Chuyên đề hàm số mũ lôgarit ôn hsg

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT ÔN HỌC SINH GIỎI I – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ Lũy thừa thức a n  a n (với a 0 n  * ) m n r n a a  a m m r  , n  , n  * n (với a  ) a lim a rn (với a  0,   , rn   lim rn  ) n n Khi n lẻ, b  a  b a (với a) b 0 b n a   n b a (với a 0 ) Khi n chẵn, - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0, b  0,   tùy ý, ta có:  a a  a  ; a : a  a   ;  a  a  a.b    a b ;  a : b  a : b     - So sánh: Nếu  a  b thì: a  b    0; a  b    Lôgarit  - Lôgarit số a:  log a b  a b (  a 1 b  ) - Lôgarit số 10: - Lôgarit số e: - Tính chất: log10 b lg b hay logb log e b ln b  e 2,7183 log a 0 log a a b b với a  0, a 1 a log a b b với a  0, b  0, a 1 - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a  b.c  log a b  log a c log a b  1 log a b  log a c,log a    log a c c c log a n b  log a b * log a b  log a b (với  ), n (n )  - Đổi số điều kiện xác định: log b x  log a x log a b hay log a b.log b x log a x log b a  log a b.log b a 1; log a b hay log a b  log a b   Hàm số lũy thừa y  x Liên tục tập xác định  x  ' ax ,  u  '  u Đạo hàm: 1   x n /  nn x   x  0 ,  n u  n 1 /  Hàm số y x đồng biến  u' ; u' n n u n  , với u u  x    0;    , nghịch biến  0 Hàm số mũ 0;   Liên tục tập xác định  , nhận giá trị thuộc   lim a x  x    a  ' a Đạo hàm: x a  ;  a  x ln a;  e x  ' e x  lim a x  x    ; a   a   0;   a  ' a u 'ln a;  e  ' e u ' với u u  x  u u u u Đồng biến  a  , nghịch biến   a  Hàm số lôgarit y log a x  0;  , nhận giá trị thuộc  Liên tục tập xác định  lim log a x  x     Đạo hàm:  log a x  '   log a u  '  Hàm số a   a  1 ; x ln a u' ; u ln a ;  ln a  '   ln u  '    lim log a x  x  0  u' ; u ; x a   a   ln x  '  1x  ln u  '  uu' với u u  x  y log a x đồng biến  0;   a  , nghịch biến  0;    a  Giới hạn x  1 lim    e; x   x  lim ex  1; x ln   x  1 x x lim x II – CÁC VÍ DỤ Phương trình mũ 1 x 2 Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x  x2 1 x  x2 1   x  2x 1 x2 x  2x 1  ) x x Nhận xét thấy: x = - x = 2( x   2x  x  1 x 1 x     x x x2 x2  Ta viết phương trình dạng: -2 = 1 x x2    2 1 x 1 x 1  2x 2 + x =2 x + x Xét hàm số: f(t) = 2t + t, ta có f(t) hàm số đồng biến 1 x2  2x 2 Viết phương trình cho dạng: f( x )= f( x )  x 0  x  2x   x = x  x2 – 2x =   x 2 Vật phương trình có nghiệm x = Bình luận: Ta quan sát số mũ vế phải để thấy mối quan hệ biến đổi khéo léo để dùng phương pháp hàm số x Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x  93 x  x  42 x   3x  x  x Giải: x Phương trình cho tương đương với:  2x x x  x  x  3x  x 24 x   x   36 x (*) Xét hàm số f  t  2t  t  3 t Ta có f '  t  2t.ln   3 t.ln  t   f t , nên hàm số đồng biến   *  Khi đó:  93 x  x  42 x   3x  x  x  x 2 f  x  x   f  x    x  x 4 x     x 3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 2, x = Ví dụ 3: Tìm tích tất nghiệm phương trình: log 100 x  4.3   9.4log 10 x  13.61log x Giải: log 100 x Ta có: 4.3  log  10 x     3   Đặt     9.4log  10 x  13.61log x  4.32log 10 x   9.4log 10 x  13.6log 10 x       log  10 x   13.2  log  10 x  log  10 x  3log 10 x  2log 10 x   log 10 x   log 10 x  13 log  10 x   t 1    t 9  t  4t  , ta có phương trình:  log  10 x  0  10 x 1    10 x  100 log 10 x      13  4t  13t  0 t   x 10   x 10 Vậy tích nghiệm Ví dụ 4: Tìm tất giá trị thực tham số thực m để phương trình sau có x x nghiệm thực phân biệt  2.3 1  3m  0 Giải: x2 Ta có:  2.3 x 1  3m  0    3x 2  6.3x  3m  0 x Đặt t   t  6t  3m  0 (*) Với t 1 phương trình có nghiệm x 0 Với t   x  phương trình vơ nghiệm Với t  phương trình có nghiệm x đối Phương trình có nghiệm thực phân biệt (*) có nghiệm thực phân biệt t2  Khi t 1 , ta có:   3m  0  m 2  t 1 t  6t  0    t 5 (thỏa mãn) Thử lại: Vậy m 2 phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt t1 1  Ví dụ 5: Tìm tất giá trị m để phương trình 7  x2  m 3  x2 2 x 1 hai nghiệm phân biệt Giải: x2   5 Ta có: x2  m 3  x2 2 x 1 x2  3   7   m           x2  3  1   t  mt   0  mt  t  0  t 2 Đặt  , ta được: (*) Nếu t   ;1  x  phương trình vơ nghiệm Nếu t 1  x 0 phương trình có nghiệm x 0 Nếu t   x  phương trình có nghiệm x đối Để phương trình cho có nghiệm phân biệt: Trường hợp 1: (*) có nghiệm > m 0  t 2  thỏa mãn m 0;  0 m   t 4   16 thỏa mãn Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm t1  1, t2  1   m 2m   t1t2   t1  t2     t1  1  t2  1      1  m       4m   4 16  Vậy  m    m   16 1 m 16 phương trình có hai nghiệm phân biệt Bình luận: Đối với dạng toán này, ta chia hai vế cho biểu thức đặt ẩn phụ x Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  mx 1  2x 1  x  2mx  có Giải: x Ta có:  22x 2  mx 1  mx   2x 1  x  2mx  0  2 x  x  2mx  2 x 1  x2 1  mx   2x 1  x  2mx   x  (2) t t Xét hàm số f (t ) 2  t , ta có: f ' (t ) 2 ln  Ta có f ' (t )  0t nên hàm số f (t) đồng biến  t 2 Từ đẳng thức (2), ta suy x  2mx   x   x  2mx  0 (3) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm  '   m2 - 1  m 1 Phương trình lơgarit Ví dụ 7: Giải bất phương trình: log  x2  x    12 log  x    log (4  x) Giải: Điều kiện:  x2  4x     x   4  x    x 2    x  log 22 ( x  2)  log ( x  2)  log (4  x) 22 Bất phương trình cho tương đương với:  log x   log ( x  2)  log (4  x)  log  x  ( x  2)   log (4  x)  x  ( x  2)   x (1) (1)  (2  x)( x  2)   x  x  (0;1) Kết hợp với Trường hợp 1: Với x  ( 2;2) điều kiện trường hợp này, ta x  (0;1) Trường hợp 2: Với x  (2;4) (1)  ( x  2)( x  2)   x  x  ( ;  1 33 ) (   33 ; ) x( Kết hợp với điều kiện trường hợp này, ta x  (0;1)  ( Vậy bất phương trình có nghiệm Ví dụ 8: Giải phương trình Giải:   33 ;4)   33 ;4)  x  3 log  x  5  log  x  3  x  x2  x  3 log  x  5  log  x  3  x   log  x  5  log  x  3 = x  với x > log  x  5  log  x  3 đồng biến (5; + ) 5 x2 Hàm số y = x  có y’=  x  3 < nghịch biến (5; + ) Hàm số y = Suy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 9: Giải phương trình: log  x  x  1 log  x  x  Giải:  x  x     x  2x   x  x  (*) Điều kiện:  t log  x  x   x  x 2t  Đặt (thoả mãn điều kiện (*)), phương trình cho trở thành: t t  2  1 log3 2t  t  2t  3t       1   (1) t t  2  1 f (t )          nghịch biến  f (1) 1 nên (1) có nghiệm Hàm số t 1 Với t 1 , ta có: x  x 2  x   Vậy phương trình có nghiệm: x   Ví dụ 10: Giải phương trình: log x  (x  5) log x   2x 0 Giải: Điều kiện: x > (*)  t 2 t  (x  5)t   2x 0   t log x , phương trình  t 3  x Đặt log x 2  x 4 thỏa mãn (*) Với t 2 , ta có: log x 3  x  x  log x  0 Với t 3  x , ta có: Xét f (x) x  log x  3, x >0 f '(x) 1  Ta có >0, x >0 x ln nên hàm số đồng biến x >0 Do f(2) = nên x = thỏa mãn (*) nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 2, x = Ví dụ 11: Giải phương trình: 3x2 + + log2006 Giải: Phương trình cho viết thành: log2006 4x  x 6 x  x 1 4x2  x  x  = x6 - 3x2 -  u 4 x    Đặt v  x  x   , ta phương trình: (1) log2006 u v = v – u  log2006u - log2006v = v- u (*) - Nếu u > v VT (*) > > VP (*) nên khơng thoả mãn - Nếu u < v VT (*) < < VP (*) nên không thoả mãn - Nếu = v VT (*) = = VP (*) Do đó, phương trình (*)  x6 + x2 + = 4x2 +  x6 - 3x2 - 1= Đặt t = x2  0, ta phương trình: f(t) = t3 - 3t - = (2) (3)  t 1  Ta có: f’(x) = 3t2 – 3, f’(t) =   t  Bảng biến thiên: t -∞ f’(t) -1 + f (t) 0 - -∞ +∞ + Hơn f(2) = +∞ -1 -3 Do đó, phương trình (3) có nghiệm với t  nghiệm t (0; 2)  Đặt t = cos  với <  < , ta được: cos3 - cos  - = 1    3  (do <  < ) Suy ra:  4cos  - 3cos = hay cos3 =    = ta có t = x = cos 2cos Vậy phương trình cho có nghiệm: x =  Ví dụ 12: Giải phương trình: Giải:  logx(24x1)2 x  logx (24x1) x2 log (24x1) x