CHUYEN DE HAM MU LOGARIT

ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c MŨ h t t p : HÀM / / w SỐ ww tVÀ a iLƠGARÍT lieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Sở GD & ĐT Hà Nam TRUNG TÂM GDTX DUY TIÊN CHUYÊN ĐỀ BÙI QUỸ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co MỤC http://www LỤC tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Kiến thức 1.1 Luỹ thừa 1.1.1 Luỹ thừa với số mũ nguyên 1.1.2 Căn bậc n 1.1.3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ 1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ 1.1.5 Các tính chất 1.2 Hàm số luỹ thừa 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tập xác định 1.2.3 Đạo hàm 1.2.4 Tính chất hàm số luỹ thừa y = xα khoảng (0; +∞) 1.2.5 Đồ thị 1.3 Lôgarit 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các tính chất 1.3.3 Các quy tắc tính 1.3.4 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên 1.4 Hàm số mũ, hàm số lôgarit 1.4.1 Hàm số mũ 1.4.2 Hàm số lôgarit 1.5 Phương trình mũ, phương trình lơgarit 1.5.1 Phương trình mũ 1.5.2 Phương trình lơgarit 1.5.3 Hệ phương trình mũ lôgarit 1.5.4 Bất phương trình mũ lơgarit Các 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 dạng tập phương pháp giải Bài tập luỹ thừa Bài tập hàm số luỹ thừa Bài tập lôgarit Bài tập hàm số mũ, hàm số lôgarit Bài tập phương trình mũ phương trình lơgarit 2.5.1 Đưa phương trình mũ, phương trình lơgarit 2.5.2 Phương pháp đồ thị 2.5.3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ, hàm số lôgarit 2.5.4 Các phương pháp khác 2.6 Bài tập bất phương trình mũ bất phương trình lơgarit 2.7 Bài tập hệ phương trình mũ hệ phương trình lơgarit Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 11 13 19 22 23 34 35 37 43 46 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://ww THỨC t a i CƠ l i BẢN eupro.co §1 w KIẾN http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ 1.1 LUỸ THỪA 1.1.1 Luỹ thừa với số mũ nguyên Định nghĩa • Luỹ thừa với số mũ nguyên dương: Cho a số thực, n số nguyên dương Luỹ thừa bậc n a, kí hiệu an , xác định sau an = a.a .a a ∈ R, n ∈ N∗ , n thừa số a gọi số, n gọi số mũ • Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0: Cho a > 0, n ∈ N∗ Khi a0 = 1; a−n = n a Chú ý 00 0−n khơng có nghĩa 1.1.2 Căn bậc n Cho số thực b số nguyên dương n ≥ Số a gọi bậc n số b, kí hiệu √ n b an = b Khi n lẻ, b ∈ R tồn Khi n chẵn √ n b; • với b < 0: khơng tồn bậc n b; √ • với b = 0: có n = 0; √ √ • với b > 0: có hai n b (dương) − n b (âm) 1.1.3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ m m Cho số thực a số hữu tỉ r = , m ∈ Z, b ∈ N∗ phân số tối giản Khi đó, n n √ n am có nghĩa √ m ar = a n = n am 1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ Cho số dương a, α số vô tỉ (rn ) dãy số hửu tỉ cho lim rn = α Khi n→+∞ aα = lim arn n→+∞ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT 1.1.5 BÙI QUỸ Các tính chất Cho a, b > 0; α, β ∈ R Khi • aα aβ = aα+β ; (aα )β = aαβ ; • (ab)α = aα bα ; aα > 0; • a b α = aα aα ; = aα−β ; bα aβ • Nếu a > α > β aα > aβ ; • Nếu < a < α > β aα < aβ 1.2 HÀM SỐ LUỸ THỪA 1.2.1 Định nghĩa Hàm số y = xα , với α ∈ R, gọi hàm số luỹ thừa 1.2.2 Tập xác định Tập xác định D hàm số luỹ thừa y = xα tuỳ thuộc vào giá trị α, cụ thể sau: • Nếu α ngun dương D = R; • Nếu α ngun âm D = R\{0}; • Nếu α khơng ngun (0; +∞ 1.2.3 Đạo hàm Hàm số y = xα (α ∈ R) có đạo hàm với x > (xα ) = αxα−1 Đối với hàm số hợp y = uα , u = u(x), ta có (uα ) = αuα−1 u 1.2.4 Tính chất hàm số luỹ thừa y = xα khoảng (0; +∞) Ta có tính chất sau • Đồ thị ln qua điểm (1; 1); • Khi α > hàm số đồng biến, α < hàm số ln nghịch biến; • Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận α > Khi α < đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Ox, tiệm cận đứng Oy Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT 1.2.5 BÙI QUỸ Đồ thị Đồ thị hàm số luỹ thừa y = xα khoảng (0; +∞) ứng với giá trị khác α (hình vẽ) y α>1 α=1 0 0, α ∈ R ta có loga = 0; loga a = 1; aloga b = b; loga (aα ) = α 1.3.3 Các quy tắc tính • Với a, b1 , b2 > 0, a = 1, ta có loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 ; b1 loga = loga b1 − loga b2 b2 Chú ý Ta có loga (b1 b2 ) = loga |b1 | + loga |b2 |, b1 , b2 < Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ • Với a, b > 0, a = 1, α, β ∈ R, n ∈ N∗ , ta có = − loga b; b loga bα = α loga b; loga b2β = 2β loga |b|; √ n loga b = loga b n loga • Với a, b, c > 0, a = 1, c = 1, ta có logc b ; loga b = (b = 1); loga b = (b = 1); logc a logb a logaα b = loga b (α = 0) α loga b = 1.3.4 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên Lôgarit số 10 gọi lôgarit thập phân Ta thường viết log10 b lg b log b Lôgarit số e gọi lôgarit tự nhiên Ta thường viết loge b ln b 1.4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1.4.1 Hàm số mũ • Hàm số y = ax (a > 0, a = 1) gọi hàm sô mũ số a • Hàm số y = ax có đạo hàm x (ax ) = ax ln a Đặc biệt, (ex ) = ex • Các tính chất a) Tập xác định hàm số mũ R b) Khi a > hàm số đồng biến Khi < a < hàm số nghịch biến c) Đồ thị có tiệm cận ngang Ox qua điểm (0; 1), (1; a) nằm phía trục hồnh 1.4.2 Hàm số lơgarit • Hàm số y = loga x (a > 0, a = 1) gọi hàm số lôgarit số a • Hàm số lơgarit có đạo hàm x > (loga x) = x ln a Đặc biệt, (ln x) = x • Các tính chất a) Tập xác định hàm số lôgarit (0; +∞); Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ b) Khi a > hàm số ln đồng biến; Khi < a < hàm số ln nghịch biến c) Đồ thị có tiệm cận đứng Oy qua điểm (1; 0), (a; 1) nằm phía bên phải trục tung 1.5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1.5.1 Phương trình mũ • Phương trình mũ phương trình chứa ẩn số số mũ luỹ thừa • Phương trình mũ phương trình có dạng ax = b (a > 0, a = 1) Nếu b ≤ 0, phương trình vơ nghiệm; Nếu b > 0, phương trình có nghiệm x = loga b 1.5.2 Phương trình lơgarit • Phương trình lơgarit phương trình chứa ẩn số dấu lơgarit • Phương trình lơgarit phương trình có dạng loga x = b (a > 0, a = 1) Phương trình lơgarit ln có nghiệm x = ab 1.5.3 Hệ phương trình mũ lơgarit Hệ phương trình mũ hệ phương trình có chứa phương trình mũ Hệ phương trình lơgarit hệ phương trình có chưa phương trình lơgarit 1.5.4 Bất phương trình mũ lơgarit Bất phương trình mũ có dạng ax > b; ax ≥ b; ax < b; ax ≤ b, a > 0, a = Để giải bất phương trình mũ bản, ta sử dụng tính chất hàm số mũ Chẳng hạn giải bất phương trình ax > b ta làm sau: Nếu b ≤ 0, tập nghiệm bất phương trình R, ax > ∀x ∈ R Xét b > 0, Với a > ax > b ⇔ ax > aloga b ⇔ x > loga b; Với < a < ax > b ⇔ ax > aloga b ⇔ x < loga b Bất phương trình lơgarit có dạng: loga x > b; loga x ≥ b; loga x < b; loga x ≤ b, Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co §2 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ a > 0, a = Để giải bất phương trình lơgarit bản, ta sử dụng tính chất hàm số lơgarit Chẳng hạn giải bất phương trình loga x > b, ta làm sau: Với a > 1, ta có loga x > b ⇔ loga x > loga ab ⇔ x > ab ; Với < a < 1, ta có loga x > b ⇔ loga x > loga ab ⇔ < x < ab 2.1 BÀI TẬP VỀ LUỸ THỪA Đối với luỹ thừa, dạng tập chủ yếu là: tính tốn, rút gọn biểu thức, so sánh số, Phương pháp giải Đây tập đơn giản, để giải tập ta cần sử dụng định nghĩa tính chất luỹ thừa nêu mục trước Chú ý Để so sánh thức, ta thường đưa chúng bậc n để so sánh (thông thường n bội chung nhỏ số thức đó) Sau ví dụ Ví dụ 2.1 Rút gọn biểu thức sau −2 −7 −2 −4 + (0, 2)0,75 ; a) A = (0, 04)−1,5 − (0, 125) ; b) B = √ √ √ b b2 a 5+3 a 5( 5−1) 1 2 √ √ ; d) D = a − b + c) C = : b − 2b a a (a2 2−1 )2 2+1 Lời giải Ta có −2 −3 a) A = − 2−3 = 53 − 22 = 121 43 −4 b) B = 62 + = 62 + 53 = 161 5√ √ √ √ √ √ √ a 5+3 a 5( 5−1) a 5+3 a5− a 5+3+5− a8 √ √ √ c) C = = = = = a a8−1 a7 (a2 2−1 )2 2+1 a(2 2)2 −12 d) Ta có 1 D = a2 − b2 : b − 2b √ √ √ = ( a − b)2 : b − ba √ √ ( a − b)2 a √ = = √ b ( a − b) b a √ √ = ( a − b)2 : b − √ √ ( a − b)2 √ = √ a− b √ b a b b2 + a a Ví dụ 2.2 So sánh cặp số sau √ √ a) 5; √ 10−3 π 1; c) b) √ 10 √ d) e 3+1 √ (a, b > 0) b + a b a 30; √ e Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Lời giải a) Đưa thức bậc 12, ta có √ √ √ 12 12 = 63 = 216; √ √ √ 12 12 = 54 = 625 √ √ Mà 216 < 625 nên < b) Đưa thức bậc 6, ta có √ √ √ 6 10 = 103 = 1000; √ √ √ 6 30 = 302 = 900 √ √ Mà 1000 > 900 nên 10 > 30 c) Ta có √ π 10 √ π 10−3 = π 5 √ √ π π 10 π Lại có < π < nên < < 10 > 3, < 5 π Mà > nên √ π 10 √ π 10−3 = < π 5 √ √ d) So sánh + 7, ta có √ √ √ √ ( + 1)2 − ( 7)2 = + + − = − Hơn Do √ 3+1> √ √ (2 3)2 − 32 = 4.3 − = > √ 7, mà e > nên e 3+1 √ > e Ví dụ 2.3 Tính giá trị biểu thức a) A = 1 −1 a2 a2 − a −3 √ , với a = π − 2; a a −a √ √ √ √ 2 b) B = ( a + b) a + b − (ab) , với a = − 2, b = + Lời giải a) Rút gọn A, ta có A= Do a2+2 − a2+ a2+ −1 −3 − a2+2 = a3 − a = −a − a2 √ √ A = −(π − 2) = − π Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h tBàit tập p :tương / / tự www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ b) Rút gọn B, ta có 1 B = a3 + b3 ) a3 1 − a3 b3 + b3 Do B = (7 − √ = a3 + b3 = a + b √ 2) + ( + 3) = 10 Bài tập 2.1 Tính giá trị biểu thức √ √ √ a) A = 43+ 21− 2−3− ; √ 123+ √ √ ; b) B = 42+ 31+ c) C = 491+ √ √ − 72 √ 7−1−2 Đáp số a) A = 16; b) B = 36; c) C = 48 Bài tập 2.2 Đơn giản biểu thức √ a a a, (a > 0); a) A = b) B = a b c) C = a b , (a, b = 0); a 2 −1 11 + a a a − a ; √ √ √ √ √ d) D = + (a − 1)( a − a + 1)( a + a + 1)(a − a + 1), (a ≥ 0) −1 1 Hướng dẫn a) A = a a a = a 18 ; b) B = a b b a c) C = a a 35 = − a a b −1 a b −1 35 a b = −1 35 = a3 a3 − a −2 = a b 35 ; = a2 − 1; d) Ta có √ √ √ D = + (a − 1)[( a + 1)2 − ( a)2 ](a − a + 1) √ √ = + (a − 1)(a + a + 1)(a − a + 1) √ = + (a − 1)[(a + 1)2 − ( a)2 ] = + (a − 1)(a2 + a + 1) = + (a3 − 1) = a3 Bài tập 2.3 Tính giá trị biểu thức √ 1 12 a) A = a a a5 với a = 3, 14; Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 10 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c hBàit ttậpptương : / /tự.w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ trình b) Phương trình tương đương với 2x (2 − 2x ) = x − Với x = phương trình đúng, x = nghiệm phương trình Nếu x > 2x > x − > 0, 2x (2 − 2x ) < < x − Phương trình cho vơ nghiệm Nếu x < 2x < x − < 0, 2x (2 − 2x ) > > x − Phương trình cho vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2.25 Giải phương trình a) lg(x − 4) = − x; b) log (x + 2) = 2x − Lời giải a) Điều kiện x − > ⇔ x > Đặt f (x) = lg(x − 4), g(x) = − x, phương trình cho trở thành f (x) = g(x) Ta có f (x) đồng biến (4; +∞) g(x) nghịch biến R Hơn f (5) = g(5), đo x = nghiệm phương trình b) Tương tự Đáp số x = Bài tập 2.25 Giải phương trình sau a) 2x + 3x + 5x = 10x ; b) 3x + 4x + 12x = 13x ; 18 c) ln(x − 2) = − x; d) log0,4 (3 − x) = − x Đáp số a) x = 1; b) x = 2; c) x = 3; d) x = √ 13 x Bài tập 2.26 Giải phương √ trình x = 2 √ Hướng dẫn Dễ thấy x = nghiệm phương trình Nếu x > √ √ √ xx > ( 2)x > ( 2) √ √ Tương tự x < Vậy x = nghiệm Bài tập 2.27 Giải phương trình 5x + 4x = (2x + 3x + 1) Hướng dẫn Biến đổi phương trình dạng 4 x + x +1 x + x = Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 36 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc tập tương tự h tBàit p ://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Nhận thấy x = nghiệm Nếu x > x Suy V T > 2.5.4 + x x + +1> x < + = , 4 + + = 4 4 = V P , phương trình vơ nghiệm Tương tự x < Đáp số x = Các phương pháp khác Bên cạnh cách giải phương trình truyền thống, có nhiều cách giải độc đáo khác Trong phần xin giới thiệu số phương pháp khác, là: biến thiên số, sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle, phương pháp đánh giá phương pháp hàm số a) Phương pháp biến thiên số Trong phương pháp này, ta đổi vai trò ẩn cần tìm với số: coi số ẩn ẩn số Ví dụ 2.26 Giải phương trình 42x + 23x+1 + 2x+3 − 16 = Lời giải Đặt t = 2x (t > 0) phương trình trở thành Ta viết lại phương trình thành t4 + 2t3 + 8t − 16 = 42 − 2t.4 − (t4 + 2t3 ) = Bây ta coi = u ẩn phương trình, t số biết Phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn u Tính ∆ , ta có ∆ = (−t)2 + (t4 + 2t3 ) = (t2 + t)2 u = t − t(t + 1) = −t2 ⇔ ⇔ t2 + 2t − = u = t + t(t + 1) = t2 + 2t √ t = −1 − √5 (loại) ⇔ t = −1 + (thoả mãn) √ √ Suy 2x = − ⇔ x = log2 ( + 1) Do Bài tập 2.28 Giải phương trình lg4 x + lg3 x − lg2 x − lg x − = Hướng dẫn Đặt t = lg x, viết lại phương trình dạng 32 + 3t.3 − (t4 + t3 − 2t2 ) = Coi = u ẩn, giải phương trình bậc hai theo ẩn u, ∆ = (2t2 + t)2 , tìm u = −t2 − 2t, u = t2 − t √ 1+ 13 x = 10 √2 1− 13 x = 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 37 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ b) Sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle Định lí Lagrange: Giả sử f : [a; b] −→ R hàm thỏa mãn i) f liên tục [a; b]; ii) f khả vi (a; b) Khi tồn c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) = f (c).(b − a) Định lí Rolle (hệ định lí Lagrange): Giả sử f : [a; b] −→ R hàm thỏa mãn i) f liên tục [a; b]; ii) f khả vi (a; b); ii) f (a) = f (b) Khi tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = Ví dụ 2.27 Giải phương trình 3cos x − 2cos x = cos x Lời giải Viết lại phương trình dạng 3cos x − cos x = 2cos x − cos x Giả sử phương trình có nghiệm α, 3cos α − cos α = 2cos α − cos α Xét hàm số f (t) = tcos α − t cos α, ta có f (x) = (tcos α−1 − 1) cos α Khi f (3) = f (2) f (t) khả vi liên tục [2; 3], theo định lí Lagrange tồn c ∈ [2; 3], cho f (3) − f (2) f (c) = hay (ccos α−1 − 1) cos α = 3−2 Từ suy π α = + kπ cos α = ⇔ (k ∈ Z) cos α = α = k2π Thử lại ta thấy giá trị thoả mãn π Vậy nghiệm phương trình x = + kπ, x = k2π (k ∈ Z) Ví dụ 2.28 Giải phương trình 4log3 x + 2log3 x = 2x Lời giải Điều kiện x > Đặt u = log3 x x = 3u Khi phương trình trở thành 4u + 2u = 2.3u ⇔ 4u − 3u = 3u − 2u Giả sử phương trình ẩn u có nghiệm α, tức 4α − 3α = 3α − 2α Xét hàm số f (t) = (t + 1)α − tα , t > 0, ta có f (t) = α[(t + 1)α−1 − tα−1 ] Khi ta có f (3) = f (2), f (t) khả vi liên tục [2; 3] Theo định lí Lagrange, tồn c ∈ [2; 3] cho f (c) = α=0 ⇔ α[(c + 1)α−1 − cα−1 ] = ⇔ α=1 Thử lại thấy u = α = u = α = thoả mãn Từ tìm x = 1, x = Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 38 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t Bài p :tập/ tương / wtự.w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Bài tập 2.29 Giải phương trình a) 3x + 5x = 2.4x ; b) 6x + 2x = 5x + 3x Hướng dẫn a) Chuyển dạng 5x − 4x = 4x − 3x Giải tương tự ví dụ b) Chuyển dạng 6x − 5x = 3x − 2x Giải tương tự Bài tập 2.30 Cho a b + + c = Chứng minh phương trình a.22x + b.2x + c = ln có nghiệm a b Hướng dẫn Đặt t = 2x (t > 0), xét hàm số F (t) = t3 + t2 + ct khả vi liên tục (0; +∞) a b F (1) − F (0) = + + c = Theo định lí Lagrange tồn số k ∈ (0; 1) cho F (k) = ak + bk + c = Do x = log2 k nghiệm phương trình cho Bài tập 2.31 Cho a b c + + = Chứng minh phương trình 2008 2007 2006 a lg2 x + b lg x + c = ln có nghiệm dương Hướng dẫn Tương tự, đặt t = lg x xét F (t) = a.t2008 b.t2007 c.t2006 + + 2008 2007 2006 c) Phương pháp đánh giá Ví dụ 2.29 Giải phương trình 3sin x + 3cos x = 2x + 2−2 + Lời giải Phương trình tương đương với 3sin x + 31−sin x = 2x + 2−2 + 2 −x x 32 sin x + ⇔ − = 22 + 22 − 2x sin sin2 x x −x (3 − 1)(3sin x − 3) ⇔ = 22 − 2 2x sin Vì ≤ sin2 x ≤ nên ≤ 3sin x ≤ Suy V T ≤ ≤ V P phương trình tương đương với 2 (3sin x − 1)(3sin x − 3) = 0, hệ −x x 2 − 2 = Từ phương trình thứ hai, dễ dàng suy x = (thỏa mãn) Vậy x = nghiệm phương trình cho Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 39 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h Bài t ttậpp tương : / /tự.w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Ví dụ 2.30 Giải phương trình 2x+2 + 3x+2 = 32x+1 + 22x+1 Lời giải Phương trình cho tương đương với phương trình 3x+2 − 32x+1 = 22x+1 − 2x+2 Dễ thấy x = nghiệm phương trình Nếu x > x + < 2x + 1, 3x+2 < 32x+1 ; 22x+1 > 2x+2 Hay V T < < V P , phương trình vơ nghiệm Tương tự, x < phương trình vơ nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình Bài tập 2.32 Giải phương trình log2 x + log3 (x + 1) = log4 (x + 2) + log5 (x + 3) Hướng dẫn Điều kiện x > Nhận thấy x = nghiệm Nếu x > x x+2 x+1 x+3 > > 1; > > Suy x x+2 x+2 > log2 > log4 hay log2 x > log4 (x + 2); 4 x+1 x+3 x+3 > log3 > log5 log3 hay log3 (x + 1) > log5 (x + 3) 5 log2 Suy V T > V P , phương trình vơ nghiệm Tương tự < x < 0< x x+2 x+1 x+3 < < 1; < < < Suy x x+2 x+2 < log2 < log4 hay log2 x < log4 (x + 2); 4 x+1 x+3 x+3 log3 < log3 < log5 hay log3 (x + 1) < log5 (x + 3) 5 log2 Suy V T < V P , phương trình vơ nghiệm Đáp số x = Bài tập 2.33 Giải phương trình log2 x + log5 (2x + 1) = Hướng dẫn Điều kiện x > Nhận thấy x = nghiệm Nếu x > log2 x > log2 = 1; log5 (2x + 1) > log5 (2.2 + 1) = Suy phương trình vơ nghiệm Tương tự < x < Đáp số x = Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 40 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Bài tập 2.34 Giải phương trình logx (x + 1) = lg 1, Hướng dẫn Điều kiện x > 0; x = Nếu < x < x + > 1, logx (x + 1) < logx = = lg < lg 1, Do phương trình vơ nghiệm Tương tự, x > logx (x + 1) > logx x = = lg 10 > lg 1, Đáp số Phương trình vơ nghiệm d) Phương pháp hàm số Phương pháp giải Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hảm số, đưa việc giải phương trình mũ, phương trình lơgarit giải phương trình đại số (nhờ tính chất: Nếu f (u) đơn điệu f (u) = f (v) u = v) Ví dụ 2.31 Giải phương trình 1−x2 x2 −2 1−2x x2 = 1 − x Lời giải Điều kiện x = Nhận thấy − 2x − x2 x2 − 2x 1 − = =1− =2 − 2 x x x x x Do phương trình tương đương với phương trình ⇔2 Mặt khác f (t) = 2t + 1−x2 x2 1−x2 x2 1 − 2x − x2 − x2 x2 1−2x 1−x 1 − 2x x2 + = + 2 x x2 −2 1−2x x2 = t hàm số đồng biến R, từ f − x2 x2 =f − 2x x2 suy − x2 − 2x = x x2 Từ dễ dàng tìm x = nghiệm phương trình Ví dụ 2.32 Giải phương trình 5x−2 = 5x −x−1 + (x − 1)2 Lời giải Phương trình tương đương với 5x−2 − x − = 5x −x−1 ⇔ 5x−1 + 5(x − 1) = 5x + x2 − x −x + 5(x2 − x) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 41 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h tBàit tập p :tương / / tự www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Xét f (t) = 5t + 5t (t ∈ R) Dễ thấy f (t) đồng biến Mặt khác f (x − 1) = f (x2 − x), x − = x2 − x Từ dễ dàng tìm x = nghiệm phương trình 18x + 32x − 12x − 16x −5 = x 27x + 36xx + 48x + 64 2x 4x −5 Hướng dẫn Viết phương trình dạng x − = , hay x x x +4 + 16 2x 2x 22x + = + x + 4x x 32x + 42x 2x 2t Xét hàm số f (t) = t + ln đồng biến Đáp số Phương trình vô nghiệm t +4 t Bài tập 2.35 Giải phương trình Bài tập 2.36 Giải phương trình 22 + 32 = 2x + 3x+1 + x + Hướng dẫn Cộng thêm 2x vào hai vế, viết phương trình dạng x x x x 22 + 32 + 2x = 2x+1 + 3x+1 + x + Xét hàm số f (t) = 2t + 3t + t (t ∈ R) Bài tập 2.37 Giải phương trình 2x2 − 6x + = log2 2x + (x − 1)2 −1 , x = Viết phương trình dạng 2(x − 1)2 + log2 [2(x − 1)2 ] = (2x + 1) + log2 (2x + 1) √ 3± Xét hàm số f (t) = t + log2 t (t > 0) Đáp số x = Hướng dẫn Điều kiện x > √ 2x2 + x +2 √ Bài tập 2.38 Giải phương trình = x2 + 2x2 +1 Hướng dẫn Lôgarit số hai vế, viết phương trình dạng √ √ log3 (2x2 + 1) + 2x2 + = log3 (x2 + 2) + x2 + √ Xét hàm số f (t) = log3 t + t (t > 0) Đáp số x = ±1 √ Bài tập 2.39 Giải phương trình 2.2( x−2) = log2 (2x) Hướng dẫn Điều kiện x ≥ Biến đổi phương trình 2x−1 = log2 (2x) Đặt y = 2x−1 , y ≥ x = + log2 y = log2 (2y) Từ ta có hệ   y   y = log (2x),  2 = 2x, x = log2 (2y), ⇔ 2x = 2y,     x, y ≥ x, y ≥ 2 Từ suy y.2y = x.2x Xét hàm số f (t) = t.2t (t ≥ 2) đồng biến Suy x = y Đáp số x = 1, x = Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 42 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ 2.6 BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Phương pháp giải Các phương pháp giải bất phương trình mũ bất phương trình lơgarit tương tự giải phương trình mũ phương trình lơgarit, bao gồm: đưa bất phương trình mũ, bất phương trình lơgarit (đưa số, đặt ẩn phụ, mũ hóa lơgarit hóa); sử dụng đồ thị; sử dụng tính chất hàm số mũ hàm số lơgarit Sau đây, chúng tơi đưa ví dụ minh họa Ví dụ 2.33 (Đưa số) Giải bất phương trình a) 3x +2x−15 > 1; c) log (x2 + 2x − 8) ≥ −4; √ √ b) ( + 2)x+1 ≥ ( − 2)x−3 ; d) log3 log (x2 − 1) < Lời giải a) Bất phương trình tương đương với 3x +2x−15 > 30 ⇔ x2 + 2x − 15 > ⇔ x > ∨ x < −5 Vậy tập nghiệm √ bất phương √ trình D = (−∞; −5) ∪ (3; +∞) b) Nhận xét − = ( + 2)−1 , bất phương trình viết thành √ √ √ ( + 2)x+1 ≥ [( + 2)−1 ]x−3 = ( + 2)3−x ⇔ x + ≥ − x ⇔ x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình D = [1; +∞) c) Ta có điều kiện bất phương trình x2 + 2x − > Khi ta viết bất phương trình dạng log (x2 + 2x − 8) ≥ log 16 Vì số nhỏ nên bất phương trình tương đương với hệ x2 + 2x − > x2 + 2x − ≤ 16 ⇔ x < −4 ∨ x > −6 ≤ x ≤ ⇔ − ≤ x < −4 < x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình cho D = [−6; 4) ∪ (2; 4] d) Điều kiện x2 − > ⇔ |x| > Bất phương trinh tương đương với log3 log (x2 − 1) < log3 ⇔ < log (x2 − 1) < 2 1 ⇔ log 1 < log (x2 − 1) < log ⇔ > x2 − > 2 8 √ ⇔ > x2 > ⇔ > |x| > √ (thỏa mãn) 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình D = − √ −3 √ 2; √ ∪ √ ; 2 2 Ví dụ 2.34 (Đặt ẩn phụ) Giải bất phương trình sau Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 43 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ 4x < 4; 4x − 3x d) log32 x + log22 x + log2 x − ≥ a) 0, 4x − 2, 5x+1 > 1, 5; √ √ c) 2(lg x)2 + (1 − 2) lg x2 > 2; Lời giải a) Vì 2, = b) = 0, 4−1 nên bất phương trình viết lại thành 0, 0, 4x − 2, 5.0, 4−x − 1, > Đặt t = 0, 4x (t > 0), ta có bất phương trình đại số t2 − 1, 5t − 2, > ⇔ t < −1 (loại) t > 2, Khi ta có 0, 4x > 2, hay 0, 4x > 0, 4−1, x < −1 b) Chia tử mẫu cho 4x (4x > 0), ta có 1− Đặt x x < = t (t > 0), ta có bất phương trình 4t − 3 −4 ⇔ t < ∨ t > 1−t t−1 t > Từ suy x > x < c) Đặt t = lg x, x > 0, ta có √ √ √ 2t2 + 2(1 − 2)t > 2 ⇔ t < −1 ∨ t >  lg x < √ −1 x<  ⇔ Do ta có 10√ lg x > x > 10 Vì t > nên ta có < t < d) Tương tự, đặt t = log2 x, ta có bất phương trình 2t3 + 5t2 + t − ≥ hay (t + 2)(2t2 + t − 1) ≥ Bất phương trình có nghiệm −2 ≤ t ≤ −1 t ≥ √ 1 Suy ≤ x ≤ x ≥ Ví dụ 2.35 (Mũ hóa lơgarit hóa) Giải bất phương trình a) xlog2 x < 32; b) (x2 + x + 1)x < 1; c) log x + log4 x ≥ 1; d) logx (5x2 − 8x + 3) > Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 44 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Lời giải a) Với điều kiện x > 0, lấy lôgarit số hai vế ta có √ √ log2 x log2 x < ⇔ − < log2 x < √ √ Từ suy 2− < x < b) Ta ý x2 + x + > Lôgarit số 10 hai vế có  x > 0,   lg(x2 + x + 1) < x lg(x2 + x + 1) < ⇔   x < 0,  lg(x2 + x + 1) > Hệ thứ vô nghiệm, hệ thứ hai cho ta nghiệm x < −1 c) Đổi lơgarit số 10, ta có lg x lg x lg − lg + ≥1⇔ lg x ≥ 1 lg lg lg lg lg lg Từ suy x ≥ 10 lg 5−lg d) Bất phương trình tương đương với x > 1, 5x2 − 8x + > x2 < x < 1, 5x2 − 8x + < x2 3 Hệ thứ cho nghiệm x > ; hệ thứ hai cho nghiệm < x < 2 Ví dụ 2.36 (Sử dụng tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit) Giải bất phương trình x x x a) +2 +3 < 1; √ b) log2 ( x2 − 5x + + 1) + log3 (x2 − 5x + 7) ≤ x x x +2 +3 Nhận thấy f (2) = Mặt khác, f (x) tổng hàm số nghịch biến R, f (x) hàm nghịch biến Từ ta có Lời giải a) Đặt f (x) = f (x) < = f (2) ⇔ x > Vậy tập nghiệm √ bất phương trình D = (2; +∞) b) Đặt t = x2 − 5x + (t ≥ 0), bất phương trình trở thành log2 (t + 1) + log3 (t2 + 2) ≤ Xét f (t) = log2 (t + 1) + log3 (t2 + 