1, λ2) thực • (λ1, λ2) phức λ1,2 = α ± jβ Đặt −1 z (t ) = exp( J r t ) M x0  x(t ) = Mz(t ) z (t ) = J r z (t ) Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống tuyến tuyến Trường hợp 1: trị riêng thực, phân biệt, khác không: λ1 ≠ λ2 ≠ λ1 < λ2 < λ2 > λ1 > λ2 < < λ1 • Vector riêng v1, v2 • Vector riêng v1, v2 • Vector riêng v2 ổn ổn định định, v1 không ổn định khơng ổn định • Điểm cân x = • Điểm cân x = • Điểm cân x = 0 gọi nút ổn định gọi điểm yên ngựa gọi nút không ổn (stable node) (saddle) định (unstable node) Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống tuyến tuyến Trường hợp 2: trị riêng phức: λ1,2 = α ± jβ α0 α=0 Điểm cân x = • Điểm cân x = • Điểm cân x = gọi điểm xoắn ốc ổn gọi điểm trọng tâm gọi điểm xoắn ốc định (stable focus) (centre) không ổn định (unstable focus) Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống tuyến tuyến Trường hợp 3: trị riêng thực : λ1 = λ2 = λ ≠ λ0 Điểm cân x = nút không ổn định (unstable node) Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân • Hành vi (behavior) định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân suy hành vi định tính hệ thống tuyến tính điểm cân => điểm cân thuộc: nút ổn định, nút không ổn định, điểm yên ngựa, điểm xoắn ốc ổn định, điểm xoắn ốc không ổn định, điểm trọng tâm • Việc xác định loại điểm cân thực thơng qua việc tuyến tính hóa? • Hệ thống phi tuyến tồn nhiều điểm cân -> tồn nhiều loại điểm cân Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân • Gọi (p1, p2) điểm cân hệ thống phi tuyến bậc • Khai triển Taylor f1 f2 xung quanh điểm cân (p1, p2) , ta có Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân Nếu quan tâm hành vi hệ thống lân cận nhỏ xung quanh điểm cân bằng, ta bỏ qua thành phần bậc cao, đó, ta có => Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân • Khảo sát tính chất điểm cân hệ thống phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa xung quan điểm cân Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân Ví dụ 2.1 Xét mạch tunnel-diode (ví dụ 1.5) Giả thiết: u = 1,2V; R = 1,5 kΩ; C = 2pF; L = 5μH, dòng điện x2 h(x1) có đơn vị mA Ngồi ra, giả thiết h(.) có dạng Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân Ví dụ 2.1 Xét mạch tunnel-diode (ví dụ 1.5) Điểm cân => Hệ thống có điểm cân bằng: Q1(0,063; 0,758); Q2(0,285; 0,61); Q3(0,884; 0,21) Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân Ví dụ 2.1 Xét mạch tunnel-diode (ví dụ 1.5) Quỹ đạo pha hệ • Các quỹ đạo tiệm cận Q1 tiệm cận Q3 => Q1 Q3 nút ổn định • Có quỹ đạo tiệm cận Q2, quỹ đạo khác gần Q2 tiệm cận Q1 Q3 => Q2 điểm yên ngựa Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân Ví dụ 2.1 Xét mạch tunnel-diode (ví dụ 1.5) Ma trận Jacobian Trong đó: Ma trận Jacobian điểm cân Q1, Q2, Q3 Giá trị riêng: (λ1, λ2) = (-3,57; -0,33) Giá trị riêng: (λ1, λ2) = (1,77; -0, 25) Giá trị riêng: (λ1, λ2) = (-1,33; -0, 4) => Q1, Q3 nút ổn định, Q2 điểm yên ngựa Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân Ví dụ 2.2 Đánh giá điểm cân hệ lắc cho x1 = x2 x = −10 sin x1 − x2 Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Bài tập Tìm điểm cân xác định loại điểm cân hệ thống sau Sử dụng pplane8 vẽ quỹ đạo pha kiểm chứng kết Nguyen Le Hoa, Ph.D University of Science and Technology – The University of Danang Điều khiển hệ phi tuyến ... khiển hệ phi tuyến Chương Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai Phân tích định tính hệ thống tuyến tuyến Trường hợp 1: trị riêng thực, phân biệt, khác không: λ1 ≠ 2 ≠ λ1 < 2 < 2 > λ1 > 2 <