CHUYÊN ĐỀ HÀM MỦ LOGARIT ppt

Chuyên đề: Phương trình  Bất phương trình  hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ  y=a x ; TXĐ D=R  Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x  0 + x  0 + y + 1  y + 1   Đồ thị -3 -2 -1 1 -2 -1 1 2 3 x y y=3 x -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 x y x y        3 1 II. Hàm số lgarit  y=log a x, ĐK:      10 0 a x ; D=(0;+)  Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 + x 0 0 + y + 1  y + 1   Đồ thị -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x y=3 x y=log 3 x -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 x y x y        3 1 xy 3 1 log y=x III. Các công thức 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a   ;( n a 1 =a m ; a 0 =1; a 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a        ; n m n m aa  . 2. Công thức logarit: log a b=ca c =b (0<a1; b>0) Với 0<a1, 0<b1; x, x 1 , x 2 >0;  R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 log a x 2 ; Chuyên đề: Phương trình  Bất phương trình  hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 2 xa x a  log ; log a x  =  log a x; xx a a log 1 log    ;(log a a x =x); log a x= a x b b log log ;(log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . IV. Phương trình và bất phương trình mũlogarit 1. Phương trình mũlogarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a1: a f(x) =a g(x) (1)  f(x)=g(x). + 0<a1: a f(x) =b         bxf b a log 0 . Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3  ), (7 4 3  ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;a x b x } ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x . Phương pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x)  f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c1. b. Phương trình logarit: Đưa về cùng cơ số: +log a f(x)=g(x)          xg axf a 10 +log a f(x)= log a g(x)                   xgxf xgxf a 00 10 . Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũlogarit a. Bất phương trình mũ:  a f(x) >a g(x)               01 0 xgxfa a ;  a f(x) a g(x)               01 0 xgxfa a . Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)>g(x); a f(x) a g(x)  f(x)g(x). * Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)g(x); a f(x) a g(x)  f(x)g(x). b. Bất phương trình logarit: log a f(x)>log a g(x)                     01 0,0 10 xgxfa xgxf a ; log a f(x)log a g(x)                     01 0,0 10 xgxfa xgxf a . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x)             0xg xgxf ; + Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x)             0xf xgxf . * * * Chuyên đề: Phương trình  Bất phương trình  hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình:     2 2 2 2 2 2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0 x x x x x x x x           . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:     2 2 2 1 . 2 4 0 x x x    . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình:     2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1 x x x    . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:   3 3 3 log 2log 2 1 1 .log 0 x x x         . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0 x x x x      . Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có:   2 2 2 2 5 0 1, 5 2 t x t x t t x           . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình:       2 3 3 log 1 5 log 1 2 6 0 x x x x        . Đặt t = log 3 (x+1), ta có:   2 5 2 6 0 2, 3 t x t x t t x           x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có   ( ) f u f v u v    . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì   bac ; :       a b aFbF cF   ' . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì       ; : ' 0 ' 0 c a b F c F x      có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 log 2.3 3 x x   . Hướng dẫn: 2 2 log log 2.3 3 2.3 3 x x x x      , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 2 5 3 x x x x    . Phương trình tương đương 6 5 3 2 x x x x    , giả sử phương trình có nghiêm  . Khi đó:  2356  . Xét hàm số       tttf  1 , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại   2;5 c sao cho:     1 ' 1 0 1 0 0, 1 f c c c                      , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x       . Viết lại phương trình dưới dạng 2 1 2 2 1 2 x x x x x x        , xét hàm số   ttf t  2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:     2 2 1 1 1 f x f x x x x x x          . Chuyên đề: Phương trình  Bất phương trình  hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 4 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2 x x x    . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số     2 2 3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0 x x x x f x x f x          Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 2 2 2007 1 2007 1 x y y e y x e x              có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số   2 2007 1 x x f x e x     . Nếu x < 1 thì   02007 1   exf suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x 0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: Cho 0   ba . Chứng minh rằng 1 1 2 2 2 2 b a a b a b                (ĐH Khối D2007) HD: BĐT 1 1 ln 2 ln 2 1 1 2 2 ln 2 ln 2 2 2 a b a b a b a b b a a b                                 . Xét hàm số   1 ln 2 2 x x f x x         với x > 0 Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0   ba ta có   bfaf )( (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình 7 3 log log ( 2) x x   . Đặt t = 7 log 7 t x x   Khi đó phương trình trở thành: 3 7 1 log ( 7 2) 3 7 2 1 2. 