2) [0; +∞) Do t ≥ nên log2 (t + 1) log3 (t2 + 2) hàm số đồng biến, f (t) đồng biến [0; +∞) Lại có f (1) = 2, từ suy t ≤ Giải ra √ √ 5− 5+ ≤ x ≤ 1≤x≤ 2 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 45 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h tBàit ptập:tương //w tự w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Bài tập 2.40 Giải bất phương trình a) 5log3 x+2 < 1; c) lg(x2 − x − 2) < lg(3 − x); √ √ 6x−6 b) ( + 1) x+1 ≤ ( − 1)−x ; d) ln |x − 2| + ln |x + 4| ≤ ln Hướng dẫn a) Chú ý 5M < ⇔ M < log3 N < ⇔ < N < Đáp số x > b) Đáp số Tập nghiệm D = (−1; 2] ∪ [3; +∞) 11 c) Đáp số Tập nghiệm D = (−∞; −1) ∪ 2; √ √ d) Đáp số Tập nghiệm D = [−1 − 17; −2] ∪ [0; −1 + 17] Bài tập 2.41 Giải bất phương trình a) 9sin c) x + 9cos x b) 8lg x − 19.2lg x − 6.4lg x + 24 > 0; √ d) logx 7x log7 x < −1 ≥ 10; log9 (3x2 − 4x + 2) + > log3 (3x2 − 4x + 2); π Hướng dẫn Đặt ẩn phụ Đáp số a) x = kπ ∨ x = + 2kπ (k ∈ Z); b) < x < ∨ x > 1000; c) −1 < x ≤ ∨ ≤ x < ; d) < x < 3 49 Bài tập 2.42 Giải bất phương trình log x2 −3 b) x a) x lg x > 10.x4 ; ≥ 2; lg2 x+lg x−4 c) x > 10000; d) logx2 (3 − 2x) > −1 Hướng dẫn Mũ hóa lơgarit hóa Đáp số a) < x < 1; b) x = √ ; 1 c) 100; d) −3 < x < −1 100 10 Bài tập 2.43 Giải bất phương trình a) √ x+4 +2 √ 2x+4 > 13; b) log2 √ x + + log3 √ 3x + > Hướng dẫn Sử dụng tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit Đáp số a) x>0; b) x>0 Bài tập 2.44 Giải bất phương trình log2 (x2 − 1) > 12 − x2 Hướng dẫn Vẽ đồ thị hai hàm số y = log2 (x2 − 1) y = 12 − x2 hệ trục tọa độ (chú ý giao điểm (−3; 3); (3; 3)) Đáp số x < −3 x > 2.7 BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Phương pháp giải Thơng thường, để giải hệ phương trình, ta sử dụng cách như: rút ẩn, đặt ẩn phụ, sử dụng hàm số, Đối với hệ phương trình mũ hệ phương trình lơgarit Sau ví dụ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 46 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Ví dụ 2.37 (Rút ẩn) Giải hệ phương trình  x − y = 2, a) 3x2 +y = ; x + y = 30, c) ln x + ln y = ln 6; 2x 3y = 12, 3x 2y = 18;  x2 = y , x d) log2 = logy x y b) Lời giải a) Từ phương trình thứ ta có y = x − 2, thay vào phương trình thứ hai, ta 3x +x−2 = 3−2 Do x2 + x − = −2 nên x = x = −1 Suy y = −2 y = −3 Vậy hệ có hai nghiệm (0; −2) (−1; −3) b) Lấy lôgarit số hai vế hai phương trình, ta có x + y log2 = + log2 3, x log2 + y = + log2 Đây hệ phương trình bậc hai ẩn x, y Nhân hai vế phương trình thứ với log2 trừ cho phương trình thứ hai, ta y(log22 − 1) = log22 − ⇔ y = Dễ dàng suy x = Vậy hệ có nghiệm (2; 1) c) Điều kiện x, y dương Từ phương trình thứ suy y = 30 − x Thế vào phương trình thứ hai ta ln x + ln(30 − x) = ln ⇔ ln x(30 − x) = ln 63 Suy x = 18 x = 12 Từ suy hệ có hai nghiệm (18; 12); (12; 18) d) Điều kiện x > 0, y > 0, y = Với điều kiện phương trình thứ tương đương với x = y Thế vào phương trình thứ hai ta log2 y = logy y ⇔ y = Suy x = 16 Vậy hệ có nghiệm (16; 4) Ví dụ 2.38 (Đặt ẩn phụ) Giải hệ phương trình sau a) c) 92 cot x+sin y = 3, 9sin y − 81cot x = 2; b) lg x − lg y = −5, lg x + lg y = 28; d) √ logy xy = logx y, 2x + 2y = 3; √ x + lg y = x − lg y = Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 47 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT Lời giải a) Đặt u = 9sin x v = −92 cot x BÙI QUỸ (u > 0, v < 0) Hệ trở thành u + v = 2, u.v = −3 Khi u, v nghiệm phương trình t2 − 2t − = Phương trình có hai nghiệm t = −1, t = Vì u > 0, v < nên u = 3, v = −1 Thay lại, ta  π   y = + 2kπ   sin y =  9sin y = 5π ⇔ ⇔ y= + 2kπ (k, l ∈ Z) cot x =  −92 cot x = −1  π   x = + lπ b) Điều kiện x, y > 0, x = 1, y = Hệ tương đương với    log (xy) = log y, log x + = , y y x logy x ⇔  2x + 2y =  x y + = Giải phương trình thứ ẩn t = logy x ta t = 1; t = −2 x = y x = Với x = y, vào phương trình thứ hai ta x = log2 Vơi x = , vào phương trình thứ hai ta y 2y + y2 = (y > 0, y = 1) Phương trình vơ nghiệm, • Nếu y > 2y > y2 > 20 = 1, suy V T > = V P ; • Nếu < y < 2y > y2 > 21 = 2, suy V T > = V P 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (log2 ; log2 ) 2 c) Điều kiện x, y dương Đặt u = lg x, v = lg y, ta có hệ 2u − 3v = −5, 3u + 4v = 18 Giải hệ ta u = 2, v = Từ suy x = 100, y = 1000 Vậy hệ phương trình có nghiệm √ (100; 1000) d) Điều kiện x, y dương Đặt u = x, v = lg y (u > 0) Ta có hệ  u = 2, u + 2v = 3, 2v = − u ⇔ ⇔ v = u2 − 6v = u2 + 3u − 10 = √ Từ tính x = 4, y = 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 48 y2 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h tBàit p / / tự www.tailieupro.c tập :tương http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Ví dụ 2.39 (Sử dụng hàm số) Giải hệ phương trình a) 2x + 2x = + y, 2y + 2y = + x; b) √ log2 x + = + log3 y, √ log2 y + = + log3 x Lời giải a) Trừ hai phương trình theo vế, ta 2x + 3x = 2y + 3y Xét hàm số f (f ) = 2t + 3t Dễ thầy f (t) đồng biến R Do từ f (x) = f (y) suy x = y Thay vào phương trình thứ ta 2x = − x Phương trình có nghiệm x = Vậy hệ có nghiệm (1; 1) b) Điều kiện x, y dương Hệ phương trình tương đương với hệ log2 (x + 3) = 2(1 + log3 y), 2(1 + log3 x) = log2 (y + 3) (∗) Cộng vế với vế hai phương trình hệ (∗), ta có log2 (x + 3) + log3 x = log3 y + log2 (y + 3) Xét hàm số f (t) = log2 (t + 3) + log3 t miền (0; +∞) Dễ thấy hàm số đồng biến (0; +∞) Mà f (x) = f (y) nên x = y Thay vào hai phương trình hệ (∗) ta log2 (x + 3) = 2(1 + log3 x) hay 2 x + = 22(1+log3 x) = 4.2log3 x = 4.2log3 log2 x = 2log2 x ⇔ x + = 4.xlog3 ⇔ x1−log3 + 3.x− log3 = log3 (∗∗) Xét g(x) = x1−log3 + 3.x− log3 khoảng (0; +∞) Ta có g (x) = (1 − log3 4)x− log3 − log3 4.x−1−log3 Thấy g (x) < 0, ∀x ∈ (0; +∞), g(x) nghịch biến (0; +∞) Mặt khác g(1) = Vậy x = nghiệm phương trình (∗∗) Hệ phương trình cho có nghiệm (1; 1) Bài tập 2.45 Giải hệ phương trình √ y 8x = 22x+1 , a) 3x 27y = 9y−1 ; c) (x + y)x = (x − y)y , log2 x − log2 y = 1; b) d) 23x 4y = 8, lg(11 − x) − lg(y + 100) = −1; 3x 2y = 972, log√3 (x − y) = Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 49 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Hướng dẫn a) Lấy lôgarit số số Đáp số (4; −6) b) Lấy lôgarit số Đáp số (1; 0) ; 9 d) Thế x = y + từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ Đáp số (5; 2) c) Thế x = 2y từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ Đáp số Bài tập 2.46 Giải hệ phương trình  1  √ = (x + y) x−y , a)  (x + y).2y−x = 48; c)  y 1− 52 logx y = x 25 , b) 3y 1 + logx − = logx 4; x 3lg x = 4lg y , d) (4x)lg = (3y)lg xy = 40, xlg y = 4; Hướng dẫn a) Đặt u = x + y, v = x − y, tìm u = 12, v = −2 Đáp số (5; 7) b) Lấy lôgarit số x Đặt t = logx y Đáp số (16; 4) c) Lấy lơgarit số 10 hai vế phương trình thứ hai Đáp số (10; 4), (4; 10) 1 d) Lấy lôgarit số 10 vế Đáp số ; Bài tập 2.47 Giải hệ phương trình sau a) 3x − 3y = y − x, x2 + xy + y = 12; b) x − y = (log2 y − log2 x)(2 + xy), x3 + y = 16 Hướng dẫn a) Biến đổi phương trình thứ thành 3x + x = 3y + y, xét hàm số f (t) = 3t + t b) Điều kiện x, y dương Từ phương trình thứ suy x = y (dựa vào tính đồng biến hàm số y = log2 t (t > 0)) Đáp số (2; 2) l n5 + n n=0 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 50 ... mãn điều kiện cho trước (tồn tại, tồn nhất, hữu hạn nghiệm, ), giải biện luận phương trình theo tham số, chứng minh phương trình tương đương, Phương pháp giải Các phương pháp thường dùng để giải... nhiều tài liệu hay thú vị ;) HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ Vậy phương trình cho có nghiệm x = Chú ý Mu n đưa lôgarit số, ta thường xem mối liên hệ số thường sử dụng tính chất sau lơgarit: a = logb... √ 3= √ √ = (2 + 3)−1 , 2+ √ = (2 + 3)x Tương tự phương trình t (log2√2+√7 x)2 − log2√2−√7 x = Mu n đặt ẩn phụ, ta phải nhận thấy mối liên hệ √ √ √ √ √ = (2 − 7)−1 2+ 7= √ 2− Thậm chí, số phương