3 3 t t t t t t                     . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình   4 2 2 5 6 log ( 2 2) 2log 2 3 x x x x      . Đặt t = x 2 – 2x – 3 ta có   6 5 log 1 log t t   . Ví dụ 2: Giải phương trình   6 log 2 6 log 3 log x x x   . Đặt 6 log t x  , phương trình tương đương 3 6 3 2 3 1 2 t t t t t            . 3. Dạng 3:   log b x c a x   ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình   7 log 3 4 x x   . Đặt   7 log 3 7 3 t t x x      , phương trình tương đương 4 1 4 7 3 3. 1 7 7 t t t t                  . Ví dụ 2: Giải phương trình   42 5log 3   x x . Đặt t = x+4 phương trình tương đương   t t  1log 3 2 Ví dụ 3: Giải phương trình       3 3 log 1 log 1 4 1 2 0 x x x x       . 4. Dạng 4:   log ax b s s c dx e x        , với ,d ac e bc       Phương pháp: Đặt log ( ) s ay b dx e    rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay b s acx s acy      . Xét   at b f t s act    . Chuyên đề: Phương trình  Bất phương trình  hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 5 Ví dụ: Giải phương trình 1 7 7 6log (6 5) 1 x x     . Đặt   7 1 log 6 5 y x    . Khi đó chuyển thành hệ     1 1 1 1 1 7 7 6 1 1 7 6 5 7 6 7 6 1 log 6 5 7 6 5 x x x y y y y x y y x x                               . Xét hàm số   1 7 6 t f t t    suy ra x=y, Khi đó: 1 7 6 5 0 x x     . Xét hàm số   567 1   xxg x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Ví dụ: Giải phương trình 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x         HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x          , đặt 1 1 2 1, 2 1. , 0 x x u v u v        . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 8 1 18 . u v u v u v u v           Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a.     2 3 2 3 4 0 x x      b.     2 3 2 3 4 x x     c.     7 4 3 3 2 3 2 0 x x      d.     3 3 5 16 3 5 2 x x x      e.     2 1 2 1 2 2 0 x x      (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1. f. 3.8 x +4.12 x 18 x 2.27 x =0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x      (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. k. 2 2 2 2 2 3 x x x x     (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2. i. 3.16 2.8 5.32 x x x   j. 1 1 1 2.4 6 9 x x x   Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. 3 2 3 4 128 5 1 x y x y           b. 2 ( ) 1 5 125 4 1 x y x y           c. 2 2 12 5 x y x y          d.     2 2 2 2 2 2 log 1 log 3 81 x xy y x y xy           (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) e.   2 3 9 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y            (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). f.   1 4 4 2 2 1 log log 1 25 y x y x y           (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) g. 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y            (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Chuyên đề: Phương trình  Bất phương trình  hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 6 Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a .   2 .2 .2 0 x x m m m      . b . .3 .3 8 x x m m    . Bài 4: Cho phương trình 2 2 3 3 log log 1 2 1 0 x x m      (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;3     . ĐS: a. 3 3 x   , b. 0  m  2 Bài 5: Cho bất phương trình   1 4 . 2 1 0 x x m     a. Giải bất phương trình khi m= 16 9 . b. Định m để bất phương trình thỏa x R   . Bài 6: Giải các phương trình sau: a.     5 5 5 log log 6 log 2 x x x     b. 5 25 0,2 log log log 3 x x  c.   2 log 2 5 4 2 x x x    d. 2 3 lg( 2 3) lg 0 1 x x x x       e. log 2x1 (2x 2 +x1)+log x+1 (2x1) 2 =4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f.   2 2 2 log 1 6log 1 2 0 x x      (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. g.   2 2 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 x x x      (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log 2 3. Bài 7: Giải bất phương trình: a.   3 1 3 2 log (4 3) log 2 3 2 x x     (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4  x  3. b. 2 0,7 6 log log 0 4 x x x          (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8. c.     2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 x x      (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. d. 2 1 2 3 2 log 0 x x x    (ĐH_Khối D 2008) ĐS:   2 2;1 2;2 2        .  . Chuyên đề: Phương trình  Bất phương trình  hệ phương trình Mũ _Logarit www.VNMATH.com Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ  y=a x ;.       , xét hàm số   ttf t  2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:     2 2 1 1 1 f x f x x x x x x          . Chuyên đề: Phương trình  . Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng